代數(shù)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)

一、集合與運(yùn)算集合是代數(shù)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)概念。它是由一些確定的、彼此不同的對(duì)象組成的整體。例如，整數(shù)集Z就是由所有整數(shù)組成的集合。在集合上定義運(yùn)算，常見(jiàn)的運(yùn)算有加、減、乘、除等。對(duì)于代數(shù)結(jié)構(gòu)而言，運(yùn)算需要滿(mǎn)足一定的性質(zhì)。比如封閉性，若在集合S上定義運(yùn)算“”，對(duì)于任意的a,b∈S，ab的結(jié)果仍然屬于S，則稱(chēng)該運(yùn)算在S上具有封閉性。例如，在自然數(shù)集N上，加法運(yùn)算具有封閉性，因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)自然數(shù)相加結(jié)果還是自然數(shù)。二、群（Group）1.定義-群是一種代數(shù)結(jié)構(gòu)，它由一個(gè)集合G和一個(gè)二元運(yùn)算“·”組成。這個(gè)運(yùn)算要滿(mǎn)足以下四個(gè)性質(zhì)：-封閉性：對(duì)于任意的a,b∈G，a·b∈G。-結(jié)合律：對(duì)于任意的a,b,c∈G，(a·b)·c=a·(b·c)。-存在單位元e：對(duì)于任意的a∈G，e·a=a·e=a。例如，在整數(shù)加法群（Z，+）中，0就是單位元，因?yàn)閷?duì)于任意整數(shù)a，0+a=a+0=a。-存在逆元：對(duì)于任意的a∈G，存在b∈G，使得a·b=b·a=e，b稱(chēng)為a的逆元。在（Z，+）中，整數(shù)a的逆元是-a。2.群的分類(lèi)-有限群：如果群G中的元素個(gè)數(shù)是有限的，則稱(chēng)為有限群。例如，模n剩余類(lèi)加群Zn就是有限群，它有n個(gè)元素。-無(wú)限群：若群G中的元素個(gè)數(shù)是無(wú)限的，則為無(wú)限群，如整數(shù)加法群（Z，+）。三、環(huán)（Ring）1.定義-環(huán)是一種代數(shù)結(jié)構(gòu)，它由一個(gè)集合R和兩個(gè)二元運(yùn)算“+”和“×”組成。-（R，+）構(gòu)成一個(gè)交換群，即滿(mǎn)足加法的封閉性、結(jié)合律、有單位元（稱(chēng)為零元）、每個(gè)元素有加法逆元，并且加法滿(mǎn)足交換律。-（R，×）滿(mǎn)足封閉性、結(jié)合律。-乘法對(duì)加法滿(mǎn)足分配律，即對(duì)于任意的a,b,c∈R，a×(b+c)=a×b+a×c和(b+c)×a=b×a+c×a。2.環(huán)的例子-整數(shù)集Z關(guān)于普通的加法和乘法構(gòu)成一個(gè)環(huán)（Z，+，×）。其中（Z，+）是交換群，（Z，×）滿(mǎn)足封閉性和結(jié)合律，并且乘法對(duì)加法有分配律。四、域（Field）1.定義-域是一種特殊的環(huán)。它是一個(gè)集合F和兩個(gè)二元運(yùn)算“+”和“×”組成的代數(shù)結(jié)構(gòu)。-（F，+）是交換群。-（F-{0}，×）也是交換群，這里的0是加法群（F，+）中的單位元。-乘法對(duì)加法滿(mǎn)足分配律。2.域的例子-有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R和復(fù)數(shù)集C關(guān)于普通的加法和乘法都構(gòu)成域。例如在有理數(shù)集Q中，對(duì)于任意非零有理數(shù)a，它在乘法下的逆元1/a也是有理數(shù)，（Q-{0}，×）是交換群，（Q，+）是交換群且乘法對(duì)加法滿(mǎn)足分配律。五、子結(jié)構(gòu)1.子群-設(shè)（G，·）是一個(gè)群，H是G的非空子集。如果H關(guān)于G中的運(yùn)算“·”也構(gòu)成一個(gè)群，則稱(chēng)H是G的子群。例如，在整數(shù)加法群（Z，+）中，偶數(shù)集2Z是Z的子群，因?yàn)榕紨?shù)相加還是偶數(shù)，滿(mǎn)足群的四個(gè)性質(zhì)。2.子環(huán)-設(shè)（R，+，×）是一個(gè)環(huán)，S是R的非空子集。如果S關(guān)于R中的加法和乘法運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)環(huán)，則稱(chēng)S是R的子環(huán)。3.子域-設(shè)（F，+，×）是一個(gè)域，K是F的非空子集。如果K關(guān)于F中的加法和乘法運(yùn)算也構(gòu)成一個(gè)域，則稱(chēng)K是F的子域。六、同態(tài)與同構(gòu)1.同態(tài)-設(shè)（G，·）和（H，）是兩個(gè)群，f是從G到H的映射。如果對(duì)于任意的a,b∈G，f(a·b)=f(a)f(b)，則稱(chēng)f是從G到H的群同態(tài)。同態(tài)反映了兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)之間的一種保持運(yùn)算關(guān)系的映射。2.同構(gòu)-如果群同態(tài)f是雙射（既是單射又是滿(mǎn)射），則稱(chēng)f是從