安溪一中、養(yǎng)正中學(xué)、惠安一中、泉州實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025年高三年高考模擬訓(xùn)練學(xué)科：數(shù)學(xué)滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C.2 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算先計(jì)算復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求解.詳解】，，．故選：B．2.函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)定義域，再利用單調(diào)性求出值域.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，又與在上均單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，，故的值域?yàn)?故選：D.3.已知集合，則使得“且”成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】當(dāng)且時(shí)求出的取值范圍，然后根據(jù)充分不必要條件的定義可求出答案.【詳解】由題可知且，解得，所以使得“且”成立的一個(gè)充分不必要條件是集合的一個(gè)真子集，因?yàn)橹挥羞x項(xiàng)A中的是的真子集，故選：A4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二倍角的余弦公式結(jié)合誘導(dǎo)公式求值.【詳解】因?yàn)?，又，所?故選：A5.如圖是一個(gè)圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若，，則該圓臺的內(nèi)切球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用已知條件求得圓臺的底面半徑長，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求得圓臺的高，即內(nèi)切球的直徑，最終利用球體體積公式求解即可.【詳解】，，故，，故圓臺上底面半徑：下底面半徑：如圖，取圓臺的軸截面，則圓臺的高：，則該圓臺的內(nèi)切球的半徑：故內(nèi)切球表面積：故選：D6.某人工智能公司為優(yōu)化新開發(fā)的語言模型，在其模型試用人群中開展?jié)M意度問卷調(diào)查，滿意度采用計(jì)分制（滿分100分），統(tǒng)計(jì)滿意度并繪制成如下頻率分布直方圖，圖中，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.滿意度計(jì)分的眾數(shù)約為75分C.滿意度計(jì)分的平均分約為79分 D.滿意度計(jì)分的第一四分位數(shù)約為70分【答案】C【解析】【分析】由頻率分布直方圖的面積和為1可得A正確；由頻率分布直方圖計(jì)算眾數(shù)，平均數(shù)，第一四分位數(shù)可得B正確，C錯誤，D正確.【詳解】對于A，由頻率分布直方圖可得，又，解得，故A正確；對于B，由頻率分布直方圖可得，滿意度計(jì)分的眾數(shù)為最高矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)75分，故B正確；對于C，滿意度計(jì)分的平均分約為，故C錯誤；對于D，前兩組的頻率之和為，所以滿意度計(jì)分的第一四分位數(shù)約為70分，故D正確.故選：C7.在中，，為邊上一點(diǎn)，滿足，以為焦點(diǎn)作一個(gè)橢圓，若經(jīng)過兩點(diǎn)，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用橢圓的定義，結(jié)合余弦定理、橢圓的離心率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，，則，，設(shè)該橢圓長半軸長為，由橢圓的定義可知：，解得所以，，，在中，顯然有，所以，設(shè)，由余弦定理可知：，即解得因此橢圓的焦距為，所以橢圓的離心率為：.故選：C.8.如圖，在四棱錐中，已知：平面，，，，已知是四邊形內(nèi)部一點(diǎn)（包括邊界），且二面角的平面角大小為，則線段AQ長度的最小值是（

）A. B.2 C. D.4【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)兩兩垂直建立空間直角坐標(biāo)系，然后得到各點(diǎn)的坐標(biāo)，再應(yīng)用二面角的空間向量解法得到參數(shù)的關(guān)系式，最后求出的表達(dá)式即可得解.【詳解】以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)橐阎撬倪呅蝺?nèi)部一點(diǎn)，所以設(shè)，其中且（即點(diǎn)在平面內(nèi)部），則，因?yàn)檩S平面，所以平面的法向量可取，又因?yàn)椋O(shè)平面的法向量為，則，即，由題易得，令，則，所以，因?yàn)槎娼堑钠矫娼谴笮椋?，即，解得，所以，?dāng)時(shí)，，所以線段AQ長度的最小值是.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知隨機(jī)變量的分布列為012則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)概率之和為1可得，即可根據(jù)期望以及方差的計(jì)算公式以及性質(zhì)即可逐一求解.【詳解】由，得，A正確.，B不正確，C正確.，D正確.故選：ACD10.設(shè)函數(shù)，則（）A.一定有兩個(gè)極值點(diǎn)B.若，則或C.過點(diǎn)作曲線的切線有且僅有一條D.當(dāng)時(shí)，【答案】AB【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)判斷A；由求判斷B；利用導(dǎo)數(shù)幾何意義得到處的切線也過，結(jié)合處切線判斷C；根據(jù)解析式得，利用對稱性求函數(shù)值判斷D.【詳解】由題設(shè)，當(dāng)或時(shí)，，則在、上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，所以分別為極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)，A對；由，令，則，所以或，故對于，則或，B對；由且，則處的切線為，過，由，則處的切線過，所以過的切線至少有兩條，C錯；由，，所以，故，D錯.故選：AB11.帕多瓦數(shù)列是與斐波那契數(shù)列相似的又一著名數(shù)列，在數(shù)學(xué)上，帕多瓦數(shù)列被以下遞推的方法定義：數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足：，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C.是偶數(shù) D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)遞推關(guān)系寫出前8項(xiàng)并求判斷A、B；列舉出相關(guān)項(xiàng)判斷的奇偶性及數(shù)列的周期性，并得到相關(guān)遞推關(guān)系判斷C、D.【詳解】由題設(shè)，，，，故A錯誤；由上分析，，故B正確；由知：*表示奇數(shù)，@表示偶數(shù)，如下表，111223457912162128***@@*@***@@*@……顯然，該數(shù)列奇偶數(shù)出現(xiàn)以7為周期，一個(gè)周期內(nèi)下標(biāo)從小到大對應(yīng)項(xiàng)依次出現(xiàn)3個(gè)奇數(shù)，2個(gè)偶數(shù)，1個(gè)奇數(shù)，1個(gè)偶數(shù)，而，故是奇數(shù)，故C錯誤；由，，，…，，且，,所以，又，故，故D正確．故選：BD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知拋物線上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為5，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則_____________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)拋物線的定義求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心坐標(biāo)和半徑，最后根據(jù)切線的性質(zhì)，利用勾股定理求值.【詳解】在拋物線中，，則，所以焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程．設(shè)點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義，可得，解得．把代入，得，因?yàn)椋?，即．圓，圓心為，半徑，故．故答案為：．13.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，的圖象與軸交于點(diǎn)C，且，，，則____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)B、D點(diǎn)橫坐標(biāo)可確定周期得出，再把代入可求的值，利用得到A即可求解.【詳解】由題干圖象可知，則，所以，所以，由，得，，即，，因?yàn)?，所以，則．又，則，又，，，解得（負(fù)根舍去），所以，所以．故答案：.14.已知，，（為自然常數(shù)）且，則的最大值為________．【答案】【解析】【分析】，令，由已知可得，進(jìn)而可得，利用基本不等式可求得，進(jìn)而計(jì)算可求得的最大值.【詳解】，令，則，因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號成立，所以，所以，即的最大值是．故答案為：．四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取80名學(xué)生．通過測試得到了如下表數(shù)據(jù)：學(xué)校數(shù)學(xué)成績合計(jì)不優(yōu)秀優(yōu)秀甲校301040乙校202040合計(jì)503080（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間是否存在差異；如果表中所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來的10倍．在相同的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷學(xué)校和數(shù)學(xué)成績之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論還一樣嗎？請你試著解釋其中的原因．（2）據(jù)調(diào)查，丙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率為30%，將頻率視為概率，現(xiàn)根據(jù)甲、乙、丙三所學(xué)?？?cè)藬?shù)比例分別抽取了24人，30人，30人進(jìn)行調(diào)查訪談．從這84人中任意抽取一名學(xué)生，求抽到數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀學(xué)生的概率．附：，其中．α0.10.050.010.0050.001xα2.70638416.6357.87910.828【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）由卡方公式進(jìn)行求解即可；（2）利用全概率公式、條件概率公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】零假設(shè)：兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間沒有差異，因?yàn)?，依?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分的理由推斷不成立，所以認(rèn)兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間沒有差異．所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大10倍后：．這時(shí)兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間有關(guān)系，所以相同的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷學(xué)校和數(shù)學(xué)成績之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論不一樣，主要是因?yàn)闃颖救萘康牟煌挥挟?dāng)樣本容量越大時(shí)，用樣本估計(jì)總體的準(zhǔn)確性會越高．【小問2詳解】抽取甲、乙、丙三所學(xué)校優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)分別為：，記分別為事件“抽到的學(xué)生來自甲、乙、丙學(xué)?！保瑸槭录俺榈揭幻麅?yōu)秀學(xué)生”，則，，所以抽到數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀學(xué)生的概率．16.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求；（2）如圖所示，為外一點(diǎn)，，，，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和兩角和與差的正弦公式即可求解；（2）令，，在和中分別利用正弦定理即可求解.【小問1詳解】，在中，由正弦定理得，，由，，即，，，，即，又，，即.【小問2詳解】因?yàn)椋?，，在中，由正弦定理得，，，在中，由正弦定理得，，因?yàn)椋?，，，解得，即?7.已知直三棱柱中，，分別為和的中點(diǎn)，P為棱上的動點(diǎn)，F(xiàn)為棱上一點(diǎn)，且四點(diǎn)共面.若（1）證明：平面平面；（2）設(shè)是否存在實(shí)數(shù)λ，使得平面與平面所成的角的余弦值為若存在，求出實(shí)數(shù)λ，若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在【解析】【分析】（1）先證明．結(jié)合可得平面，從而得平面平面；（2）分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求出的法向量，根據(jù)平面與平面所成的角的余弦值為列方程，判斷方程是否有解即可.【小問1詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫驗(yàn)槠矫?，平面平面，所以．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故為的中點(diǎn)．在正方形，因?yàn)?，故．所以．因?yàn)椋?，故．因?yàn)?，故平面，所以平面．因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫拘?詳解】因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，故．因?yàn)槠矫妫云矫?，平面，所以，故．又因?yàn)槠矫?，故以A為原點(diǎn)，分別為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)則，．據(jù)題設(shè)有，顯然，此時(shí)．設(shè)為平面的法向量，則．則，令，從而．顯然，平面的法向量可?。藭r(shí)平面與平面所成的角的余弦值為故，即，解得，所以存在，使得平面與平面所成的角的余弦值為．18.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，離心率為．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)的右頂點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與的右支交于兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，證明：為定值；（3）已知點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，直線：是在點(diǎn)處的切線，點(diǎn)是上異于點(diǎn)的動點(diǎn)，且過點(diǎn)與（為坐標(biāo)原點(diǎn)）平行的直線交于兩點(diǎn)，定義為雙曲線在點(diǎn)處的切割比，記為，求切割比．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線右焦點(diǎn)坐標(biāo)得出的值，再結(jié)合離心率公式求出的值，進(jìn)而求出的值，得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到兩根之和與兩根之積，進(jìn)而求出兩條直線斜率之積.

（3）先求出雙曲線在點(diǎn)處的切線方程以及直線的斜率，設(shè)出直線的方程，通過聯(lián)立方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到，再聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達(dá)定理求出，最后求出的值.【小問1詳解】因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)為，所以，所以的離心率為，所以，，故的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】由（1）知，由題意知的斜率不為0，設(shè)的方程為，，，聯(lián)立方程，得，得，所以，，，所以．【小問3詳解】由題意知，所以在點(diǎn)處的切線方程為．易知直線的斜率，可設(shè)直線的方程為，，．由方程組，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以．由方程組，消去可得，則，所以，，所以，同理可得，所以，所以，即．19.已知定義在I上的連續(xù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對同時(shí)滿足下列條件的數(shù)列稱為“相關(guān)數(shù)列”：①；②．（1）若，數(shù)列是“相關(guān)數(shù)列”，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列是“相關(guān)數(shù)列”，證明：是遞減數(shù)列；（3）若，數(shù)列是“相關(guān)數(shù)列”，且，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)“相關(guān)數(shù)列定義再由等比數(shù)列概念可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由數(shù)列是“相關(guān)數(shù)列”，可得，結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)，可證明是遞減數(shù)列；（3）構(gòu)造函數(shù)并結(jié)合“相關(guān)數(shù)列”定義判斷出函數(shù)的單調(diào)性，可證明，再由函數(shù)的單調(diào)性可證明得出結(jié)論.【小問1詳解】由，得的定義域?yàn)椋?，由?shù)列是“相關(guān)數(shù)列”，得，且，所以，所以，又，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，故，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【小問2詳解】證明：因?yàn)椋缘亩x域?yàn)?，且，因?yàn)閿?shù)列是“相關(guān)數(shù)列”，所以，則，當(dāng)時(shí)，易證，所以，因?yàn)?，所以，所以，同理可得．要證是遞減數(shù)列，需證，即證，只需證，即證．令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，又，所以，故是遞減數(shù)列．【小問3詳解】證明：當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，成立．當(dāng)時(shí)，只需證，設(shè)為數(shù)列