第9章多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用9.2多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分9.2.1偏導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)x的變化率.但由于二元函數(shù)的自變量變化情況要比多元函數(shù)也需要討論變化率,一元函數(shù)情況復(fù)雜得多因此(這在二元函數(shù)極限的討論中已經(jīng)看到),即在兩個我們首先考慮二元函數(shù)z=f(x,y)關(guān)于其中一個變量的變化率.

變量中固定一個變量:y

=

y0,這時z=f(x,y0),是

x

的一元函數(shù),記為g(x),如果g(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)g'(x0)存在,g'(x0)就是二元函數(shù)z=f(x,y)在(x0,

y0)處關(guān)于x的變化率.定義9.2.1

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義.

若極限存在,

記作

類似地,稱極限

為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對y的偏導(dǎo)數(shù),記作

稱為f(x,y)在D上對x(或?qū))的偏導(dǎo)函數(shù)(簡稱偏導(dǎo)數(shù)),記作f'x(x,y),z'x

,

則點(diǎn)(x,y)∈D對應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)f‘x(x,y)(或f'y(x,y))又定義了一個以x、y為自變量的二元函數(shù),

從定義可知,多元函數(shù)對某一變量的偏導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)上是一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù),只需把其他自變量都看作常數(shù),再求函數(shù)對這一變量的導(dǎo)數(shù).因而,多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的方法與一元函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法是一致的.若函數(shù)f(x,y)在某開區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)(x,y)處對x(或?qū))的偏導(dǎo)數(shù)都存在,例9-2-1

求z=x3sin2y的偏導(dǎo)數(shù)z'x(x,y)、z'y(x,y).解

把

y看作常數(shù),

z'x(x,y)=3x2sin2y;

把

x看作常數(shù),z'y(x,y)=2x3cos2y.

解

把

y看作常數(shù),

把

x看作常數(shù),

例9-2-2

例9-2-3

解

令y=y0,

=2x0+3y0.類似地,

令x=x0,得

=3x0+2y0.

z'x(x,y)=2x+3y,再以x=x0、y=y0代入,通常也可以先求出函數(shù)關(guān)于x和y的偏導(dǎo)函數(shù)得到

例9-2-4

解

由偏導(dǎo)數(shù)定義求得

f'y(0,0)

f'x(0,0)、f'y(0,0).例9-2-5

已知一定量的理想氣體,解

其壓強(qiáng)

p、體積

V以及絕對溫度

T之間

得

于是又證得得

得

自變量的微分dx之比,

不能看作分子、分母之比.注意在一元函數(shù)微分學(xué)中,

過點(diǎn)P作平行于坐標(biāo)面Ozx的平面y=y0,它與曲面相交成平面曲線,

二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也有簡單的幾何意義.設(shè)函數(shù)z=f(x,y)的圖形是空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的一張曲面,P(x0,

y0,

f(x0,

y0))為曲面上的一點(diǎn).實(shí)際上,它就是在平面y=y0上的曲線z=f(x,y0)

于是偏導(dǎo)數(shù)

為上述曲線在點(diǎn)P處的切線關(guān)于x軸的斜率,即f'x(x0,y0)f'x(x0,y0)=tanα;類似地,偏導(dǎo)數(shù)f'y(x0,y0)是曲面與平面x=x0的交線其方程為即f'y(x0,y0)

=tanβ.在點(diǎn)P處的切線關(guān)于y軸的斜率,二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念不難推廣到多于兩個自變量的多元函數(shù).例如,f'x(x0,y0,z0)

f'y(x0,y0,z0)

f'z(x0,y0,z0)

把y、z看作常數(shù),得r'x(x,y,z)解

例9-2-6

類似地有

9.2.2高階偏導(dǎo)數(shù)若它們在D內(nèi)的某些點(diǎn)處仍有偏導(dǎo)數(shù),則稱

f(x,y)這兩個偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在開域D內(nèi)有偏導(dǎo)數(shù)f'x(x,y)和f'y(x,y),在那些點(diǎn)處具有二階偏導(dǎo)數(shù).二元函數(shù)f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)可以有如下四種,分別記作f″xx(x,y)

仍然是D內(nèi)的二元函數(shù).

f″xy(x,y)

f″yx(x,y)

f″yy(x,y)

還可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù),如z=f(x,y)的三階偏導(dǎo)數(shù)稱為f(x,y)的二階混合偏導(dǎo)數(shù).其中f″xy(x,y)和f″yx(x,y)總共有八種,例如

類似地,

等.多元函數(shù)的二階或二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).例9-2-7

解

=(1+x)exsiny,

=xexcosy;

=(2+x)exsiny,

=(1+x)excosy,

=(1+x)excosy,

例9-2-7中兩個混合偏導(dǎo)數(shù)相等,

這并不是偶然的.在點(diǎn)(x0,

y0)處連續(xù),

此定理說明在混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件下,定理9.2.1

事實(shí)上可以證明(證略):混合偏導(dǎo)數(shù)與求偏導(dǎo)的次序?qū)Ω唠A的偏導(dǎo)數(shù)也有類似的定理.若函數(shù)f(x,y)的兩個混合偏導(dǎo)數(shù)f″xy(x,y)和f″yx(x,y)則f″xy

(x0,

y0)=

f″yx

(x0,

y0).無關(guān).例9-2-8

證

并由函數(shù)對于自變量的對稱性得到

=0.9.2.3

全微分將一元函數(shù)的微分概念推廣到二元函數(shù),就形成全微分概念.定義9.2.2函數(shù)的增量Δy僅相差一個比Δx高階的無窮小量,一元函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的微分dy=AΔx是Δx的線性函數(shù),設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義.若函數(shù)f(x,y)在

可以表示為即Δy=AΔx+o(Δx).Δz=AΔx+BΔy+o(ρ),①其中A、B是只與點(diǎn)(x0,y0)有關(guān)而與Δx、Δy無關(guān)的常數(shù),并稱AΔx+BΔy為函數(shù)

f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的全微分,則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微,

記作點(diǎn)(x0,y0)處的全增量而且它與o(ρ)是當(dāng)

ρ=

即

=AΔx+BΔy.②與一元函數(shù)類似,

所以稱dz是全增量Δz的線性主部.它與函數(shù)全增量Δz僅相差比ρ高階的無窮小量.而且,若函數(shù)f(x,y)在某開域D內(nèi)的每一點(diǎn)均可微,則稱f(x,y)在D內(nèi)可微,并稱f(x,y)為D內(nèi)的可微函數(shù).Δx、Δy的線性函數(shù),

證因?yàn)閦=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微,即

所以

下面給出函數(shù)可微的必要條件和充分條件.

=

AΔx+BΔy+o(ρ),=0,即函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù).定理9.2.2表明:函數(shù)連續(xù)是可微的必要條件.

定理9.2.3

證

即在其中令Δy=0,這時ρ=|Δx|,且Δz=AΔx+BΔy+o(ρ),于是上式變?yōu)?AΔx+o(|Δx|).

得

=A,

與一元函數(shù)類似,

若規(guī)定自變量的微分等于自變量的增量,

dx=Δx,dy=Δy,則③式又可寫成

注意

即可導(dǎo)不僅是可微的必要條件,也是可微的充分條件.

但對二元函數(shù)來說,而不是充分條件.定理9.2.4

若z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)f'x(x,y)、f'y(x,y)在

例9-2-9求函數(shù)z=x2y+y2的全微分.解因?yàn)楹瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)

在全平面上連續(xù),

且其全微分為

利用定理9.2.4的結(jié)論,就可以方便地用偏導(dǎo)數(shù)來求全微分.例9-2-10

解

=e2,

=2e2,

=e2dx+2e2dy.

讀者可以寫出三元函數(shù)

u=f(x,y,z)或更多元函數(shù)的可微性概念以及可微的必要條件與充分條件.例9-2-11

解

因?yàn)?/p>

當(dāng)

y2+z2≠

0時連續(xù),

除了x軸上的點(diǎn)以外,處處有所以在整個O-xyz空間,

du*

9.2.4

全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用于是,當(dāng)|Δx|、

|Δy|充分小時,

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微,有近似公式Δz≈

dz或f(x0+Δx,y0+Δy)

即在可微點(diǎn)(x0,y0)鄰近,

即函數(shù)值f(x,y)可用一個二元線性函數(shù)來近似.例9-2-12求

1.083.96的近似值.解

考察函數(shù)

f(x,y)=xy.取x0=1,Δx=0.08,

y0=4,f(1,4)并求出

=1,

=4,于是由⑥式得到=0.1.083.96

=1.32.例9-2-13已知一摩爾理想氣體的體積在溫度為

0℃和壓強(qiáng)為解

一個大氣壓的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下是22.4升.若將溫度升高3℃,壓強(qiáng)增大0.015個試問此時該氣體體積大約改變多少?將理想氣體的體積V表示為溫度T和壓強(qiáng)

p的二元函數(shù)大氣壓,其中R是常數(shù).

由⑤式得

ΔV

≈

dV

將已知條件T=273、p=1、V=22.4、ΔT=3、Δp=0.015

代入上式后得到

體積的改變量是負(fù)數(shù),說明氣體體積大約減少了90毫升.

若把可估計(jì)如下:|Δx|、|Δy|分別看作自變量x、y的絕對誤差限,|Δz|≈|dz|

⑦式最末的表達(dá)式即可作為z的絕對誤差限.由⑦式又可進(jìn)一步估計(jì)z的相對誤差:

⑧式右邊即可作為z的相對誤差限.則因變量z的絕對誤差以下兩種特殊情形在實(shí)際問題中是經(jīng)常遇到的:(1)當(dāng)

z=xy時,

故相對誤差限為

即兩個近似量乘積的相對誤差限等于各因子的相對誤差限之和.

故相對誤差限為即兩個近似量之商的相對誤差限等于分子與分母的相對誤差限之和.

求鹽水濃度的絕對誤差限和相對誤差限.

解設(shè)鹽水濃度為z,則

例9-2-14

鹽水濃度的絕對誤差限為相對誤差限為

本節(jié)重點(diǎn)討論二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分,對某一只要把其余自變量看作常數(shù),所討論函數(shù)的混合偏導(dǎo)數(shù)一般是連續(xù)的