小題速練3不等式一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.[2025·石家莊模擬]不等式eq\f(3x－2,2x＋3)<0的解集是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)<x<\f(3,2))))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)<x<\f(2,3)))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－\f(2,3)或x>\f(3,2))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－\f(3,2)或x>\f(2,3)))2.[2025·廣州模擬]下列命題為真命題的是()A.若a>b，則eq\f(b＋c,a＋c)>eq\f(b,a) B.若a>b，c>d，則a－d>b－cC.若a<b<0，則a2<ab<b2 D.若a>b，則eq\f(1,a－b)>eq\f(1,a)3.[2025·紹興模擬]若關(guān)于x的不等式|x2＋mx＋n|>0的解集為{x|x≠1且x≠2}，則()A.m＝3，n＝2 B.m＝－3，n＝2C.m＝3，n＝－2 D.m＝－3，n＝－24.[2025·上海浦東區(qū)模擬]已知a∈R，則下列結(jié)論不恒成立的是()A.a(1－a)≤eq\f(1,4) B.a＋eq\f(1,a)≥2C.|a－1|＋|a＋2|≥3 D.sina＋eq\f(1,2＋sina)≥05.[2024·武漢模擬]有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只用一種顏色，且三個房間顏色各不相同.已知三個房間的粉刷面積(單位：m2)分別為x，y，z，且x>y>z，三種顏色涂料的粉刷費用(單位：元/m2)分別為a，b，c，且a<b<c，在不同的方案中，最低的總費用(單位：元)是()A.ax＋by＋cz B.az＋by＋cxC.ay＋bz＋cx D.ay＋bx＋cz6.[2025·湛江模擬]當(dāng)x>0，y>0時，eq\f(x＋y,2)≥eq\r(xy)，這個基本不等式可以推廣為當(dāng)x，y>0時，λx＋μy≥xλyμ，其中λ＋μ＝1且λ>0，μ>0.考慮取等號的條件，進(jìn)而可得當(dāng)x≈y時，λx＋μy≈xλyμ.用這個式子估計eq\r(10)可以這樣操作：10eq\f(1,2)×9eq\f(1,2)≈eq\f(1,2)×10＋eq\f(1,2)×9＝eq\f(19,2)，則eq\r(10)≈eq\f(19,6)≈3.167.用這樣的方法，可得eq\r(3,28)的近似值為()A.3.033 B.3.035C.3.037 D.3.0397.[2025·黃岡模擬]直線ax＋by－1＝0過函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x－1)圖象的對稱中心，則eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)的最小值為()A.9 B.8C.6 D.58.[2024·張家口模擬]已知正數(shù)m，n滿足m＋n＋eq\f(9m＋n,mn)＝10，則m＋n的最大值為()A.5 B.6C.7 D.8二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.[2025·長沙模擬]設(shè)a，b，c，d為實數(shù)，且a>b>0>c>d，則下列不等式正確的有()A.c2<cd B.a－c<b－dC.ac<bd D.eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>010.[2025·武漢模擬]下列說法正確的是()A.若ac2>bc2，則a>b B.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)的最小值為2C.?a>b，m>0，eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m) D.eq\r(sin2x＋1)＋eq\f(1,\r(sin2x＋1))的最小值為211.[2025·泉州模擬]已知a>0，b>0，且a＋b＝4，則()A.a＋2b>4 B.(a－1)(b－1)>1C.log2a＋log2b≥2 D.2a＋eq\r(4b)≥8三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.[2025·淮安模擬]希羅平均數(shù)(Heronianmean)是兩個非負(fù)實數(shù)的一種平均，若a，b是兩個非負(fù)實數(shù)，則它們的希羅平均數(shù)H＝eq\f(a＋\r(ab)＋b,3).記A＝eq\f(a＋b,2)，G＝eq\r(ab)，則A，G，H從小到大的關(guān)系為________.(用“≤”連接)13.[2025·岳陽模擬]如圖，某人沿圍墻CD修建一個直角梯形花壇ABCD，設(shè)直角邊AD＝x米，BC＝2x米，若AD＋AB＋BC＝12米，問當(dāng)x＝________米時，直角梯形花壇ABCD的面積最大.14.[2024·廣州模擬]已知正數(shù)x，y滿足x＋y＝6，若不等式a≤eq\f(x2,x＋1)＋eq\f(y2,y＋2)恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.參考答案1.B[不等式eq\f(3x－2,2x＋3)<0化為：(2x＋3)(3x－2)<0，解得－eq\f(3,2)<x<eq\f(2,3)，所以不等式eq\f(3x－2,2x＋3)<0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(3,2)<x<\f(2,3))).故選B.]2.B[對于A，可以取a＝2，b＝1，c＝－1，此時eq\f(b＋c,a＋c)<eq\f(b,a)，所以A錯誤.對于B：∵c>d，∴－d>－c，因為a>b，所以a－d>b－c，故B正確；對于C：取a＝－2，b＝－1時，則a2＝4，ab＝2，b2＝1，則a2>ab>b2，故C錯誤；對于D：當(dāng)a＝1，b＝－1時，eq\f(1,a－b)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,a)＝1，則eq\f(1,a－b)<eq\f(1,a)，故D錯誤；故選B.]3.B[由已知可得1、2為方程x2＋mx＋n＝0的根，由韋達(dá)定理可得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋2＝－m，,1×2＝n，))解得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－3，,n＝2，))故選B.]4.B[對于A，a(1－a)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,4)≤eq\f(1,4)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝eq\f(1,2)時取等號，所以a(1－a)≤eq\f(1,4)，故A正確；對于B，當(dāng)a<0時，a＋eq\f(1,a)<0<2，故B錯誤；對于C，|a－1|＋|a＋2|≥|(a－1)－(a＋2)|＝3，當(dāng)且僅當(dāng)(a－1)(a＋2)≤0，即－2≤a≤1時，取等號，所以|a－1|＋|a＋2|≥3，故C正確；對于D，因為sina∈[－1，1]，所以2＋sina∈[1，3]，則sina＋eq\f(1,2＋sina)＝2＋sina＋eq\f(1,2＋sina)－2≥2eq\r(（2＋sina）·\f(1,2＋sina))－2＝0，當(dāng)且僅當(dāng)2＋sina＝eq\f(1,2＋sina)，即sina＝－1時，取等號，所以sina＋eq\f(1,2＋sina)≥0，故D正確.故選B.]5.A[由x>y>z，a<b<c得，ax＋by＋cz－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(x－z)(a－c)<0，故ax＋by＋cz<az＋by＋cx，ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(x－z)(c－b)>0，故ay＋bz＋cx>ay＋bx＋cz；ax＋by＋cz－(ay＋bx＋cz)＝a(x－y)＋b(y－x)＝(x－y)(a－b)<0，故ax＋by＋cz<ay＋bx＋cz，故最低的總費用為ax＋by＋cz，故選A.]6.C[依題意，28eq\s\up6(\f(1,3))×27eq\s\up6(\f(2,3))≈eq\f(1,3)×28＋eq\f(2,3)×27＝eq\f(82,3)，則eq\r(3,28)≈eq\f(82,27)≈3.037.故選C.]7.A[因為y＝x＋eq\f(1,x)為奇函數(shù)，所以函數(shù)圖象關(guān)于(0，0)中心對稱，函數(shù)圖象向右平移1個單位，再向上平移1個單位可得函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x－1)的圖象，所以f(x)的對稱中心為(1，1)，所以a＋b＝1，所以eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)＝(a＋b)(eq\f(4,a)＋eq\f(1,b))＝5＋eq\f(4b,a)＋eq\f(a,b)≥5＋2eq\r(\f(4b,a)·\f(a,b))＝9，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(4b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝2b＝eq\f(2,3)時，等號成立，所以eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)的最小值為9.故選A.]8.D[因為m，n為正數(shù)，則(m＋n)(eq\f(1,m)＋eq\f(9,n))＝10＋eq\f(n,m)＋eq\f(9m,n)≥10＋2eq\r(\f(n,m)·\f(9m,n))＝16，當(dāng)且僅當(dāng)n＝3m時，等號成立，因為m＋n＋eq\f(9m＋n,mn)＝m＋n＋eq\f(9,n)＋eq\f(1,m)＝10，所以在等式m＋n＋eq\f(9,n)＋eq\f(1,m)＝10兩邊同時乘以m＋n，可得：10(m＋n)＝(m＋n)2＋(m＋n)(eq\f(1,m)＋eq\f(9,n))≥(m＋n)2＋16，即(m＋n)2－10(m＋n)＋16≤0，解得2≤m＋n≤8.當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＝3m，,m＋n＝8))時，即當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝6))時，m＋n取得最大值8.故選D.]9.AD[對于A，由0>c>d和不等式性質(zhì)可得c2<cd，故A正確；對于B，因a>b>0>c>d，若取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，則a－c＝3，b－d＝3，所以a－c＝b－d，故B錯誤；對于C，因a>b>0>c>d，若取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，則ac＝－2，bd＝－2，所以ac＝bd，故C錯誤；對于D，因為a>b>0，所以0<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，又因0>c>d則0<－c<－d，由不等式的性質(zhì)得，－eq\f(c,a)<－eq\f(d,b)，故eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，故D正確.故選AD.]10.AD[對于A，若ac2>bc2，則c2>0，故有a>b，A正確；對于B，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2或eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≤－2，因為eq\f(b,a)的正負(fù)不確定，故B錯誤；對于C，若a>b，m>0，則eq\f(b,a)－eq\f(b＋m,a＋m)＝eq\f(b（a＋m）－a（b＋m）,a（a＋m）)＝eq\f(m（b－a）,a（a＋m）)，而m(b－a)<0，但是a(a＋m)與0的大小不能確定，故C錯誤；對于D，eq\r(sin2x＋1)＋eq\f(1,\r(sin2x＋1))≥2，當(dāng)且僅當(dāng)eq\r(sin2x＋1)＝eq\f(1,\r(sin2x＋1))，即sinx＝0取等號，D正確.故選AD.]11.AD[由題意，得0<a<4，0<b<4，a＝4－b，對于A，a＋2b＝(a＋b)＋b＝4＋b>4，故A正確；對于B，取a＝1，b＝3，則(a－1)(b－1)＝0<1，故B錯誤；對于C，取a＝1，b＝3，則log2a＋log2b＝log23<2，故C錯誤；對于D，2a＋eq\r(4b)＝2a＋2b≥2eq\r(2a＋b)＝8，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時等號成立，故D正確.故選AD.]12.G≤H≤A[由基本不等式可知，G≤A，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立；因為H－G＝eq\f(a＋\r(ab)＋b,3)－eq\r(ab)＝eq\f(a－2\r(ab)＋b,3)＝eq\f(（\r(a)－\r(b)）2,3)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)eq\r(a)＝eq\r(b)，即a＝b時等號成立，所以H≥G；因為H－A＝eq\f(a＋\r(ab)＋b,3)－eq\f(a＋b,2)＝eq\f(－a＋2\r(ab)－b,6)＝－eq\f(（\r(a)－\r(b)）2,6)≤0，當(dāng)且僅當(dāng)eq\r(a)＝eq\r(b)，即a＝b時等號成立，所以H≤A；綜上所述，G≤H≤A，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立.]13.2[由題意AB＝12－3x米，則直角梯形花壇ABCD的面積S＝eq\f(（x＋2x）（12－3x）,2)＝eq\f(1,2)×3x(12－3x)≤eq\f(1,2)×eq\f([3x＋（12－3x）]2,4)＝18，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝12－3x，即x＝2時，等號成立，所以當(dāng)x＝2米時，直角梯形花壇ABCD的面積最大.]14.(－∞，4][因為x＋y＝6，所以t＝eq\f(x2,x＋1)＋eq\f(y2,y＋2)＝eq\f(（x＋1）2－2（x＋1）＋1,x＋1)＋eq\f(（y＋2）2－4（y＋2）＋4,y＋2)＝x＋1＋eq\f(1,x＋1)－2＋y＋2＋eq\f(4