專題08概率統(tǒng)計之遞推關(guān)系求概率一、解答題1．中國乒乓球隊是中國體育軍團(tuán)的王牌之師，屢次在國際大賽上爭金奪銀，被體育迷們習(xí)慣地稱為“夢之隊”.小明是一名乒乓球運動愛好者，為提高乒乓球水平，決定在假期針對乒乓球技術(shù)的五個基本因素：弧線、力量、速度、旋轉(zhuǎn)和落點進(jìn)行訓(xùn)練.假設(shè)小明每天進(jìn)行多次分項（將五個因素分別對應(yīng)五項，一次練一項）訓(xùn)練，為增加趣味性，計劃每次（從第二次起）都是從上次未訓(xùn)練的四個項目中等可能地隨機(jī)選一項訓(xùn)練.（1）若某天在五個項目中等可能地隨機(jī)選一項開始訓(xùn)練，求第三次訓(xùn)練的是“弧線”的概率；（2）若某天僅進(jìn)行了次訓(xùn)練，五個項目均有訓(xùn)練，且第次訓(xùn)練的是“旋轉(zhuǎn)”，前后訓(xùn)練項不同視為不同的訓(xùn)練順序，設(shè)變量為次訓(xùn)練中“旋轉(zhuǎn)”項訓(xùn)練的次數(shù)，求的分布列及期望；2．綠色已成為當(dāng)今世界主題，綠色動力已成為時代的驅(qū)動力，綠色能源是未來新能源行業(yè)的主導(dǎo)．某汽車公司順應(yīng)時代潮流，最新研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程（理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠(yuǎn)里程）的測試．現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（?。┈F(xiàn)從該汽車公司最新研發(fā)的新能源汽車中任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程恰好在200千米到350千米之間的概率；3．為保護(hù)長江流域漁業(yè)資源，2020年國家農(nóng)業(yè)農(nóng)村部發(fā)布《長江十年禁漁計劃》.某市為了解決禁漁期漁民的生計問題，試點推出面點?汽修兩種職業(yè)技能培訓(xùn)，一周內(nèi)漁民可以每天自由選擇其中一個進(jìn)行職業(yè)培訓(xùn)，七天后確定具體職業(yè).政府對提供培訓(xùn)的機(jī)構(gòu)有不同的補(bǔ)貼政策：面點培訓(xùn)每天200元/人，汽修培訓(xùn)每天300元/人.若漁民甲當(dāng)天選擇了某種職業(yè)培訓(xùn)，第二天他會有0.4的可能性換另一種職業(yè)培訓(xùn).假定漁民甲七天都參與全天培訓(xùn)，且第一天選擇的是汽修培訓(xùn)，第天選擇汽修培訓(xùn)的概率是(，2，3，…，7).（1）求；（3）試估算一周內(nèi)政府漁民甲對培訓(xùn)機(jī)構(gòu)補(bǔ)貼總費用的數(shù)學(xué)期望(近似看作0).4．甲乙兩人報名參加由某網(wǎng)絡(luò)科技公司舉辦的“技能闖關(guān)”雙人電子競技比賽，比賽規(guī)則如下：每一輪“闖關(guān)”結(jié)果都采取計分制，若在一輪闖關(guān)中，一人過關(guān)另一人未過關(guān)，過關(guān)者得1分，未過關(guān)得分；若兩人都過關(guān)或都未過關(guān)則兩人均得0分.甲、乙過關(guān)的概率分別為和，在一輪闖關(guān)中，甲的得分記為.（1）求的分布列；（3）在第（2）問的條件下求，并嘗試解釋游戲規(guī)則的公平性.5．為了避免就餐聚集和減少排隊時間，某校開學(xué)后，食堂從開學(xué)第一天起，每餐只推出即點即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞停阎惩瑢W(xué)每天中午會在食堂提供的兩種套餐中選擇，已知他第一天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?，而前一天選擇了米飯?zhí)撞秃笠惶炖^續(xù)選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿椋耙惶爝x擇面食套餐后一天繼續(xù)選擇面食套餐的概率為，如此往復(fù)．（1）求該同學(xué)第二天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕剩唬?）記該同學(xué)第天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿椋?．某商場擬在周年店慶進(jìn)行促銷活動，為吸引消費者，特別推出“玩游戲，送禮券”的活動，游戲規(guī)則如下：每輪游戲都拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（形狀為正方體，六個面的點數(shù)分別為，，，，，），若向上點數(shù)不超過點，獲得分，否則獲得分，進(jìn)行若干輪游戲，若累計得分為分，則游戲結(jié)束，可得到元禮券，若累計得分為分，則游戲結(jié)束，可得到紀(jì)念品一份，最多進(jìn)行輪游戲．（1）當(dāng)進(jìn)行完輪游戲時，總分為，求的數(shù)學(xué)期望；（ii）求活動參與者得到紀(jì)念品的概率．（III）求．8．2020年春天隨著疫情的有效控制，高三學(xué)生開始返校復(fù)課學(xué)習(xí).為了減少學(xué)生就餐時的聚集排隊時間，學(xué)校食堂從復(fù)課之日起，每天中午都會提供、兩種套餐（每人每次只能選擇其中一種），經(jīng)過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇類套餐的概率為、選擇類套餐的概率為．而前一天選擇了類套餐第二天選擇類套餐的概率為、選擇套餐的概率為；前一天選擇類套餐第二天選擇類套餐的概率為、選擇類套餐的概率也是，如此往復(fù)．記某同學(xué)第天選擇類套餐的概率為．（3）為了貫徹五育并舉的教育方針，培養(yǎng)學(xué)生的勞動意識，一個月后學(xué)校組織學(xué)生利用課余時間參加志愿者服務(wù)活動，其中有20位學(xué)生負(fù)責(zé)為全體同學(xué)分發(fā)套餐．如果你是組長，如何安排分發(fā)、套餐的同學(xué)的人數(shù)呢，說明理由．9．11月，2019全國美麗鄉(xiāng)村籃球大賽在中國農(nóng)村改革的發(fā)源地安徽鳳陽舉辦，其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行籃球定點投籃比賽（每人各投一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲乙兩人在同一位置，甲先投，每人投一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得1分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設(shè)甲每次投球命中的概率為，乙每次投球命中的概率為，且各次投球互不影響.（1）經(jīng)過1輪投球，記甲的得分為，求的分布列；（2）若經(jīng)過輪投球，用表示經(jīng)過第輪投球，累計得分，甲的得分高于乙的得分的概率.10．湖南省會城市長沙又稱星城，是楚文明和湖湘文化的發(fā)源地，是國家首批歷史文化名城.城內(nèi)既有岳麓山、橘子洲等人文景觀，又有岳麓書院、馬王堆漢墓等名勝古跡，每年都有大量游客來長沙參觀旅游.為合理配置旅游資源，管理部門對首次來岳麓山景區(qū)游覽的游客進(jìn)行了問卷調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計，其中的人計劃只游覽岳麓山，另外的人計劃既游覽岳麓山又參觀馬王堆.每位游客若只游覽岳麓山，則記1分；若既游覽岳麓山又參觀馬王堆，則記2分.假設(shè)每位首次來岳麓山景區(qū)游覽的游客計劃是否參觀馬王堆相互獨立，視頻率為概率.（1）從游客中隨機(jī)抽取3人，記這3人的合計得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）從游客中隨機(jī)抽取若干人，記這些人的合計得分恰為分的概率為，隨著抽取人數(shù)的無限增加，是否趨近于某個常數(shù)？若是，求出這個常數(shù)；若不是，說明理由.11．某幾位大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)創(chuàng)辦了一個服務(wù)公司提供、兩種民生消費產(chǎn)品（人們購買時每次只買其中一種）服務(wù)，他們經(jīng)過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)：第一次購買產(chǎn)品的人購買的概率為、購買的概率為，而前一次購買產(chǎn)品的人下一次來購買產(chǎn)品的概率為、購買產(chǎn)品的概率為，前一次購買產(chǎn)品的人下一次來購買產(chǎn)品的概率為、購買產(chǎn)品的概率也是，如此往復(fù).記某人第次來購買產(chǎn)品的概率為.（3）經(jīng)過一段時間的經(jīng)營每天來購買產(chǎn)品的人穩(wěn)定在800人，假定這800人都已購買過很多次該兩款產(chǎn)品，那么公司每天應(yīng)至少準(zhǔn)備、產(chǎn)品各多少份.（直接寫結(jié)論、不必說明理由）.12．為了釋放學(xué)生壓力，某校高三年級一班進(jìn)行了一個投籃游戲，其間甲、乙兩人輪流進(jìn)行籃球定點投籃比賽（每人各投一次為一輪）.在相同的條件下，每輪甲乙兩人站在同一位置，甲先投，每人投一次籃，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得﹣1分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分.設(shè)甲每次投籃命中的概率為，乙每次投籃命中的概率為，且各次投籃互不影響.（1）經(jīng)過1輪投籃，記甲的得分為X，求X的分布列及期望；（2）若經(jīng)過n輪投籃，用pi表示經(jīng)過第i輪投籃后，甲的累計得分高于乙的累計得分的概率.①求p1，p2，p3②規(guī)定p0＝0，經(jīng)過計算機(jī)計算可估計得pi＝api+1+bpi+cpi﹣1（b≠1），請根據(jù)①中p1，p2，p3值分別寫出a，c關(guān)于b的表達(dá)式，并由此求出數(shù)列{pn}的通項公式.13．在慶祝新中國成立七十周年群眾游行中，中國女排壓軸出場，乘坐“祖國萬歲”彩車亮相國慶游行，“女排精神”燃爆中國.某排球俱樂部為讓廣大排球愛好者體驗排球的訓(xùn)練活動，設(shè)置了一個“投骰子50米折返跑”的互動小游戲，游戲規(guī)則：參與者先進(jìn)行一次50米的折返跑，從第二次開始，參與者都需要拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，用點數(shù)決定接下來折返跑的次數(shù)，若拋擲兩枚骰子所得的點數(shù)之和能被3整除，則參與者只需進(jìn)行一次折返跑，若點數(shù)之和不能被3整除，則參與者需要連續(xù)進(jìn)行兩次折返跑.記參與者需要做n個折返跑的概率為.（1）求，，；（3）求，若預(yù)測參與者需要做折返跑的次數(shù)，你猜奇數(shù)還是偶數(shù)？試說明你的理由.14．中國女排，曾經(jīng)十度成為世界冠軍，鑄就了響徹中華的女排精神.女排精神的具體表現(xiàn)為：扎扎實實，勤學(xué)苦練，無所畏懼，頑強(qiáng)拼搏，同甘共苦，團(tuán)結(jié)戰(zhàn)斗，刻苦鉆研，勇攀高峰.女排精神對各行各業(yè)的勞動者起到了激勵、感召和促進(jìn)作用，給予全國人民巨大的鼓舞.（1）看過中國女排的紀(jì)錄片后，某大學(xué)掀起“學(xué)習(xí)女排精神，塑造健康體魄”的年度主題活動，一段時間后，學(xué)生的身體素質(zhì)明顯提高，將該大學(xué)近5個月體重超重的人數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，得到如下表格：月份x12345體重超重的人數(shù)y640540420300200若該大學(xué)體重超重人數(shù)y與月份變量x（月份變量x依次為1，2，3，4，5…）具有線性相關(guān)關(guān)系，請預(yù)測從第幾月份開始該大學(xué)體重超重的人數(shù)降至10人以下？（2）在某次排球訓(xùn)練課上，球恰由A隊員控制，此后排球僅在A隊員、B隊員和C隊員三人中傳遞，已知每當(dāng)球由A隊員控制時，傳給B隊員的概率為，傳給C隊員的概率為；每當(dāng)球由B隊員控制時，傳給A隊員的概率為，傳給C隊員的概率為；每當(dāng)球由C隊員控制時，傳給A隊員的概率為，傳給B隊員的概率為.記，，為經(jīng)過n次傳球后球分別恰由A隊員、B隊員、C隊員控制的概率.（1）試根據(jù)生產(chǎn)一件零件A給工廠帶來的效益的期望值判斷甲乙技術(shù)的好壞；（2）為鼓勵工人提高技術(shù)，工廠進(jìn)行技術(shù)大賽，最后甲乙兩人進(jìn)入了決賽．決賽規(guī)則是：每一輪比賽，甲乙各生產(chǎn)一件零件A，如果一方生產(chǎn)的零件A品級優(yōu)干另一方生產(chǎn)的零件，則該方得分1分，另一方得分1分，如果兩人生產(chǎn)的零件A品級一樣，則兩方都不得分，當(dāng)一方總分為4分時，比賽結(jié)束，該方獲勝．Pi+4（i=4，3，2，…，4）表示甲總分為i時，最終甲獲勝的概率．①寫出P0，P8的值；②求決賽甲獲勝的概率．16．棋盤上標(biāo)有第0，1，2，…，100站，棋子開始時位于第0站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲．若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到跳到第99站或第100站時，游戲結(jié)束．設(shè)棋子跳到第n站的概率為Pn．（1）當(dāng)游戲開始時若拋擲均勻硬幣3次后求棋手所走站數(shù)之和X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）求P99，P100的值．17．袋中共有8個球，其中有3個白球，5個黑球，這些球除顏色外完全相同．從袋中隨機(jī)取出一球，如果取出白球，則把它放回袋中；如果取出黑球，則該黑球不再放回，并且另補(bǔ)一個白球放入袋中．重復(fù)上述過程次后，袋中白球的個數(shù)記為．456P0.4ab（1）求購買該商品的3位顧客中，恰有1位選擇分4期付款的概率；（2）商場銷售一件該商品，若顧客選擇分4期付款，則商場獲得的利潤為2000元；若顧客選擇分5期付款，則商場獲得的利潤為2500元；若顧客選擇分6期付款，則商場獲得的利潤為3000元，假設(shè)該商場銷售兩件該商品所獲得的利潤為（單位：元）．19．在黨中央的英明領(lǐng)導(dǎo)下，在全國人民的堅定支持下，中國的抗擊“新型冠狀肺炎”戰(zhàn)役取得了階段性勝利，現(xiàn)在擺在我們大家面前的是有序且安全的復(fù)工復(fù)產(chǎn).某商場為了提振顧客的消費信心，對某中型商品實行分期付款方式銷售，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客購買該商品選擇分期付款的期數(shù)ξ的分布列為其中0＜a＜1，0＜b＜1.（1）求購買該商品的3位顧客中，恰有1位選擇分4期付款的概率；（2）商場銷售一件該商品，若顧客選擇分4期付款，則商場獲得的利潤為2000元；若顧客選擇分5期付款，則商場獲得的利潤為2500元；若顧客選擇分6期付款，則商場獲得的利潤為3000元，假設(shè)該商場銷售兩件該商品所獲得的利潤為X（單位：元），（i）設(shè)X＝5500時的概率為m，求當(dāng)m取最大值時，利潤X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ii）設(shè)某數(shù)列{xn}滿足x1＝0.4，xn＝a，2xn+1＝b，若a＜0.25，求n的最小值.20．有人玩擲均勻硬幣走跳棋的游戲，棋盤上標(biāo)有第0站（出發(fā)地），第1站，第2站，……，第100站.一枚棋子開始在出發(fā)地，棋手每擲一次硬幣，這枚棋子向前跳動一次，若擲出正向，棋子向前跳一站，若擲出反面，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第99站（獲勝）或跳到第100站（失?。r，該游戲結(jié)束.設(shè)棋子跳到第站的概率為.（3）求玩該游戲獲勝的概率.（1）用p表示；（3）為提高這個5G傳輸設(shè)備正常工作的概率，在這個傳輸設(shè)備上再并聯(lián)兩根相同規(guī)格的光導(dǎo)纖維，且新增光導(dǎo)纖維后的5G傳輸設(shè)備有超過一半的光導(dǎo)纖維能正常傳輸信號才可以正常工作．確定的取值范圍，使新增兩根光導(dǎo)纖維可以提高這個5G傳輸設(shè)備正常工作的概率．（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實際含義．23．當(dāng)前，全國上下正處在新冠肺炎疫情“外防輸入，內(nèi)防反彈”的關(guān)鍵時期，為深入貫徹落實習(xí)近平總書記關(guān)于疫情防控的重要指示要求，始終把師生生命安全和身體健康放在第一位．結(jié)合全國第個愛國衛(wèi)生月要求，學(xué)校某班組織開展了“戰(zhàn)疫有我，愛衛(wèi)同行”防控疫情知識竟賽活動，抽取四位同學(xué)，分成甲、乙兩組，每組兩人，進(jìn)行對戰(zhàn)答題．規(guī)則如下：每次每位同學(xué)給出道題目，其中有道是送分題(即每位同學(xué)至少答對題)．若每次每組答對的題數(shù)之和為的倍數(shù)，原答題組的人再繼續(xù)答題；若答對的題數(shù)之和不是的倍數(shù)，就由對方組接著答題．假設(shè)每位同學(xué)每次答題之間相互獨立，無論答對幾道題概率都一樣，且每次答題順序不作考慮，第一次由甲組開始答題．求：(1)若第次由甲組答題的概率為，求；(2)前次答題中甲組恰好答題次的概率為多少