高三年級(jí)第三次練兵考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的運(yùn)算求解即可.【詳解】依題意可知，所以，故選：A2.曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線(xiàn)斜率與切線(xiàn)方程.【詳解】由已知，則，即切線(xiàn)斜率，又，所以切線(xiàn)方程為，即，故選：D.3.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解三角不等式求出集合再求交集可得答案.【詳解】，因，則.故選：B.4.展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（）A.20 B.15 C. D.【答案】D【解析】【分析】寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再令得，再代入通項(xiàng)公式即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為.故選：D5.已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦定理，由角化邊，得到，再根據(jù)余弦定理求出.【詳解】根據(jù)已知條件，得，，，,故選：C.6.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為，若，且點(diǎn)在直線(xiàn)上，則直線(xiàn)的斜率為（）A.或 B.或 C.1或 D.或【答案】B【解析】【分析】由題意得，準(zhǔn)線(xiàn)為，設(shè)，由題意得點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在直線(xiàn)上，由斜率公式求出，得到直線(xiàn)的斜率即可.【詳解】由題意，，準(zhǔn)線(xiàn)為，設(shè)，則，由于，則為的中點(diǎn)，即，又點(diǎn)在直線(xiàn)上，則，解得，則.故選：B.7.若為函數(shù)的零點(diǎn)，則（）A.0 B.1 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)可得在上無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由，可得，即，兩邊取對(duì)數(shù)可得結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，令，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以在上無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，。令，得，得，即，因?yàn)闉楹瘮?shù)的零點(diǎn)，則，兩邊取對(duì)數(shù)得，所以.故選：C.8.在平面四邊形中，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，將該四邊形沿對(duì)角線(xiàn)折成四面體，在折起的過(guò)程中，四面體的外接球體積最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】因?yàn)槭且渣c(diǎn)為直角頂點(diǎn)直角三角形，所以的外接圓圓心是的中點(diǎn)，所以外接球的球心與中點(diǎn)的連線(xiàn)垂直面,再使用余弦定理列出方程，根據(jù)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中角的范圍，求出外接球半徑的范圍，得出答案.【詳解】如圖，設(shè)三棱錐的外接球球心為，取的中點(diǎn),連接，因?yàn)槭且渣c(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，所以的外接圓圓心是點(diǎn)，則由球的性質(zhì)可知，平面，設(shè)外接球半徑為,是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,,在中勾股定理可知,則在中利用余弦定理可得，,，則，得，所以的最小值為1，外接球體積最小值為.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞增B.在區(qū)間上的最大值為1C.直線(xiàn)是曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象上方【答案】BD【解析】【分析】先根據(jù)對(duì)稱(chēng)中心求出函數(shù)解析式，結(jié)合選項(xiàng)余弦函數(shù)的單調(diào)性及值域?qū)ΨQ(chēng)軸逐個(gè)驗(yàn)證即可.【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以，即，；因?yàn)?，所以，?令，由可得，因?yàn)?，所以函?shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，故A不正確；令，由可得，所以，所以當(dāng)，故B正確，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)不是曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，故C不正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，所以，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象上方，故D正確.故選：BD.10.有一組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，設(shè)．由這組數(shù)據(jù)得到新成對(duì)樣本數(shù)據(jù)．利用一元線(xiàn)性回歸模型，根據(jù)最小二乘法，下列結(jié)論一定正確的是（）附：經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：．相關(guān)系數(shù)，決定系數(shù)（其中）．A.兩條經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)都過(guò)點(diǎn) B.兩條經(jīng)驗(yàn)回歸直線(xiàn)的截距相同C.兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)相同 D.兩組數(shù)據(jù)的決定系數(shù)相同【答案】CD【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)回歸直線(xiàn)經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)，求出新成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)判斷；對(duì)B，利用公式求出回歸直線(xiàn)的截距判斷；對(duì)C，利用公式求新成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)比較即可；對(duì)D，利用公式求新成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的決定系數(shù)，可以作出判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，所以新成?duì)樣本數(shù)據(jù)過(guò)點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以新成?duì)樣本數(shù)據(jù)的回歸直線(xiàn)的截距為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)樾鲁蓪?duì)樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)，所以?xún)山M數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)相同，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)樾鲁蓪?duì)樣本數(shù)據(jù)的決定系數(shù)，，其中，，所以，所以?xún)山M數(shù)據(jù)的決定系數(shù)相同，故D正確.故選：CD.11.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，射線(xiàn)從軸的非負(fù)半軸開(kāi)始，繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，終止位置為．定義：，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】先求出直線(xiàn)與曲線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合各選項(xiàng)一一計(jì)算即可得出答案.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，射線(xiàn)從軸的非負(fù)半軸開(kāi)始，繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，直線(xiàn)為，此時(shí)曲線(xiàn)與的交點(diǎn)為，所以，，故A正確.對(duì)于B，射線(xiàn)從軸的非負(fù)半軸開(kāi)始，繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角，此時(shí)，，射線(xiàn)旋轉(zhuǎn)后，此時(shí)，，所以，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，①，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)②，將①代入②可得：，所以，所以，要證明，即證明，即證明：，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，故C正確.對(duì)于D，當(dāng)，此時(shí)，③，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)為②，把③代入②可得：，所以，所以，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，④，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)為②，把④代入②可得：，所以，所以，要證，即證，因?yàn)?，所以，即證：，取，，因?yàn)?，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，，共15分．12.已知向量，若向量與垂直，則____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，故答案為?3.陳嘉豪發(fā)現(xiàn)，《九章算術(shù)》中，稱(chēng)底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽(yáng)馬．已知長(zhǎng)方體，若陽(yáng)馬以該長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，則這樣的陽(yáng)馬的個(gè)數(shù)是____________（用數(shù)字作答）．【答案】24【解析】【分析】要確定以長(zhǎng)方體頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的陽(yáng)馬個(gè)數(shù)，需要考慮長(zhǎng)方體的面與頂點(diǎn)的關(guān)系，通過(guò)分析每個(gè)面作為陽(yáng)馬底面的情況來(lái)計(jì)算總數(shù).【詳解】長(zhǎng)方體有6個(gè)面.以其中一個(gè)面為底面，比如底面.當(dāng)以底面為陽(yáng)馬的底面時(shí)，從頂點(diǎn)中任選一個(gè)頂點(diǎn)作為垂直于底面的側(cè)棱的頂點(diǎn)，都可以構(gòu)成1個(gè)陽(yáng)馬，這樣就有4個(gè)陽(yáng)馬.因?yàn)殚L(zhǎng)方體有6個(gè)面，每個(gè)面都可以像底面這樣構(gòu)成4個(gè)陽(yáng)馬.所以陽(yáng)馬的總個(gè)數(shù)為.故答案為：24.14.已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，其左、右頂點(diǎn)分別為，過(guò)且與軸垂直的直線(xiàn)交于兩點(diǎn)，直線(xiàn)與交于點(diǎn)，若與的面積相等，則的離心率為_(kāi)___________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)方程和焦點(diǎn)位置，確定右頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)以及直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出直線(xiàn)和的方程，聯(lián)立求解交點(diǎn)Q的坐標(biāo)，由面積相等條件列出方程，最終求出離心率.【詳解】雙曲線(xiàn)左頂點(diǎn)，右頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)（其中，將代入雙曲線(xiàn)方程可得，解得，不妨設(shè)和，直線(xiàn)的斜率為，其方程為：，同理可得直線(xiàn)的方程為：，直線(xiàn)的方程為：，即直線(xiàn)一般式方程為，聯(lián)立直線(xiàn)與直線(xiàn)，解得：，即，因?yàn)榕c的面積相等，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，即：，因?yàn)椋曰?jiǎn)得，即，故答案為：2四、解答題：本題共5小題，共7分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，滿(mǎn)足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)的前項(xiàng)和為，若，求的最大值．【答案】（1）（2）最大值為5．【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式寫(xiě)出表達(dá)式，再結(jié)合這個(gè)條件，代入與表達(dá)式，通過(guò)等式計(jì)算求出首項(xiàng)，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式.也可令，利用和公差求出.（2）先由第一問(wèn)得到的通項(xiàng)公式，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出.再結(jié)合列出不等式，將其轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，求解不等式得到的取值范圍，最后根據(jù)取值范圍確定的最大值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閿?shù)列是公差為2的等差數(shù)列，所以，由可得，解得，所以的通項(xiàng)公式為．【小問(wèn)2詳解】由（1）得，由得，即，解得，由于，所以，所以的最大值為5．16.某校組織學(xué)生參觀中國(guó)船政文化博物館，并抽取20個(gè)學(xué)生進(jìn)行船政文化知識(shí)競(jìng)賽，成績(jī)?nèi)缦拢?3，79，76，92，63，63，65，77，66，68，72，67，73，57，66，85，87，79，90，61．（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求成績(jī)的上四分位數(shù)（說(shuō)明：上四分位數(shù)即第75百分位數(shù)）；（2）在大于70分的成績(jī)中隨機(jī)抽取2個(gè)，設(shè)表示抽取的2個(gè)成績(jī)中大于上四分位數(shù)的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）79（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）先把20個(gè)成績(jī)按從小到大排序，再根據(jù)上四分位數(shù)定義求解即可；（2）列出的所有可能取值，再根據(jù)超幾何分布的概率公式求得對(duì)應(yīng)概率即可得到分布列，進(jìn)而可求得數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)1詳解】把20個(gè)成績(jī)按從小到大排序，可得53，57，61，63，63，65，66，66，67，68，72，73，76，77，79，79，85，87，90，92．由，可知成績(jī)的上四分位數(shù)為第15個(gè)成績(jī)與第16個(gè)成績(jī)的平均數(shù)，即；【小問(wèn)2詳解】由數(shù)據(jù)可知，成績(jī)大于70分的有10個(gè)，大于上四分位數(shù)79的成績(jī)有4個(gè)，根據(jù)題意，的所有可能取值為0，1，2，，則的分布列為012所以的數(shù)學(xué)期望．17.如圖，在三棱柱中，平面，的中點(diǎn)為，．（1）證明：平面；（2）在平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)在以為圓心，為半徑的劣弧上（不含端點(diǎn)），若直線(xiàn)與平面所成的角為，證明：三點(diǎn)共線(xiàn)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）法1，連結(jié)與交于點(diǎn)，可得，根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理得證；法2，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法證明；法3，設(shè)中點(diǎn)為，可證平面，平面，進(jìn)而得到平面平面，得證；（2）法1，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用與平面所成的角為，結(jié)合向量法求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而確定的關(guān)系，得證；法2，設(shè)，解法同1；法3，設(shè)平面平面，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，可得為與平面所成角，利用已知條件求解得證.【小問(wèn)1詳解】解法一：連結(jié)與交于點(diǎn)，連結(jié)．因?yàn)辄c(diǎn)為與的交點(diǎn)，所以點(diǎn)為中點(diǎn)，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．解法二：以為坐?biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，．設(shè)平面的法向量為，則，即，可?。?yàn)?，平面，所以平面．解法三：設(shè)中點(diǎn)為，連結(jié)、、，則且．因?yàn)榍?，所以且，四邊形是平行四邊形，所以．因?yàn)?、分別為、中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以．因?yàn)椋矫?，所以平面，同理平面，又因?yàn)?，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面．【小?wèn)2詳解】法1，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，．設(shè)平面的法向量為，則，即，可?。?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在以為圓心，為半徑的劣弧上（不含端點(diǎn)），所以可設(shè)，則，由于與平面所成的角為，所以，所以，所以，即，解得，所以，故三點(diǎn)共線(xiàn)．法2，前面同上，設(shè)平面的法向量為，則即可?。?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在以為圓心，為半徑的劣弧上（不含端點(diǎn)），所以可設(shè)，則，因?yàn)榕c平面所成的角為，所以，所以，化簡(jiǎn)得，即，得或．因?yàn)椴怀闪ⅲ煽傻?，從而，得，所以，故三點(diǎn)共線(xiàn)．法3，設(shè)平面平面，則．過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)．因?yàn)椋矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，所以．因?yàn)槠矫嫫矫?，所?又因?yàn)?，所以平面，為斜線(xiàn)在平面上的射影，為與平面所成角，則．在中，，所以．因?yàn)椋?，設(shè)，則，設(shè)劣弧上（不含端點(diǎn)）時(shí)，，，所以，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去）．當(dāng)點(diǎn)在上（不含端點(diǎn)）時(shí)，，，所以，化簡(jiǎn)得，解得或，均舍去．綜上，得，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，故三點(diǎn)共線(xiàn)．18.已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其左右焦點(diǎn)分別為．（1）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，若，求直線(xiàn)的方程；（2）直線(xiàn)過(guò)右焦點(diǎn)，且它們的斜率乘積為，設(shè)分別與橢圓交于點(diǎn)和．若分別是線(xiàn)段和的中點(diǎn)，證直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求面積的最大值．【答案】（1）或（2）證明見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）設(shè)直線(xiàn)的方程為，，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程得，再由，即，最后代入即可求解；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，則直線(xiàn)的方程為，分別與橢圓方程聯(lián)立，通過(guò)韋達(dá)定理求出中點(diǎn)的坐標(biāo)，觀察坐標(biāo)知，的中點(diǎn)坐標(biāo)在軸上，則，整理后利用基本不等式即可得到面積的最值.【小問(wèn)1詳解】由橢圓方程可知：，則，顯然直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，聯(lián)立消去得，，所以，即.且，因?yàn)椋?，所以，即，所以，整理得，即，化?jiǎn)得，即滿(mǎn)足條件，所以直線(xiàn)的方程為或，即直線(xiàn)的方程為或.【小問(wèn)2詳解】由題意，，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，則直線(xiàn)的方程為，，聯(lián)立消去得，所以所以所以，同理聯(lián)立消去得，所以所以所以，即的中點(diǎn).所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的面積最大值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)的解題關(guān)鍵是分類(lèi)聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，求出的坐標(biāo)，觀察坐標(biāo)知，的中點(diǎn)坐標(biāo)在軸上，則，整理后利用基本不等式得到面積的最值.19.已知函數(shù)，記，若滿(mǎn)足，則稱(chēng)是上的“可控函數(shù)”．由“可控函數(shù)”的定義可得：若函數(shù)是上的“可控函數(shù)”，則函數(shù)也是上的“可控函數(shù)”，其中，例如．（1）判斷函數(shù)是