湖南省長沙市明達(dá)教育集團(tuán)2024?2025學(xué)年高三下學(xué)期第十次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若全集，集合，，則集合（

）A． B． C． D．2．歐拉公式把自然對數(shù)的底數(shù)，虛數(shù)單位，三角函數(shù)和聯(lián)系在一起，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)的天橋”．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B．1 C． D．23．如圖，，，，且，直線，過三點(diǎn)的平面記作，則與的交線必經(jīng)過（

）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn)但不過點(diǎn) D．點(diǎn)和點(diǎn)4．某學(xué)校舉行運(yùn)動會，該校高二年級2班有甲、乙、丙、丁四位同學(xué)將參加跳高、跳遠(yuǎn)、100米三個項(xiàng)目的比賽，每人只能參加一個項(xiàng)目，每個項(xiàng)目至少有一個人參加，若甲、乙兩人不能參加同一項(xiàng)目的比賽，則不同參賽方案總數(shù)為（

）A．24 B．30 C．32 D．365．如圖，已知等腰中，，，點(diǎn)是邊上的動點(diǎn)，則（

）A．為定值10 B．為定值6C．最大值為18 D．與P的位置有關(guān)6．在中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若，，則該三角形的外接圓直徑為（

）A．14 B．7 C． D．7．已知函數(shù)，.若，，.則下列關(guān)系式正確的是（

）A． B． C． D．8．已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，以線段為直徑的圓與雙曲線及其漸近線在第一象限分別交于兩點(diǎn)，若兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之比是，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．甲盒子中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙盒子中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲盒子中隨機(jī)取出一球放入乙盒子，分別以，和表示由甲盒子取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙盒子中隨機(jī)取出一球，以表示由乙盒子取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是（）A．，，是兩兩互斥的事件 B．C．事件與事件相互獨(dú)立 D．10．已知等邊的邊長為6，分別為邊的中點(diǎn)，將沿折起至，在四棱錐中，下列說法正確的是（

）A．直線平面B．當(dāng)四棱錐體積最大時，平面平面C．在折起過程中存在某個位置使平面D．當(dāng)四棱錐體積最大時，它的各頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為11．對于函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為B．C．若方程有6個不等實(shí)數(shù)根，則D．對任意正實(shí)數(shù)，且，若，則三、填空題12．在的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.13．已知函數(shù)，，當(dāng)時，取得最值，且當(dāng)時，單調(diào)遞增，則在上的零點(diǎn)個數(shù)為．14．過點(diǎn)的直線與拋物線的一個交點(diǎn)是，與軸交于點(diǎn)，且，為拋物線上一動點(diǎn)，則的最小值是.四、解答題15．已知等差數(shù)列的公差為2，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和，求使成立的最大正整數(shù)的值.16．如圖，P為圓錐的頂點(diǎn)，為底面圓O的直徑，C為圓周上一點(diǎn)，D為劣弧的中點(diǎn)，.

（1）求證：；（2）E在線段上且，當(dāng)平面時，求平面與平面夾角的余弦值.17．已知雙曲線，直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，直線與雙曲線交于，兩點(diǎn).（1）若直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且直線，的斜率，均存在，求；（2）設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，且，證明：直線與直線的斜率之和為0.18．已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)無極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若為函數(shù)的極小值點(diǎn)，證明：.19．某企業(yè)生產(chǎn)一種零部件，其質(zhì)量指標(biāo)介于的為優(yōu)品.技術(shù)改造前，該企業(yè)生產(chǎn)的該種零部件質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布；技術(shù)改造后，該企業(yè)生產(chǎn)的同種零部件質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布.附：若，取，.（1）求該企業(yè)生產(chǎn)的這種零部件技術(shù)改造后的優(yōu)品率與技術(shù)改造前的優(yōu)品率之差；（2）若該零件生產(chǎn)的控制系統(tǒng)中每個元件正常工作的概率都是，各個元件能否正常工作相互獨(dú)立，如果系統(tǒng)中有超過一半的元件正常工作，系統(tǒng)就能正常工作.

系統(tǒng)正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠性.①若控制系統(tǒng)原有個元件，計(jì)算該系統(tǒng)的可靠性，并判斷若給該系統(tǒng)增加一個元件，可靠性是否提高？②假設(shè)該系統(tǒng)配置有個元件，若再增加一個元件，是否一定會提高系統(tǒng)的可靠性？請給出你的結(jié)論并證明.

參考答案1．【答案】D【詳解】A：若，則，所以，與矛盾，故A錯誤；B：若，則，所以，與矛盾，故B錯誤；C：若，則，由，得，所以，與矛盾，故C錯誤；D：若，則，由，得，所以，故D正確.故選D2．【答案】D【詳解】由題意知，得，即，解得：，則的虛部為2．故選D．3．【答案】D【詳解】∵直線，過三點(diǎn)的平面記作，，∴與的交線必通過點(diǎn)和點(diǎn)，故選D．4．【答案】B【詳解】對甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分成3組，則三組各有位同學(xué)，共有種，又因?yàn)榧?、乙兩人不能參加同一?xiàng)目的比賽，且甲乙在一組時僅有1種分法，則共有種分組方法，所以不同的參賽方案共有種.故選B5．【答案】A【詳解】設(shè)，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合平面向量的加法的幾何意義、余弦定理、平面向量的數(shù)量積的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè).，因?yàn)?，，所?故選A6．【答案】D【詳解】由已知，，由正弦定理可得：，化簡得：，所以，又因?yàn)橹?，，所以，所以，設(shè)三角形的外接圓半徑為，由正弦定理可得：，所以該三角形的外接圓直徑為.故選D.7．【答案】A【詳解】∵，∴，又在上為增函數(shù)，∴，即.又，故.故選A.8．【答案】C【詳解】作軸，垂足為軸，垂足為，設(shè)，，則，由漸近線的方程可知，在中，，解得，由已知得，即，即，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，代入雙曲線方程可得，化簡得，即，由解得，故選C9．【答案】AD【詳解】A選項(xiàng)，根據(jù)題意，，，故有互斥事件的定義可得兩兩互斥，故A正確.BD選項(xiàng)，，又，故D正確，故，故B錯誤.C選項(xiàng)，，故，所以事件與事件不相互獨(dú)立，故C錯誤，故選AD10．【答案】AB【詳解】A：因?yàn)?，平面，平面，所以直線平面，故A正確；B：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，設(shè)為的中點(diǎn)，延長交于，因?yàn)?，，面，則平面，過作于，因?yàn)槊?，所以，又，面，所以面，顯然，又易知梯形的面積為定值，所以當(dāng)面時，的體積最大，又面，所以平面，故B正確；對于C，如圖，若BN⊥平面，由平面，則，又，，面，則平面，又平面，所以,又，平面，所以平面，這顯然不可能，故C錯誤；D：當(dāng)四棱體積最大時，二面角為直二面角，如圖，由，取的中點(diǎn)E，設(shè)F是外心，則E是等腰梯形外接圓圓心．作平面，OF平面，則是四棱錐的外接球的球心，且，由，得，設(shè)四棱錐的外接球半徑，則，所以球表面積是，故D錯誤.故選AB11．【答案】BCD【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，對于A，由可得或，由可得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，故A錯誤；對于B，由A得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因，，故，即B正確；對于C，易知為偶函數(shù)，當(dāng)時，，由A項(xiàng)知，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和，增區(qū)間為.又當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，時，，故函數(shù)的圖象如圖所示.

由圖可得，直線與函數(shù)有6個不同交點(diǎn)，等價于，故C正確；對于D，由圖，不妨設(shè)，由可得，即，不妨取，設(shè)，則，則當(dāng)時，，故，在上單調(diào)遞增，又，又，，即.因，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，因，故得，即，故D正確.故選：BCD.12．【答案】【詳解】由二項(xiàng)式通項(xiàng)知：，∴當(dāng)時，有常數(shù)項(xiàng)為.13．【答案】4【詳解】當(dāng)時，取得最值，且當(dāng)時，單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取得最小值，設(shè)的最小正周期為，則，解得，故，解得，又，故，又，所以，①，，②聯(lián)立①②得，，故，，則，故或0或或，解得或或或，故在上的零點(diǎn)個數(shù)為4.14．【答案】【詳解】由題意，設(shè)，，不妨設(shè)，因?yàn)?，可得點(diǎn)為的中點(diǎn)，由中點(diǎn)公式可得，解得，又由拋物線，可得，解得，即，此時，解得，即，所以，所以，又由，所以，所以當(dāng)時，，取得最小值.15．【答案】⑴，；⑵【詳解】（1）由題意知，，即，解得，故，．（2）由，得，，由，解得．故所求的最大正整數(shù)為5．16．【答案】（1）證明見解析（2）【詳解】（1）

證明：如圖，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，故，，平面，所以平面，平面，則.（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，設(shè)，則，設(shè)，則因?yàn)?，，設(shè)平面的法向量為由，可取，又因?yàn)槠矫?，所以，即得，于是，，則，所以，又，設(shè)平面的法向量為，則，可取，又平面的一個法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.17．【答案】（1）1（2）證明見解析【詳解】（1）當(dāng)直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時，，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱.設(shè)，，，于是，.因?yàn)?，，三點(diǎn)都在雙曲線，所以，兩式作差，，所以.（2）已知，由題意可知均有斜率，可設(shè)直線，直線，，，，.，.聯(lián)立直線方程與雙曲線的方程：.整理得，，當(dāng)時，.，.于是，同理可得，.因?yàn)?，所以整理得，，而，所?18．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【詳解】（1），，又，在點(diǎn)處的切線方程為：.（2）由題意知：的定義域?yàn)?，若函?shù)無極值點(diǎn)，在上單調(diào)，或在上恒成立；，在上恒成立，，，解得：；下面證明充分性：當(dāng)時，，又，，，令，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，又，為定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，，，在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，充分性成立；綜上所述：.（3）由（2）可得：當(dāng)時，函數(shù)無極值點(diǎn).當(dāng)時，令，則，當(dāng)時，，又，為定義在上的奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，，，使得，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)，且滿足.下證：.令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，即，在單調(diào)遞增，，即又，，又，，即，，即，，又，.19．【答案】（1）（2）①可靠性為，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高；②當(dāng)為奇數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會下降；當(dāng)為偶數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高.【詳解】（1）技術(shù)改造前，易知，，則其優(yōu)品率為；技術(shù)改造后，，，則其優(yōu)品率為.所以優(yōu)品率之差為.（2）①記為原系統(tǒng)中正常工作元件個數(shù)，為增加一個元件后正常工作元件個數(shù).由條件知，，.，.因?yàn)?，所以可靠性提?②方法一：根據(jù)上一問的假設(shè)，易知，.當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，原系統(tǒng)的可靠性為，新系統(tǒng)的可靠性為，由題意可知，.所以，，這說明可靠性降低.當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)，原系統(tǒng)的可靠性為，新系統(tǒng)的可靠性為，由題意可知，.所以，，這說明可靠性提高.綜上，當(dāng)為奇數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會下降；當(dāng)為偶數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高.方法二：當(dāng)為奇數(shù)時，設(shè)，原系統(tǒng)的可靠性為，新系統(tǒng)的可靠性為，由題意可知，于是，，這說明可靠性降低.當(dāng)為偶數(shù)時，設(shè)，原系統(tǒng)的可靠性為，新系統(tǒng)的可靠性為，由題意可知，于是，.這說明可靠性提高.綜上，當(dāng)為奇數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會下降；當(dāng)為偶數(shù)時，增加一個元件后系統(tǒng)的可靠性會提高.方法三