河北省衡水市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．2．某校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)，某班級(jí)打算從5名男生與4名女生中選兩名男生和兩名女生去參加跑步接力比賽，則不同的選派方法數(shù)為（

）A．20 B．35 C．50 D．603．一批產(chǎn)品中次品率為10%，隨機(jī)抽取1件，定義，則（

）A．0.05 B．0.1 C．0.8 D．0.94．若隨機(jī)變量的分布列如表，則的值為（

）1234A． B． C． D．5．在等比數(shù)列中，，若，，成等差數(shù)列，則的公比為（

）A．2 B．3 C．4 D．56．已知，，則（

）A． B． C． D．7．用五種不同顏色的涂料涂在如圖所示的五個(gè)區(qū)域，相鄰兩個(gè)區(qū)域不能同色，且至少要用四種顏色，則不同的涂色方法有（

）

A．240 B．480 C．420 D．3608．將數(shù)列和中所有的元素按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列（若有相同元素，按重復(fù)方式計(jì)入排列），則數(shù)列的前50項(xiàng)和為（

）A．2160 B．2240 C．2236 D．2490二、多選題9．若袋子中有3個(gè)白球，2個(gè)黑球，現(xiàn)從袋子中有放回地隨機(jī)取球5次，每次取一個(gè)球，取到白球記1分，取到黑球記0分，記5次取球的總分?jǐn)?shù)為X，則（

）A． B．C．X的數(shù)學(xué)期望 D．X的方差10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（

）A．若為等差數(shù)列，則是等差數(shù)列B．若為等差數(shù)列，則成等差數(shù)列C．若為等比數(shù)列，則“，”是“”的充分不必要條件D．若是公比為的等比數(shù)列，則11．已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形C．若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為D．若過原點(diǎn)可作三條直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為三、填空題12．的展開式中的系數(shù)是.（用數(shù)字作答）13．某測(cè)試由8道四選一的單選題組成．學(xué)生小胡有把握答對(duì)其中4道題，且在剩下的4道題中，他對(duì)2道有思路，其余2道則完全不會(huì)．若小胡答對(duì)每道有思路的題的概率為，答對(duì)每道不會(huì)的題的概率為，則當(dāng)他從這8道題中任抽1題作答時(shí)，能答對(duì)的概率為．14．為了協(xié)調(diào)城鄉(xiāng)教育資源的平衡，政府決定派甲、乙、丙等六名教師去往包括希望中學(xué)在內(nèi)的三所學(xué)校支教（每所學(xué)校至少安排一名教師）.受某些因素影響，甲、乙教師不被安排在同一所學(xué)校，丙教師不去往希望中學(xué)，則不同的分配方法種數(shù)為.四、解答題15．已知展開式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列.(1)求n的值；(2)判斷展開式中是否存在含的項(xiàng).若有，則求出含的項(xiàng)；若沒有，請(qǐng)說明理由.16．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．(1)求曲線在點(diǎn)A處的切線方程；(2)求曲線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線方程．17．某市移動(dòng)公司為了提高服務(wù)質(zhì)量，決定對(duì)使用兩種套餐的集團(tuán)用戶進(jìn)行調(diào)查，準(zhǔn)備從本市個(gè)人數(shù)超過1000的大集團(tuán)和3個(gè)人數(shù)低于200的小集團(tuán)中隨機(jī)抽取若干個(gè)集團(tuán)進(jìn)行調(diào)查，若一次抽取2個(gè)集團(tuán)，全是大集團(tuán)的概率為．(1)在取出的2個(gè)集團(tuán)是同一類集團(tuán)的情況下，求全為小集團(tuán)的概率；(2)若一次抽取3個(gè)集團(tuán)，假設(shè)取出大集團(tuán)的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．18．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)證明：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)記，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為．①求；②若存在，使得，求的取值范圍．19．設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)若當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，若，證明：．

河北省衡水市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題參考答案題號(hào)12345678910答案CDBABBDCACDACD題號(hào)11答案AB1．C【詳解】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：C2．D【詳解】根據(jù)分步乘法原理由題可得不同的選派方法數(shù)為(種).故選：D.3．B【詳解】.故選：B.4．A【詳解】根據(jù)題意可得，所以.故選：A.5．B【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，又，所以，所以，故，故選：B．6．B【詳解】由，有，故選：B7．D【詳解】先不考慮至少要用四種顏色，完成涂色需要分5步，按照順序依次涂區(qū)域CADEB，C區(qū)域有5種顏色可選，A區(qū)域有4種顏色可選，D區(qū)域有3種顏色可選；若E區(qū)域與D區(qū)域顏色相同，E區(qū)域有1種顏色可選，則B區(qū)域有3種顏色可選；若E區(qū)域與D區(qū)域顏色不同，E區(qū)域有2種顏色可選，則B區(qū)域有2種顏色可選；再由分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得共有種；如果只使用三種顏色涂色（小于三種無法涂色），則A，B同色且D,E同色，共有種涂色方法；所以滿足題意的不同的涂色方法有種.故選：D.8．C【詳解】由題知：中第50個(gè)數(shù)為，第41個(gè)數(shù)為，因?yàn)椋?，則數(shù)列的前50項(xiàng)和中含中元素46個(gè)，含中元素4個(gè)，所以.故選：C9．ACD【詳解】由題意知從袋子中有放回地隨機(jī)取球5次，每次取到白球的概率為，取到白球記1分，取到黑球的概率為，取到黑球記0分，則記5次取球的總分?jǐn)?shù)為X，即為5次取球取到白球的個(gè)數(shù)，知，故A正確；，故B錯(cuò)誤；X的數(shù)學(xué)期望，故C正確﹔X的方差，故D正確.故選：ACD．10．ACD【詳解】對(duì)于A，若為等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，所以，所以，所以為等差數(shù)列，故A正確；對(duì)于B，若成等差數(shù)列，則成立，所以，即，所以，而不恒成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，為等比數(shù)列，若“，”則“”，所以充分性成立；當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比為1，若成立，不一定成立，例如，但，所以必要性不成立，所以“，”是“”的充分不必要條件，故C正確；對(duì)于D，若為等比數(shù)列，公比為，當(dāng)時(shí)，則前項(xiàng)和為，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上：，故D正確.故選：ACD11．AB【詳解】由，對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，又由，可得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，是中心對(duì)稱圖形，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，可得或，若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，必有，可得，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)切點(diǎn)為（其中），由切線過原點(diǎn)，有，整理為，令，有，可得函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，又由時(shí)，；時(shí)，；及，可知當(dāng)時(shí)，關(guān)于m的方程有且僅有3個(gè)根，可得過原點(diǎn)可作三條直線與曲線相切，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：AB．12．5【詳解】的展開式的通項(xiàng)為.從中選擇1，則需求的展開式中含的項(xiàng)，由可得，，此時(shí)有；從中選擇，則需求的展開式中含的項(xiàng)，由可得，，此時(shí)有.所以，的展開式中含的項(xiàng)為.故答案為：5.13．/0.6875【詳解】設(shè)“小胡從這8題中任選1題且作對(duì)”為事件A，“選到能完整做對(duì)的4道題”為事件B，“選到有思路的2道題”為事件C，“選到完全沒有思路的題”為事件D，則，，，，由全概率公式可得.故答案為：.14．260【詳解】先將丙安排在一所學(xué)校，有種分法；若甲、丙在同一所學(xué)校，那么乙就有種選法，剩下3名教師可能分別有3、2、1人在最后一所學(xué)校（記為校），分別對(duì)應(yīng)有1（3人均在校）、（2人在校，另1人隨便排）、（1人在校，另2人分在同一所學(xué)?；虿辉谕凰鶎W(xué)校），共種排法；若甲、丙不在同一所學(xué)校，則甲有種選法，若乙與丙在同一所學(xué)校，則剩下3名教師按上面方法有19種排法；若乙與丙不在同一所學(xué)校，則有剩下3人可分別分為1，2、3組，分別有、、種排法，故共有：種排法.故答案為：26015．(1)8(2)不存在，理由見解析【詳解】（1）展開式的通項(xiàng)公式為，由題意可得，前三項(xiàng)項(xiàng)系數(shù)：1，，成等差數(shù)列，即，解得；（2）由（1）可得，令，解得，因?yàn)?，所以不存在含的?xiàng).16．(1)；(2)和．【詳解】（1）依題意可得，則，∴，∵，∴，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）設(shè)過原點(diǎn)的切線方程為，則切點(diǎn)為，則消去k，整理得，解得或，有或．故所求方程為和．17．(1)(2)分布列見解析，【詳解】（1）由題意知共有個(gè)集團(tuán)，取出2個(gè)集團(tuán)的方法總數(shù)是，其中全是大集團(tuán)的情況有，故全是大集團(tuán)的概率是，整理得到，解得．若2個(gè)全是大集團(tuán)，共有種情況；若2個(gè)全是小集團(tuán)，共有種情況；故全為小集團(tuán)的概率為．（2）由題意知，隨機(jī)變量的可能取值為，計(jì)算，，，，；故的分布列為：0123數(shù)學(xué)期望為．18．(1)證明見解析，；(2)①；②.【詳解】（1）數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，整理得，于是，而，即，則，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，，；（2）①由（1）知，，，.②由①知，，，，而數(shù)列單調(diào)遞增，則，因此，由存在，使得，得，所以的取值范圍是.19．(1)極小值為，無極大值(2)(3)證明見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，取得極小值，極小值為，無極大值；（2）由，可得，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)，所以，函數(shù)在單