【小學奧數(shù)培訓資料一：整數(shù)問題】

1、整數(shù)問題的概念網(wǎng)絡(luò)

想一想:

(1)分解質(zhì)因數(shù)有怎樣的本質(zhì)作用？

(2)從質(zhì)因數(shù)的角度來看，最大公因數(shù)是怎樣構(gòu)成的？

(3)從質(zhì)因數(shù)的角度來看，最小公倍數(shù)是怎樣構(gòu)成的？

(4)兩個數(shù)屬于哪些情形時肯定互質(zhì)？

2、整除的數(shù)字特征及應(yīng)用(一、二)

(一)學問及技能

1、整除的數(shù)字特征：

①能否被2、5整除——看末位；

能被2整除的末位有5種情形：末位是0,2,4,6,8.

能被5整除的末位有2種情形：末位是0,5.

理由：對隨意多位數(shù)a+,而是一個整十數(shù)，必能被2.5整除，因此只要看末

尾數(shù)a能否被2、5整除。

推廣：能否被4、25整除一看末兩位；

能否被8、125整除一看末三位；

你能夠仿照以上部分說明詳細情形及相應(yīng)理由嗎？

②能否被3、9整除——看碼和——去“三”法/去“九”法；

理由：對隨意多位數(shù)(a+b+c+d)+(999a+99b+9c)

-(a+b+c+d)+(llla+llb+c)X9,

而(11la+1Ib+c)X9必能被3、9整除，因此只要看碼和(a+b+c+d)

能否被3、9整除。

③能否被7、11、13整除一看末三位及前數(shù)之差；

理由：對隨意多位數(shù)(-a)+1001a,而1001=7X11X13,必能被7、11、13整

除，因此只要看末三位及前數(shù)之差(一a)能否被7、11、13整除。

④能否被11整除的另一手段一看奇偶碼差；

理由:對隨意多位數(shù)［(d+b)-(c+a)］+(1001a+99b+llc)

而(1001a+99b+llc)必能被H整除，因此只要看奇偶碼差［(d+b)-

(c+a)］能否被11整除。

2、應(yīng)用及技能：

①干脆應(yīng)用：判別；分析推算。

留意思索問題的有序性和完備性；并能夠拓展到用字母表示數(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域；

②綜合分拆應(yīng)用：分析推算；解決問題。

先分拆，堅持干脆、簡易的原則；

后推算，堅持從大到小、從簡到難的原則。

特殊留意：在解決問題的過程中，肯定要先將條件探討透徹！

(二)例題

例1、在口內(nèi)分別填上合適的數(shù)字，分別可以組成哪一些符合條件的數(shù)？

(1)4的倍數(shù)：307□,9口4,7985D0；

(2)9的倍數(shù)：78口9,口459,口37口98；

(3)11的倍數(shù)：175口，4口5口，D8985；

例2、將1,2,3,4,……,30從左至右依次排成一個多位數(shù)123456……282930,

這個多位數(shù)除以11所得的余數(shù)是多少？

例3、己知11|,那么a=?

例4、有一個六位數(shù)能被11整除，它的首位是7,其余各位數(shù)字各不相同。這樣

的六位數(shù)中最小的一個是多少？

例5^已知11I5,那么n最小是幾?

例6、已知721五位數(shù)，求全部滿意條件的五位數(shù)。

例7、中隊輔導(dǎo)員買來28枝價格相同的鋼筆準備用來嘉獎進步了的學生，一共

付款9口.2口元。已知口內(nèi)為同一數(shù)字，求鋼筆的單價。

例8、已知15|整數(shù)A,而且數(shù)A的各個數(shù)位上的數(shù)字只有0,8兩種，那么A

最小是多少？

例9、商店一共有6箱貨物，分別重15,16,18,19,20,31kg,兩位顧客買

走其中五箱，且其中一位所買重量是另一位的2倍。那么剩下的是哪一箱？

(三)習題

1、在口內(nèi)分別填上合適的數(shù)字，分別可以組成哪一些符合條件的數(shù)?

(1)4的倍數(shù):405□,9口8,898506；

(2)9的倍數(shù)：78口3,口453,□98D73；

(3)11的倍數(shù)：465口，5D7D,09789；

想一想：這是為什么？

你還能說出質(zhì)數(shù)的哪一些特性？

2、分解質(zhì)因數(shù)的概念及其本質(zhì)作用：

①分解質(zhì)因數(shù)：將隨意一個合數(shù)分解為若干個質(zhì)數(shù)相乘的形式。

②分解質(zhì)因數(shù)常依據(jù)整除的數(shù)字特征從大入手逐級分解，直至分解徹底。?般借

用乘方的寫法按質(zhì)因數(shù)從小到大依次排列。

如：55440=11X10X9X56=24X32X5X7X11

③對于隨意一個合數(shù)，將其分解質(zhì)因數(shù)以后即可發(fā)覺，其全部的約數(shù)不僅可以用

試除的方法一對一對地找出來，還可以依次用。個?全部質(zhì)因數(shù)一一組合而成。

如：54=2X3：'

用試除方法找54的約數(shù)有：1和54,2和27,3和18,6和9；

用質(zhì)因數(shù)組合找54的約數(shù)有：1（用0個），2和3（用1個），4和9（用2個）,

18和27（用3個），54（用4個即用全部）。

依據(jù)分步搭配相乘的乘法原理有如下結(jié)論：

對于合數(shù)A=aXXb'Xc'X……,

那么A的約數(shù)個數(shù)為（x+1）X（y+1）X（z+1）X……

而且A的全部約數(shù)和為（1+a+a2+-+ax）X（1+b+b2+-+by）X（1+c

Ic2I-----1c7）X.......

你能快速說出55440一共有多少個約數(shù)嗎？

④分解質(zhì)因數(shù)能夠看出隨意一個合數(shù)的本質(zhì)構(gòu)成，從而便于進一步的進行特質(zhì)分

析、條件構(gòu)造和重新組合推斷。

3、應(yīng)用技能：

能夠運用分解、估計、有序推理（從大入手）等手段結(jié)合質(zhì)因數(shù)的分解來解決數(shù)

的構(gòu)造推斷、重新組合等實際問題。

（二）例題

例1、將以下各數(shù)分解質(zhì)因數(shù)（口頭分解后干脆寫出結(jié)果），然后說一說它們各

有多少個約數(shù)？

①240②42560③

例2、①已知三個連續(xù)自然數(shù)的乘積是210,求這三個數(shù)。

②已知五個連續(xù)自然數(shù)的乘積是55440,求這五人數(shù)的平均數(shù)。

例3、已知下列連等算式中口內(nèi)數(shù)字正好由1?9組成，試在口中填上適當數(shù)字。

□□X□□二□□X□□□二3634

例4、自然數(shù)360一共有多少個約數(shù)？它的全部約數(shù)之和是多少？

例5、將下面8個自然數(shù)平均分成兩組，使這兩組數(shù)各自的乘積相等。

14,33,35,30,75,39,143,169.

例6、小明的姐姐參與了今年的中學數(shù)學競賽，賽后小明問姐姐：“這次競賽你

得了多少分？獲得了第幾名？”姐姐告知他：“我得的名次和我的歲數(shù)以及我的

得分乘起來是2910,你看我的得分和名次各是多少？”你能夠幫助推算出來嗎？

例7、正好是8個約數(shù)的自然數(shù)中，最小的一個是多少?

例8、一個整數(shù)A及1980的乘積正好等于另一個不為0的整數(shù)的平方。求A的

最小值是多少？

例9、有一個自然數(shù)，它有3個不同的質(zhì)因數(shù)，共有16個約數(shù)，而且其中一個

質(zhì)因數(shù)是數(shù)字和為11的盡可能大的兩位數(shù)。那么這樣的自然數(shù)最小一個是多

少？

※例10、一個自然數(shù)能夠分解為3個質(zhì)因數(shù)之積，而且這三個質(zhì)因數(shù)的平方和為

1710。求這個自然數(shù)。

例11、分別多年的兩位老友相遇于一路碑前，其中一人說：“我有3個孩子，年

齡之積為36,年齡之和為路碑上里程數(shù)「另一人看了里程數(shù)后說：“我還是不

能確定他們的年齡」于是第一人又補充說：“我兩個小一點的孩子是雙胞胎?！?/p>

其次人立即說出了3個孩子的年齡。你能說出來嗎？

（三）習題

1、將以下各數(shù)分解質(zhì)因數(shù)（口頭分解后干脆寫出結(jié)果），然后說一說它們各有多

少個約數(shù)？

①280②104055③21672

2、從360到630之間共有多少個數(shù)的約數(shù)為奇數(shù)個?

3、已知A=25X3：'X52><7,那么A的全部約數(shù)中最大的兩位數(shù)是多少？

4,自然數(shù)280一共有多少個約數(shù)？它的全部約數(shù)之和是多少？

5、有10個數(shù)：21,22,34,39,44,45,65,76,133,153<>將它們平均分成

兩組，并使得每組的5個數(shù)乘積相等。

6、有9個數(shù)：20,26,33,35,39,42,44,55,91。將他們分成三組，使得

每組數(shù)的乘積相等。

7、有4個連續(xù)奇數(shù)的乘積是326025,那么這4人數(shù)的和是多少？

8、如右圖，豎式中四個口內(nèi)的數(shù)字和是多少？口口

X□□

1767

9、邊長是整數(shù)厘米且面積為105平方厘米的形態(tài)不同的長方形一共有多少種？

10、河岸邊有867名學生準備乘船過河。來了一批小船，每條小船載人人數(shù)相等。

同學們分3次過河。求一共有多少條小船？

11、有3個自然數(shù)，其中最大數(shù)比最小數(shù)多6,而另一個是它們的平均數(shù)，且這

3個數(shù)的乘積為42560。求這3個數(shù)。

12、自然數(shù)675一共有多少個約數(shù)？它的全部約數(shù)之和是多少？

13、正好是12個約數(shù)的自然數(shù)中，最小的一個是多少？

14、張爺爺今年84歲，他告知人家：“我有3個孫子，他們的年齡之積正好是我

的歲數(shù)這么大，而且這3個孫子中，有兩個孫子的年齡之和正好是另一個孫子的

年齡。”你知道他的3個孫子各是幾歲嗎？

15^已知自然數(shù)對于a、b^c有：ab=132,bc=156,ca=143o那么a+b+c;？

16、求小于1000而且正好只有15個約數(shù)的最大自然數(shù)是多少？

4、最大公約數(shù)及最小公倍數(shù)（一、二、三）

（-）學問及技能

1、最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)的概念。

①最大公約數(shù)：幾個數(shù)公有的約數(shù)中最大的一個稱為它們的最大公約數(shù)。如A、

B的最大公約數(shù)記為（A,B）o

②最小公倍數(shù)：幾個數(shù)公有的倍數(shù)中最小的一個稱為它們的最小公倍數(shù)。如A、

B的最小公倍數(shù)記為1A,B]o

其概念運用主要體現(xiàn)在解決實際問題時理解條件的環(huán)節(jié)中。

2、最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)的構(gòu)成本質(zhì)及求法：

①從質(zhì)因數(shù)角度看它們的構(gòu)成本質(zhì)。

(1)幾個數(shù)的最大公約數(shù)一一由它們?nèi)抗械馁|(zhì)因數(shù)相乘組成。

因此在基礎(chǔ)數(shù)學課本中這樣用短除法求幾個數(shù)的最大公約數(shù)：每次用這兒個數(shù)公

有的質(zhì)因數(shù)去除，除到不再有公有的質(zhì)因數(shù)為止，其目的是在于找出這些數(shù)全部

公有的質(zhì)因數(shù)；然后將全部除數(shù)連乘即得它們的最大公約數(shù)。

(2)幾個數(shù)的最小公倍數(shù)一由每一個數(shù)全部的質(zhì)因數(shù)剔除重復(fù)之后相乘組成。

因此在基礎(chǔ)數(shù)學課本中這樣用短除法求幾個數(shù)的最小公倍數(shù)：先每次用這幾個數(shù)

公有的質(zhì)因數(shù)去除；然后每次用這幾個數(shù)中某幾個公有的質(zhì)因數(shù)去除，除到兩兩

互質(zhì)為止，其目的都是在于剔除重復(fù)的質(zhì)因數(shù)(重復(fù)一次或幾次都只以除數(shù)算一

次)；然后將全部除數(shù)和商連乘即得它們的最小公倍數(shù)。

特殊地：對于隨意兩個數(shù)A、B,有AXB=(A,B)X[A,B]。

②求法：

(1)對于較小的幾個數(shù)一用小數(shù)依次分拆法求它們的最大公約數(shù)、用大數(shù)依

次擴倍法求它們的最小公倍數(shù)。

(2)對于較大的幾個數(shù)一用輾轉(zhuǎn)相除法求它們的最大公約數(shù)。

輾轉(zhuǎn)相除法：其本質(zhì)就是逐次用差替換掉其中的大數(shù)。

(二)例題

例1、干脆寫出得數(shù)：

(27,36)=；(54,72)=；(50,15,75)=；

[27,36]=；[54,72]=；[50,15,75]=；

例2、己知:A=2X32X5\B=22X3X53X7,C=2X5X72

那么(A,B,C)=?[A,B,C]=?

例3、有3根鐵絲，分別長120cm、180cm和30Ccm,現(xiàn)在要將它們截成長，度為

整數(shù)厘米且相等的小段并要求每段盡可能長。那么一共可以截成多少小段？

例4、有一批獎金分給甲、乙兩個小組，平均每人可得60元；假如只分給甲組,

則平均每人可得100元。那么假如只分給乙組，平均每人可得多少元？

例5、某機器加工一種零件要經(jīng)過3道工序，第一道每人每小時可以完成3個，

其次道每人每小時可以完成15個，第三道每人每小時可以完成12個?，F(xiàn)在要使

生產(chǎn)均衡，3道工序應(yīng)各自至少配置多少人？

例6、一張長方形硬紙，長2703cm、寬1113cm.現(xiàn)在要將它截成若干個一樣大

小的正方形紙板，同時正方形邊長為整數(shù)厘米而且盡可能大并硬紙沒有剩余。那

么正方形紙板的邊長是多少？（圖示引入輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)）

例7、(4811,1981)=?(1008,1260,882,1134)=?

例8、已知甲、乙兩數(shù)的最大公約數(shù)是4,而它們的最小公倍數(shù)是252。那么甲、

乙兩數(shù)分別是多少？

例9、[21672,11352]=?

例10、已知（A,B）=12,且A共有8個約數(shù)、B共有9個約數(shù)。那么A+人?

例11、已知AXB=5766,且（A,B）=31。那么A、B分別是多少？

例12、已知A+B=612,且（A,B）=51。那么A、B分別是多少?

（三）習題

1、A、B、C三人定期去圖書館：A每6天去一次,B每8天去一次，C每9天去

一次。假如他們在10月1日那一天三人同時去了圖書館，那么下一次三人同時

去圖書館是在什么日期？

2、有36枝鋼筆、40個練習本平均獎給幾個優(yōu)秀學生，結(jié)果多出了1枝鋼筆,

但少了2個練習本。那么優(yōu)秀學生有兒人?

七、爺爺對小明說：“我現(xiàn)在的年齡是你的7倍，夠幾年后就只是你的6倍了,

再過一些年分別會變成你的5倍、4倍、3倍?！?/p>

聽了你這段話，你能求出爺爺和小明今年各自的歲數(shù)嗎？

/、馬路上有一排電線桿共有25根，每相鄰兩根之間的間隔距離為45米，現(xiàn)在

要改造成每相鄰兩根之間的間隔距離為60米。那么共有有多少根無需移動？

5、甲、乙、丙三人沿一環(huán)形跑道跑步，甲跑一圈須要1分12秒、乙跑一圈須要

1分20秒，丙跑一圈須要1分30秒。三人同時從起點動身后，最少經(jīng)過多少時

間三人又同時相遇于起點？

6、求小于2000而且正好只有21個約數(shù)的最大自然數(shù)是多少？

7、某數(shù)除以3余2,除以5余4,除以7余6。那么這個數(shù)最小是多少？

8、兩個數(shù)的最大公約數(shù)是6而最小公倍數(shù)是108、和是66o這兩個數(shù)各是多少？

9、已知甲、乙兩數(shù)的最大公約數(shù)是12,而它們的最小公倍數(shù)是576。那么甲、

乙兩數(shù)分別是多少？

10、已知（A,B）=20,且A共有8個約數(shù)、B共有9個約數(shù)。那么A+B=?

11、已知AXB=12250,且（A,B）=35。那么A、B分別是多少?

12、已知A+B=630,且（A,B）=42。那么A、B分別是多少？

町3、某人每連續(xù)上8天班后連休2天，已知他本周周六、周日休息，那么要再

過幾個星期后他又會在周日休息？

“4、現(xiàn)在已知3個不同自然數(shù)的和為385。那么這樣的3個不同自然數(shù)的最大

公約數(shù)可以達到的最大值是多少？

15、四個連續(xù)奇數(shù)的最小公倍數(shù)為9009,那么這四個數(shù)之和是多少？

16、已知自然數(shù)A有2個約數(shù)，那么自然數(shù)5A有多少個約數(shù)？

5、余數(shù)問題（一、二）

（-）學問及技能

1、依據(jù)帶余除法的結(jié)溝駕馭余數(shù)的本質(zhì)含義及性質(zhì)，并能應(yīng)用其解決相關(guān)實際

問題。

①被除數(shù)+除數(shù)=商……余數(shù)（OW余數(shù)V除數(shù)）

商和余數(shù)說明白被除數(shù)是除數(shù)的幾倍多幾。除數(shù)和商I（被除數(shù)一余數(shù)）

②余數(shù)的含義在實際生活中常被應(yīng)用于周期現(xiàn)象的對應(yīng)推算。

③余數(shù)的性質(zhì)常用于轉(zhuǎn)化整除的分析。

2、同余：

整數(shù)a,b除以n時所得余數(shù)相同，則稱a,b對于n同余。記為a三b(modn)

①依據(jù)整除的相關(guān)學問，相應(yīng)可得同余的有關(guān)性質(zhì)。

(1)反身性、對稱性、傳遞性。

(2)和、差、積、倍,幕運算的封閉性。

若a三b(modn),c=d(modn)，那么：

a+c=b+d(modn),a—c=b—d(modn).

ac=bd(modn),ka=kb(modn),an=b"(modn)

說明：運用同余的性質(zhì)可以將整數(shù)在只關(guān)注余數(shù)角度的狀況下不斷化簡，直到求

出小于除數(shù)的余數(shù)為止。

②依據(jù)同余的性質(zhì)可以遞推出中國剩余定理巧解“韓信點兵二

③某些求幕的個位數(shù)字的問題既一方面可歸為對于10的同余問題，另一方面可

以更加簡潔地歸為具有循環(huán)現(xiàn)象的周期問題。

(二)例題

例1、一個兩位數(shù)去除251,得到的余數(shù)是41,求這個兩位數(shù)。

例2、已知A：B=8……16,且AIB=439,那么A=?B=?

例3、已知2009年8月5日是星期三，那么2010年元旦是星期兒？

2009年六一兒童節(jié)呢？

例4、如圖，從數(shù)字行算起，2009在從上往下第幾行？從左往右第幾列？

ABCDEFG

23293541475359

777165

838995101107113119

137131125

例5、(1)求15X38X412X541除以13所得的余數(shù)。

(2)求4327X3275+3983—19X876除以17所得的余數(shù)。

例6、假如今日是星期六，那么過ZOOO?順天是星期幾？

例7、(1)求2OO92009的個位數(shù)字。

(2)求7加。的末兩位數(shù)字。

例8、某數(shù)除以3余1,除以5余3,除以7余5.滿意這個條件的最小自然數(shù)是

多少？

※例9、傳聞漢朝大將韓信點兵時，只要讓他看看士兵進行操練時的隊形變換狀

況就可以知道有多少士兵。有一次他檢閱一支一千多人的隊伍，望見成四路縱隊

時多出2人，成五路縱隊時多出1人，成七路縱隊時多出兩人，成十一路縱隊時

多出3人。至此他已經(jīng)知道了士兵總數(shù)，你能夠求出嗎？

例10、一個數(shù)除以5余1,除以6余3,除以7余6。這個數(shù)最小是多少？

(三)習題

1、有一個整數(shù)，用它去除300,262,205所得的余數(shù)相同且不為0,那么這個

整數(shù)是多少？

2、在一個有余數(shù)的除法算式里，被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)之和為933,而已知

商是40、余數(shù)是16。那么被除數(shù)是多少？

3、有一列數(shù)：3,5,8,8,5,3,3,5,8,8,5,3,……

這個數(shù)列的第2009項是幾？它的前2009項之和是多少？

4、已知2009年8月18日是星期二，那么2012年元旦是星期幾？

2012年六一兒童節(jié)呢？

5、如圖，從數(shù)字行算起，2007在從上往下第幾行？從左往右第幾列？

ABCDEFG

33394551

696357

75818793

in10599

6、(1)求47X67X567X741除以13所得的余數(shù)。

(2)求4589X3475+3897-23X896除以17所得的余數(shù)。

7、假如今日是星期六，那么過3點天是星期幾?

8、⑴求1987-的個位數(shù)字。

(2)求7200°的末兩位數(shù)字。

9、某數(shù)除以2余1,除以3余2,除以4余3,除以5余4,除以6余5,除以7

余6,除以8余7,除以9余8.滿意這個條件的最小自然數(shù)是多少？

10、一個數(shù)除以5余3,除以7余2,除以8余5。這個數(shù)最小是多少？

11、某年的10月份有5個星期六、4個星期天。那么這一年的10月1日星期幾?

12、求1,+2,+3,+4,-5'+……+198'+199’的和得個位數(shù)字。

6、整數(shù)的奇偶性

(-)學問及技能

1、對于整數(shù)問題，我切除了常從整除的角度進行思索以外，還有另一常用的思

索和分析工具一一奇偶性。

①排列方面

奇數(shù)的個位依次為1,3,5,7,9；偶數(shù)的個位依次為0,2,4,6,8。

這一方面說明白相鄰的奇數(shù)或相鄰的偶數(shù)依次相差2,另一方面還說明白依據(jù)自

然數(shù)的依次奇、偶數(shù)交替排列。這一性質(zhì)常被借用于染色說理。

②運算方面

加減法中，兩數(shù)相加減，同性得偶，異性得奇；推廣即有：若干個數(shù)相加減，只

有當其中共奇數(shù)個奇數(shù)時結(jié)果才為奇數(shù)。

乘法中則只要有一個因數(shù)為偶數(shù)則積為偶數(shù)。

2、解題要求：

①能夠依據(jù)奇偶性進行簡潔的數(shù)的推斷及結(jié)果的性質(zhì)判別。

②能夠借用奇偶數(shù)的排列性質(zhì)，結(jié)合染色手段,解決有關(guān)實際問題的推斷和說理。

(二)例題

例1、將1999拆為兩人質(zhì)數(shù)之和。那么這兩個質(zhì)數(shù)的積是多少？

例2、(1)算式1+2+3+4+5+……+2009的結(jié)果為奇數(shù)還是偶數(shù)?為什么?

(2)算式1X2+3X4+5X6+……+2009X2010的結(jié)果為奇數(shù)還是偶數(shù)？

為什么？

例3、(1)將2009個小球隨意分堆，則個數(shù)為奇數(shù)的堆數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？為

什么？

(2)有101個盒子排成一排,依次放入1,2,3,4,……，101個小球；

然后隨意打亂依次，再依次放入1,2,3,4,……，101個小球。這時將每個盒

子里球數(shù)相乘，積是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？

例4、三個連續(xù)的偶數(shù)之積是一個六位數(shù)求這三個偶數(shù)。

例5、某月內(nèi)有3個星期天的日期為偶數(shù)，那么這個月的12號是星期兒?

例6、如圖，你能用3個“田”和1個“T”覆蓋住4X4的網(wǎng)格嗎？為什么？

田

例7、如圖是中國象棋棋盤的一部分，依據(jù)規(guī)則，“馬”走“日”，那么棋盤上的

“馬”能否經(jīng)過2009步跳到A點處？為什么？

(三)習題

1、三個連續(xù)的偶數(shù)之積是一個五位數(shù)8派派派8,求這三個偶數(shù)。

2、三個連續(xù)的奇數(shù)之積是一個六位數(shù)求這三個奇數(shù)。

3、將4018張卡片分為兩組，每組的2009張上面分別寫有數(shù)1,2,3,4,……,

2009o每次從兩組中各自抽出一張并將卡片上兩數(shù)相加，共得2009個和。那么

這2009個和得積是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？

4、有一批文章共19篇，頁數(shù)分別為1,2,3,4,……，19。假如將這批文章

依據(jù)某種次序裝訂成冊并統(tǒng)一編上頁碼，那么每篇文章的第一頁是奇數(shù)的文章最

多能有多少篇？

5、已知A、B、C是三個連續(xù)的自然數(shù)，且其中只有一個偶數(shù)。那么(A-l)X

(B-2)X(C-3)的結(jié)果是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？

6、有11只杯子，杯口全部朝上。每次將其中的4只翻轉(zhuǎn)稱為一次運動。那么能

否經(jīng)過若干次運動使得杯口全部朝下？為什么？

7、證明：不存在這樣的整數(shù)A、B、C使得下面3個算式同時成立?

ABC+A=2009..........①

ABC+B=2011..........②

ABC+C=2013..........③

8、隨意交換某個三位數(shù)的三個數(shù)字得到一個新的三位數(shù)。某位同學將這兩個三

位數(shù)相加后得到和為999。證明：該同學的計算肯定有錯誤。

9、某個展覽會有25個展廳分布如圖呈一個5X5網(wǎng)格，且相鄰兩室均有門相通。

有人希望能夠從入口進，從出口出，每個展室去一次且只去一次。他能夠辦到嗎？

為什么？

【小學奧數(shù)培訓資料二：計數(shù)】

1、枚舉法

一、內(nèi)容概述

1、計數(shù)即統(tǒng)計數(shù)目，計數(shù)的關(guān)鍵在于既不重復(fù)、也不遺漏。要做到這一點，關(guān)

鍵是要在確定范圍以后先依據(jù)肯定的標準分類，再按肯定的依次進行計數(shù)。枚舉

就是將要計數(shù)的物體分類有序地一一列舉、再進行總數(shù)統(tǒng)計的方法。

2、枚舉無疑是最原始、最簡潔的計數(shù)方法，但是它同時也是計數(shù)最牢靠的方法,

也是發(fā)覺規(guī)律、找到技巧的最佳方法。枚舉是解決計數(shù)的過程中的基本方法，不

是最終目的。因此，假如能夠在列舉過程中剛好發(fā)覺規(guī)律并加以應(yīng)用和推廣，將

更有利于問題的盡快、盡簡解決。

3、對于多步枚舉，借助樹形圖列舉是是解決這一問題的常用技巧。

二、枚舉法的運用舉例

1、分類枚舉

例1、分子小于6而分母小于60的最簡真分數(shù)共有多少個？

例2、一本書共356頁，那么編它的頁碼時一共月多少個數(shù)字？

例3、一個長方形被一條直線分為2個部分，那么8條直線最多可以將長方形分

為多少個部分？假如是2002條呢？

例4、各位數(shù)字之和等于10的三位數(shù)一共有多少個?

2、多步枚舉一一借助樹形圖

例5、某人在A、B、C三個城市巡游，他今日在這個城市，明天就要到另一個

城市。那么，他從A城動身，4天后仍舊回到A城，共有多少種不同巡游路途？

例6、甲、乙兩人進行象棋競賽，雙方約定先勝四局者最終勝?，F(xiàn)在三局過后，

甲為二勝一負。那么要決出最終輸贏為止，一共有多少種不同的可能情形？其中

甲勝的不憐憫形共有多少種？（假設(shè)沒有和局）

3、標數(shù)枚舉（求最短路徑）

例7、如圖，要從A點走到B點，要求每一步都是向右、向上或者向斜上方,

那么共有多少種不同走法？

例8、如下各圖，由A點沿最短路途到達B點各有多少種不同走法?

A(1)⑵

三、習題

1、分子小于5而分母小于30的最簡真分數(shù)共有多少個?

2、用4、5、6、7、8這五個數(shù)能夠組成多少組互質(zhì)數(shù)？

3、現(xiàn)有1克、2克、4克、8克、16克的跌碼各一個，稱東西時，祛碼只能放在

天平的一邊，用這些祛碼可以稱出多少種不同的重量?

4、各位數(shù)字之和等于15的三位數(shù)一共有多少個?

5、在1?200的自然數(shù)中，不含數(shù)字“7”的數(shù)有多少個?

6、如下圖，由A點沿最短路途到達B點各有多少種不同走法?

7、從1、2、3、4、6、8這六個數(shù)字中隨意取出兩個作為被除數(shù)和除數(shù)，那么比

1大的不同的商一共有多少個？

8、甲、乙兩人進行乒乓球競賽，雙方約定先勝五局者最終勝?，F(xiàn)在四局過后，

甲為三勝一負。那么要決出最終輸贏為止，一共有多少種不同的可能情形？

其中甲勝的情形共有多少種？

2、加法，乘法原理（一）

一、內(nèi)容概述

1、加法原理和乘法原理來源于枚舉法中分類枚舉和多步枚舉，是枚舉中對于規(guī)

律的一種概括。

加法原理：完成一件事情，有k類不同的方法，而各類方法中明顯分別有皿、

m2、m3.....mk種不同的做法，那么完成這一件事情的方法總

數(shù)為：mi+m2+...+mk

乘法原理：完成一件事情，有k個必經(jīng)的步驟，而各個步驟中分別有mi、m2、

m3.............mk種不同的做法且搭配一樣，那么完成這一件事情的

xx

方法總數(shù)為：mixm2.......mk

2、可以用下圖表示加法原理和乘法原理：

|起點卜4|第一步第二步修

f|第一步卜》|終點

加法原理乘法原理

一、運用

例1、書架上有1?4冊的語文書各一本、1?3冊的外語書各一本、1?6冊的數(shù)

學書各一本。那么：

（1）從書架上取書一本，共有多少種取法？

（2）從書架上取語文、外語、數(shù)學書各一本，共有多少種取法？

例2、有5分幣，2分幣，1分幣各若干，現(xiàn)要組成1角錢，共有多少種不同的

組合方式？

例3、用10把鑰匙開10把鎖，但是不知道哪把鑰匙開哪把鎖，那么最多試多少

次就能夠?qū)⑷康蔫€匙和全部的鎖一配好？

例4、由數(shù)字0、1、3、5、7可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？能被5整

除的四位數(shù)（沒有重復(fù)數(shù)字）有多少個？

例5、在下圖中共有16個方格，現(xiàn)在要將A、B、C、D四枚棋子放到方格中，

而且要求每一行、每一列都只能出現(xiàn)一枚棋子，那么一共有多少種不同的放法?

例6、紅日小學的乒乓球代表隊由10名男隊員和8名女隊員組成:

（1）在鄉(xiāng)乒乓球?qū)官惿?，紅日小學要從這些隊員中選擇1名男隊員，1名女

隊員配成一組去參與男女混合雙打競賽，問有多少種不同的搭配方式？

（2）紅日小學榮獲鄉(xiāng)乒乓球競賽團體總分第一，校領(lǐng)導(dǎo)要從男隊員或女隊員中

任選一人去登臺領(lǐng)獎，問有多少種不同的選法？

三、習題

1、玩具商店有玩具槍5種、玩具飛機3種、玩具汽車6種。小明的爸爸只許他

選買一種。小明有多少種選擇方法？

2、有1枚5分硬幣、4枚2分硬幣、8枚1分硬幣。現(xiàn)在要取出8分錢，有多少

種取法？

3、有20名乒乓球選手進行單循環(huán)賽（每兩人都要賽一場），共要進行多少場競

賽？

4、在1000?1999的自然數(shù)中，個位數(shù)字大于百位數(shù)字的數(shù)一共有多少個？

5、有5件不同的上衣、3條不同的褲子、4頂不同的帽子，從中取出一頂帽子、

一件上衣、一條褲子配成一套裝束，最多有多少種不同的搭配方式?

6、用數(shù)字0?4這五個數(shù)字可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?

7、上海到南京的快車，除起點、終點外還要?？?個站。那么該路快車要準備

多少種車票？

8、一支籃球隊有A、R、C、D、E五名隊員，由于某種緣由，C不能做中鋒,其

余四名隊員可以安排到五個位置中的隨意一個上。那么該支籃球隊一共有多少種

不同的站位方式？

9、有4只小鳥飛入4個不同的籠子里，而每只小鳥都有自己的一個籠子，且每

個籠子里只能進一只小鳥。假如要求都不飛入自己的籠子里，那么一共有多少種

不同的飛法？

3、加法，乘法原理（二、三）

一、學問要點：

1、加法原理和乘法原理的區(qū)分首先在于是對所完成的“事情”能夠一步到位而進

行分類還是必需分步。

2、生活中進行加法原理及乘法原理的實際應(yīng)用時，常常應(yīng)當先考慮分類，再考

慮在每一類中進行分步。但要留意：有時并不能干脆發(fā)覺分類，而是在依據(jù)所分

的步驟前進幾步以后才發(fā)覺某一步中方法數(shù)不確定，這時就須要找到不確定的緣

由并作為分類的標準重來，先分類、再分步進行計數(shù)。

3、在乘法原理的運用中，常用到以下技巧：

(1)特殊位置先排或恃殊對象優(yōu)先考慮；

(2)相鄰站位時的整體捆住法；

(3)不相鄰站位時的選空插入法。

二、加法及乘法原理的綜合運用

例1、如圖是連接城市A、B、C的馬路網(wǎng)，汽車從A點動身經(jīng)過B到C選擇不

繞遠路的不同路途共有多少種？

例2、在1-50()的自然數(shù)中，不含有數(shù)字“4”的數(shù)共有多少個？A

例3、用4種顏色染下圖中編號為1,2,3,4的4個矩形，使任二相鄰的矩形

所染的顏色都不相同的染色方法有多少種？

例4、用紅、黃、綠三面旗子掛在旗桿上，可以掛一面、兩面、三面，不同的依

次，算不同的掛法。問有多少種不同的掛法？

例5、有1()級臺階，小明每步只能跨一級或者二級，那么小明要從底層上樓到

第I級有多少種不同的走法？

例6、育才小學有語文、數(shù)學、音樂、圖畫、體育5個課外活動小組，每個學生

必需參與且只能參與其中任何一個小組，冬冬和明明不在同一課外活動小組

的狀況有多少種？

例7、如下圖，從A處穿過房間到達B處，假如要求只能夠從小號房間走向大

號房間，而且相鄰的房間都有門相通，那么一共有多少種不同走法？

例8、有A、B、C、D、E五人站成一排照相：

（1）A、R只能站兩端，一共有多少種不同的站法？

（2）A、B不能站兩端，一共有多少種不同的站法？

（3）A、B只能站相鄰位置，一共有多少種不同的站法?

（4）A、B不能站相鄰位置，一共有多少種不同的站法?

三、習題

1、如圖，從A城到B城一共有多少種不同的走法?

2、支配甲、乙、丙、丁四人坐在一條長椅上，一共有多少種不同的方法？

3、一本書有376頁，那么編排這本書的頁碼共用多少個數(shù)字？其中數(shù)字“2”用

了多少次？

4、用兩個3、一個1、一個2可以組成多少個不同的四位數(shù)?

5、如圖是連接城市A、B、C的馬路網(wǎng)，汽車從A點動身經(jīng)過B到C選擇不繞

遠路的不同路途共有多少種？P

6、有10級臺階，小明每一步只能跨一級或者兩級或者三級，那么小明要從地面

跨上第10級臺階一共有多少種不同的走法?

7、用數(shù)字0?5可以組成多少個：

（1）沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？（2）沒有重復(fù)數(shù)字的能被5整除的四位數(shù)?

去（3）沒有重復(fù)數(shù)字的能被4整除的四位數(shù)？

8、有A、B、C、D、E、F、G、H八人站成一排照相，其中A、B、C三人只能

站在一起，那么一共有多少種不同的站法？

9、如圖，分別用4種顏色中的某一種對圖中A?E五個區(qū)域染色，要求相鄰區(qū)域

不同顏色，那么各圖中各有多少種不同

的染色方法？

4、容斥原理

(1)

一、內(nèi)容概述

I、前面所學的枚舉計數(shù)以及加法原理及乘法原理的運用都要求各類獨立。然而

實際生活中的計數(shù)還常常遇到不行避開的各類中互有重復(fù)的情形，這時就要用到

容斥原理。

2、容斥原理（又稱包含及解除）是計數(shù)中的一個基本原理，也是一個常用的計

數(shù)方法：在計數(shù)過程中，常常先將所計數(shù)的對象分為兒個部分，在對全部的部分

分別計數(shù)后再進行相加，然后減去重復(fù)計數(shù)的那些部分。

3、應(yīng)用容斥原理進行三類相互重復(fù)的實際計數(shù)時，為了能夠清晰直觀地看到計

數(shù)的各個部分以及全部重復(fù)的那些部分，常常通過作出“韋恩圖”一相交的圓圈

集合覆蓋圖予以展示。（如下圖）

從圖示可以看出：要計數(shù)第一、二、三部分一起

覆蓋面的大小，一方面可以將圖分為7個互不

相交的部分干脆相加；（這樣即分類枚舉）另一方面也

可以先將一、二、三部分相加，再減去重復(fù)的部分。想一想：怎樣減去？

3、對于容斥原理還要能夠敏捷地正反運用于計數(shù)中解決實際問題。

二、運用

（一）C=A+B-AB,這一公式可計算出兩個集合圈的有關(guān)問題。

例1、四?一班的全體同學都參與了音樂、美術(shù)這樣兩個課外活動小組。其中參與

音樂組的有29人，參與美術(shù)組的有32人，而兩個組都參與的同學有12人、那

么四.一班一共有多少名同學？

例2、在1-5（）的自然數(shù)中，是6的倍數(shù)或者9的倍數(shù)的數(shù)一共有多少個?

（二）D=A+B+C-AB-AC-BC+ABC,這一公式可計算三個集合圈的有關(guān)

問題。

例3、六年級的160名學生參與期末考試，其中：數(shù)學得滿分的有58人，語文

得滿分的有53人，外涪得滿分的有59人；而語文、數(shù)學都得滿分的有17人，

數(shù)學、外語都得滿分的有22人，語文、外語都得滿分的有2（）人：語文、數(shù)學、

外語都得滿分的有1（）人。那么六年級學生中語、數(shù)、外一門滿分都沒得的有多

少人？

例4、在1-500的自然數(shù)中，既不能被2整除、又不能被3整除、且不能被5整

除的數(shù)一共有多少個？

（三）圖像法綜合運用

不是利用容斥原理的公式計算，而是依據(jù)題意畫圖，并借助圖形幫助分析，

逐個地計算出各個部分，從而解答問題。

例5、某班有學生48人，其中21人參與數(shù)學競賽，13人參與作文競賽，有7

人既參與數(shù)學競賽又參與作文競賽，那么

（1）只參與數(shù)學競賽的有多少人？

（2）參與競賽的一共有多少人？

（3）沒有參與競賽的一共有多少人？

例6、在不超過100的自然數(shù)中：

（1）被2、3、5三個數(shù)都能整除的數(shù)有多少個？

（2）能被2、3、5中一數(shù)整除，但不能被另兩數(shù)整除的數(shù)分別有多少個？

（3）能被2、3、5中兩數(shù)整除，但不能被另一個整除的數(shù)分別有多少個？不能

被2、3、5中任何一個數(shù)整除的數(shù)有多少個？

例7、有6個邊長10厘米的正方形紙片都在中心被挖了一個正方形洞而形成了6

個寬1厘米的正方形方框放在桌面上，如圖。求它們一共蓋住桌面的面積。

三、習題

1、在1?100的自然數(shù)中，既不是3的倍數(shù)、也不是5的倍數(shù)的數(shù)一共有多少個?

2、六年級有語文、數(shù)學、英語三個課外活動小組。參與了語文小組的有27人，

參與了數(shù)學小組的有23人，參與了英語小組的有18人；而同時參與了語文、數(shù)

學小組的有4人，同時參與了數(shù)學、英語小組的有7人，同時參與了英語、語文

小組的有5人；三個小組都參與的有2人。那么六年級參與了課外小組的一共有

多少人？

3、如圖：A、B、C三人圓的面積分別為9、8、1：平方厘米，而A及B、B及C、

C及A每兩個圓的公共部分面積分別為5、4、3衣方厘米。

現(xiàn)在已知三個圓共蓋住桌面18平方厘米。那么三個圓都重A，一[/1B

合的部分有多大？\7

4、在1?500的自然數(shù)中，既不是3的倍數(shù)、也不是5的倍數(shù)、且不是7的倍數(shù)

的數(shù)一共有多少個？

5、抽屜原理(一)

一、學問要點：

1、抽屜原則是應(yīng)用生活實例得出的一種描述整體狀態(tài)的“數(shù)學模型

(1)簡潔的抽屜原則:將n+1個“蘋果”放入n個“抽屜”中,則必定有一個“抽

屜”中至少放入了2個“蘋果”。

(2)加強的抽屜原則：將mn+1個“蘋果”放入n個“抽屜”中，則必定有一個“抽

屜”中至少放入了m+1個“蘋果”。

抽屜原則的結(jié)論可以用反證法進行證明。

2、理解抽屜原則時須要留意：

（1）“蘋果”只是所考察的不同事物或者事物組的一個形象代稱；

（2）“抽屜”也只是在某種給定形式之下的一個個相互獨立的“單位”。

（3）抽屜原則所關(guān)注只是全部事物的一個整體狀態(tài)的最小值，因此不關(guān)注也不

須要求出詳細是哪一個“抽屜”的狀態(tài)，也不管其詳細的精確值。

一、運用

（一）已知“蘋果”和“抽屜”而借助抽屜原理說理或證明

例1、試證：任何13人中至少有2人在同一月份過生日。

例2、某奧林匹克數(shù)學班有52名同學，他們分別來自10所小學，請你證明，至

少有一所小學來的人數(shù)超過5人。

例3、有黑色、白色、黃色的筷子各8根混雜在一起，黑暗中想要從這些筷子中

取出不同顏色的兩雙筷子。那么至少要取多少根才能保證達到要求？

（-）求“蘋果”或“抽屜”

例4、一個口袋中裝有500粒珠子，共有5種顏色，每種顏色各100粒，假如你

閉上眼睛，至少取出多少粒珠子才能保證其中有5粒顏色相同？

例5、體育器材里有一批籃球、排球、足球和實心球，每人隨意搬3個，那么在

61位搬運者中，至少有幾人搬運的球完全相同？為什么？

例6、用1、2、3這三個數(shù)字隨意寫出一個2003位數(shù)，從這個2003位數(shù)中隨

意截取相鄰的3位數(shù)字，可以組成很多三位數(shù)，這些三位數(shù)中至少有多少個是相

同的？

三、習題

1、在一副撲克牌中去掉大王和小王以后，任取多少張則至少有兩張為同一花色?

為什么？

2、已知六一班共55名學生，那么該班中至少有多少名學生同在一個月生日？為

什么？

3、有黑色、白色、黃色的筷子各12根混雜在一起，黑暗中想要從這些筷子中取

出不同顏色的兩雙筷子。那么至少要取多少根才能保證達到要求？

4、一個口袋中裝有600粒珠子，共有6種顏色，每種顏色各100粒，假如你閉

上眼睛，至少取出多少粒珠子才能保證其中有6粒顏色相同？

5、六一班有43名學生報名參與數(shù)學、美術(shù)、書法這三個課外小組每人可以報名

參與一個、兩個或者三個小組。那么這些學生中至少有多少人的報名方式完全相

同？

6、用1、2、3這三個數(shù)字隨意寫出一個2009位數(shù)，從這個2009位數(shù)中隨意截

取相鄰的3位數(shù)字，可以組成很多三位數(shù)，這些三位數(shù)中至少有多少個是相同

的？

7、有N支隊伍參賽的足球競賽中，已經(jīng)賽過了N+1場。證明：必定有一支隊

伍至少賽過了3場。

6、抽屜原理（二）

一、學問要點：

1、須要留意的兒個地方：

（1）抽屜原理是探討物品及抽屜的關(guān)系，要求物品數(shù)比抽屜數(shù)或抽屜數(shù)的倍

數(shù)多，至于多多少，這倒無妨。

（2）“隨意放”的意思是不限制把物品放進抽屜里的方法，不規(guī)定每個抽屜中

都要放物品，即有些抽屜可以是空的，也不限制每個抽屜放物品的個數(shù)。

（3）抽屜原理只能用來解決存在性問題，“至少有一個”的意思就是存在，滿

意要求的抽屜可能有多個，但這里只須要保證存在一個達到要求的抽屜

就夠了。

（4）將。件物品放入〃個抽屜中，假如"〃=機...b,其中匕是自然數(shù)，那

么由抽屜原理二就可得到，至少有一個抽屜中的物品數(shù)不少于（6+1）件。

（5）把全部整數(shù)依據(jù)除以某個自然數(shù)加的余數(shù)分為相類，叫做〃?的剩余類或

同余類，用[0],[1],…，[川-1]表示，每一個類含有無窮多個數(shù)，在

探討及整除有關(guān)的問題時，常用剩余類作為抽屜，依據(jù)抽屜原理.，可以

證明：隨意”+1個自然數(shù)中，總有兩個自然數(shù)的差是〃的倍數(shù)。

2、構(gòu)造抽屜的方法：

運用抽屜原理解決有關(guān)的數(shù)學問題，關(guān)鍵是構(gòu)造抽屜，常見的構(gòu)造抽屜的方

法有：“數(shù)的分組”、“圖形的分割”、染色分類“、剩余類”等。

二、抽屜的構(gòu)造

1、剩余類

例1、任取多少個自然數(shù)，必有兩個數(shù)的差是7的倍數(shù)？

2、數(shù)的分組

例2、從2、4、6、…、30、32這16個偶數(shù)中，任取幾個數(shù)，其中肯定有兩個

數(shù)之和是34?

例3、從1、2、3.............10這十個數(shù)中，任取六個數(shù)，試證：這六個數(shù)中總可

找到兩個數(shù)，其中一個數(shù)是另一個的倍數(shù)。

3、圖形的分割

例4、己知一平行四邊形，其較長對角線長為12米，隨意放進若干個點，至少

要放多少個點，才能保證其中必有兩點之間的距離不超過3米？

例5、在邊長為1的正三角形內(nèi)(或其邊上)隨意放入1()個點，試證：其中至

少有兩個點的距離不超過

3

4、染色分類

例6、如圖在同一個3x9的方格棋盤內(nèi)，隨意用紅色或藍色涂每個方格，試證:

至少有兩列的涂色方式是相同的。

3O00

-0-

Oo30

g--

Oo00

-7-

13o08

※例7、在一個3x7的方格棋盤的每一個小方格內(nèi)放上一粒白棋子或一粒黑棋子,

試證：不論怎樣放，必定存在一個長方形，其四個角上小方格內(nèi)的棋子同色。

解：如圖所示，每列3粒棋子擺放共有8種狀況，考慮最糟糕狀況，

先將2至7號放入3X7的方格棋盤中，此時還沒有這樣的長方形。

（1）若剩下的1列放2至7號中的某1歹力則同號的兩列

必存在四個角上小方格內(nèi)的棋子同色：

若剩下的列放號，則、、號及號存在四個角上

（2）112341_--

000

--

小方格內(nèi)的棋子同色；0oo00

3--

3oo00

--

（3）若剩下的1列放8號，則5、6、7號及834oo678

號存在四個角上小方格內(nèi)的棋子同色。

所以不論怎樣放，必定存在一個長方形，其四個角上小方格內(nèi)的棋子同色。

三、習題

1、任取多少個自然數(shù)，必有兩個數(shù)的差是9的倍數(shù)？

2、從2、4、6、…、60這30個偶數(shù)中，任取幾個數(shù)，其中肯定有兩個數(shù)之和是

62?

3、一個口袋里有紅球3個、黃球5個、藍球8個、黑球9個。從袋子里隨意取

球，一次至少取出多少個球才能保證必有4個同顏色的球？

4、有紅、黃、綠、白四種顏色的小球各若干個，每個人可以從中任取2個,那

么當有多少人取球時才能保證至少有4人所取得球完全相同？

5、某旅游團一行50人，隨意巡游甲、乙、丙三地。那么至少有多少人巡游為地

方完全相同？

6、在邊長2厘米的正三角形內(nèi)有5個點。那么必有兩個點，它們之間的距離不

超過1厘米。為什么？

【小學奧數(shù)培訓資料三：計算】

1、分數(shù)的意義和性質(zhì)

一、內(nèi)容概述

1、分數(shù)的意義一一把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù),

叫做分數(shù)。

分數(shù)各部分名稱一一在分數(shù)里，中間的橫線叫做分數(shù)線；分數(shù)線下面的數(shù)叫做分

母，表示單位“1”平均分成多少份；分數(shù)線上面的數(shù)叫做分子，表示有這樣的

多少份。和除法相對應(yīng)，分數(shù)的分子相當于被除數(shù)，分母相當于除數(shù)，分數(shù)線相

當于除號，因此。不能作為分母。

對于分數(shù)，要自覺聯(lián)想到關(guān)于它的平均分的整體（即單位“1”）和相應(yīng)的份數(shù)。

對于除法計算，要自覺運用分數(shù)表示其結(jié)果。

2、分數(shù)的分類

真分數(shù)一一分子比分與小的分數(shù)，或者說分數(shù)值小于1的分數(shù)，如3、2。

57

假分數(shù)一一分子不小于分母的分數(shù)，或者說分數(shù)值不小于1的分數(shù)，如［、-o

69

一個假分數(shù)可以化為整數(shù)或帶分數(shù)（由整數(shù)和真分數(shù)合成的數(shù)如讓，3-）c

45

3、分數(shù)的性質(zhì)一一分數(shù)的分子、分母同時擴大或縮小相同的倍數(shù)（不為0）,分

數(shù)值保持不變。

將一個分數(shù)的分子、分母縮小相同倍數(shù)的過程叫約分；將幾個分數(shù)的分母化為相

同的過程叫通分。

4、分數(shù)的大小比較常用方法：

統(tǒng)一分母；統(tǒng)一分子；都和1比；求差或求商比較法；倒數(shù)比較法，……

二、應(yīng)用

例1、已知甲數(shù)是乙、丙平均數(shù)的那么甲數(shù)是甲、乙、丙平均數(shù)的幾分之幾？

7

例2、某人從甲地到乙地，用時3()分鐘；他返回時速度提高那么他回來用

4

時多久？

例3、要把9塊完全相同的巧克力平均分給4個孩子，每塊巧克力最多只能切成

兩部分。怎么分？

7

例4、分數(shù)1■的分子加上6,要使分數(shù)值不變，則分母應(yīng)加上多少？

1

例5、計算：(1)(2)

234Too

例6、比較大?。?/p>

7515101260

(1)把下列各數(shù)用“〈”連接起來：—

3823萬‘歷‘87

(2)比較及的大小。

(3)比較分數(shù)和的大小。

(4)比較(1+—+—+—)X(—+—+—+—)

2342