PAGEPAGE1【課時(shí)訓(xùn)練】等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和一、選擇題1．(2024湖北華師一附中1月月考)在等比數(shù)列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，則a1＝()A．1 B．±1C．2 D．±2【答案】A【解析】因?yàn)閿?shù)列{an}是等比數(shù)列，所以a2a3a4＝aeq\o\al(3,3)＝8.所以a3＝2.所以a7＝a3q4＝2q4＝8.所以q2＝2，則a1＝eq\f(a3,q2)＝1.故選A.2．(2024廣東肇慶三模)在等比數(shù)列{an}中，Sn表示前n項(xiàng)和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，則公比q＝()A．－3 B．－1C．1 D．3【答案】D【解析】兩式相減，得a4－a3＝2a3，從而求得eq\f(a4,a3)＝3，即q＝3.3．(2024石家莊質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2an－4(n∈N*)，則an＝()A．2n＋1 B．2nC．2n－1 D．2n－2【答案】A【解析】依題意，an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－4－(2an－4)，則an＋1＝2an，令n＝1，則S1＝2a1－4，即a1＝4，∴數(shù)列{an}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．∴an＝4×2n－1＝2n＋1.故選A.4．(2024重慶巴蜀中學(xué)月考)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an＞0，q＞1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，則S5＝()A．31 B．36C．42 D．48【答案】A【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a3a5＝a2a6＝64，于是由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＋a5＝20，,a3a5＝64，))且an＞0，q＞1，得a3＝4，a5＝16，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q2＝4，,a1q4＝16，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,q＝2.))所以S5＝eq\f(1×1－25,1－2)＝31.故選A.5．(2024江西南昌模擬)在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，則n等于()A．12 B．13C．14 D．15【答案】C【解析】設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a1a2a3＝4＝aeq\o\al(3,1)q3與a4a5a6＝12＝aeq\o\al(3,1)q12，可得q9＝3，an－1·anan＋1＝aeq\o\al(3,1)q3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14.故選C.6．(2024福建福州模擬)已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若存在m∈N*，滿意eq\f(S2m,Sm)＝9，eq\f(a2m,am)＝eq\f(5m＋1,m－1)，則數(shù)列{an}的公比為()A．－2 B．2C．－3 D．3【答案】B【解析】設(shè)公比為q，若q＝1，則eq\f(S2m,Sm)＝2，與題中條件沖突，故q≠1.因?yàn)閑q\f(S2m,Sm)＝eq\f(\f(a11－q2m,1－q),\f(a11－qm,1－q))＝qm＋1＝9，所以qm＝8.所以eq\f(a2m,am)＝eq\f(a1q2m－1,a1qm－1)＝qm＝8＝eq\f(5m＋1,m－1)，所以m＝3，所以q3＝8，所以q＝2.故選B.7．(2024廣州綜合測(cè)試)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若eq\f(S6,S3)＝3，則eq\f(S9,S6)＝()A．2 B．eq\f(7,3)C．eq\f(8,3) D．3【答案】B【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)，得S3，S6－S3，S9－S6仍成等比數(shù)列，于是，由已知得S6＝3S3，∴eq\f(S6－S3,S3)＝eq\f(S9－S6,S6－S3)，即S9－S6＝4S3，S9＝7S3，∴eq\f(S9,S6)＝eq\f(7,3).8．(2024合肥二次質(zhì)檢)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a2＝12，a3·a5＝4，則下列說法正確的是()A．{an}是單調(diào)遞減數(shù)列B．{Sn}是單調(diào)遞減數(shù)列C．{a2n}是單調(diào)遞減數(shù)列D．{S2n}是單調(diào)遞減數(shù)列【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a3·a5＝a2q·a2q3＝4，又因?yàn)閍2＝12，所以q4＝eq\f(1,36)，則q2＝eq\f(1,6).所以數(shù)列{a2n}是首項(xiàng)為12，公比為eq\f(1,6)的等比數(shù)列，則數(shù)列{a2n}為單調(diào)遞減數(shù)列．故選C.二、填空題9．(2024石家莊模擬)在等比數(shù)列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝eq\f(15,8)，a8a9＝－eq\f(9,8)，則eq\f(1,a7)＋eq\f(1,a8)＋eq\f(1,a9)＋eq\f(1,a10)＝________.【答案】－eq\f(5,3)【解析】因?yàn)閑q\f(1,a7)＋eq\f(1,a10)＝eq\f(a7＋a10,a7a10)，eq\f(1,a8)＋eq\f(1,a9)＝eq\f(a8＋a9,a8a9)，由等比數(shù)列的性質(zhì)，知a7a10＝a8a9，所以eq\f(1,a7)＋eq\f(1,a8)＋eq\f(1,a9)＋eq\f(1,a10)＝eq\f(a7＋a8＋a9＋a10,a8a9)＝eq\f(15,8)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,8)))＝－eq\f(5,3).10．(2024河北邯鄲模擬)設(shè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，an＋an＋1＝eq\f(1,2n)(n＝1,2,3，…)，則S2n＋3＝________.【答案】eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4n＋2)))【解析】依題意得S2n＋3＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2n＋2＋a2n＋3)＝1＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,16)＋…＋eq\f(1,4n＋1)＝eq\f(1－\f(1,4n＋2),1－\f(1,4))＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4n＋2))).11．(2024廣東肇慶三模)設(shè)數(shù)列{an}(n＝1,2,3，…)的前n項(xiàng)和Sn滿意Sn＋a1＝2an，且a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列，則a1＋a5＝________.【答案】34【解析】由Sn＋a1＝2an，得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．從而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.又因?yàn)閍1，a2＋1，a3成等差數(shù)列，所以a1＋a3＝2(a2＋1)．所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2.所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故an＝2n，所以a1＋a5＝2＋25＝34.三、解答題12．(2024蘭州診斷性測(cè)試)在公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a2，a4，a8成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝2an，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.【解】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝1，,a1＋3d2＝a1＋da1＋7d，))解得d＝1或d＝0(舍去)，∴an＝1＋(n－1)＝n.(2)由(1)，得an＝n，∴bn＝2n.∴eq\f(bn＋1,bn)＝2.∴{bn}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．∴Tn＝eq\f(21－2n,1－2)＝2n＋1－2.13．(2024長沙模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝eq\f(3,2)，a3＝eq\f(5,4)，且當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.(1)求a4的值；(2)證明：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an＋1－\f(1,2)an))為等比數(shù)列．(1)【解】當(dāng)n＝2時(shí)，4S4＋5S2＝8S3＋S1，即4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,2)＋\f(5,4)＋a4))＋5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,2)))＝8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(3,2)＋\f(5,4)))＋1，解得a4＝eq\f(7,8).(2)【證明】由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，得4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．∵4a3＋a1＝4×eq\f(5,4)＋1＝6＝4a2，∴4an＋2＋an＝4an＋1(n∈N*)．∴eq\f(an＋2－\f(1,2)an＋1,an＋1－\f(1,