PAGEPAGE1高考必考題突破講座(六)1．某保險(xiǎn)公司有一款保險(xiǎn)產(chǎn)品的歷史收益率(收益率＝利潤(rùn)÷保費(fèi)收入)的頻率分布直方圖如圖所示．(1)試估計(jì)這款保險(xiǎn)產(chǎn)品的收益率的平均值；(2)設(shè)每份保單的保費(fèi)在20元的基礎(chǔ)上每增加x元，對(duì)應(yīng)的銷(xiāo)量為y(單位：萬(wàn)份)．從歷史銷(xiāo)售記錄中抽樣得到如下5組x與y的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù).x/元2530384552y/萬(wàn)份7.57.16.05.64.8由上表知x與y有較強(qiáng)的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，且據(jù)此計(jì)算出的回來(lái)方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝10－eq\o(b,\s\up6(^))x.①求參數(shù)eq\o(b,\s\up6(^))的值；②若把回來(lái)方程eq\o(y,\s\up6(^))＝10－eq\o(b,\s\up6(^))x當(dāng)作y與x的線(xiàn)性關(guān)系，用(1)中求出的收益率的平均值作為此產(chǎn)品的收益率，試問(wèn)每份保單的保費(fèi)定為多少元時(shí)此產(chǎn)品可獲得最大利潤(rùn)，并求出最大利潤(rùn)(注：保險(xiǎn)產(chǎn)品的保費(fèi)收入＝每份保單的保費(fèi)×銷(xiāo)量)．解析(1)收益率的平均值為0.05×0.1＋0.15×0.2＋0.25×0.25＋0.35×0.3＋0.45×0.1＋0.55×0.05＝0.275.(2)①eq\x\to(x)＝eq\f(25＋30＋38＋45＋52,5)＝eq\f(190,5)＝38，eq\x\to(y)＝eq\f(7.5＋7.1＋6.0＋5.6＋4.8,5)＝eq\f(31,5)＝6.2.由eq\x\to(y)＝10－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)得10－38eq\o(b,\s\up6(^))＝6.2，解得eq\o(b,\s\up6(^))＝0.1.②設(shè)每份保單的保費(fèi)為(20＋x)元，則銷(xiāo)量為y＝10－0.1x.則這款保險(xiǎn)產(chǎn)品的保費(fèi)收入為f(x)＝(20＋x)(10－0.1x)萬(wàn)元．所以f(x)＝200＋8x－0.1x2＝360－0.1(x－40)2.所以當(dāng)x＝40，即每份保單的保費(fèi)為60元時(shí)，保費(fèi)收入最大為360萬(wàn)元．預(yù)料這款保險(xiǎn)產(chǎn)品的最大利潤(rùn)為360×0.275＝99(萬(wàn)元)．2．某網(wǎng)絡(luò)廣告A公司安排從甲、乙兩個(gè)網(wǎng)站選擇一個(gè)網(wǎng)站拓展廣告業(yè)務(wù)，為此A公司隨機(jī)抽取了甲、乙兩個(gè)網(wǎng)站某月中10天的日訪(fǎng)問(wèn)量n(單位：萬(wàn)次)，整理后得到如下莖葉圖．已知A公司要從網(wǎng)站日訪(fǎng)問(wèn)量的平均值和穩(wěn)定性?xún)煞矫孢M(jìn)行考察選擇．(1)請(qǐng)說(shuō)明A公司應(yīng)選擇哪個(gè)網(wǎng)站；(2)現(xiàn)將抽取的樣本分布近似看作總體分布，A公司依據(jù)所選網(wǎng)站的日訪(fǎng)問(wèn)量n進(jìn)行付費(fèi)，其付費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表.選定網(wǎng)站的日訪(fǎng)問(wèn)量n(單位：萬(wàn)次)A公司的付費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)(單位：元/日)n＜2550025≤n≤35700n＞351000求A公司每月(按30天計(jì))應(yīng)付給選定網(wǎng)站的費(fèi)用S.解析(1)由莖葉圖可知eq\x\to(x)甲＝(15＋24＋28＋25＋30＋36＋30＋32＋35＋45)÷10＝30，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,10)×[(15－30)2＋(24－30)2＋(28－30)2＋(25－30)2＋(30－30)2＋(36－30)2＋(30－30)2＋(32－30)2＋(35－30)2＋(45－30)2]＝58，eq\x\to(x)乙＝(18＋25＋22＋24＋32＋38＋30＋36＋35＋40)÷10＝30，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,10)×[(18－30)2＋(25－30)2＋(22－30)2＋(24－30)2＋(32－30)2＋(38－30)2＋(30－30)2＋(36－30)2＋(35－30)2＋(40－30)2]＝49.8，因?yàn)閑q\x\to(x)甲＝eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，所以A公司應(yīng)選擇乙網(wǎng)站．(2)由(1)得A公司應(yīng)選擇乙網(wǎng)站，由題意可得乙網(wǎng)站日訪(fǎng)問(wèn)量n<25的概率為0.3，日訪(fǎng)問(wèn)量25≤n≤35的概率為0.4，日訪(fǎng)問(wèn)量n>35的概率為0.3，所以A公司每月應(yīng)付給乙網(wǎng)站的費(fèi)用S＝30×(500×0.3＋700×0.4＋1000×0.3)＝21900(元)．3．某汽車(chē)美容公司為吸引顧客，推出實(shí)惠活動(dòng)：對(duì)首次消費(fèi)的顧客，按200元/次收費(fèi)，并注冊(cè)成為會(huì)員，對(duì)會(huì)員逐次消費(fèi)賜予相應(yīng)實(shí)惠，標(biāo)準(zhǔn)如下表：消費(fèi)次數(shù)第1次第2次第3次第4次5次及以上收費(fèi)比例10.950.900.850.80該公司從注冊(cè)的會(huì)員中，隨機(jī)抽取了100位進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：消費(fèi)次數(shù)第1次第2次第3次第4次5次及以上頻數(shù)60201055假設(shè)汽車(chē)美容一次，公司成本為150元，依據(jù)所給數(shù)據(jù)，解答下列問(wèn)題：(1)估計(jì)該公司一位會(huì)員至少消費(fèi)兩次的概率；(2)某會(huì)員僅消費(fèi)兩次，求這兩次消費(fèi)中，公司獲得的平均利潤(rùn)；(3)該公司要從這100位里至少消費(fèi)兩次的顧客中按消費(fèi)次數(shù)用分層抽樣方法抽出8人，再?gòu)倪@8人中抽出2人發(fā)放紀(jì)念品，求抽出的2人中恰有1人消費(fèi)兩次的概率．解析(1)100位會(huì)員中，至少消費(fèi)兩次的會(huì)員有40位，所以估計(jì)一位會(huì)員至少消費(fèi)兩次的概率為eq\f(40,100)＝0.4.(2)該會(huì)員第1次消費(fèi)時(shí)，公司獲得的利潤(rùn)為200－150＝50(元)，第2次消費(fèi)時(shí)，公司獲得的利潤(rùn)為200×0.95－150＝40(元)，所以公司獲得的平均利潤(rùn)為eq\f(50＋40,2)＝45(元)．(3)因?yàn)?0∶10∶5∶5＝4∶2∶1∶1，所以用分層抽樣方法抽出的8人中，消費(fèi)2次的有4人，分別設(shè)為A1，A2，A3，A4，消費(fèi)3次的有2人，分別設(shè)為B1，B2，消費(fèi)4次和5次及以上的各有1人，分別設(shè)為C，D，從中抽出2人，抽到A1的有A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1C，A1D，共7種；去掉A1后，抽到A2的有A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A2C，A2D，共6種；……去掉A1，A2，A3，A4，B1，B2后，抽到C的有CD，共1種，總的抽取方法有7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28(種)，其中恰有1人消費(fèi)兩次的抽取方法有4＋4＋4＋4＝16(種)，所以抽出的2人中恰有1人消費(fèi)兩次的概率為eq\f(16,28)＝eq\f(4,7)4．(2024·全國(guó)卷Ⅰ)某家庭記錄了未運(yùn)用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位：m3)和運(yùn)用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：未運(yùn)用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7)頻數(shù)13249265運(yùn)用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)頻數(shù)151310165(1)在答題卡上作出訪(fǎng)用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；(2)估計(jì)該家庭運(yùn)用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35m3(3)估計(jì)該家庭運(yùn)用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)約多少水(一年按365天計(jì)算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表)?解析(1)頻率分布直方圖如圖所示．(2)依據(jù)以上數(shù)據(jù)，該家庭運(yùn)用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35m3的頻率為0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，因此該家庭運(yùn)用節(jié)水龍頭后日用水量小于0.35m(3)該家庭未運(yùn)用節(jié)水龍頭50天日用水量的平均數(shù)為eq\x\to(x)1＝eq\f(1,50)×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.該家庭運(yùn)用了節(jié)水龍頭后50天日用水量的平均數(shù)為eq\x\to(x)2＝eq\f(1,50)×(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.估計(jì)運(yùn)用節(jié)水龍頭后，一年可節(jié)約水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3)．5．某小學(xué)為迎接校運(yùn)動(dòng)會(huì)的到來(lái)，在三年級(jí)招募了16名男志愿者和14名女志愿者．調(diào)查發(fā)覺(jué)，男、女志愿者中分別各有10人和6人喜愛(ài)運(yùn)動(dòng)，其余人員不喜愛(ài)運(yùn)動(dòng)．(1)依據(jù)以上數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表；喜愛(ài)運(yùn)動(dòng)不喜愛(ài)運(yùn)動(dòng)總計(jì)男女總計(jì)(2)是否有95%的把握認(rèn)為性別與喜愛(ài)運(yùn)動(dòng)有關(guān)，并說(shuō)明理由；(3)假如喜愛(ài)運(yùn)動(dòng)的女志愿者中恰有4人懂得醫(yī)療救援，現(xiàn)從喜愛(ài)運(yùn)動(dòng)的女志愿者中抽取2名負(fù)責(zé)處理應(yīng)急事務(wù)，求抽出的2名志愿者都懂得醫(yī)療救援的概率．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.0500.0250.0100.001k03.8415.0246.63510.828解析(1)依題意，2×2列聯(lián)表如下.喜愛(ài)運(yùn)動(dòng)不喜愛(ài)運(yùn)動(dòng)總計(jì)男10616女6814總計(jì)161430(2)由已知數(shù)據(jù)可得K2＝eq\f(30×10×8－6×62,16×14×14×16)≈1.1575<3.841，因此沒(méi)有95%的把握認(rèn)為是否喜愛(ài)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)．(3)喜愛(ài)運(yùn)動(dòng)的女志愿者有6人，設(shè)分別為A，B，C，D，E，F(xiàn)，其中A，B，C，D懂得醫(yī)療救援，則從這6人中任取2人的狀況有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共15種，其中兩人都懂得醫(yī)療救援的狀況有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6種，設(shè)“抽出的2名志愿者都懂得醫(yī)療救援”為事務(wù)M，則P(M)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).6．(2024·全國(guó)卷Ⅲ)下圖是我國(guó)2008年至2014年生活垃圾無(wú)害化處理量(單位：億噸)的折線(xiàn)圖．(1)由折線(xiàn)圖看出，可用線(xiàn)性回來(lái)模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；(2)建立y關(guān)于t的回來(lái)方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)料2024年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量．附注：參考數(shù)據(jù)：eq\i\su(i＝1,7,y)i＝9.32，eq\i\su(i＝1,7,t)iyi＝40.17，eq\r(\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2)＝0.55，eq\r(7)≈2.646.參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))，回來(lái)方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))t中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t).解析(1)由折線(xiàn)圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得eq\o(t,\s\up6(－))＝4，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\o(t,\s\up6(－)))2＝28，eq\r(\i\su(i＝1,7,)yi－\o(y,\s\up6(－))2)＝0.55，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝eq\i\su(i＝1,7,t)iyi－eq\x\to(t)eq\i\su(i＝1,7,y)i＝40.17－4×9.32＝2.89，r≈eq\f(2.89,0.55×2×2.646)≈0.99.因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說(shuō)明y與t的線(xiàn)性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線(xiàn)性回來(lái)模型擬合y與t的關(guān)系．(2)由eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(9.32,7)≈1.331及(1)得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)2)＝eq\f(2.89,28)≈0.103，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(t,\s\up6(－))＝1.331－0.103×4≈0.92.所以y關(guān)于t的回來(lái)方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.92＋0.10t.將2024年對(duì)應(yīng)的t＝9代入回來(lái)方程得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以預(yù)料2024年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量約為1.82億噸．7．(2024·蓉城名校聯(lián)考)成都市現(xiàn)在已是擁有1400多萬(wàn)人口的城市，機(jī)動(dòng)車(chē)保有量已達(dá)450多萬(wàn)輛，成年人中約40%擁有機(jī)動(dòng)車(chē)駕駛證．為了解本市成年人的交通平安意識(shí)狀況，某中學(xué)的同學(xué)利用國(guó)慶假期進(jìn)行了一次全市成年人平安學(xué)問(wèn)抽樣調(diào)查．先依據(jù)是否擁有駕駛證，用分層抽樣的方法抽取了200名成年人，然后對(duì)這200人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查．這200人所得的分?jǐn)?shù)都分布在[30,100]范圍內(nèi)，規(guī)定分?jǐn)?shù)在80以上(含80)的為“具有很強(qiáng)平安意識(shí)”，所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示．擁有駕駛證沒(méi)有駕駛證合計(jì)具有很強(qiáng)平安意識(shí)不具有很強(qiáng)平安意識(shí)58合計(jì)200(1)補(bǔ)全上面的2×2列聯(lián)表，并推斷能否有超過(guò)95%的把握認(rèn)為“‘具有很強(qiáng)平安意識(shí)’與是否擁有駕駛證”有關(guān)？(2)若規(guī)定參與調(diào)查的200人中分?jǐn)?shù)在70以上(含70)的為“具有較強(qiáng)平安意識(shí)”，從參與調(diào)查的200人中依據(jù)是否具有較強(qiáng)平安意識(shí)，按分層抽樣的方法抽出5人，再?gòu)?人中隨機(jī)抽取3人，試求抽取的3人中恰有1人“具有較強(qiáng)平安意識(shí)”的概率．附表及公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解析(1)200人中擁有駕駛證的占40%，有80人，沒(méi)有駕駛證的有120人；具有很強(qiáng)平安意識(shí)的占20%，有40人，不具有很強(qiáng)平安意識(shí)的有160人．補(bǔ)全的2×2列聯(lián)表如表所示：擁有駕駛證沒(méi)有駕駛證合計(jì)具有很強(qiáng)平安意識(shí)221840不具有很強(qiáng)平安意識(shí)58102160合計(jì)80120200K2＝eq\f(200×22×102－18×582,40×80×160×120)＝eq\f(75,16)＝4.6875＞3.841.所以有超過(guò)95%的把握認(rèn)為“‘具有很強(qiáng)平安意識(shí)’與是否擁有駕駛證”有關(guān)．(2)5人中不具有較強(qiáng)平安意識(shí)的有3人，分別記為A，B，C，“具有較強(qiáng)平安意識(shí)”的有2人，分別記為d，e，易知這是一個(gè)古典概型．則從5人中隨機(jī)抽取3人構(gòu)成的全部基本領(lǐng)件為(A，B，C)，(A，B，d)，(A，B，e)，(A，C，d)，(A，C，e)，(A，d，e)，(B，C，d)，(B，C，e)，(B，d，e)，(C，d，e)，共10種；抽取的3人中恰有1人“具有較強(qiáng)平安意識(shí)”所包含的基本領(lǐng)件為(A，B，d)，(A，B，e)，(A，C，d)，(A，C，e)，(B，C，d)，(B，C，e)，共有6種．所以抽取的3人中恰有1人“具有較強(qiáng)平安意識(shí)”的概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).8．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣揚(yáng)費(fèi)，需了解年宣揚(yáng)費(fèi)x(單位：千元)對(duì)年銷(xiāo)售量y(單位：t)和年利潤(rùn)z(單位：千元)的影響．對(duì)近8年的年宣揚(yáng)費(fèi)xi和年銷(xiāo)售量yi(i＝1,2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(w)eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))2eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))·(yi－eq\x\to(y))eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))·(yi－eq\x\to(y))46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝eq\r(xi)，eq\x\to(w)＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,w)i.(1)依據(jù)散點(diǎn)圖推斷y＝a＋bx與y＝c＋deq\r(x)哪一個(gè)相宜作為年銷(xiāo)售量y關(guān)于年宣揚(yáng)費(fèi)x的回來(lái)方程類(lèi)型？(給出推斷即可，不必說(shuō)明理由)(2)依據(jù)(1)的推斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回來(lái)方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x，y的關(guān)系為z＝0.2y－x.依據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問(wèn)題：①年宣揚(yáng)費(fèi)x＝49時(shí)，年銷(xiāo)售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？②年宣揚(yáng)費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回來(lái)直線(xiàn)eq\o(v,\s\up6(^))＝eq\o(α,\s\up6(^))＋eq\o(β,\s\up6(^))u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：eq\o(β,\s\up6(^))＝ eq\f(\i\su(i＝1,n,)ui－\x\to(u)vi－\x