第16頁（共23頁）專題02一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識(shí)清單知識(shí)清單考點(diǎn)狙擊解題大招典例分析1．平均速度與平均變化率(1)平均速度：設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是，則物體在到這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為．(2)平均變化率：把比值?y?x,即?y?x=2．導(dǎo)數(shù)的概念(1)如果當(dāng)?x→0時(shí),平均變化率?y?x無限趨近于一個(gè)確定的值,即?y?x有極限,則稱y=fx在x=x(2)f'x0=lim(3)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=fx在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f'x03．導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)4．導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(1)在上為增函數(shù)．(2)在上為減函數(shù)．5．極值(1)函數(shù)的極小值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其它點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近的其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．6．極值點(diǎn)(1)函數(shù)的極小值點(diǎn)：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其它點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)．(2)函數(shù)的極大值點(diǎn)：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近的其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)．7．最值(1)如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．考點(diǎn)01切線求曲線“在”P點(diǎn)處的切線方程(1)第一步：計(jì)算切點(diǎn)的縱坐標(biāo)f(x0)(2)第二步：計(jì)算切線斜率k=(3)第三步：計(jì)算切線方程.切線過切點(diǎn)Px0,f((4)第四步：根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程得到切線方程：y-fx0=f【典例1】（2025春?山西期中）設(shè)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），曲線y＝f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線與直線3x﹣2y﹣3＝0垂直，則f′（2）＝（）A．32 B．23 C．-23【答案】C【分析】根據(jù)條件可得出曲線f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解．【解答】解：直線3x﹣2y﹣3＝0的斜率為32所以與直線3x﹣2y﹣3＝0垂直的直線斜率為：-2所以曲線y＝f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的斜率為-23，所以故選：C．【典例2】（2025春?邢臺(tái)期中）函數(shù)f（x）＝x3e2x的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為（）A．8e2 B．6e2 C．5e2 D．4e2【答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解．【解答】解：函數(shù)f（x）＝x3e2x，則f′（x）＝3x2e2x+x3?2e2x＝3x2e2x+2x3e2x，所以函數(shù)f（x）＝x3e2x的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線的斜率為f′（1）＝3e2+2e2＝5e2．故選：C．【典例3】（2025?重慶校級(jí)模擬）已知直線l與曲線f（x）＝ex+sinx在點(diǎn)（0，f（0））處的切線垂直，則直線l的斜率為（）A．﹣1 B．1 C．-12 D【答案】C【分析】可得f′（x）＝ex+cosx，得到f′（0）＝2，進(jìn)而求得直線l的斜率，得到答案．【解答】解：由函數(shù)f（x）＝ex+sinx，可得f′（x）＝ex+cosx，則f′（0）＝2，所以直線l的斜率為-1故選：C．【典例4】（2025春?深圳期中）已知曲線y＝e2ax在點(diǎn)（0，1）處的切線斜率為-43，則a＝【答案】-2【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解．【解答】解：設(shè)f（x）＝e2ax，則f′（x）＝2ae2ax，因?yàn)榍€y＝e2ax在點(diǎn)（0，1）處的切線斜率為-4所以f′（0）＝2a=-43，解得a故答案為：-2考點(diǎn)02導(dǎo)數(shù)運(yùn)算導(dǎo)數(shù)運(yùn)算(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(3)(g(x)≠0)．(4)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′．【典例5】（多選）（2025春?河池月考）下列函數(shù)求導(dǎo)正確的是（）A．已知f（x）＝xlnx+x，則f′（x）＝2+lnx B．已知f（x）＝e2x，則f′（x）＝2e2x C．已知f(x)=1x，則f′D．已知f（x）＝x3+sinx，則f′（x）＝3x2+cosx【答案】ABD【分析】應(yīng)用基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及加法和乘法法則、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算求各項(xiàng)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A，已知f（x）＝xlnx+x，則f′（x）＝x′lnx+x?（lnx）′+x′＝lnx+1+1＝2+lnx，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，已知f（x）＝e2x，則f′（x）＝e2x?（2x）′＝2e2x，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，已知f(x)=1x對(duì)于選項(xiàng)D，已知f（x）＝x3+sinx，則f′（x）＝3x2+cosx，故選項(xiàng)D正確．故選：ABD．【典例6】（多選）（2025春?珠海校級(jí)月考）下列命題正確的有（）A．（e﹣x）′＝﹣e﹣x B．已知函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，若f′（1）＝2，則limC．已知函數(shù)f（x）＝ln（2x+1），若f′（x0）＝1，則x0D．[（x2+2）sinx]′＝2xsinx+（x2+2）cosx【答案】ACD【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求解判斷ACD；利用導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算判斷B．【解答】解：（e﹣x）′＝e﹣x?（﹣x）′＝﹣e﹣x，A正確；若f′（1）＝2，則limΔx→0f(1+2Δx)-f(1)Δx=2對(duì)于C，f'(x)=12x+1對(duì)于D，[（x2+2）sinx]′＝2xsinx+（x2+2）cosx，D正確．故選：ACD．【典例7】（2025春?奉賢區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)f（x）＝acosx，若limh→0f(π2+h)-f(π2)h=3【答案】﹣3．【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求解．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝acosx，所以f′（x）＝﹣asinx，由題意可知limh→0f(π2+h)-所以a＝﹣3．故答案為：﹣3．【典例8】（2025春?開封期中）已知f(x)=f'(2)lnx-1【答案】﹣2．【分析】求導(dǎo)，令x＝2，即可求解．【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=令x＝2得，f'(2)=f'(2)2-2+1=f'(2)故答案為：﹣2．考點(diǎn)03函數(shù)的單調(diào)性由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法(1)當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不等式可解時(shí)，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出單調(diào)區(qū)間．(2)當(dāng)方程f′(x)＝0可解時(shí)，解出方程的實(shí)根，按實(shí)根把函數(shù)的定義域劃分區(qū)間，確定各區(qū)間f′(x)的符號(hào)，從而確定單調(diào)區(qū)間．(3)若導(dǎo)函數(shù)的方程、不等式都不可解，根據(jù)f′(x)結(jié)構(gòu)特征，利用圖象與性質(zhì)確定f′(x)的符號(hào)，從而確定單調(diào)區(qū)間．【典例9】（2025?青州市校級(jí)模擬）若函數(shù)f(x)=x22-3A．(0，3-1) B．(0，3] 【答案】C【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在（m，m+1）上有變號(hào)零點(diǎn)，列出不等式求解．【解答】解：根據(jù)題目：函數(shù)f(x)=x22f'(x)=因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x22所以y＝x2﹣3在（m，m+1）上有變號(hào)零點(diǎn)，即m2-3故選：C．【典例10】（2025?青州市校級(jí)模擬）若函數(shù)f(x)=x22-3A．(0，3-1) B．(0，3] 【答案】C【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在（m，m+1）上有變號(hào)零點(diǎn)，列出不等式求解．【解答】解：根據(jù)題目：函數(shù)f(x)=x22f'(x)=因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x22所以y＝x2﹣3在（m，m+1）上有變號(hào)零點(diǎn)，即m2-3故選：C．【典例11】（2025春?開封期中）已知函數(shù)f（x）＝alnx﹣x2存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．[0，+∞） B．（1，+∞） C．（0，+∞） D．[1，+∞）【答案】C【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)f（x）有單調(diào)遞增區(qū)間，轉(zhuǎn)化為不等式能成立即可求得結(jié)果．【解答】解：易知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），那么求導(dǎo)可得導(dǎo)函數(shù)f'(可知不等式a﹣2x2＞0在（0，+∞）上有解，因此不等式a＞2x2在（0，+∞）上有解，那么a＞（2x2）min，x∈（0，+∞），所以a＞0．故選：C．【典例12】（多選）（2025?陽西縣模擬）已知函數(shù)f(A．若f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，6] B．若f（x）在（0，2]上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，6] C．當(dāng)a＝2，f（x）在區(qū)間[k﹣1，k+1]上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（﹣3，﹣1）∪（0，2） D．若f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2]，則a＝6【答案】AD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，由f（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，可得f′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，分離出參數(shù)a，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可求出實(shí)數(shù)a的范圍；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)橛蒮（x）在（0，2]上存在單調(diào)遞減區(qū)間，可得f′（x）＜0在（0，2]上有解，分離出參數(shù)a，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可求出實(shí)數(shù)a的范圍；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)a＝2時(shí)，得出f'(x)=(x-1)(x+2)x，根據(jù)f（x）在區(qū)間k-1＞0k-1＜1＜k+1，求出實(shí)數(shù)k的范圍；對(duì)于選項(xiàng)D，由f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2]，可知x【解答】解：由題意函數(shù)f(可得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），求導(dǎo)可得f'(對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)閒（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，所以f′（x）=x2+x-ax≥0在[2，+∞）上恒成立，即x2+x對(duì)不等式進(jìn)行參變量分離，可得x2+x≥a在[2，+∞）上恒成立．又因?yàn)槎魏瘮?shù)y＝x2+x＝（x+12）2-14在所以在[2，+∞）上ymin所以a≤6，故選項(xiàng)A正確．對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)閒（x）在（0，2]上存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以f′（x）＜0在（0，2]上有解，即x2+x﹣a＜0在（0，2]上有解，分離出參數(shù)a，可得x2+x＜a在（0，2]上有解．又因?yàn)槎魏瘮?shù)y＝x2+x在（0，2]上單調(diào)遞增，所以在（0，2]上ymin＞0，所以a＞0，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)a＝2時(shí)，f'(令f′（x）＝0，解得x＝1．因?yàn)閒（x）在區(qū)間[k﹣1，k+1]上不單調(diào)，所以導(dǎo)數(shù)f′（x）在區(qū)間[k﹣1，k+1]上有極值點(diǎn)，則k-1＞0k-1＜1對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)閒（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2]，所以x＝2是f′（x）＝0的一個(gè)根，即22解得：a＝6，故選項(xiàng)D正確．故選：AD．考點(diǎn)04由單調(diào)性比較大小構(gòu)造函數(shù)比較大小(1)一般地，在不等式中若同時(shí)含有f(x)與f′(x)，常需要通過構(gòu)造含f(x)與另一函數(shù)的和、差、積、商的新函數(shù)．(2)再借助導(dǎo)數(shù)探索新函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而求出結(jié)果．【典例13】（2025春?海淀區(qū)校級(jí)期中）下列不等式正確的是（）A．23＞3 B．πe＞eπ C．e3＜3e D．π2【答案】A【分析】根據(jù)題意，設(shè)f（x）=lnxx，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得f（x）在（0，e）上是增函數(shù)，在（e，+∞）上是減函數(shù)．然后運(yùn)用f（【解答】解：設(shè)f（x）=lnxx，x＞0，求導(dǎo)數(shù)得f′（x）因?yàn)?＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0；x＞e時(shí)，f′（x）＜0．所以f（x）在（0，e）上是增函數(shù)，在（e，+∞）上是減函數(shù)．對(duì)于A，由3＜2＜e，可得f（3）＜f（可得2ln3＜3ln2，即ln（3）2＜ln23，所以3＜對(duì)于B，由π＞e，可得f（π）＜f（e），即lnππ可得elnπ＜πl(wèi)ne，即πe＜eπ，故B項(xiàng)不正確；對(duì)于C，根據(jù)3＞e，用類似于B的方法證出e3＞3e，可知C項(xiàng)不正確；對(duì)于D，根據(jù)4＞π，可得f（4）＜f（π），即ln4結(jié)合ln22=所以πl(wèi)n2＜2lnπ，可得2π＜π2，即π2＞2π，故D項(xiàng)不正確．故選：A．【典例14】（2025春?湖北期中）設(shè)a＝3ln1.1，b=0.4，c＝ln1.3，則a，b，A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得a＞c，構(gòu)造函數(shù)f（x）＝3ln（x2+1）﹣2x（x∈R），利用導(dǎo)數(shù)可得x＜3-52時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，進(jìn)而有f(【解答】解：由于1.13＝1.331＞1.3，因此ln1.13＞ln1.3，因此a＞c，設(shè)函數(shù)f（x）＝3ln（x2+1）﹣2x（x∈R），那么導(dǎo)函數(shù)f'(令x2﹣3x+1＝0，得x=3±52，因此當(dāng)x＜3-52即f（x）在(-∞，由于0＜0.1＜那么3ln1.1-20.1＜0，所以a＜b，因此c故選：D．【典例15】（2025?荔灣區(qū)校級(jí)三模）設(shè)f′（x）是函數(shù)f（x）定義在（0，+∞）上的導(dǎo)函數(shù)，滿足x2f′（x）+2xf（x）＝1，則下列不等式一定成立的是（）A．f(e)e2C．f(2)e2＜【答案】C【分析】由已知可知[x2f（x）]′＝1＞0，可知y＝x2f（x）是增函數(shù)，據(jù)此逐項(xiàng)判斷．【解答】解：因?yàn)閤2f′（x）+2xf（x）＝1＞0，所以g（x）＝x2f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，因?yàn)閑＞2，所以e2f（e）＞4f（2），即f(e)同理可知，B錯(cuò)誤；由x2f′（x）+2xf（x）＝1，不妨設(shè)x2f（x）＝x+c，（x＞0），當(dāng)c＝0時(shí)，f（x）=1x，此時(shí)f(e)故選：C．【典例16】（2025春?泉州期中）若1a=π1πb=313A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a(chǎn)＜c＜b【答案】A【分析】根據(jù)題意變形得a=1e=lnee，b=lnππ，c=ln33，構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnxx，x∈（0，+∞），求出【解答】解：∵1a=π同時(shí)取對(duì)數(shù)得ln1a=lnπ1πb=ln313c=lne＝1，∴令f（x）=lnxx，x∈（0，+∞），則f'（x）由f'（x）＝0得x＝e，由f'（x）＞0得0＜x＜e，由f'（x）＜0得x＞e，∴f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，又e＜π，則f（e）＞f（π），即a＞b，又b﹣c=lnπ∵lnπ3-ln3π∵3＞π2＞1，lnπ＞ln3＞lne＝1，∴3lnπ∵y＝ex在R上單調(diào)遞增，∴e3lnπ＞eπ2ln3，即b﹣c∴a＞b＞c．故選：A．考點(diǎn)05極值1．求函數(shù)極值的步驟(1)確定函數(shù)的定義域．(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)．(3)解方程f′(x)＝0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根．(4)列表檢驗(yàn)f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f′(x)在x0處取極大值，如果左負(fù)右正，那么f′(x)在x0處取極小值．2．極值點(diǎn)(1)函數(shù)f(x)在處有極值的必要不充分條件是f′()＝0，極值點(diǎn)是f′()＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是極值點(diǎn)(例如，f′(0)＝0，但x＝0不是極值點(diǎn))．(2)極值反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況，刻畫的是函數(shù)的局部性質(zhì)．極值點(diǎn)是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)，不會(huì)是端點(diǎn)．【典例17】（2025?青州市校級(jí)模擬）已知函數(shù)f（x）＝ax3+3（a2﹣2）x+2在x＝1處取得極大值，則實(shí)數(shù)a的取值為（）A．﹣2或1 B．2或﹣1 C．﹣2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)題意，求得f'（x）＝3ax2+3（a2﹣2），由x＝1是函數(shù)f（x）上的極值，得到f'（1）＝0，求得a＝﹣2或a＝1，分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)的概念，進(jìn)行判斷，即可求解．【解答】解：由f（x）＝ax3+3（a2﹣2）x+2，可得f'（x）＝3ax2+3（a2﹣2），因?yàn)閤＝1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，可得f'（1）＝3a+3（a2﹣2）＝0，即a2+a﹣2＝0，解得a＝﹣2或a＝1，當(dāng)a＝1時(shí)，f'（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），令f（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞1；令f'（x）＜0，解得﹣1＜x＜1，所以f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上單增，在（﹣1，1）單減，此時(shí)，在x＝1處函數(shù)f（x）取得極小值，不符合題意，舍去；當(dāng)a＝﹣2時(shí)，f'（x）＝﹣6x2+6＝﹣6（x+1）（x﹣1），令f′（x）＞0，解得﹣1＜x＜1；令f（x）＜0，解得x＜﹣1或x＞1，所以f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上單減，在區(qū)間（﹣1，1）單增，此時(shí)，在x＝1處函數(shù)f（x）取得極大值，符合題意．綜上可得，實(shí)數(shù)a的值為﹣2．故選：C．【典例18】（2025春?邢臺(tái)期中）已知函數(shù)f（x）＝x3﹣2x2+ax有極值，則a的取值范圍為（）A．（﹣∞，43） B．（34，+∞） C．（﹣∞，43] D．（﹣∞【答案】A【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合根的判別式求解．【解答】解：對(duì)函數(shù)f（x）＝x3﹣2x2+ax求導(dǎo)，可得f'（x）＝3x2﹣4x+a．因?yàn)楹瘮?shù)f（x）有極值，所以f'（x）＝0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，在f'（x）＝3x2﹣4x+a＝0中，Δ＝（﹣4）2﹣4×3×a＞0．不等式（﹣4）2﹣4×3×a＞0，解得a＜所以a的取值范圍是(-∞，故選：A．【典例19】（2025春?贛州校級(jí)期中）函數(shù)f（x）＝ex﹣ax的極值點(diǎn)為x＝1，則實(shí)數(shù)a＝．【答案】e．【分析】先求導(dǎo)函數(shù)，利用極值條件求得a的值．【解答】解：由函數(shù)f（x）＝ex﹣ax，可得f′（x）＝ex﹣a，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的極值點(diǎn)為x＝1，則f′（1）＝e1﹣a＝0，得a＝e，此時(shí)f′（x）＝ex﹣e．當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＜0，x＞1時(shí)，f′（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．f（x）在x＝1處取得極小值，符合題意．故答案為：e．【典例20】（2025春?沈陽期中）已知函數(shù)f（x）＝lnx+a（2﹣x）．（1）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，求曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）當(dāng)f（x）有極大值，且極大值小于3a﹣2時(shí)，求a的取值范圍．【答案】（1）2x﹣y﹣3＝0；（2）（1，+∞）．【分析】（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)斜式方程即可求解切線方程；（2）求導(dǎo)，對(duì)a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)求出極大值，由極大值小于3a﹣2時(shí)，即可求解a的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，f（x）＝lnx﹣2+x，f'(則f′（1）＝2，又f（1）＝﹣1，所以曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y+1＝2（x﹣1），即為2x﹣y﹣3＝0；（2）f'(x)=1x當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，無極值，不符合題意；當(dāng)a＞0時(shí)，0＜x＜1a時(shí)，f'（x）＞0當(dāng)x＞1a時(shí)，f'（x）＜0，f所以x=所以f(因?yàn)閒（x）的極大值小于3a﹣2，所以2a﹣1﹣lna＜3a﹣2，即a+lna﹣1＞0，設(shè)g（x）＝x+lnx﹣1，易知函數(shù)g（x）＝x+lnx﹣1在（0，+∞）上是增函數(shù)，而g（1）＝0，所以由g（a）＜0，得a＞1，即a的取值范圍是（1，+∞）．考點(diǎn)06最值1．求f(x)在[a，b]上的最值的步驟(1)第一步，求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值．(2)第二步，求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)．(3)第三步，將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．2．由函數(shù)最值求參數(shù)(1)求出函數(shù)在給定區(qū)間上的極值及函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值．(2)通過比較它們的大小，判斷出哪個(gè)是最大值，哪個(gè)是最小值．(3)結(jié)合已知求出參數(shù)，進(jìn)而使問題得以解決．【典例21】（2025春?臺(tái)江區(qū)期中）函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）的圖象如圖所示，關(guān)于函數(shù)f（x），下列說法不正確的是（）A．函數(shù)（﹣1，1），（3，+∞）上單調(diào)遞增 B．函數(shù)在（﹣∞，﹣1），（1，3）上單調(diào)遞減 C．函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn) D．函數(shù)有最小值，但是無最大值【答案】C【分析】根據(jù)f′（x）的圖象判斷出f（x）的單調(diào)性、極值點(diǎn)、最值對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案．【解答】解：根據(jù)f′（x）的圖象可知，函數(shù)在（﹣1，1）和（3，+∞）上f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，A選項(xiàng)正確．函數(shù)在（﹣∞，﹣1）和（1，3）上f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，B選項(xiàng)正確．所以f（x）的極小值點(diǎn)為﹣1，3，極大值點(diǎn)為1，C選項(xiàng)錯(cuò)誤．由上述分析可知，函數(shù)的最小值是f（﹣1）和f（3）兩者中較小的一個(gè)，沒有最大值，D選項(xiàng)正確．故選：C．【典例22】（2025春?東莞市期中）函數(shù)f(x)=exA．-e36 B．﹣1 C．e3【答案】C【分析】不含參函數(shù)定區(qū)間求最值，可求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，從而得解．【解答】解：因?yàn)閒(x)=e所以f'(令f′（x）＞0，解得x＞3，令f′（x）＜0，解得2≤x＜3，故f（x）在[2，3）上單調(diào)遞減，在（3，+∞）上單調(diào)遞增，故f(故選：C．【典例23】（2025春?新洲區(qū)期中）已知函數(shù)f(x)=12x+cosx，x∈[﹣1，【答案】π12【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷出單調(diào)性即可求出最值．【解答】解：因?yàn)閒（x）=12x+cosx，x∈[﹣1，所以f′（x）=12-sinx，x∈[﹣1，1]，令f′（x）＝0，可得所以當(dāng)x∈[﹣1，π6]時(shí)，f′（x）＞0，f（x當(dāng)x∈[π6，1]時(shí)，f′（x）＜0，f（x所以f（x）的最大值為f（π6）=故答案為：π12【典例24】（2025春?南崗區(qū)校級(jí)期中）已知函數(shù)f（x）＝x2﹣alnx（a∈R）．（1）討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若a＝1，求f（x）在區(qū)間[1【答案】（1）當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在(0，a2（2）f（x）的最小值為1+ln22，最大值為e【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，分a≤0和a＞0兩種情況，求出函數(shù)單調(diào)性；（2）求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求出最值．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）＝x2﹣alnx的定義域?yàn)椋?，+∞），f'(當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＝0，得x=當(dāng)x∈(0，a2)時(shí)，f′（x）＜0當(dāng)x∈(a2，+∞)時(shí)，f′（x）＞0綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在(0，a2（2）因?yàn)閤＞0，f'(因?yàn)閤∈[12，e]，當(dāng)x∈(12，22)時(shí)，f′（所以函數(shù)f（x）在x∈(12故f（x）在x=22f(12)=14-ln12=14+ln由于14+ln故x∈[12，e]時(shí)，f（x）的最小值為1+考點(diǎn)07導(dǎo)數(shù)綜合求解函數(shù)極值與最值綜合問題(1)求極值、最值時(shí)，要求步驟規(guī)范，含參數(shù)時(shí)，要討論參數(shù)的大小范圍．(2)求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過單調(diào)性和極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值．【典例25】（2025春?海淀區(qū)校級(jí)期中）函數(shù)f（x）＝xex﹣x3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】令f（x）＝0，可得x＝0或ex﹣x2＝0，令g（x）＝ex﹣x2，x∈R，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而可得f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解答】解：f（x）＝xex﹣x3＝x（ex﹣x2），令f（x）＝0，可得x＝0或ex﹣x2＝0，令g（x）＝ex﹣x2，x∈R，則g′（x）＝ex﹣2x，g″（x）＝ex﹣2，當(dāng)x＜ln2時(shí)，g″（x）＜0，g′（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞ln2時(shí)，g″（x）＞0，g′（x）單調(diào)遞增，所以g′（x）≥g′（ln2）＝2﹣2ln2＝2（1﹣ln2）＞0，所以g（x）在R上單調(diào)遞增，又g（﹣1）=1e-1＜0，g（0）＝1所以g（x）在R上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程ex﹣x2＝0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，所以方程f（x）＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)f（x）有2個(gè)零點(diǎn)．故選：B．【典例26】（多選）（2025春?浙江期中）已知函數(shù)y＝ex﹣e﹣1與y＝ln（x+e+1）交于M，N兩點(diǎn)，如圖截取兩函數(shù)在M，N之間部分圖象得到一條封閉曲線τ，則（）A．τ關(guān)于直線y＝﹣x對(duì)稱 B．若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x0，則x0∈（1，2） C．τ上的點(diǎn)到直線y＝x距離的最大值為22eD．A，B是τ上互異的兩點(diǎn)，分別過A，B作τ的切線，斜率記為k1，k2，若k1＝k2，稱（A，B）為τ的一組關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則τ的關(guān)聯(lián)點(diǎn)有無數(shù)組【答案】BCD【分析】由反函數(shù)的性質(zhì)即可判斷A，D；通過賦值法即可判斷B；由點(diǎn)到直線的距離公式及導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性即可判斷C．【解答】解：選項(xiàng)A，由函數(shù)y＝ex﹣e﹣1，得x＝ln（y+e+1），故函數(shù)y＝ex﹣e﹣1與函數(shù)y＝ln（x+e+1）互為反函數(shù)，所以封閉曲線τ關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，當(dāng)x＝1時(shí)，e1﹣e﹣1＝﹣1＜ln（1+e+1）＝ln（2+e），當(dāng)x＝2時(shí)，e2﹣e﹣1＝e（e﹣1）﹣1＞3，ln（2+e+1）＝ln（3+e）＜lne2＝2所以e2﹣e﹣1＞ln（2+e+1），即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x0，且x0∈（1，2），故B選項(xiàng)正確；選項(xiàng)C，設(shè)函數(shù)y＝ex﹣e﹣1上一點(diǎn)P（x1，y1），即y1則點(diǎn)P（x1，y1）到直線y＝x的距離為d=令g（x）＝x﹣ex+e+1，則g′（x）＝1﹣ex，令g′（x）＝0，可得x＝0，當(dāng)x＜0時(shí)，g′（x）＞0，則函數(shù)g（x）在（﹣∞，0）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）＜0，則函數(shù)g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，所以g（x）max＝g（0）＝e，故dmax=|0-選項(xiàng)D，因?yàn)榉忾]曲線τ關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，所以對(duì)任意點(diǎn)A（x2，y2），存在對(duì)稱點(diǎn)B（x3，y3），滿足k1＝k2，故由對(duì)稱性導(dǎo)致存在無數(shù)對(duì)關(guān)聯(lián)點(diǎn)，故D選項(xiàng)正確．故選：BCD．【典例27】（2025春?武漢期中）對(duì)任意x＞1，a＞1，不等式ex﹣（a+1）x+lnx+lna≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】（1，e]．【分析】將已知不等式轉(zhuǎn)化為ex﹣lnex≥ax﹣lnax，令f（x）＝x﹣lnx，其中x＞1，利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，從而不等式轉(zhuǎn)化為ex≥ax，參變量分離可得a≤exx，令g（x）=exx，x＞1，利用導(dǎo)數(shù)求出【解答】解：對(duì)任意x＞1，a＞1，不等式ex﹣（a+1）x+lnx+lna≥0恒成立，等價(jià)于ex﹣x≥ax﹣lna恒成立，即ex﹣lnex≥ax﹣lnax恒成立，令f（x）＝x﹣lnx，其中x＞1，則f′（x）＝1-1x=x-1所以f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以ex﹣lnex