高數(shù)題目及答案txt

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(\cosx\)B.\(-\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(-\sinx\)2.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\)（）A.0B.1C.不存在D.\(\infty\)3.曲線\(y=x^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線斜率為（）A.1B.2C.3D.44.若\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)是\(F(x)\)，則\(\intf(x)dx=\)（）A.\(F(x)\)B.\(F(x)+C\)C.\(f(x)\)D.\(f(x)+C\)5.\(\int_{0}^{1}x^2dx=\)（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{1}{2}\)C.1D.26.函數(shù)\(z=x^2+y^2\)的全微分\(dz=\)（）A.\(2xdx+2ydy\)B.\(2xdx-2ydy\)C.\(x^2dx+y^2dy\)D.\(x^2dx-y^2dy\)7.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是（）A.收斂B.發(fā)散C.條件收斂D.絕對(duì)收斂8.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)處可微的必要條件是（）A.偏導(dǎo)數(shù)存在B.連續(xù)C.偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)D.以上都不對(duì)9.已知\(y=e^{2x}\)，則\(y^{(n)}=\)（）A.\(2^ne^{2x}\)B.\(n^2e^{2x}\)C.\(2e^{2x}\)D.\(e^{2x}\)10.曲線\(y=\frac{1}{x}\)的漸近線有（）A.1條B.2條C.3條D.4條二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)2.以下極限存在的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)3.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)可導(dǎo)的有（）A.\(y=|x|\)B.\(y=\sqrt{x}\)C.\(y=\lnx\)D.\(y=e^x\)4.下列積分值為0的有（）A.\(\int_{-1}^{1}x^3dx\)B.\(\int_{-\pi}^{\pi}\sinxdx\)C.\(\int_{-1}^{1}e^xdx\)D.\(\int_{-1}^{1}\cosxdx\)5.多元函數(shù)\(z=f(x,y)\)的二階偏導(dǎo)數(shù)有（）A.\(\frac{\partial^2z}{\partialx^2}\)B.\(\frac{\partial^2z}{\partialy^2}\)C.\(\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}\)D.\(\frac{\partial^2z}{\partialy\partialx}\)6.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\)7.曲線\(y=x^3-3x\)的極值點(diǎn)有（）A.\(x=-1\)B.\(x=0\)C.\(x=1\)D.\(x=2\)8.以下哪些是不定積分的性質(zhì)（）A.\(\intkf(x)dx=k\intf(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）B.\(\int[f(x)+g(x)]dx=\intf(x)dx+\intg(x)dx\)C.\((\intf(x)dx)^\prime=f(x)\)D.\(\intf^\prime(x)dx=f(x)+C\)9.二元函數(shù)\(z=x^2+y^2-2x+4y\)的駐點(diǎn)為（）A.\((1,-2)\)B.\((-1,2)\)C.\((1,2)\)D.\((-1,-2)\)10.下列函數(shù)中，與\(y=x\)是等價(jià)無窮小的有（）A.\(y=\sinx\)（\(x\to0\)）B.\(y=\tanx\)（\(x\to0\)）C.\(y=e^x-1\)（\(x\to0\)）D.\(y=\ln(1+x)\)（\(x\to0\)）三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是\(x\geq1\)。（）2.若\(f(x)\)在\(x_0\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定連續(xù)。（）3.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)。（）4.函數(shù)\(y=x^2+1\)沒有拐點(diǎn)。（）5.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0\)。（）6.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)一定相等。（）7.函數(shù)\(y=\cosx\)的周期是\(2\pi\)。（）8.若\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定有最大值和最小值。（）9.\(\int\frac{1}{x}dx=\lnx+C\)。（）10.曲線\(y=\frac{1}{x^2}\)在\((0,+\infty)\)上是單調(diào)遞增的。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+5\)的單調(diào)區(qū)間。-答案：對(duì)\(y\)求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime>0\)，解得\(x<0\)或\(x>2\)，此為單調(diào)遞增區(qū)間；令\(y^\prime<0\)，解得\(0<x<2\)，此為單調(diào)遞減區(qū)間。2.計(jì)算\(\intxe^xdx\)。-答案：用分部積分法，設(shè)\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，則\(du=dx\)，\(v=e^x\)。根據(jù)公式\(\intudv=uv-\intvdu\)，可得\(\intxe^xdx=xe^x-\inte^xdx=xe^x-e^x+C\)。3.求函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點(diǎn)\((1,2)\)處的偏導(dǎo)數(shù)。-答案：對(duì)\(x\)求偏導(dǎo)，把\(y\)看成常數(shù)，\(z_x=2x\)，將\((1,2)\)代入得\(z_x(1,2)=2\)；對(duì)\(y\)求偏導(dǎo)，把\(x\)看成常數(shù)，\(z_y=2y\)，代入得\(z_y(1,2)=4\)。4.求極限\(\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}\)。-答案：根據(jù)等價(jià)無窮小，當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(e^x-1\simx\)，所以\(\lim\limits_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的圖像特征。-答案：定義域?yàn)閈(x\neq1\)。當(dāng)\(x\to1^+\)時(shí)，\(y\to+\infty\)；當(dāng)\(x\to1^-\)時(shí)，\(y\to-\infty\)，\(x=1\)是垂直漸近線。當(dāng)\(x\to\pm\infty\)時(shí)，\(y\to0\)，\(y=0\)是水平漸近線。在\((-\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞減。2.探討級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)的斂散性與\(p\)的關(guān)系。-答案：當(dāng)\(p>1\)時(shí)，級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)收斂；當(dāng)\(p\leq1\)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散?？赏ㄟ^\(p-\)級(jí)數(shù)斂散性判別法得出此結(jié)論，比如\(p=1\)時(shí)是調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，\(p>1\)時(shí)可利用積分判別法證明收斂。3.分析二元函數(shù)\(z=x^2-y^2\)的幾何性質(zhì)。-答案：這是一個(gè)雙曲拋物面。它關(guān)于\(x\)軸、\(y\)軸和原點(diǎn)對(duì)稱。令\(z=0\)，得\(y=\pmx\)是其與\(xOy\)面的交線。當(dāng)\(x\)固定時(shí)，\(z\)關(guān)于\(y\)是二次函數(shù)；當(dāng)\(y\)固定時(shí)，\(z\)關(guān)于\(x\)是二次函數(shù)。4.說明導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值之間的關(guān)系。-答案：導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減。導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)可能是極值點(diǎn)，再通過二階導(dǎo)數(shù)判斷，二階導(dǎo)數(shù)大于0是極小值點(diǎn)，二階導(dǎo)數(shù)小于0是極大值點(diǎn)。導(dǎo)