第9章多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用*9.4

方向?qū)?shù)與梯度我們知道,

函數(shù)

f(x,y)在點(diǎn)

P處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)分別反映了函數(shù)

在點(diǎn)P處沿兩個(gè)坐標(biāo)軸方向的變化率.討論函數(shù)沿其他方向的變化率問題,

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義,還常常需要又設(shè)l是從點(diǎn)P0出發(fā)的一條射線,點(diǎn)P(x,y)是l上異于P0的一點(diǎn),

表示點(diǎn)P與點(diǎn)P0間的距離,當(dāng)點(diǎn)P沿著

l趨于點(diǎn)P0時(shí),

則稱此極限為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P0處沿方向l的方向?qū)?shù).記作f'l(P0),z'l(P0),

從定義9.4.1可知,所給方向

l

也可以用某個(gè)向量

l

來表示.方向?qū)?shù)所表示的極限為一單側(cè)極限,函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0處沿方向

l

的變化率.它是

在定義9.4.1中,如圖所示,點(diǎn)

P的坐標(biāo)為(x0+ρcosα,y0+ρcosβ),由此推出f'l(P0)

當(dāng)方向

l取為x軸正向時(shí),cosα=1,cosβ=0,

則

f(x,y)在點(diǎn)P0處沿

x軸正方向的方向?qū)?shù)就等于

f'x(P0).

類似地,若函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0處關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)f'y(P0)存在,則f(x,y)在點(diǎn)P0處沿

y軸正方向的方向?qū)?shù)就等于

f'y(P0).

由此可見,若函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0處關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)f'x(P0)存在,定理9.4.1若函數(shù)

f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處可微,則函數(shù)

f(x,y)

在點(diǎn)P0(x0,y0)處沿任意方向

l的方向?qū)?shù)都存在,且

根據(jù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處可微,

因此,

Δlf=f(x0+ρcosα,y0+ρcosβ)-f(x0,y0)

于是

=f'x(P0)ρcosα+f'y(P0)ρcosβ+o(ρ),因?yàn)楫?dāng)ρ→0時(shí),*證

所以上式的極限存在,且有

f'l(P0)=f'x(P0)cosα+f'y(P0)cosβ.從方向?qū)?shù)的定義或計(jì)算公式①都可推出,當(dāng)方向取l的負(fù)方向時(shí),

方向?qū)?shù)也隨之變號,即

例9-4-1

設(shè)z=x2+y2,

解

由于

=

4.

因此求得方向?qū)?shù)的計(jì)算公式①②可以寫成兩個(gè)向量的數(shù)量積,即={f'x(P0),f'y(P0)}·{cosα,cosβ}

f'l(P0)

與方向?qū)?shù)有密切關(guān)系的一個(gè)概念是函數(shù)的梯度.定義9.4.2若函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)f'x(P0)與f'y(P0)

則稱向量{f'x(P0),f'y(P0)}為函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0處的梯度,

由定義9.4.2可知，即

gradf(P0)=f'x(P0)i+f'y(P0)j,④函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P0處的梯度是一個(gè)向量,|gradf(P0)|

它的模為存在,記作例9-4-2

解

由于

從而在點(diǎn)P0處的梯度為

gradf(P0)

若l0是方向l上的單位向量，

由梯度的定義,f'l(P0)=gradf(P0)·l0.⑤

它表示可微函數(shù)在點(diǎn)P0處沿方向

l的方向?qū)?shù)等于該函數(shù)在點(diǎn)P0處的梯度與方向l上的單位向量l0的數(shù)量積.f'l(P0)=|gradf(P0)||l0|cosθ若用θ表示方向l與梯度gradf(P0)之間的夾角,

=|gradf(P0)|cosθ.⑥③式又可寫成f'l(P0)=|gradf(P0)|cosθ.⑥由⑥式可知,當(dāng)cosθ=1,

即當(dāng)方向l與梯度方向一致時(shí),

方向?qū)?shù)f'l(P0)取得最大值|gradf(P0)|.

而梯度的模|gradf(P0)|是函數(shù)在點(diǎn)P0處的最大變化率(即最大方向?qū)?shù)).由⑥式可知,

為方向?qū)?shù)的最小值.

因此,

負(fù)梯度方向是函數(shù)減少最快的方向.例9-4-3

設(shè)一金屬板上點(diǎn)P(x,y)處的溫度為T(x,y)=x2+2y2+50,

求在點(diǎn)P0(2,3)處溫度增加的最大變化率及其方向.

其最大變化率為設(shè)函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)P0(x0,y0,z0)的某一鄰域內(nèi)有定義,又設(shè)l是從點(diǎn)P0出發(fā)的一條射線,

以

ρ表示點(diǎn)P與點(diǎn)P0的距離,

存在,當(dāng)點(diǎn)P沿著

l趨于點(diǎn)P0時(shí),則稱此極限為函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)P0處沿方向

l的方向?qū)?shù),記作f'l

(P0),不難將方向?qū)?shù)和梯度概念推廣到三元函數(shù).u'l(P0),

設(shè)方向

l的方向角為α、β、γ,

f'l(P0)

其方向?qū)?shù)的計(jì)算公式為

=f'x(P0)cosα+f'y(P0)cosβ+f'z(P0)cosγ.⑦

gradf(P0)=f'x(P0)i+f'y(P0)j+f'z(P0)k.⑧則定義為當(dāng)f(x,y,z)在點(diǎn)P0處可微時(shí),本節(jié)主要內(nèi)容是方向?qū)?shù)和梯度的概念以及在函數(shù)可微條件下特別需要注意的是:(1)方向?qū)?shù)