高等數(shù)學(xué)題庫(kù)及答案9題

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(\cosx\)B.\(-\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(-\sinx\)2.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\)（）A.0B.1C.\(\infty\)D.不存在3.曲線\(y=x^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.44.不定積分\(\intx^2dx=\)（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(x^3+C\)C.\(\frac{1}{2}x^2+C\)D.\(2x+C\)5.定積分\(\int_{0}^{1}xdx=\)（）A.\(\frac{1}{2}\)B.1C.2D.06.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的駐點(diǎn)為（）A.\(x=1\)B.\(x=-1\)C.\(x=\pm1\)D.\(x=0\)7.若\(y=e^{2x}\)，則\(y^\prime=\)（）A.\(e^{2x}\)B.\(2e^{2x}\)C.\(e^{x}\)D.\(2e^{x}\)8.函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處對(duì)\(x\)的偏導(dǎo)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.49.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是（）A.收斂B.發(fā)散C.不確定D.絕對(duì)收斂10.微分方程\(y^\prime+y=0\)的通解是（）A.\(y=Ce^x\)B.\(y=Ce^{-x}\)C.\(y=Cx\)D.\(y=C\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=x+1\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)3.以下哪些是求導(dǎo)公式（）A.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((e^x)^\prime=e^x\)D.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)4.關(guān)于定積分性質(zhì)正確的有（）A.\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）B.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)C.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)D.\(\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^f(x)dx\)（\(a\ltc\ltb\)）5.函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)的必要條件有（）A.函數(shù)在\(x_0\)處連續(xù)B.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)C.函數(shù)在\(x_0\)處有定義D.函數(shù)在\(x_0\)處極限存在6.下列哪些是多元函數(shù)（）A.\(z=x+y\)B.\(z=x^2y\)C.\(u=x+y+z\)D.\(y=2x+1\)7.以下哪些是可積函數(shù)的特點(diǎn)（）A.有界B.連續(xù)C.只有有限個(gè)間斷點(diǎn)D.單調(diào)8.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}1\)9.求函數(shù)極值的步驟包括（）A.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)B.求駐點(diǎn)C.判斷駐點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的符號(hào)D.計(jì)算函數(shù)在駐點(diǎn)處的值10.微分方程的階數(shù)可以是（）A.一階B.二階C.三階D.任意階三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。（）2.若\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定連續(xù)。（）3.函數(shù)\(y=x^3\)的二階導(dǎo)數(shù)是\(6x\)。（）4.定積分的值與積分變量的選取無(wú)關(guān)。（）5.函數(shù)\(f(x)\)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0，則該點(diǎn)一定是極值點(diǎn)。（）6.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，則函數(shù)在該點(diǎn)可微。（）7.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\)。（）8.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續(xù)。（）9.微分方程\(y^\prime=y\)的通解是\(y=Ce^x\)（\(C\)為任意常數(shù)）。（）10.函數(shù)\(y=\cosx\)的周期是\(2\pi\)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述求函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處切線方程的步驟。-先求函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x_0)\)，此為切線斜率。-再求函數(shù)值\(f(x_0)\)。-最后利用點(diǎn)斜式\(y-y_0=k(x-x_0)\)（\(k=f^\prime(x_0)\)，\(y_0=f(x_0)\)）寫出切線方程。2.簡(jiǎn)述定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。-聯(lián)系：定積分計(jì)算常通過(guò)不定積分找到原函數(shù)再利用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算。-區(qū)別：不定積分是原函數(shù)的集合，定積分是一個(gè)數(shù)值，由積分區(qū)間和被積函數(shù)決定。3.簡(jiǎn)述判斷函數(shù)\(y=f(x)\)單調(diào)性的方法。-求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x)\)。-令\(f^\prime(x)\gt0\)，解出的區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；令\(f^\prime(x)\lt0\)，解出的區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間。4.簡(jiǎn)述一階線性非齊次微分方程\(y^\prime+P(x)y=Q(x)\)的通解公式及推導(dǎo)思路。-通解公式\(y=e^{-\intP(x)dx}(\intQ(x)e^{\intP(x)dx}dx+C)\)。-推導(dǎo)思路：先求對(duì)應(yīng)的齊次方程通解，再用常數(shù)變易法設(shè)非齊次方程解的形式，代入方程求出未知函數(shù)得到通解。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=x^3-3x^2+2\)的極值情況。-先求導(dǎo)\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。-令\(y^\prime=0\)，得駐點(diǎn)\(x=0\)和\(x=2\)。-當(dāng)\(x\lt0\)，\(y^\prime\gt0\)；\(0\ltx\lt2\)，\(y^\prime\lt0\)；\(x\gt2\)，\(y^\prime\gt0\)。-所以\(x=0\)是極大值點(diǎn)，極大值為\(2\)；\(x=2\)是極小值點(diǎn)，極小值為\(-2\)。2.討論級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)的斂散性與\(p\)的關(guān)系。-當(dāng)\(p\gt1\)時(shí)，根據(jù)\(p-\)級(jí)數(shù)斂散性可知該級(jí)數(shù)收斂。-當(dāng)\(p=1\)時(shí)，為調(diào)和級(jí)數(shù)，發(fā)散。-當(dāng)\(p\lt1\)時(shí)，通過(guò)與調(diào)和級(jí)數(shù)比較可知該級(jí)數(shù)發(fā)散。3.討論多元函數(shù)\(z=x^2+y^2-2x+4y\)的極值情況。-先求偏導(dǎo)數(shù)\(z_x=2x-2\)，\(z_y=2y+4\)。-令\(z_x=0\)，\(z_y=0\)，得駐點(diǎn)\((1,-2)\)。-再求二階偏導(dǎo)數(shù)判斷\(A=z_{xx}(1,-2)=2\)，\(B=z_{xy}(1,-2)=0\)，\(C=z_{yy}(1,-2)=2\)。-因?yàn)閈(AC-B^2=4\gt0\)且\(A\gt0\)，所以在\((1,-2)\)處取得極小值\(-5\)。4.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的定義域、值域、單調(diào)性、漸近線。-定義域\(x\neq1\)。-值域\(y\neq0\)。-在\((-\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞減。-垂直漸近線\(x=1\)，水平漸近線\(y=0\)。答案一、