(2.垂線段與點(diǎn)到直線的距離)湘教版(2024)

七年級(jí)下冊(cè)第

4

章

平

面

內(nèi)

的

兩

條

直

線學(xué)習(xí)目標(biāo)2.掌握垂線段最短的性質(zhì)，理解點(diǎn)到直線的距離的意義.(

難

點(diǎn)

)1.理解垂線段、斜線段的概念，掌握垂線的基本事實(shí).(重點(diǎn))任畫一條直線l,

用三角板或量角器過任意一點(diǎn)

P

畫直線l的垂線

.若直線l

經(jīng)過點(diǎn)P

,則直線

l

的垂線a的畫法如圖(1)所示.若直線

l

不經(jīng)過點(diǎn)P

,

則直線

l

的垂線

b的畫法如圖(2)所示.(1)

(2)由此可知，無論點(diǎn)P在直線l

上還是在直線

l外，過點(diǎn)P

都只能畫直線

l

的一條垂線.理由如下：假如過點(diǎn)

P

還有一條直線

c,能使c⊥l,

則clla

(或c//b).又直線c

與直線

a

(或直線

b)有公共點(diǎn)

P,因此這是不可能的.在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.垂線的基本事實(shí)垂線段與斜線段如圖，設(shè)PO

垂直于直線l,0

為垂足，線段PO

叫作點(diǎn)P到P直線l的垂線段

.經(jīng)過點(diǎn)P

的其他直線分別交直線l于點(diǎn)A,B,C,D,…,線段PA,PB,PC,PD,…都不是垂線段，稱為斜A

B

C\

D

線段.l0五比較圖中PA,PB,PO,PC,PD

五條線段的長(zhǎng)度，哪條線段最短?說一說通過比較，發(fā)現(xiàn)垂線段PO

最短垂線段的性質(zhì)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短.通常簡(jiǎn)單說成：垂線段最短.從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫作點(diǎn)到直線的距離.例如，在圖中，垂線段PO

的長(zhǎng)度叫作點(diǎn)

P到直線

l

的距離(1)量出下圖中點(diǎn)

P到直線AB

的距離

.PBOAPO=1.2cm(2)某單位要在河岸

I上建一個(gè)水泵房引水到C

處，如圖所示，問建在哪如

圖

，CO即為所求.理由：垂線段最短個(gè)位置才最節(jié)省水管?為什么?由(1)(2)可知，求點(diǎn)到直線的距離可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到點(diǎn)的距離.3)由(1)(2)你會(huì)發(fā)現(xiàn)可以怎樣求點(diǎn)到直線的距離?例3如圖，在△

ABCBC=12,AC=13.求：(

1

)

點(diǎn)A到直線

BC(

2

)

點(diǎn)B到直線AC中，∠ABC=90°,BD⊥AC,垂足為點(diǎn)D,AB=5,的距離；的距離

.解(1)因?yàn)椤螦BC=90°,所以AB⊥BC,

點(diǎn)B為垂足，所以線段AB

即為點(diǎn)A到直線

BC

的垂線段

因?yàn)?/p>

AB=5,所以點(diǎn)A到直線

BC

的距離為5

.(2)因?yàn)?/p>

BD⊥AC,

垂足為點(diǎn)D,所以線段BD

的長(zhǎng)度即為點(diǎn)

B到直線AC

的距離

.因?yàn)?/p>

BC

AB=AC

BD

所以

常常運(yùn)用面積相等的方

法

來

解

決

一

些

問

題

.所以

點(diǎn)

B

到

直

線

AC

的

距

離

為

例題鞏固1.如圖，∠ACB=90°,CD⊥AB,A.線段AC

的長(zhǎng)度C.線段

CD

的長(zhǎng)度垂足為D,

則點(diǎn)C到直線AB

的距離是((C)B.線段

CB的長(zhǎng)度D.線段AD

的長(zhǎng)度2.如圖，小紅在進(jìn)行立定跳遠(yuǎn)訓(xùn)練時(shí)，從點(diǎn)A起跳，落腳點(diǎn)為點(diǎn)B.若從起跳點(diǎn)到落腳點(diǎn)之間的距離是2m,

則小紅這次跳遠(yuǎn)的成績(jī)可能是(D)A.2.2

m

B.2.1m

C.2mD.1.9m3.如圖，點(diǎn)A在直線l

上，點(diǎn)B,C

在直線l?

上，AB⊥l,AC⊥l,AC=5,AB=4,BC=3,

則下列說法正確的是(

A

)A.

點(diǎn)A

到直線l?的距離等于4B.

點(diǎn)

C到直線l的距離等于4C.點(diǎn)

C

到

AB的距離等于4

D.點(diǎn)

B到

AC

的距離等于3解析：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的概念可知，點(diǎn)A到直線l?

的距離等于4,點(diǎn)

C到直線l

的距離等于5,點(diǎn)

C到AB的距離等于3,點(diǎn)B到

AC

的距離等于3×4÷5=2.4.故選

A.4.引江濟(jì)淮工程是一項(xiàng)以城鄉(xiāng)供水和發(fā)展江淮航運(yùn)為主要目的的大型跨流域調(diào)水工程.要確定村莊A是否對(duì)河

道施工有影響，需測(cè)量村莊A到河道的距離.某測(cè)繪隊(duì)沿

河道規(guī)劃路線MN

進(jìn)行多次測(cè)量，如圖，測(cè)得的∠APN的度數(shù)與線段AP

的長(zhǎng)度如表所示：則下面說法正確的是(

B

)A.村莊A到河道的距離等于549m

B.村莊A

到河道的距離小于549mC.村莊A到河道的距離大于549m

D.村莊A到河道的距離等于550m∠

A

P

N

度

數(shù)(

)52.369.388.893.5105.8117.8A

P

長(zhǎng)

度(

m

)693587549550570620AP/M

測(cè)量點(diǎn)N解析：

由題意得，當(dāng)AP⊥MN,即∠APN=90°時(shí)，AP

的長(zhǎng)度為村莊A到河道的距離.由題表可知當(dāng)∠APN=88.8°時(shí)

，AP

的長(zhǎng)度為549m.因?yàn)榇咕€段最短，所

以村莊A

到河道的距離小于549m.

故選B.小軍同學(xué)的作法如下：如圖(2),①連接AB;②

過點(diǎn)A

作AC⊥l于點(diǎn)C,

則折線B-A-C

即為所求.老師說：“小軍同學(xué)的方案是正確的.

”請(qǐng)回答：該方案最節(jié)省材料的依據(jù)是(填寫序號(hào))

①③

.

(①兩點(diǎn)之間，線段最短；②在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；③垂線

段最短)5.在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下問題：如圖(1),需要在A,B

兩地和公路1之間修

A.

地下管道，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)最省材料的修建方案.圖(2)圖(1)6.如圖，點(diǎn)B在

點(diǎn)A北偏東40°方向，點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏西50°方向，

BC=10m,則點(diǎn)C

到直線AB

的距離為

10

m.北解析：如圖，因?yàn)锳E//BD,所以∠BAE+∠ABD=180°.因?yàn)椤螧AE=40°,∠DBC=50°,所以∠ABC=90°,所以CB⊥AB所以BC的長(zhǎng)即點(diǎn)C到直線AB的距離，所以點(diǎn)C到直線AB

的距離為10m.流.(1)從火車站到碼頭怎樣走最近?畫圖并說明理由；(2)從碼頭到鐵路怎樣走最近?畫圖并說明理由；(3)從火車站到河流怎樣走最近?畫圖并說明理由.7.如圖所示，碼頭、火車