第1講平面向量考點(diǎn)一平面向量基本概念的辨析【例1-1】（2025高一·全國(guó)·專題練習(xí)）關(guān)于平面向量，下列說(shuō)法正確的是（

）A．零向量沒(méi)有方向 B．向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)C．起點(diǎn)相同的單位向量，終點(diǎn)必相同 D．若兩個(gè)非零向量的和為零向量，則它們互為相反向量【答案】D【解析】向量既有大小又有方向，A不正確．零向量的模是0，B不正確．因?yàn)閱挝幌蛄康姆较虿淮_定，C不正確．若兩個(gè)非零向量的和為零向量，則它們互為相反向量，D正確故選：D【例1-2】（24-25甘肅甘南·期中）（多選）下列命題為真命題的是（

）A．若空間向量滿足，則B．在正方體中，必有C．若空間向量滿足，則D．空間中，，則【答案】BC【解析】對(duì)于A，若空間向量滿足，則，這顯然是錯(cuò)誤的，因?yàn)橄蛄肯嗟纫獫M足大小相等，方向相同；對(duì)于B，在正方體中，必有，這顯然是正確的，因?yàn)樗麄兊拈L(zhǎng)度相等，兩直線平行，并且方向相同；對(duì)于C，若空間向量滿足，則，這顯然是正確的，因?yàn)橄蛄康南嗟纫簿哂袀鬟f性；對(duì)于D，在空間中，，則，當(dāng)時(shí)，因?yàn)槿魏蜗蛄颗c都是共線向量，所以是不一定成立的，故D錯(cuò)誤；故選：BC.【變式】1．（24-25高一下·山東·階段練習(xí)）以下說(shuō)法中正確的是（

）A．兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量一定是共線向量B．兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小C．單位向量都是共線向量D．零向量的長(zhǎng)度為0，沒(méi)有方向【答案】B【解析】對(duì)于A，如果兩個(gè)向量的起點(diǎn)，終點(diǎn)不在同一直線上，它們不是共線向量，A錯(cuò)；對(duì)于B，向量既有大小又有方向，因此兩個(gè)向量不能比較大小，而它們的模是表示它們的有向線段的長(zhǎng)度，是非負(fù)實(shí)數(shù)，可以比較大小，B正確；對(duì)于C，單位向量可以垂直，它們不一定是共線向量，C錯(cuò)；對(duì)于D，零向量的長(zhǎng)度（大?。?，方向是任意的，D錯(cuò)，故選：B．2．（24-25湖北隨州·期末）（多選題）下列命題正確的是（

）A．零向量是唯一沒(méi)有方向的向量B．零向量的長(zhǎng)度等于0C．若都為非零向量，則使成立的條件是與反向共線D．若則【答案】BCD【解析】對(duì)于A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由零向量的定義知，零向量的長(zhǎng)度為0，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)榕c都是單位向量，所以只有當(dāng)與是相反向量，即與是反向共線時(shí)，才成立，故C正確；對(duì)于D，由向量相等的定義知結(jié)論正確，故D正確.故選：BCD.3．（24-25高一下·江西上饒·期中）（多選）給出下列命題，不正確的有（

）A．若為非零向量，則與同向B．若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同C．若，則D．已知，為實(shí)數(shù)，若，則與共線【答案】BCD【解析】是與同方向的單位向量，故A正確；兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等，但兩個(gè)向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；若，則不一定共線，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，與可以為任意向量，滿足，但與不一定共線，故D錯(cuò)誤.故選：BCD.考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例2-1】（2025·新疆）（多選）已知向量，，則下列選項(xiàng)正確的有（

）A．若，則 B．若，則，的夾角為60°C．若，則 D．若，共線，則【答案】AC【解析】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，，故A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，解得，故C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)楣簿€，所以，解得或，故D錯(cuò)誤.故選：AC.【例2-2】（24-25高一下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）（多選）已知向量，，，，則（

）A．若，則B．若，則C．在方向上的投影向量的坐標(biāo)為D．若向量與向量的夾角為銳角，則的取值范圍是【答案】AB【解析】A.∵，，∴，∵，，∴，故，選項(xiàng)A正確.B.∵，，∴，∵，∴，解得，故，選項(xiàng)B正確.C.由題意得，，，∴在方向上的投影向量為，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.D.由題意得，，，∵向量與向量的夾角為銳角，∴，解得，當(dāng)向量與向量共線時(shí)，由得，此時(shí)，，，向量與向量的夾角為，不合題意，∴的取值范圍是，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB.【變式】1．（2025·重慶）（多選）已知，，，則（

）A． B．若，則C．若，則 D．，，【答案】ABD【解析】已知，，，對(duì)于A，因?yàn)椋?，故A正確；對(duì)于B，若，則，即，故B正確；對(duì)于C，，若，則，，所以不一定成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，由，則，所以，，，故D正確.故選：ABD.2（24-25高一下·安徽·階段練習(xí)）（多選）若向量，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．與平行C．在上的投影向量為 D．【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)：，則，，則，所以，故A正確；B選項(xiàng)：，又，因?yàn)?，所以與不平行，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，又，所以，，所以在上的投影向量為，故C正確；D選項(xiàng)：，又，所以，故D正確.故選：ACD.3．（24-25高一下·福建漳州·階段練習(xí)）（多選）已知，則（

）A．若，則B．若，則C．的最小值為2D．若向量與向量的夾角為鈍角，則的取值范圍為【答案】AB【解析】A，若，則，得，故A正確；B，若，則，得，故B正確；C，，則，則當(dāng)時(shí)，取最小值，故C錯(cuò)誤；D，若向量與向量的夾角為鈍角，則且向量與向量不共線，結(jié)合A項(xiàng)可得，且，故的取值范圍為，故D錯(cuò)誤.故選：AB考點(diǎn)三平面向量的基本定理【例3-1】（24-25高一下·湖南婁底·階段練習(xí)）在中，在上且，設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖，在中，在上且，所以.則.又因?yàn)?，所?故選：B【例3-2】（24-25高一下·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，在中，在線段上，滿足，為線段上一點(diǎn)，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知為線段上一點(diǎn)，設(shè)，，則，又，則，所以，則，解得，故選：D.【變式】1．（24-25高一下·河南南陽(yáng)·期中）在矩形中，為線段的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】在矩形中，為的中點(diǎn)，故選：C．2．（24-25高一下·廣東汕頭·期中）四邊形中，，，則下列表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，則,則，故A錯(cuò)誤；由，所以，則，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤.故選：B.3．（24-25高一下·福建泉州·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)是的重心，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，，則（

）

A． B． C． D．0【答案】D【解析】如圖所示，

延長(zhǎng)交于，由已知為的重心，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，且，又由，可得是的三等分點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，，所以．故選：D.考點(diǎn)四共線定理【例4-1】（2025四川資陽(yáng)·期中）已知，，，則（

）三點(diǎn)共線A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D【答案】A【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，所以A、B、D三點(diǎn)共線，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，，所以不存在，使得，所以A、B、C三點(diǎn)不共線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，，所以不存在，使得，所以B、C、D三點(diǎn)不共線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，所以不存在，使得，所以A、C、D三點(diǎn)不共線，故D錯(cuò)誤.故選：A.【例4-2】（24-25高一下·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知，是兩個(gè)不共線的向量，向量，共線，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，共線，所以設(shè)，又，是兩個(gè)不共線的向量，所以，解得.故選：B【例4-3】（24-25高一下·河南·期中）若是平面內(nèi)一組不共線的非零向量，則下列也可以作為一組基底向量的為（

）①和

②和③和

④和A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】B【解析】對(duì)于①中，由和，可得，所以和是共線向量，不能作為一組基底向量；對(duì)于②中，設(shè)，可得，方程組無(wú)解，所以和不共線，可以作為一組基底向量；對(duì)于③中，設(shè)，可得，方程組無(wú)解，所以和不共線，可以作為一組基底向量；對(duì)于④中，設(shè)，可得，解得所以和是共線向量，不能作為一組基底向量.故選：B.【例4-4】（24-25高一下·河南南陽(yáng)·期中）如圖，在中，，且BF與CE交于點(diǎn)M，設(shè)，則（

）A． B． C． D．－1【答案】C【解析】因?yàn)槿c(diǎn)共線，且，所以，又因?yàn)槿c(diǎn)共線，且，所以，可得，解得，所以.故選：C【變式】1．（24-25福建寧德·期中）設(shè)向量不共面，已知，若三點(diǎn)共線，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】，因?yàn)锳，C，D三點(diǎn)共線，所以，即，解得．故選：B.2．（24-25高一下·江蘇揚(yáng)州·期中）設(shè)，是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，已知，，，若，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知，，則，又，，三點(diǎn)共線，則與共線，，即，解得，故選：D.3．（24-25高一下·江西贛州·期中）已知，為不共線向量，，，若，為共線向量，則（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，為不共線向量，且，為共線向量，所以，而，，則，故，解得，故D正確.故選：D.4．（24-25高一下·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，是平面上兩個(gè)不共線的向量，以下可以作為平面向量一組基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋圆豢梢宰鳛槠矫嫦蛄恳唤M基底，故A不符題意；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以不可以作為平面向量一組基底，故B不符題意；對(duì)于C，假設(shè)，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，即，所以，無(wú)解，所以向量不共線，所以可以作為平面向量一組基底，故C符合題意；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以不可以作為平面向量一組基底，故D不符題意.故選：C.5．（24-25高一下·湖南邵陽(yáng)·期中）如圖所示，在中，是BN上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值為．【答案】【解析】在中，，即，又，即，因此，而點(diǎn)B，P，N共線，于是，解得.故答案為：6．（24-25高一下·山西晉中·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)是邊上靠近的三等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線分別交射線于不同的兩點(diǎn)．設(shè)，則．【答案】3【解析】如圖，連接AO，因三點(diǎn)共線，且點(diǎn)是邊上靠近的三等分點(diǎn)，則.又注意到三點(diǎn)共線，則，又，則，則，由平面向量基本定理，可得.故答案為：考點(diǎn)五數(shù)量積【例5-1】（2024·浙江）已知向量，的夾角為，且，，則（

）A． B．C． D．在的方向上的投影向量為【答案】AB【解析】，，故A正確；，所以，故B正確；，所以，又因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；在上的投影向量為，故D錯(cuò)誤；故選：AB．【變式】1．（2025江西南昌·階段練習(xí)）（多選）若向量，滿足，且，，則下列命題正確的是（

）A． B．與的夾角為C． D．在方向上的投影數(shù)量為1【答案】AC【解析】由得：，即，所以；故A正確；由得：，即，所以；故C正確；設(shè)向量，的夾角為，則，所以，故B錯(cuò)誤；在方向上的投影數(shù)量為，故D錯(cuò)誤；故選：AC.2．（2025·甘肅白銀）已知向量和滿足，，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，又，，，，，在向量上的投影向量為．故選：D.3.（23-24高一下·四川雅安·期末）（多選）若平面向量，滿足，則（

）A． B．向量與的夾角為C． D．在上的投影向量為【答案】AD【解析】對(duì)于A：，則，故A正確；對(duì)于C：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于B：，則向量與的夾角為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于D：在上的投影向量為，故D正確；故選：AD4．（23-24高一下·江蘇南京·期末）已知，，與的夾角為.(1)若與共線，求實(shí)數(shù)的值；(2)求的值；(3)若向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）因?yàn)榕c共線，所以存在實(shí)數(shù)使得，所以，解得，所以；（2）因?yàn)椋?，與的夾角為，所以，所以，則；（3）向量與的夾角是銳角，可得，且與不同向共線，即為，即有，解得，由與共線，可得，解得，當(dāng)時(shí)，兩者同向共線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.考點(diǎn)六取值范圍【例6-1】（24-25高一下·江蘇徐州·期中）（多選）如圖，在矩形中，，點(diǎn)滿足，其中，設(shè)，則下列說(shuō)法正確的有（

）

A． B．C． D．【答案】AD【解析】在矩形中，以點(diǎn)為原點(diǎn)，射線分別為軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則，設(shè)，由，得，由，得，，對(duì)于AB，，，A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于CD，，C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD【例6-2】（24-25高一下·浙江臺(tái)州·期中）（多選）已知向量，的夾角為，，，，則（

）A．在方向上的投影向量的模為 B．在方向上的投影向量的模為C．的最小值為 D．取得最小值時(shí)，【答案】ABD【解析】由條件可得，，則在方向上的投影向量的模為，故A正確；因，則在方向上的投影向量的模為，故B正確；由，其為開(kāi)口朝上的一元二次函數(shù)，故當(dāng)時(shí)其有最小值，則的最小值為，故C錯(cuò)誤；由C選項(xiàng)可知，取得最小值時(shí)，則，則，故D正確.故選：ABD【變式】1.（24-25山東青島·期中）已知向量為單位向量，且，向量與共線，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】因?yàn)橄蛄颗c共線，所以可設(shè)(t∈R)，所以，所以，因?yàn)橄蛄?，為單位向量，且，所以，所以，所以的最小值?故選：A2（24-25高一下·浙江嘉興·期中）已知，，是平面內(nèi)一點(diǎn)，則最小值是（

）A． B． C． D．0【答案】A【解析】如圖，以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則有，，，設(shè)，則，當(dāng)，時(shí)，上式最小值為.故選：A.3.．（24-25高一下·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）（多選）已知平面向量為非零向量，且滿足，則（

）A．夾角的取值范圍是B．的取值范圍是C．的取值范圍是D．的取值范圍是【答案】ABD【解析】由，若，且在以為圓心，1為半徑的圓上，如下圖示，由圖，當(dāng)與圓相切時(shí)，即最大，最小顯然為0，所以，A對(duì)；當(dāng)為圓與軸的交點(diǎn)時(shí)取得最值，結(jié)合圖易知，B對(duì)；如圖，若軸，由，顯然在圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)（含交點(diǎn)），故，而，所以的取值范圍是，C錯(cuò)；如圖，若是中點(diǎn)，則，則，顯然中點(diǎn)軌跡是以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則，所以，D對(duì).故選：ABD4．（2025·浙江臺(tái)州）（多選）已知，，，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．的取值范圍是 B．的最大值為30C．的最小值為 D．的最小值為【答案】ABC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：由向量模長(zhǎng)的三角不等式，當(dāng)且僅當(dāng)同向時(shí)，取得最大值9；當(dāng)這三個(gè)向量當(dāng)首尾順次連接構(gòu)成封閉三角形時(shí)，，模長(zhǎng)為0，由于長(zhǎng)度為2，3，4滿足任意兩邊之和大于第三邊，所以這樣的三角形是存在的，故的取值范圍是[0，9]，故選項(xiàng)A正確.對(duì)于選項(xiàng)B，，當(dāng)同向時(shí)，，的最大值為，B選項(xiàng)正確.對(duì)于選項(xiàng)C，D，，設(shè)，則上式為①，當(dāng)與反向時(shí)，，所以代入①式得，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，此時(shí)，所以，這種可能性是存在的，故選項(xiàng)C是正確的，選項(xiàng)D是錯(cuò)誤的.故選：ABC考點(diǎn)七平面向量的應(yīng)用【例7-1】（24-25高一下·海南?？凇るA段練習(xí)）（多選）設(shè)O為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則點(diǎn)O為的重心B．若，則點(diǎn)O為的垂心C．若，則的形狀為等腰直角三角形D．若，則和的面積之比為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，如圖，取邊中點(diǎn)，連接邊上的中線，則，又，，即，所以點(diǎn)為的重心，故A正確；對(duì)于B，由，可得，即，同理，可得，，即點(diǎn)為的3條高的交點(diǎn)，所以點(diǎn)為的垂心，故B正確；對(duì)于C，由，則，，即，化簡(jiǎn)得，即，所以為直角三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以與邊上的高之比為，所以與的面積之比為，故D正確.故選：ABD.【變式】1．（24-25高一下·甘肅蘭州·階段練習(xí)）已知三角形ABC滿足，則三角形ABC的形狀一定是（

）A．正三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】B【解析】由幾何意義知，對(duì)應(yīng)向量在的角平分線上，由，即的角平分線與邊垂直，所以三角形ABC的形狀一定是等腰三角形.故選：B2．（24-25高一下·浙江杭州·期中）（多選）已知點(diǎn)O在所在的平面內(nèi)，則下列命題正確的是（

）A．若O為的外心，，則B．若O為的垂心，，則C．若，則與的面積之比為D．若，的面積為8，則的面積為14【答案】BD【解析】對(duì)于A，由，，則，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，又，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，由奔馳定理可得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，則,即，由奔馳定理可得，又，則，故D正確.故選：BD.3．（24-25高一下·江西上饒·期中）（多選）已知點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，則以下說(shuō)法正確的有（

）A．若，則點(diǎn)是的外心B．若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的重心C．若，則點(diǎn)是的垂心D．若E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，AC的中點(diǎn)，且，，則的最大值為【答案】AB【解析】對(duì)于A，由，得點(diǎn)是的外心，A正確；對(duì)于B，由正弦定理得，則，于是，為邊的中點(diǎn)，因此點(diǎn)在邊的中線所在直線上，動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的重心，B正確；對(duì)于C，由，得，則，而點(diǎn)在內(nèi)，則，即，因此平分角，同理分別平分，從而點(diǎn)是的內(nèi)心，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)中點(diǎn)為，由，得點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，而G為AC的中點(diǎn)，則該圓的圓心為，半徑為，又，于是點(diǎn)在圓上，因此，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，因此的最大值為，D錯(cuò)誤.故選：AB單選題1．（24-25高一下·湖南婁底·階段練習(xí)）已知四邊形滿足條件，且，其形狀是（

）A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形【答案】B【解析】由，可知且，則四邊形為平行四邊形，又由，可知四邊形為矩形，故選:B.2．（24-25高一下·安徽滁州·期中）是平面內(nèi)不共線的兩向量，已知，若三點(diǎn)共線，則的值為（

）A． B． C． D．3【答案】A【解析】由得，由三點(diǎn)共線，得，又不共線，則，所以.故選：A.3．（24-25高一下·山東濟(jì)寧·期中）已知單位向量，，且，則（

）A．2 B． C． D．1【答案】D【解析】由有，所以，所以，所以，故選：D.4（24-25高一下·河南南陽(yáng)·期中）設(shè)向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量為，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】由向量在向量上的投影向量為，得，則，由，則，所以．故選：A.5．（24-25高一下·湖北孝感·期中）已知向量，則下列命題不正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．是與共線的單位向量，則 D．取得最大值時(shí)，【答案】C【解析】對(duì)于A，因?yàn)橄蛄?，所以，即，故A正確；對(duì)于B，等價(jià)于，即，則，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，與共線的單位向量為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值時(shí)，此時(shí)，故D正確．故選：C6．（24-25高一下·云南昆明·階段練習(xí)）如圖，正方形中，M是的中點(diǎn)，若，則（

）

A． B． C． D．1【答案】D【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，

則，則.故，，，故由得，解得，故，故選：D.7．（24-25高一下·山東青島·階段練習(xí)）在中，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，且P為靠近A點(diǎn)的三等分點(diǎn)，Q是中點(diǎn)，與交點(diǎn)為M，又，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，點(diǎn)是中點(diǎn)，所以,又因?yàn)槭巧峡拷c(diǎn)三等分點(diǎn)，所以,且因?yàn)?，則,即,消可解得.故選：.8（24-25高一下·湖北孝感·期中）下列命題：①若都是非零向量，則；②的充要條件是且；③為實(shí)數(shù)，若，則與共線；④若是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件．其中，真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】對(duì)于①，向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故①錯(cuò)；對(duì)于②，且或，所以，且是的必要不充分條件，故②錯(cuò)；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，與可以為任意向量，滿足，但與不一定共線，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若是不共線的四點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則且，此時(shí)，四邊形為平行四邊形；當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，由相等向量的定義可知，所以，若是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件，故④對(duì)．故選：A.多選題9．（24-25高一下·廣東東莞·階段練習(xí)）已知，，是與同向的單位向量，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．與可以作為一組基底 D．向量在向量上的投影向量為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由，得，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，與不共線，則與可以作為一組基底，C正確；對(duì)于D，，向量在向量上的投影向量，D錯(cuò)誤.故選：ABD10．（24-25高一下·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）已知向量，則（

）A．的充要條件是B．的充要條件是C．的充要條件是D．若與的夾角為銳角，則的取值范圍是【答案】AB【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，，由，得到，解得，又時(shí)，，則，所以的充要條件是，故選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，由，得到，解得，又時(shí)，，所以，則的充要條件是，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)椋?，若與的夾角為銳角，則，且與不共線，由選項(xiàng)B知時(shí)，，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AB.11．（24-25高一下·江蘇南通·期中）已知非零向量，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則向量夾角為銳角B．若，則C．若，則與的夾角是D．若，則【答案】BCD【解析】向量是非零向量，對(duì)于A，因?yàn)?，即，所以向量夾角為銳角或零度角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以與方向相同，又表示與同向的單位向量，表示與同向的單位向量，所以，故B正確；對(duì)于C，設(shè)，，由向量線性運(yùn)算知：，，如下圖所示：

因?yàn)?，所以與均為等邊三角形，，又四邊形為菱形，所以，即與的夾角為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，設(shè)，則，，所以，故D正確.故選：BCD.填空題12．（24-25高一下·廣東深圳·階段練習(xí)）設(shè)，是不共線的兩個(gè)向量，，，.若A，B，D三點(diǎn)共線，則k的值為.【答案】【解析】由題設(shè)，，不共線，，，，三點(diǎn)共線，與共線，存在實(shí)數(shù)，使，，，解得.故答案為：13．（24-25高一下·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）如圖，在中，已知，是線段與的交點(diǎn)，若，則的值為.【答案】【解析】設(shè)，，故，又，故,由于三點(diǎn)共線，故，則，又，故，所以，故答案為：14．（24-25高一下·吉林四平·階段練習(xí)）在中，M，N分別在邊，上，且，，D在邊上（不包含端點(diǎn)）.若，則的最小值是．【答案】2【解析】因?yàn)樵谏喜淮嬖冢ú话?/p>