溫故知新：

一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，

???，xn，我們稱X取每一個值xi的概率為X的概率分布列(listofprobabilitydistribution)，簡稱分布列.1.離散型隨機(jī)變量的分布列根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量分布列具有下述兩個性質(zhì)：2.離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)人教A版2019選擇性必修第三冊7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值

第七章《隨機(jī)變量及其分布》

離散型隨機(jī)變量的分布列全面地刻畫了這個隨機(jī)變量的取值規(guī)律.但在解決有些實(shí)際問題時，直接使用分布列并不方便，例如，要比較不同班級某次考試成績，通常會比較平均成績；要比較兩名射箭運(yùn)動員的射箭水平，一般會比較他們射箭的成績(平均環(huán)數(shù)或總環(huán)數(shù))以及穩(wěn)定性.因此，類似于研究一組數(shù)據(jù)的均值和方差，我們也可以研究離散型隨機(jī)變量的均值和方差，它們統(tǒng)稱為隨機(jī)變量的數(shù)字特征.問題1：甲、乙兩名射箭運(yùn)動員射中目標(biāo)箭靶的環(huán)數(shù)的分布列如下表所示.環(huán)數(shù)X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2如何比較他們射箭水平的高低呢?類似兩組數(shù)據(jù)的比較，首先比較擊中的平均環(huán)數(shù)，如果平均環(huán)數(shù)相等，再看穩(wěn)定性.環(huán)數(shù)X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2假設(shè)甲射箭n次，射中7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)和10環(huán)的頻率分別為甲n次射箭射中的平均環(huán)數(shù)為當(dāng)n足夠大時，頻率穩(wěn)定于概率，所以穩(wěn)定于

即甲射中平均環(huán)數(shù)的穩(wěn)定值(理論平均值)為9，這個平均值的大小可以反映甲運(yùn)動員的射箭水平.同理，乙射中環(huán)數(shù)的平均值為從平均值的角度比較，甲的射箭水平比乙高.2.隨機(jī)變量的均值一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，Xx1x2???xnPp1p2???pn則稱為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡稱期望.均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平.例1：在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分.如果某運(yùn)動員罰球命中的概率為0.8，那么他罰球1次的得分X的均值是多少?

由題意得，X的分布列為解：即該運(yùn)動員罰球1次的得分X的均值是0.8.一般地，如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，那么例2：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為X，求X的均值.由題意得，X的分布列為：

解：

即點(diǎn)數(shù)X的均值是3.5.分析：先求出X的分布列，再根據(jù)定義計(jì)算X的均值．觀察：擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)X的均值為3.5.隨機(jī)模擬這個試驗(yàn)，重復(fù)60次和重復(fù)300次各做6次，觀測出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)并計(jì)算平均數(shù).根據(jù)觀測值的平均數(shù)(樣本均值)繪制統(tǒng)計(jì)圖，分別如圖(1)和(2)所示.觀察圖形，在兩組試驗(yàn)中，隨機(jī)變量的均值與樣本均值有何聯(lián)系與區(qū)別?

觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)：在這12組擲骰子試驗(yàn)中，樣本均值各不相同，但它們都在擲出點(diǎn)數(shù)X的均值3.5附近波動，且重復(fù)擲300次的樣本均值波動幅度明顯小于重復(fù)60次的.事實(shí)上，隨機(jī)變量的均值是一個確定的數(shù)，而樣本均值具有隨機(jī)性，它圍繞隨機(jī)變量的均值波動.隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)的增加，樣本均值的波動幅度一般會越來越小，因此，我們常用隨機(jī)變量的觀測值的均值去估計(jì)隨機(jī)變量的均值.

探究：如果X是一個離散型隨機(jī)變量，X加一個常數(shù)或乘一個常數(shù)后，其均值會怎樣變化?即E(X＋b)和E(aX)(其中a，b為常數(shù))分別與E(X)有怎樣的關(guān)系?設(shè)X的分布列為根據(jù)隨機(jī)變量均值的定義，類似地，可以證明一般地，下面的結(jié)論成立：解：

請看課本P66：練習(xí)1，21.已知隨機(jī)變量X的分布列為X12345P0.10.30.40.10.1(1)求E(X)；(2)求E(3X+2).解：2.拋擲一枚硬幣，規(guī)定正面向上得1分，反面向上得－1分，求得分X的均值.由題意可得，X的可能取值為0，1000，3000，6000，則X的分布列為解：

例3：猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名.某嘉賓參加猜歌名節(jié)目，猜對每首歌曲的歌名相互獨(dú)立，猜對三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜對時獲得相應(yīng)的公益基金如表7.3-3所示.規(guī)則如下：按照A，B，C的順序猜，只有猜對當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首.求嘉賓獲得的公益基金總額X的分布列及均值.歌曲ABC猜對的概率0.80.60.4獲得的公益基金額/元100020003000X的均值為例4：根據(jù)天氣預(yù)報，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01.該地區(qū)某工地上有一臺大型設(shè)備，遇到大洪水時要損失60000元，遇到小洪水時要損失10000元.為保護(hù)設(shè)備，有以下3種方案:方案1：運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3800元；方案2：建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2000元，但圍墻只能防小洪水；方案3：不采取措施.

工地的領(lǐng)導(dǎo)該如何決策呢?分析：決策目標(biāo)為總損失（投入費(fèi)用與設(shè)備損失之和）越小越好．根據(jù)題意，各種方案在不同狀態(tài)下的總損失如右表所示．天氣狀況大洪水小洪水沒有洪水概率0.010.250.74總損失/元方案1380038003800方案26200020002000方案360000100000方案2和方案3的總損失都是隨機(jī)變量，可以采用期望總損失最小的方案．天氣狀況大洪水小洪水沒有洪水概率0.010.250.74總損失/元方案1380038003800方案26200020002000方案360000100000

解：

設(shè)方案1、方案2、方案3的總損失分別為X1，X2，X3.采用方案1，無論有無洪水，都損失3800元，因此采用方案2，有采用方案3，有∴從期望損失最小的角度，應(yīng)采取方案2.

值得注意的是，上述結(jié)論是通過比較“期望總損失”而得出的.一般地，我們可以這樣來理解“期望總損失”：如果問題中的天氣狀況多次發(fā)生，那么采用方案2將會使總損失減到最小.不過，因?yàn)楹樗欠癜l(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機(jī)的，所以對于個別的一次決策，采用方案2也不一定是最好的.解：3.甲、乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)同一種零件，它們生產(chǎn)的產(chǎn)量相同，在1h內(nèi)生產(chǎn)出的次品數(shù)分別為X1，X2，其分布列分別為甲機(jī)床次品數(shù)的分布列乙機(jī)床次品數(shù)的分布列X10123P0.40.30.20.1X2012P0.30.50.2哪臺機(jī)床更好?請解釋你所得出結(jié)論的實(shí)際含義.

由此可知，1h內(nèi)甲機(jī)床平均生產(chǎn)1個次品，乙機(jī)床平均生產(chǎn)0.9個次品，所以乙機(jī)床相對更好