PAGEPAGE1課時(shí)作業(yè)54幾何概型[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．[2024·武漢調(diào)研]在長(zhǎng)為16cm的線段MN上任取一點(diǎn)P，以MP、NP為鄰邊作一矩形，則該矩形的面積大于60cm2的概率為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(3,4)解析：本題考查幾何概型．設(shè)MP＝x，則NP＝16－x，由x(16－x)＞60，解得6＜x＜10，所以所求概率P＝eq\f(10－6,16)＝eq\f(1,4)，故選A.答案：A2．[2024·石家莊中學(xué)模擬考試]已知函數(shù)f(x)＝2x(x<0)，其值域?yàn)镈，在區(qū)間(－1,2)上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x∈D的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(2,3)解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝2x是R上的增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的值域是(0,1)，所以所求概率是eq\f(1,3)，故選B.答案：B3．[2024·陜西省高三質(zhì)量檢測(cè)]在不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋14≥0，,x≤－3，,y≥2))所確定的三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均不小于1的概率是()A．9－eq\f(π,2)B．9－πC．1－eq\f(π,18)D．1－eq\f(π,9)解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域即如圖所示的△ABC及其內(nèi)部，分別以點(diǎn)A，B，C為圓心，以1為半徑作弧，則圖中的陰影部分內(nèi)的點(diǎn)滿意到△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均不小于1.易求得點(diǎn)A(－6,2)，B(－3,2)，C(－3,8)，所以AB＝3，BC＝6.又留意到圖中的三個(gè)扇形恰好可以拼湊成一個(gè)以1為半徑的半圓，故所求概率P＝eq\f(S陰影部分,S△ABC)＝eq\f(\f(1,2)×3×6－\f(1,2)×π×12,\f(1,2)×3×6)＝1－eq\f(π,18).故選C.答案：C4．在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)A.eq\f(π,12)B．1－eq\f(π,12)C.eq\f(π,6)D．1－eq\f(π,6)解析：點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的點(diǎn)位于以O(shè)為球心，以1為半徑的半球外．記“點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1”為事務(wù)M，則P(M)＝eq\f(23－\f(1,2)×\f(4π,3)×13,23)＝1－eq\f(π,12).答案：B5．已知f(x)＝eq\f(x,2)＋cosx，在區(qū)間(0，π)內(nèi)任取一點(diǎn)x0，使得f′(x0)>0的概率為()A.eq\f(π,6)B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)解析：f′(x)＝eq\f(1,2)－sinx，令eq\f(1,2)－sinx>0，sinx<eq\f(1,2)，當(dāng)x∈(0，π)時(shí)，0<x<eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)<x<π，故所求概率為eq\f(2×\f(π,6),π)＝eq\f(1,3).答案：C二、填空題6．[2024·黃山模擬]向面積為S的△ABC內(nèi)隨意投擲一點(diǎn)P，則△PBC的面積小于eq\f(S,2)的概率為_(kāi)_______．解析：∵S△PBC<eq\f(1,2)S△ABC，∴h′<eq\f(h,2)，其中h′為△PBC中BC邊上的高，h為△ABC中BC邊上的高．設(shè)DE為△ABC的中位線(如圖所示)，則梯形BCED(陰影部分)中的點(diǎn)滿意要求，∴所求概率P＝eq\f(S梯形BCED,S△ABC)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)7．在體積為V的三棱錐S－ABC的棱AB上任取一點(diǎn)P，則三棱錐S－APC的體積大于eq\f(V,3)的概率是________．解析：由題意可知eq\f(VS－APC,VS－ABC)＞eq\f(1,3)，三棱錐S－ABC的高與三棱錐S－APC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，則PM，BN分別為ΔAPC與△ABC的高，所以eq\f(VS－APC,VS－ABC)＝eq\f(S△APC,S△ABC)＝eq\f(PM,BN)＞eq\f(1,3)，又eq\f(PM,BN)＝eq\f(AP,AB)，所以eq\f(AP,AB)＞eq\f(1,3).故所求的概率為eq\f(2,3)(即為長(zhǎng)度之比)．答案：eq\f(2,3)8．[2024·唐山市高三五校聯(lián)考]向圓(x－2)2＋(y－eq\r(3))2＝4內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在x軸下方的概率為_(kāi)_______．解析：如圖，連接CA，CB，依題意，圓心C到x軸的距離為eq\r(3)，所以弦AB的長(zhǎng)為2.又圓的半徑為2，所以弓形ADB的面積為eq\f(1,2)×eq\f(2,3)π×2－eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\f(2,3)π－eq\r(3)，所以向圓(x－2)2＋(y－eq\r(3))2＝4內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在x軸下方的概率P＝eq\f(1,6)－eq\f(\r(3),4π).答案：eq\f(1,6)－eq\f(\r(3),4π)三、解答題9．如圖所示，圓O的方程為x2＋y2＝4.(1)已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0)，B為圓周上隨意一點(diǎn)，求的長(zhǎng)度小于π的概率；(2)若N(x，y)為圓O內(nèi)隨意一點(diǎn)，求點(diǎn)N到原點(diǎn)的距離大于eq\r(2)的概率．解析：(1)圓O的周長(zhǎng)為4π，所以弧的長(zhǎng)度小于π的概率為eq\f(2π,4π)＝eq\f(1,2).(2)記事務(wù)M為N到原點(diǎn)的距離大于eq\r(2)，則Ω(M)＝{(x，y)|x2＋y2>2}，Ω＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，所以P(M)＝eq\f(4π－2π,4π)＝eq\f(1,2).10．已知關(guān)于x的一次函數(shù)y＝kx＋b(x∈R)．(1)設(shè)集合P＝{－1,1,2,3}，從集合P中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為k，求函數(shù)y＝kx＋b是減函數(shù)的概率；(2)實(shí)數(shù)對(duì)(k，b)滿意條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＋b－1≤0，,0<k<1，,－1≤b≤1.))求函數(shù)y＝kx＋b的圖象不經(jīng)過(guò)第四象限的概率．解析：(1)從集合P中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為k的全部可能結(jié)果有4種，滿意函數(shù)y＝kx＋b是減函數(shù)的情形是k＝－1，則所求概率P＝eq\f(1,4).(2)因?yàn)閗>0，函數(shù)y＝kx＋b的圖象不經(jīng)過(guò)第四象限的條件是b≥0.作出(k，b)對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖中的梯形ABCD(不含b軸)，其面積是S1＝eq\f(1＋2·1,2)＝eq\f(3,2)，符合限制條件的(k，b)對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖中的三角形BOC，其面積是S2＝eq\f(1,2)，故所求概率P＝eq\f(S2,S1)＝eq\f(1,3).[實(shí)力挑戰(zhàn)]11．已知袋子中放有大小和形態(tài)相同的小球若干，其中標(biāo)號(hào)為0的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為1的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球n個(gè)．若從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號(hào)是2的小球的概率是eq\f(1,2).(1)求n的值；(2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球，記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為a，其次次取出的小球標(biāo)號(hào)為b.①記“2≤a＋b≤3”為事務(wù)A，求事務(wù)A的概率；②在區(qū)間[0,2]內(nèi)任取2個(gè)實(shí)數(shù)x，y，求事務(wù)“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．解析：(1)依題意共有(n＋2)個(gè)小球，則從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率為eq\f(n,n＋2)＝eq\f(1,2)，∴n＝2.(2)①?gòu)拇又胁环呕氐仉S機(jī)抽取2個(gè)小球共有12種結(jié)果，而滿意2≤a＋b≤3的結(jié)果