范德蒙德行列式的證明及應(yīng)用研究摘要 [3]。從而得到如下齊次線性方程組： ②其中，為未知量，并且它的系數(shù)行列式是一個(gè)形如范德蒙德行列式的行列式，即 ==由克拉默（Cramer）法則可知，方程組②有零解即從而例2證明：假如在平面上有個(gè)點(diǎn),其中互不相同,都相同，則存在唯一一個(gè)次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式，即存在通過(guò)這個(gè)點(diǎn)，即 證明：設(shè),使,則需要滿足關(guān)于的線性方程組:③③方程組的系數(shù)行列式為范德蒙德行列式，所以可得出當(dāng)各不相同時(shí)，由克拉默（Cramer）法則知該方程組有唯一解，即對(duì)平面上個(gè)點(diǎn)，則必存在唯一的一個(gè)字?jǐn)?shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式通過(guò)該個(gè)點(diǎn)。例3設(shè)多項(xiàng)式的個(gè)根為.又記為的判別式.證明有重根的充分必要條件式△==0，其中 分析：利用行列式乘法計(jì)算公式對(duì)△進(jìn)行下一步分解，經(jīng)分解可得△等于兩個(gè)范德蒙德行列式的乘積。然后我接著再進(jìn)行下一步的證明。解：△==有重根可得判別式，所以△=0。例4若次多項(xiàng)式有個(gè)互不相同的不動(dòng)點(diǎn)，則是具有無(wú)窮多個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的一次多項(xiàng)式解：設(shè)多項(xiàng)式的個(gè)互不相同的不動(dòng)點(diǎn)，令，那么有，也即這說(shuō)明是下面方程組（3）的一組解。此外，齊次線性回歸方程組（3）的系數(shù)矩陣的行列式是一個(gè)范德蒙德轉(zhuǎn)置行列式，從而我們可得到上述方程組（3）只有零解，所以，于是便可推導(dǎo)出，這是一個(gè)含有無(wú)窮多（無(wú)數(shù)）個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的一次行列式。3.3范德蒙德行列式在線性變換中的應(yīng)用線性變換可以說(shuō)是高等代數(shù)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，題目的變化具有多樣性和靈活性。應(yīng)用范德蒙德行列式可以提高問(wèn)題解決的效率，使問(wèn)題解決的過(guò)程變得通俗易懂、簡(jiǎn)介明了。接下來(lái)我將介紹以下幾類范德蒙德行列式在線性變換中的應(yīng)用。例1在數(shù)域中，是中的線性變換，設(shè)是線性空間中的一組基，且存在，證明:線性空間中的線性變換。證明：由已知條件可知=線性變換在基下的矩陣為,其中=且行列式是范德行列式，由于行列式不為零，從而我們可知行列式是一個(gè)可逆的行列式，相應(yīng)的可得出上述變換是一個(gè)可逆線性變換。例2如果是線性變換的所有兩兩不同的特征值，，則當(dāng)時(shí)，必有。證明：由題意可知，依次代入等式兩端，可得到 =1\*GB3①用矩陣的方法可表示為 =2\*GB3②矩陣是一個(gè)范德蒙德行列式，由于兩兩截然不相同，從而可得知這個(gè)矩陣是可逆矩陣。在=2\*GB3②式兩端分別右乘，則可得到，即證。3.4范德蒙德行列式在向量線性相關(guān)性中的應(yīng)用例1證明在空間中一個(gè)向量集中含有無(wú)限多個(gè)向量，而且這樣一個(gè)向量集中的任意三個(gè)向量都是線性無(wú)關(guān)的。證：設(shè)該向量集為,從中選出3個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，這樣的3個(gè)向量可構(gòu)成如下行列式，且上述行列式的形式類如范德蒙德行列式的形式，因?yàn)槭侨齻€(gè)不同的數(shù)，因此上述行列式值不為0，從而可推得它們線性相關(guān)。例2階矩陣的不同特征值為。在矩陣中的與特征值相對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量分別是，…,,從而可知是線性無(wú)關(guān)的一組向量組。證明：設(shè)有使得令則上式可以寫(xiě)成…①，又因?yàn)槭翘卣髦档奶卣飨蛄? ② 將①式的左右兩邊同時(shí)乘以矩陣，再根據(jù)②式可得=3\*GB3③ 再將=3\*GB3③式兩邊同時(shí)乘以矩陣到。不斷地重復(fù)上述步驟可得到可寫(xiě)成矩陣的形式=④可得到上述研究線性方程組的系數(shù)行列式是范德蒙德行列式，又因?yàn)樗鼈兊奶卣髦蹈鞑幌嗤?，所以這個(gè)行列式不為0；從而可實(shí)現(xiàn)可逆，將④式兩邊同時(shí)乘以的逆，可得，有,.又由于線性無(wú)關(guān)，,所以向量組線性無(wú)關(guān)。例3證明：對(duì)應(yīng)于矩陣的不同特征根對(duì)應(yīng)的特征向量是線性無(wú)關(guān)的。解：假設(shè)線性相關(guān)，則存在不全為零的個(gè)數(shù)，使=1\*GB3①由于是分別屬于矩陣的不同特征根征向量，故有=2\*GB3②用矩陣左乘式=1\*GB3①得=3\*GB3③再利式=2\*GB3②得到=4\*GB3④對(duì)式=4\*GB3④實(shí)施上述過(guò)程得到繼續(xù)進(jìn)行上述過(guò)程得到齊次線性方程組=5\*GB3⑤把其線性方程組=5\*GB3⑤理解為以為未知數(shù)的線性方程組，且該系數(shù)行列式是一個(gè)類如范德蒙行列式的行列式，并且由克拉姆法則知，因?yàn)?，因此只能有，這與不全為零相矛盾。3.5范德蒙德行列式在向量空間理論中的應(yīng)用應(yīng)用范德蒙德行列式處理向量空間理論問(wèn)題的研究，能使問(wèn)題變得更加通俗易懂，并且更能得出以下結(jié)論。例1在數(shù)域上的有一個(gè)維向量空間，且對(duì)于任意正整數(shù)都成立,證明：在中存在個(gè)向量，在隨意取得個(gè)向量都是線性無(wú)關(guān)的。證明：因?yàn)?所以只需要在中思考。取個(gè)向量,，…,，令=,,因?yàn)槭欠兜旅傻滦辛惺?，所以向量線性無(wú)關(guān)。例2在數(shù)域上含有一個(gè)維線性空間，證明不能被中的有限個(gè)真子空間覆蓋。證明：分兩種情況當(dāng)?shù)臅r(shí)候，結(jié)果顯然成立當(dāng)時(shí)，是中元素的集合，令是中的一組基。設(shè)，令當(dāng)為單位向量時(shí)，可容易證明是雙射（省略）。假設(shè)是的真子空間，則中的元素在中的個(gè)數(shù)小于否則，若，，,系數(shù)行列式為范德蒙德行列式，且不為0.所以，與前面矛盾，當(dāng)，而中蘊(yùn)含無(wú)窮多個(gè)不同的元素，中的元素只有有限多個(gè)元素在中，但,所以有，即能證明結(jié)論。3.6范德蒙德行列式在微積分中的應(yīng)用 例1若至少含有階導(dǎo)數(shù)，并且對(duì)于某一個(gè)具體的實(shí)數(shù)有和，證明，（表示）證明：首先將寫(xiě)成與線性組合。其次再依據(jù)泰勒公式:①，,其中,這是關(guān)于的線性組合表達(dá)式，它的系數(shù)行列式等于，中含有一個(gè)范德蒙德行列式，且該行列式的值為,所以的值為1，于是方程組①把寫(xiě)成與的線性關(guān)系式，因此只需要證明即可。事實(shí)上，可以設(shè)，可得：，在該式中令和令,則可得。例2設(shè)，當(dāng)時(shí)為最高階的無(wú)窮小，其中是常數(shù)。并給出了等價(jià)表達(dá)式。解：利用泰勒公式可得 =當(dāng)時(shí)，若最高無(wú)窮小在6階以上，則有以下方程組。上述方程組的系數(shù)行列式為范德蒙德行列式。該行列式的值不是0，所以為未知數(shù)的方程組只有零解，，不符合題目的意思。當(dāng)時(shí)，若最高無(wú)窮小在6階 時(shí)，令該方程組等價(jià)于，該方程組以為未知數(shù)，上述方程組的系數(shù)可組成一個(gè)范德蒙德行列式，并且此行列式的值不等于0，所以對(duì)于方程組有唯一一組解：，從而有以下主要形式的表達(dá)式：4.結(jié)束語(yǔ)范德蒙德行列式是一類特殊的行列式，在很多數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著很重要的應(yīng)用，本文介紹了范德蒙德行列的證明、計(jì)算，還有一些應(yīng)用。在探究范德蒙德行列式的應(yīng)用，首先我們應(yīng)當(dāng)了解什么樣的行列式是范德蒙德行列式及證明過(guò)程，這是一個(gè)基本的問(wèn)題。在探索它的應(yīng)用時(shí)，我們需要更多地思考它知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系。在本文中，筆者舉了很多例子，這些例子證明了范德蒙德行列式的廣泛應(yīng)用。參考文獻(xiàn)王萼芳,石生明，高等代數(shù)（第三版）[M].北京.高等教育出版社，2013馮錫剛.范德蒙德行列式在行列式計(jì)算中的應(yīng)用[J].山東輕工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),2000韓榮梅.范德蒙德行列式在多項(xiàng)式和線性變換中的應(yīng)用[J].內(nèi)蒙古科技大學(xué)包頭師范學(xué)院,2020李婷.范德蒙德行列式的應(yīng)用研究[J].棗莊學(xué)院.2017顧燕,張俊偉.范德蒙德的行列式的推廣及其應(yīng)用[J].蘇州大學(xué),2015 揚(yáng)子胥.高等代數(shù)習(xí)題解[M].山東：山東科技技術(shù)出版社，2003.黃朝霞.范德蒙德行列式的推廣[