《數(shù)學(xué)》課件-11.5 第二型曲面積分

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第11章

曲線積分與曲面積分11.5

第二型曲面積分11.5.1第二型曲面積分的概念

11.5.2

第二型曲面積分的計算

例11-5-1

解

例11-5-2

解

本節(jié)的重點是第二型曲面積分的定義和計算,學(xué)習時必須注意:在有向曲面S上的積分,F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k而方向相反,其值與有向曲面S的方向有關(guān).設(shè)S-與S表示同一曲面,(1)

第二型曲面積分是向量函數(shù)并設(shè)n(x,y,z)是曲面S的單位法向量,則曲面S-的單位法向量為

它的方向余弦都要變號,從而S-的有向面積微元在坐標平面上的投影與S的有向面積微元在坐標平面上的投影符號相反.于是有

(2)

第二型曲面積分的主要計算方法是將其化為二重積分(見公式⑥).其關(guān)鍵是求出曲面方程、曲面法線的方向和曲面在坐標面上的投影區(qū)域.

(3)

第二型曲面積分

可分成三個第二型曲面積分:

特別要注意在公式⑥中二重積分前面正負號的取法.

來計算.在計算其中每一個曲面積分時,應(yīng)注意分別把S(有時要把S分成若干塊)表示成單值函數(shù)

并分別求出它們在相應(yīng)的坐標平面上的投影區(qū)域;然后再將曲面方程代入相應(yīng)的被積函數(shù),從而轉(zhuǎn)化為

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