紫荊中學2024-2025學年第二學期期中考試題（卷）高一數學說明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘.答案寫在答題卡上，交卷時只交答題卡.第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知為虛數單位，（）A.B.C.D.2.已知，若，則點的坐標為（）A.B.C.D.3.已知，，則的值等于()A.eq\f(5\r(2),26)B．－eq\f(2\r(2),13) C．－eq\f(7\r(2),26)D.eq\f(3\r(2),13)4.已知，則（）A.B.C.D.5.在中，角的對邊分別為，若，且，則角的余弦值為（）A.B.C.D.6.在正方體中，分別為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．在矩形中，,．若點，分別是，的中點，則（

）A．4 B．3 C．2 D．18．如圖，在平行四邊形中，是對角線上靠近點的三等分點，點在上，若，則（）A.B.C.D.二、多項選擇題(本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對得6分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)9.如圖，在單位圓中，向量是（）A.有相同起點的向量B.單位向量C.模相等的向量D.相等的向量10.已知復數，，則下列命題中為真命題的是（）A．若，則 B．若，則C．，則為純虛數 D．若，則11.一個正方體紙盒展開后如圖，在原正方體紙盒中下列結論正確的是_________．A.

B．與成

C．與是異面直線D.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)12．在中，角所對的邊分別為，且的外接圓半徑為1，若，則的周長為__________.13.已知點是角終邊上的一點，則的值為________.14.已知向量與的夾角為，且，，則在上的投影向量為________.四、解答題(本大題共5小題，共77分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)15．(本小題滿分13分)已知向量與的夾角為，且，.(1)求；(2)；(3)求向量與向量的夾角.16．(本小題滿分15分)在中，內角所對的邊分別為，且滿足.（1）求的值；（2）若，求的值.17．(本小題滿分15分)如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝2，E，F分別是PA和AB的中點，求PA與平面PBC所成角的正弦值．18.(本小題滿分17分)如圖，在直三棱柱中，AB＝AC，P為的中點，Q為BC的中點．(1)求證：PQ∥平面；(2)求證：BC⊥PQ.19．(本小題滿分17分)已知函數.(1)求的最小正周期和單調遞增區(qū)間；(2)在中，內角所對的邊分別為,若，，的面積為，求c邊的長度.班級姓名班級姓名準考證號座位號考場------------------------------裝---------------------------------------訂---------------------------------------------線---------------------------------------高一數學第Ⅰ卷（選擇題共58分）總分一、選擇題：1-8小題，每小題5分，9-11小題，每小題6分，共58分單選題號12345678單選答案多選題號91011多選答案第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三.填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.13.14.四.解答題：本大題共5小題，共77分.請在各題目的答題區(qū)域內作答，超出黑色矩形邊框限定區(qū)域的答案無效15.（本小題滿分13分）16.（本小題滿分116.（本小題滿分15分）------------------------------裝---------------------------------------訂---------------------------------------------線---------------------------------------18.(本小題滿分17------------------------------裝---------------------------------------訂---------------------------------------------線---------------------------------------18.(本小題滿分17分）17.(本小題滿分15分）19.19.（本小題滿分17分)參考答案1.B.2.D由題意設，則，解得.3.C∵cosα＝eq\f(5,13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，∴sinα＝－eq\f(12,13)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝cosαcoseq\f(π,4)＋sinαsineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)－\f(12,13)))＝－eq\f(7\r(2),26).答案：C.4.B，則，，可得.5.A且.6.A7.C由圖及題意，可得：，.∴.故選C．8.C由題可知點在上，.故選C.9.BC本題考查單位向量..所以項正確.10.ABD設，，，，，，對于A：，由于，所以，所以，，故，故正確；對于：由于，則，，所以，，故，故正確；對于：若，所以，故，即或，故錯誤；對于：若，所以，而所以，故正確．故選：．11.AC由正方體性質知：//且有,故A正確，B錯誤.C,由圖知：與是異面直線，故正確.D,由正方體的性質知：,故錯誤.故答案為：AC.12.因為，所以，所以的周長為.13.15．(1)2(2)(3)16..解：（1）由正弦定理有因為，可得；（2）由（1）知，故有.17.解：過A作AH⊥BC于H，連接PH，∵PC⊥平面ABCD，AH?平面ABCD，∴PC⊥AH，又PC∩BC＝C，∴AH⊥平面PBC.∴∠APH為PA與平面PBC所成的角，在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴△ABC為正三角形，又AH⊥BC，∴H為BC中點，AH＝eq\r(3)，∵PC＝AC＝2，∴PA＝2eq\r(2)，∴sin∠APH＝eq\f(AH,PA)＝eq\f(\r(6),4).故PA與平面PBC所成角的正弦值為eq\f(\r(6),4).18.證明：(1)如圖，連接B1C與BC1相交于點O，連接OQ∵BQ＝CQ，OB＝OC1，∴OQ∥CC1，OQ＝eq\f(1,2)CC1.∵A1P∥CC1，A1P＝eq\f(1,2)CC1，∴OQ∥A1P，OQ＝A1P，∴四邊形A1PQO為平行四邊形，∴A1O∥PQ，∵A1O?平面A1BC1，PQ?平面A1BC1，∴PQ∥平面A1BC1.(2)連接AQ，∵三棱柱ABC-A1B1C