思維導(dǎo)圖第3章整式的乘除思維導(dǎo)圖【類(lèi)型覆蓋】類(lèi)型一、楊輝三角【解惑】我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝用“三角形”解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，稱(chēng)之為“楊輝三角”，這個(gè)“三角形”給出了的展開(kāi)式的系數(shù)規(guī)律（按n的次數(shù)由大到小的順序）．請(qǐng)依據(jù)上述規(guī)律，寫(xiě)出展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是（

）A． B．2024 C．4048 D．【答案】D【分析】根據(jù)展開(kāi)式的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)每個(gè)展開(kāi)式的第二項(xiàng)系數(shù)是n，第一個(gè)字母的指數(shù)為，第二個(gè)字母的指數(shù)為1，依此規(guī)律解答即可．本題考查了規(guī)律的探索，熟練掌握規(guī)律的發(fā)現(xiàn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由發(fā)現(xiàn)：中，每個(gè)展開(kāi)式的第二項(xiàng)系數(shù)是n，第一個(gè)字母的指數(shù)為，第二個(gè)字母的指數(shù)為1，故的第二項(xiàng)為，故含項(xiàng)的系數(shù)是．故選：D．【融會(huì)貫通】1．“楊輝三角”（如圖），也叫“賈憲三角”，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)偉大的成就之一，被后世廣泛運(yùn)用，用“楊輝三角”可以解釋的展開(kāi)式的系數(shù)規(guī)律，例如，在“楊輝三角”中第3行的3個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)著展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)；第4行的4個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對(duì)應(yīng)著展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)；第5行的5個(gè)數(shù)1，4，6，4，1，恰好對(duì)應(yīng)著，等等．當(dāng)是大于6的自然數(shù)時(shí)，上述規(guī)律仍然成立，那么展開(kāi)式中的系數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了整式的乘法運(yùn)算規(guī)律，結(jié)合“楊輝三角”得出的各項(xiàng)系數(shù)，然后考慮符號(hào)計(jì)算即可，理解題意中的“楊輝三角”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：結(jié)合“楊輝三角”可得：的各項(xiàng)系數(shù)（不考慮符號(hào)）為，，，，，，，，，字母因式為：，，，，∴的系數(shù)為，故選：．2．如圖，我們知道展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)依次對(duì)應(yīng)楊輝三角第行中的每一項(xiàng)，給出了“楊輝三角”的前7行，如第4行對(duì)應(yīng)的等式為：，照此規(guī)律，計(jì)算：．【答案】1【分析】本題考查數(shù)字規(guī)律、多項(xiàng)式，觀察所求式子與楊輝三角第7行數(shù)字的關(guān)系，即可求解．【詳解】解：由題意知，，故答案為：1．3．我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例，如圖，這個(gè)三角形的構(gòu)道法則：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了（n為正整數(shù)）自展開(kāi)式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律，例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)展開(kāi)式中的系數(shù)等等．(1)根據(jù)上面的規(guī)律，的展開(kāi)式為；(2)①的展開(kāi)式中共有項(xiàng)，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為；②推測(cè)的展開(kāi)式中共有項(xiàng)，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為；(3)利用上述規(guī)律求的值，并寫(xiě)出求解過(guò)程．【答案】(1)(2)①十，；②十二，(3)【分析】本題考查的是多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算的規(guī)律問(wèn)題，根據(jù)題干信息總結(jié)歸納規(guī)律是解本題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)題目的規(guī)律即可得到答案；（2）①根據(jù)題干信息，總結(jié)規(guī)律，再利用規(guī)律解得即可；②根據(jù)題干信息，總結(jié)規(guī)律，再利用規(guī)律解得即可；（3）把化為，再計(jì)算即可.【詳解】（1）解：根據(jù)題目規(guī)律得，，（2）①∵有兩項(xiàng)，各項(xiàng)系數(shù)之和為2，有三項(xiàng)，各項(xiàng)系數(shù)之和為，有四項(xiàng)，各項(xiàng)系數(shù)之和為，歸納可得：有項(xiàng)，各項(xiàng)系數(shù)之和為，∴的展開(kāi)式中共有十項(xiàng)，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為；②的展開(kāi)式中共有十二項(xiàng)，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為；（3）.類(lèi)型二、整除問(wèn)題【解惑】關(guān)于x的二次三項(xiàng)式，關(guān)于x的三次三項(xiàng)式，下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為（

）①當(dāng)多項(xiàng)式乘積不含時(shí)，則；②當(dāng)M能被整除時(shí)，；③；A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】本題考查多項(xiàng)式，熟練掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．①根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則展開(kāi)，再由題意可得；②由題意可知，則，即可求得；③由題意可得，從而得到，分別求出c、d、e的值即可判定．【詳解】解：①多項(xiàng)式乘積不含，，則，故①符合題意；②，，即，故②符合題意；③，，，解得：，，故③不符合題意；故選：C．【融會(huì)貫通】1．若為任意整數(shù)，則的值一定能（

）A．被7整除 B．被8整除 C．被9整除 D．被10整除【答案】A【分析】本題考查同底數(shù)冪的乘法，合并同類(lèi)項(xiàng)，利用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，然后合并后找到能被整除的數(shù)或式即可得答案．【詳解】解：，即能被7整除，故選A．2．一個(gè)兩位正整數(shù)，如果滿足各數(shù)位上的數(shù)字互不相同且均不為0，那么稱(chēng)為“過(guò)數(shù)”，將的兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)得到一個(gè)新數(shù)．把放在的后面組成一個(gè)四位數(shù)，我們把這個(gè)四位數(shù)除以11所得的商記為，例如：時(shí)，，．則．若為“過(guò)數(shù)”，若與的個(gè)位數(shù)字之和能被5整除，則滿足條件的最大“過(guò)數(shù)”與最小“過(guò)數(shù)”的差是．【答案】38482【分析】本題主要考查代數(shù)式的運(yùn)算和有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)題意可知，且，利用已知定義即可求得；設(shè)，則，可求得，結(jié)合題意可知能被5整除，則能被5整除，令，分情況計(jì)算求得滿足條件的最大“過(guò)數(shù)”與最小“過(guò)數(shù)”并作差即可．【詳解】解：當(dāng)，則，∴，設(shè)，則，，∵與的個(gè)位數(shù)字之和能被5整除，且，∴，則能被5整除，令，當(dāng)時(shí)，或或或；當(dāng)時(shí)，或或或或或或或；當(dāng)時(shí)，或或或；滿足條件的最大“過(guò)數(shù)”與最小“過(guò)數(shù)”的差是，故答案為：384，82．3．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式一般可用豎式計(jì)算．例如：計(jì)算，可用豎式計(jì)算（如圖），所以除以，商式為，余式為0．閱讀上述材料，并回答下列問(wèn)題：(1)的商式是__________，余式是__________；(2)能被整除，求a，b的值．【答案】(1)；1(2)，【分析】本題主要考查了整式除法的意義和方法，根據(jù)整式除法的豎式計(jì)算方法，整體進(jìn)行計(jì)算即可；根據(jù)整式除法的豎式計(jì)算方法，要使能被整除，即余式為0，可以得到a、b的值．熟練掌握除法的豎式計(jì)算方法是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：，故答案為：；1（2）解：∵能被整除，∴∴，∴．類(lèi)型三、結(jié)果為1的分類(lèi)【解惑】若，則的值為(

)A． B．1或 C．或1或3 D．或1【答案】B【分析】本題考查零指數(shù)冪公式，和1的n次方的結(jié)果等知識(shí)，可按當(dāng)時(shí)與當(dāng)時(shí)兩種情況討論，掌握乘方結(jié)果是的三種情況：即①底數(shù)不為0，指數(shù)是0，②底數(shù)是1，③底數(shù)是，指數(shù)為偶數(shù)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：①當(dāng)，即時(shí)，，即∴；②當(dāng)，即時(shí)，則有(i)；(ii)且為偶數(shù)；(i)由解得：，(ii)解得：，此時(shí)，為奇數(shù)，不合題意，∴；綜上所述：或，故選：B．【融會(huì)貫通】1．如圖，約定：上方相鄰兩數(shù)之和等于這兩數(shù)下方箭頭共同指向的數(shù)．下列判斷正確的是（

）結(jié)論I：若n的值為5，則y的值為1；結(jié)論Ⅱ：的值為定值；結(jié)論Ⅲ：若，則y的值為4或1．A．I，Ⅲ均對(duì) B．Ⅱ?qū)?，Ⅲ錯(cuò) C．Ⅱ錯(cuò)，Ⅲ對(duì) D．I，Ⅱ均錯(cuò)【答案】B【分析】先由題意得到，，然后解方程組得到，當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)，即可判斷I；得，即可判斷②；根據(jù)1的任何次方為1，的偶次方為1，非零底數(shù)的0次方為1，三種情況討論求解即可判斷Ⅲ．【詳解】解：由題意得，，，得，解得，把代入①得，解得，∴方程組的解為，∵，∴當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)，故結(jié)論I正確；得，∴，故結(jié)論Ⅱ正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)滿足；當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，∴，，此時(shí)滿足；當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，∴，此時(shí)滿足，綜上所述，若，則y的值為4或3或1，故結(jié)論Ⅲ錯(cuò)誤，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組和二元一次方程的解，零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．若x滿足，則整數(shù)x的值為．【答案】或3或1【分析】此題主要考查了零指數(shù)冪，以及有理數(shù)的乘方．根據(jù)零指數(shù)冪可得，根據(jù)有理數(shù)的乘方可得；，為偶數(shù)，再解即可．【詳解】解：由題意得：①，，解得：；②，解得：；③，為偶數(shù)，解得：，故答案為：或3或1．3．已知，求x的值．【答案】或1或3【分析】本題考查冪的運(yùn)算，分3種情況進(jìn)行討論：，1的任何次冪都等于1，的偶次冪等于1，即可得出結(jié)果．【詳解】解：當(dāng)，即：時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，則：，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，則：，滿足題意；綜上：x的值為或1或3．類(lèi)型四、單(多)項(xiàng)式與多(單)項(xiàng)式的應(yīng)用【解惑】實(shí)踐教學(xué)：某校同學(xué)在社會(huì)實(shí)踐的過(guò)程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遺產(chǎn)大會(huì)上被正式列入《世界遺產(chǎn)名錄》的福建土樓，也有被譽(yù)為中國(guó)民居建筑典范的山西大院，同學(xué)們對(duì)于哪個(gè)建筑的占地面積（圖中陰影）更大展開(kāi)了討論．①組的同學(xué)認(rèn)為圖1中回字形福建土樓的占地面積更大；②組的同學(xué)認(rèn)為圖2中山西大院的占地面積更大．?dāng)?shù)據(jù)采集：為了證明自己的想法是正確的，兩組同學(xué)分別對(duì)建筑物進(jìn)行了數(shù)據(jù)測(cè)量，數(shù)據(jù)如圖所示．?dāng)?shù)據(jù)應(yīng)用：(1)請(qǐng)分別計(jì)算這兩個(gè)建筑物的占地面積；(2)若，則__________組同學(xué)的想法正確．（填“①”或“②”）【答案】(1)回字形福建土樓占地面積為，山西大院占地面積為(2)①【分析】本題考查多項(xiàng)式乘法的實(shí)際應(yīng)用，整式加減的應(yīng)用：（1）用含a，b的式子表示出圖形的長(zhǎng)和寬，再利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式求解；（2）結(jié)合：，計(jì)算這兩個(gè)建筑物的占地面積之差，即可求解．【詳解】（1）解：回字形福建土樓占地面積為：；山西大院占地面積為：；（2）解：這兩個(gè)建筑物的占地面積之差，，，回字形福建土樓的占地面積更大，即①組同學(xué)的想法正確，故答案為：①．【融會(huì)貫通】1．如圖，一塊長(zhǎng)方形鐵皮的長(zhǎng)為，寬為．將這塊長(zhǎng)方形鐵皮的四個(gè)角都剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，然后沿虛線折成一個(gè)無(wú)蓋的盒子．(1)求這個(gè)盒子底面的面積；（用含a、b的式子表示）(2)當(dāng)，時(shí)，求這個(gè)盒子底面的面積．【答案】(1)(2)63【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，整式的加減運(yùn)算，代數(shù)式求值，正確化簡(jiǎn)計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可知，這個(gè)盒子的長(zhǎng)=等于長(zhǎng)方形鐵皮的長(zhǎng)2倍的正方形的邊長(zhǎng)，這個(gè)盒子的寬=等于長(zhǎng)方形鐵皮的寬2倍的正方形的邊長(zhǎng)，由此求解即可得到答案；（2）把，代入求值即可【詳解】（1）解：盒子底面的面積為：（2）解：當(dāng)，時(shí)，盒子底面的面積為：．2．通過(guò)小學(xué)的學(xué)習(xí)，我們知道：周長(zhǎng)一定的長(zhǎng)方形中，正方形的面積最大．此結(jié)論可以利用圖形的割補(bǔ)加以說(shuō)明．(1)【方法理解】已知長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是20，設(shè)長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)是，則相鄰一邊長(zhǎng)是．①當(dāng)時(shí)，如圖1將此長(zhǎng)方形進(jìn)行如下割補(bǔ)．如圖2，長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)是，相鄰一邊長(zhǎng)是________．如圖3，將長(zhǎng)方形割補(bǔ)到長(zhǎng)方形的右側(cè)，陰影部分是一個(gè)邊長(zhǎng)為_(kāi)________的正方形（以上兩空，均用含的代數(shù)式表示）．通過(guò)上述割補(bǔ)，圖1中長(zhǎng)方形的面積可以看成圖3中兩個(gè)正方形的面積之差，所以代數(shù)式、25、滿足的等量關(guān)系是______________，從而可得；②當(dāng)時(shí)，類(lèi)似上述過(guò)程進(jìn)行割補(bǔ)，同理可得；③當(dāng)時(shí)，該長(zhǎng)方形即為正方形，此時(shí)．綜上分析，周長(zhǎng)是20的長(zhǎng)方形的最大面積是25；(2)【方法遷移】當(dāng)時(shí)，仿照上述割補(bǔ)過(guò)程，求代數(shù)式的最大值．【答案】(1)①，，；②詳見(jiàn)解析，③詳見(jiàn)解析(2)的最大值為49【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式的乘法、以及多項(xiàng)式的乘法的幾何運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．(1)根據(jù)等面積問(wèn)題即可得出答案；(2)根據(jù)題中圖形面積的求法畫(huà)出相應(yīng)的圖形，進(jìn)而即可求出的最大值．【詳解】（1）解：，長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)是，相鄰一邊長(zhǎng)，∴陰影部分是一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，由圖可知，長(zhǎng)方形面積=大正方形面積-小正方形面積，，故答案為：，，；②當(dāng)時(shí)，如圖，陰影部分是邊長(zhǎng)為的正方形，，，③當(dāng)時(shí)，該長(zhǎng)方形為邊長(zhǎng)是5的正方形，此時(shí)，綜上分析，周長(zhǎng)是20的長(zhǎng)方形的最大面積是25；（2）解：當(dāng)時(shí)，如圖，陰影部分是邊長(zhǎng)為的正方形，，，當(dāng)時(shí)，如圖，陰影部分是邊長(zhǎng)為的正方形，，，當(dāng)時(shí)，該長(zhǎng)方形為邊長(zhǎng)是7的正方形，邊長(zhǎng)是和的長(zhǎng)方形的最大面積是49，的最大值為49．3．【閱讀材料】“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法.比如：在學(xué)習(xí)“整式的乘法”時(shí)，我們通過(guò)構(gòu)造幾何圖形，用“等積法”直觀地推導(dǎo)出了完全平方和公式：（如圖1）．利用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，可以從代數(shù)角度解決圖形問(wèn)題，也可以用圖形關(guān)系解決代數(shù)問(wèn)題．【方法應(yīng)用】根據(jù)以上材料提供的方法，回答下列問(wèn)題：(1)由圖2可得等式：；(2)由圖3可得等式：；(3)利用圖3得到的結(jié)論，解決問(wèn)題：已知，求的值．【答案】(1)(2)(3)52【分析】本題考查完全平方公式的幾何背景以及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握完全平方公式以及多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則是解題的關(guān)鍵．（1）大長(zhǎng)方形的面積，大長(zhǎng)方形的面積個(gè)邊長(zhǎng)為小正方形的面積個(gè)小長(zhǎng)方形的面積個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形面積，即可得出結(jié)論；（2）大正方形的面積，大正方形的面積個(gè)邊長(zhǎng)分別為、、的正方形的面積個(gè)長(zhǎng)和寬分別為、小長(zhǎng)方形的面積個(gè)長(zhǎng)和寬分別為、小長(zhǎng)方形的面積個(gè)長(zhǎng)和寬分別為、小長(zhǎng)方形的面積，即可得出結(jié)論；（3）利用（2）中的結(jié)論進(jìn)行求解即可；【詳解】（1）解：由圖2知，大長(zhǎng)方形的面積，大長(zhǎng)方形的面積個(gè)邊長(zhǎng)為小正方形的面積個(gè)小長(zhǎng)方形的面積個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形面積，；故答案為：；（2）解：由圖3知，大正方形的面積，大正方形的面積個(gè)邊長(zhǎng)分別為、、的正方形的面積個(gè)長(zhǎng)和寬分別為、小長(zhǎng)方形的面積個(gè)長(zhǎng)和寬分別為、小長(zhǎng)方形的面積個(gè)長(zhǎng)和寬分別為、小長(zhǎng)方形的面積，；故答案為：；（3）解：由（2）知：，，，把代入得：．類(lèi)型五、平方差公式與幾何應(yīng)用【解惑】乘法公式的探究及應(yīng)用(1)如圖1到圖2的操作能驗(yàn)證的等式是____________．（請(qǐng)選擇正確的一個(gè)）A．

B．C．

D．(2)當(dāng)，時(shí)，則____________；(3)運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算下列各題：①；②．【答案】(1)D(2)2(3)①2；②【分析】本題主要考查了平方差公式的應(yīng)用，有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．（1）觀察圖形，利用兩圖中的面積相等即可得出結(jié)論；（2）利用平方差公式求解即可；（3）①將原式變形為，再利用（1）中公式計(jì)算；②將2變形為，再逐步利用平方差公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：圖1中陰影面積為，圖2的陰影面積為，∴圖1到圖2的操作能驗(yàn)證的等式是，故選：D；（2）解：∵，∴，即，又∵，∴，故答案為：2；（3）解：①；②.【融會(huì)貫通】1．從邊長(zhǎng)為a的正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形(如圖1)，然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形(如圖2)．(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是(請(qǐng)選擇正確的一個(gè))A．B．C．(2)應(yīng)用你從(1)選出的等式，完成下列各題：①已知，，求的值．②計(jì)算：．【答案】(1)B(2)①3；②【分析】本題考查平方差公式的幾何背景．（1）分別用代數(shù)式表示圖1、圖2陰影部分的面積即可；（2）①根據(jù)平方差公式將化為，再整體代入計(jì)算即可；②利用平方差公式將原式變形即可求解．【詳解】（1）解：圖1陰影部分可以看作兩個(gè)正方形的面積差，即，拼成的圖2是長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，因此面積為，所以，故答案為：B；（2）解：①∵，∴，又∵，∴，答：的值為3；②原式．2．實(shí)踐探究題某數(shù)學(xué)興趣小組用“等面積法”分別構(gòu)造了以下四種圖形驗(yàn)證“平方差公式”：(1)【探究】以上四種方法中能夠驗(yàn)證“平方差公式”的有______（填序號(hào)）；(2)【應(yīng)用】利用“平方差公式”計(jì)算：；(3)【拓展】計(jì)算：．【答案】(1)①、②、③(2)1(3)【分析】本題主要考查平方差公式的驗(yàn)證與運(yùn)用，掌握平方差公式的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖示，分別求出陰影部分面積進(jìn)行比較判定即可；（2）將變形為，運(yùn)用平方差公式計(jì)算即可；（3）將原式添加一個(gè)，再運(yùn)用平方差公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：圖①中，左邊圖形陰影部分的面積為，右圖中陰影部分的面積為，∴，能驗(yàn)證“平方差公式”；圖②中，左邊圖形陰影部分的面積為，右圖中陰影部分的面積為，∴，能驗(yàn)證“平方差公式”；圖③中，左邊圖形陰影部分的面積為，右圖中陰影部分的面積為，∴，能驗(yàn)證“平方差公式”；圖④中，左邊圖形陰影部分的面積為，右圖中陰影部分的面積為，∴不能驗(yàn)證“平方差公式”；綜上所述，能驗(yàn)證“平方差公式”的有①、②、③，故答案為：①、②、③；（2）解：；（3）解：．3．從邊長(zhǎng)為的正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形（如圖①），然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖②）．(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是．（請(qǐng)選擇“A”“B”“C”）A．

B．

C．(2)已知，，則的值為．(3)計(jì)算：．【答案】(1)B(2)3(3)【分析】本題考查了平方差公式的幾何背景，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖中陰影部分面積的兩種不同表示方法即可解決問(wèn)題；（2）根據(jù)（1）中的發(fā)現(xiàn)即可解決問(wèn)題；（3）根據(jù)（1）中的發(fā)現(xiàn)，將將平方差的形式改寫(xiě)成兩數(shù)之和乘以?xún)蓴?shù)之差的形式即可解；【詳解】（1）解：由題知，圖①中陰影部分的面積為，圖②中陰影部分的面積為，又圖②由圖①中的陰影部分剪拼而得，所以．故選：B．（2）解：由（1）可知，，又，，所以．故答案為：3．（3）解：原式．類(lèi)型六、完全平方公式與幾何應(yīng)用【解惑】如圖①所示是一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，然后按圖②的方式拼成一個(gè)正方形．(1)你認(rèn)為圖②中陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)等于_______．(2)請(qǐng)用兩種不同的方法列代數(shù)式表示圖②中陰影部分的面積.方法①___________；方法②__________．(3)觀察圖②，試寫(xiě)出，，這三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系______．(4)根據(jù)（3）題中的等量關(guān)系，解決如下問(wèn)題：若，，則求的值．【答案】(1)(2)，(3)(4)16【分析】本題考查完全平方公式的幾何背景，用不同的方法表示同一個(gè)圖形的面積是得出等量關(guān)系式的關(guān)鍵．（1）由拼圖可知，圖②陰影部分是邊長(zhǎng)為的正方形；（2）方法一，直接利用正方形的面積公式表示陰影部分的面積；方法二，從邊長(zhǎng)為的大正方形減去四個(gè)長(zhǎng)為，寬為的矩形面積即可；（3）由（2）的兩種方法求陰影部分的面積可得等式；（4）將的變形為：即可求解．【詳解】（1）解：由拼圖可知，陰影部分是邊長(zhǎng)為的正方形，故答案為：；（2）方法一：直接利用正方形的面積公式得正方形的面積為；方法二：從邊長(zhǎng)為的大正方形減去四個(gè)長(zhǎng)為，寬為的矩形面積即為陰影部分的面積，即；故答案為：，；（3）由（2）的兩種方法可得，；故答案為：；（4）．，，．【融會(huì)貫通】1．如圖所示，圖1是一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形，沿圖中的虛線剪成四個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方形，將四個(gè)小長(zhǎng)方形按圖2、圖3擺放，分別拼成較大的長(zhǎng)方形、正方形．(1)圖1的面積為_(kāi)_____；（用m與n的代數(shù)式表示）(2)在圖2中，m與n的等量關(guān)系為_(kāi)_____；(3)在圖3中，若大正方形的面積為49，陰影小正方形的面積為24，請(qǐng)直接寫(xiě)出兩個(gè)關(guān)于m，n的等式．【答案】(1)(2)(3)，【分析】本題主要考查了整式的運(yùn)算，面積的計(jì)算等，審清題意列式是解題的關(guān)鍵.（1）根據(jù)面積公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)圖形推導(dǎo)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與三個(gè)寬相等求出即可；（3）由圖推出大正方形的邊長(zhǎng)和陰影小正方形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)“大正方形的面積為49，陰影小正方形的面積為24”列出關(guān)系式即可．【詳解】（1）解：由長(zhǎng)方形的面積公式可得：.故答案為：；（2）由圖可知：.故答案為：；（3）由圖可知：大正方形的邊長(zhǎng)為，陰影小正方形的邊長(zhǎng)為，又∵大正方形的面積為49，陰影小正方形的面積為24∴兩個(gè)關(guān)于m，n的等式為：，．2．（1）下圖中的①是一個(gè)長(zhǎng)為、寬為的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后拼成一個(gè)如圖中的②所示的正方形．小明用兩種不同的方法求圖中②的陰影部分的面積，發(fā)現(xiàn)了以下等量關(guān)系：________．（2）利用（1）中的等量關(guān)系解決下面的問(wèn)題：①，，求和的值；②已知，求的值．【答案】（1）（2）①1，，②【分析】本題考查了完全平方公式的幾何背景：利用幾何圖形之間的面積關(guān)系得到完全平方公式是解題的關(guān)鍵．（1）可以用大正方形的面積減去4個(gè)長(zhǎng)方形的面積得到圖b中的陰影部分的正方形面積；也可以直接利用正方形的面積公式得到；（2）①由（1）得到，把，，代入求，再利用完全平方公式求的值；②由完全平方公式可知，，即則的值可求．【詳解】（1）方法一：圖②中的陰影部分的正方形面積等于大正方形的面積減去4個(gè)長(zhǎng)方形的面積，即；方法二：圖②中的陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)等于，所以其面積為；∴；故答案為：；（2）①由（1）可知∵，，∴，解得，，∵，∴，∴．②∵，∴即，∴．3．兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形如圖放置（圖①），其未疊合部分（陰影）面積為；若再在圖①中大正方形的右下角擺放一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（如圖②），兩個(gè)小正方形疊合部分（陰影）面積為．

(1)用含a、b的代數(shù)式分別表示、；(2)若，，求的值；(3)用a、b的代數(shù)式表示，并當(dāng)時(shí)，求出圖③中陰影部分的面積．【答案】(1),=；(2)=77；(3)=18.【分析】（1）圖①中陰影部分的面積是邊長(zhǎng)為a、b的正方形的面積差，圖②中陰影部分的面積是邊長(zhǎng)為b的正方形面積減去邊長(zhǎng)為b和的矩形面積的差；（2）由（1）用a、b表示出，然后將其配方后把，代入即可得解；（3）由圖形中面積之間的關(guān)系可以用含有a、b的代數(shù)式表示，然后再代入計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由題意可得：,==；（2）由（1）可得：===,∴當(dāng)，時(shí)，；（3）由題意可得：=，當(dāng)時(shí)，，∴.【點(diǎn)睛】本題考查整式運(yùn)算在面積計(jì)算中的應(yīng)用，熟練掌握整式的運(yùn)算法則及完全平方公式的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．類(lèi)型七、整式乘除中的規(guī)律【解惑】在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律．(1)圖1是2025年1月份的月歷，我們用如圖2所示的“”字型框架任意框住月歷中的5個(gè)數(shù)（如圖1中的陰影部分），先將位置上的數(shù)相乘，再將位置上的數(shù)相乘，再相減，例如：，不難發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)代數(shù)式計(jì)算結(jié)果都等于___________．（請(qǐng)完成填空）(2)設(shè)“”字型框架中位置上的數(shù)為，請(qǐng)利用整式的運(yùn)算對(duì)（1）中的規(guī)律加以證明．(3)在2025年某月歷中，用正方形框框住如圖3陰影部分9個(gè)位置上的數(shù)，如果最小的數(shù)和最大的數(shù)的乘積為225，設(shè)中間位置上的數(shù)為，求的值．【答案】(1)35(2)見(jiàn)解析(3)17【分析】本題考查了乘法公式、利用平方根解方程等知識(shí)，熟練掌握整式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法與減法法則計(jì)算例子中的兩個(gè)式子的結(jié)果即可得；（2）先分別求出在位置上的數(shù)，再列式，計(jì)算整式的乘法與加減法即可得；（3）先求出最小的數(shù)為，最大的數(shù)為，從而可得，再利用平方根解方程即可得．【詳解】（1）解：，，所以這兩個(gè)代數(shù)式計(jì)算結(jié)果都等于35，故答案為：35．（2）解：設(shè)“”字型框架中位置上的數(shù)為，則在位置上的數(shù)為，在位置上的數(shù)為，在位置上的數(shù)為，在位置上的數(shù)為，∵先將位置上的數(shù)相乘，再將位置上的數(shù)相乘，再相減，∴．（3）解：設(shè)中間位置上的數(shù)為，則最小的數(shù)為，最大的數(shù)為，∵最小的數(shù)和最大的數(shù)的乘積為225，∴，，，或（不符合題意，舍去），答：的值為17．【融會(huì)貫通】1．探究應(yīng)用：(1)計(jì)算：__________；_________．(2)上面的乘法計(jì)算結(jié)果很簡(jiǎn)潔，用含a，b的式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，并說(shuō)明理由；(3)下列各式能用（2）中的式子計(jì)算的是__________（填選項(xiàng)）．A．

B．C．

D．【答案】(1)，(2)，理由見(jiàn)解析(3)C【分析】本題考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是利用觀察歸納能力來(lái)求解及掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則．（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則即可計(jì)算出答案；（2）根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則，從計(jì)算中找規(guī)律；（3）多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式特殊情況的總結(jié)．【詳解】（1）解：，，故答案為：；；（2）解：；∵，∴；（3）解：由可知，選項(xiàng)C正確．故選：C．2．觀察下列等式：；；；……(1)根據(jù)以上等式的規(guī)律，填空：；(2)根據(jù)以上等式的規(guī)律，填空：；并用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法證明該等式成立；(3)利用（2）中的等式化簡(jiǎn)：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查整式的乘法，解題的關(guān)鍵是掌握整式的乘法運(yùn)算和探究與表達(dá)規(guī)律．（1）根據(jù)上述式子，即可得出答案；（2）根據(jù)上述式子，即可得到規(guī)律；（3）利用結(jié)論，把看成，進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可求解．【詳解】（1）解：∵；；；；故答案為：；（2）解：由（1）得到規(guī)律．故答案為：；（3）解：．3．閱讀下列材料，然后解答問(wèn)題．學(xué)會(huì)從不同的角度思考問(wèn)題．學(xué)完平方差公式后，小軍展示了以下例題：例：求的值的末位數(shù)字．解：原式．由（n為正整數(shù)）的末位數(shù)字的規(guī)律，可得的末位數(shù)字是6．愛(ài)動(dòng)腦筋的小明想出了一種新的解法：因?yàn)椋揖鶠槠鏀?shù)，幾個(gè)奇數(shù)與5相乘，末位數(shù)字是5，所以原式的末位數(shù)字就是6．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要像小明那樣，學(xué)會(huì)觀察，獨(dú)立思考，嘗試從不同角度分析問(wèn)題，這樣才能學(xué)好數(shù)學(xué)．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)計(jì)算（n為正整數(shù)）的值的末位數(shù)字是__________；(2)計(jì)算的值的末位數(shù)字是__________；(3)計(jì)算：．【答案】(1)6(2)1(3)【分析】本題主要考查了平方差公式，熟練應(yīng)用平方差公式是解題關(guān)鍵．（1）原式變形后，利用小明方法計(jì)算即可；（2）由，則，則的末位數(shù)字是0，進(jìn)而完成解答；（3）先湊出平方差公式，然后理由平方差公式求解即可．【詳解】（1）解：∵，且，均為奇數(shù)，∴幾個(gè)奇數(shù)與5相乘，末位數(shù)字是5，∴原式的末位數(shù)字是6．（2）解：∵，∴，∴的末位數(shù)字是0，∴的末位數(shù)字是．（3）解：．類(lèi)型八、整數(shù)乘除中的新定義【解惑】定義一種新運(yùn)算．例如．按照這種運(yùn)算規(guī)定，得．求x的值．【答案】【分析】本題主要考查整式的混合運(yùn)算與解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義列出關(guān)于的方程，熟記完全平方公式，平方差公式及解一元一次方程的步驟．先根據(jù)新定義規(guī)定的運(yùn)算法則得出，再將左邊利用完全平方公式和平方差公式去括號(hào)，繼而合并同類(lèi)項(xiàng)，移項(xiàng)，系數(shù)化為1可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意得，，，解得：．【融會(huì)貫通】1．（新定義題）對(duì)于任意有理數(shù)，我們規(guī)定．例如：．當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】，1【分析】此題考查了列代數(shù)式及其求值、整式的運(yùn)算、新定義問(wèn)題的解決能力，關(guān)鍵是能正確理解題意并列代數(shù)式求解．根據(jù)題意列出代數(shù)式并求解即可．【詳解】解：原式．因?yàn)?，所以，所以原式?．現(xiàn)定義了一種新運(yùn)算“，對(duì)于任意有理數(shù)a，b，c，d，規(guī)定，等號(hào)右邊是通常的減法和乘法運(yùn)算．例如：．請(qǐng)解答下列問(wèn)題(1)填空：______；(2)若的代數(shù)式中不含x的一次項(xiàng)時(shí)，求n的值；(3)求的值，其中；(4)如圖1，小長(zhǎng)方形長(zhǎng)為a，寬為b，用5張圖1中的小長(zhǎng)方形按照?qǐng)D2方式不重疊地放在大長(zhǎng)方形內(nèi)，其中，大長(zhǎng)方形中未被覆蓋的兩個(gè)部分（圖中陰影部分），設(shè)左下角長(zhǎng)方形的面積為，右上角長(zhǎng)方形的面積為．當(dāng)，求的值．【答案】(1)(2)0.2(3)(4)24【分析】本題主要考查了新定義，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式在幾何中的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式在幾何圖形中的應(yīng)用：（1）根據(jù)新定義計(jì)算求解即可；（2）根據(jù)新定義求出，再根據(jù)不含x的一次項(xiàng)，即可含x的一次項(xiàng)的系數(shù)為0進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)新定義求出，再利用整體代入法代值計(jì)算即可；（4）根據(jù)所給圖形可得，根據(jù)推出，再根據(jù)新定義，進(jìn)而一步步利用整體代入法降次求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，；（2）解：，，，，∵代數(shù)式中不含x的一次項(xiàng)，∴，∴；（3）解：，，，，，∵，∴原式；（4）解：根據(jù)題意得：，整理得：，∴，，，，，，．3．配方法是數(shù)學(xué)中非常重要的一種思想方法，它是指將一個(gè)式子或?qū)⒁粋€(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解決問(wèn)題．定義：若一個(gè)整數(shù)能表示成（a，b為整數(shù)）的形式，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”，理由：因?yàn)椋?是“完美數(shù)”．解決問(wèn)題：(1)已知29是“完美數(shù)”，請(qǐng)將它寫(xiě)成（a，b為整數(shù)）的形式；(2)若可配方成（m，n為常數(shù)），求的值；(3)已知（x，y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出k值．【答案】(1)；(2)的值為2；(3)，見(jiàn)解析【分析】本題考查利用完全公式計(jì)算及新定義計(jì)算，解題的關(guān)鍵是讀懂新運(yùn)算及熟練掌握．（1）根據(jù)題意將分成兩個(gè)數(shù)的平方和即可得到答案；（2）根據(jù)完全平方公式平方得到m，n的值即可得到答案；（3）將含x和y的式子配方根據(jù)完美數(shù)定義令余下部分為0即可得到答案．【詳解】（1）解：，∴；（2）解：∵，又∵，∴，，∴；（3）解：當(dāng)時(shí)，S是完美數(shù)，理由如下：，，∵x，y是整數(shù)，∴，也是整數(shù)，∵S是一個(gè)“完美數(shù)”，∴，∴．類(lèi)型九、配方法求最值【解惑】我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方式．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫作配方法．例如：；．當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值是．根據(jù)材料用配方法解決下列問(wèn)題：(1)若多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，則常數(shù)______；(2)當(dāng)為何值時(shí)，多項(xiàng)式有最大值？請(qǐng)求出這個(gè)最大值；(3)已知，求出的值．【答案】(1)4(2)當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值是(3)【分析】本題考查了完全平方公式、偶次方的非負(fù)性，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)完全平方公式可得，由此即可得；（2）利用完全平方公式進(jìn)行配方可得，再根據(jù)是非負(fù)數(shù)求解即可得；（3）利用完全平方公式可得，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性求解即可得．【詳解】（1）解：∵多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，∴，∴，∴，故答案為：4．（2）解：，∵是非負(fù)數(shù)，即，∴，∴當(dāng)，即時(shí)，有最大值，最大值為5．（3）解：，∵，∴，又∵，，∴，，∴，．【融會(huì)貫通】1．定義：將多項(xiàng)式變形為的形式，我們稱(chēng)為配方．其本質(zhì)是完全平方公式的逆用，即：．例如：若將多項(xiàng)式進(jìn)行配方，則．配方法在解決最值問(wèn)題、代數(shù)式求值問(wèn)題等均有廣泛應(yīng)用．(1)將多項(xiàng)式配方為的形式，則__________，__________；(2)若多項(xiàng)式，證明：無(wú)論取何值，均成立；(3)已知為直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)，斜邊長(zhǎng)為，關(guān)于的代數(shù)式可變形為（為常數(shù)），求的值．【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析(3)【分析】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．（1）由即可得到的值；（2）把的式子帶入得到，利用完全平方公式的非負(fù)性得到結(jié)果；（3）由題意得到，，利用求出的值．【詳解】（1）解：，，故答案為：，；（2）解：，，；，．無(wú)論x取何值，均成立；（3）解：，，，，在直角三角形中，斜邊長(zhǎng)為6，，，，，答：的值為．2．【閱讀材料】配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子或一個(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解決一些問(wèn)題．例如：求的最小值．解：，∵，∴，即的最小值為．請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問(wèn)題：(1)在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：．(2)求的最大值．(3)已知，求的值．【答案】(1)4(2)9(3)【分析】（1）本題主要考查把一個(gè)多項(xiàng)式配成完全平方式結(jié)構(gòu)，根據(jù)完全平方式結(jié)構(gòu)直接添加常數(shù)項(xiàng)即可求解．（2）本題主要考查利用配方法配方，然后再用平方差公式進(jìn)行因式分解，注意整體法的應(yīng)用就可以直接求解．（3）本題主要考查利用題干中的信息進(jìn)行配方，然后求出最大值，直接變形即可，注意此多項(xiàng)式前面是負(fù)號(hào)，加括號(hào)要變號(hào)．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，直接計(jì)算；∴故答案為：4．（2）解：，∵∴，∴，即的最大值為9．（3）解：原式可化為，即，∵，，∴，，∴．3．我們知道形如的二次三項(xiàng)式可以分解因式為，所以但小明在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，對(duì)于還可以使用以下方法分解因式．．教科書(shū)中這樣寫(xiě)道：“形如的式子稱(chēng)為完全平方式”，如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法，配方法是一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題或求代數(shù)式最大值、最小值等問(wèn)題．例如：求代數(shù)式的最小值．解：．因?yàn)樗运援?dāng)時(shí)，有最小值，最小值是．根據(jù)閱讀材料，用配方法解決下列問(wèn)題：(1)分解因式：__________（直接寫(xiě)出結(jié)果）(2)填空：______________________________________(3)當(dāng)為何值時(shí)，多項(xiàng)式有最大值？并求出這個(gè)最大值．(4)利用配方法，嘗試求出等式中a，b的值．【答案】(1)(2)；；；；；(3)當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值是11(4)【分析】本題考查了配方法因式分解，求多項(xiàng)式的最值，平方的非負(fù)性，掌握配方法是解題的關(guān)鍵．（1）先利用配方法，然后再利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先利用配方法，然后再利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可；（3）先對(duì)式子進(jìn)行因式分解，然后利用平方的非負(fù)性解題即可；（4）先對(duì)方程左邊的式子進(jìn)行因式分解，然后利用平方的非負(fù)性得到關(guān)于a,b的方程進(jìn)而可求解．【詳解】（1）解：故答案為：（2）解：故答案為：

（3）解：因?yàn)?/p>

所以所以當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值是11．（4）解：，

．類(lèi)型十、延伸拓展——對(duì)數(shù)與復(fù)數(shù)【解惑】定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于，記為，這個(gè)數(shù)叫做虛數(shù)單位，把形如(a、b為實(shí)數(shù))的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，它的加、減、乘法運(yùn)算與整式的加、減、乘法運(yùn)算類(lèi)似.例如：；．根據(jù)以上信息，完成下列問(wèn)題：(1)計(jì)算：，；(2)計(jì)算：；(3)計(jì)算：【答案】(1)，(2)(3)【分析】本題考查了新定義，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則，數(shù)字類(lèi)規(guī)律，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)相鄰幾個(gè)數(shù)相加的和的規(guī)律．（1）根據(jù)定義即可分別求得結(jié)果；（2）首先根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則去括號(hào)，再根據(jù)定義及有理數(shù)的加減進(jìn)行運(yùn)算，即可求得結(jié)果；（3）首先根據(jù)復(fù)數(shù)的定義計(jì)算，找到規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算，即可求得結(jié)果．【詳解】（1）解：；；（2）解：；（3）解：，，，，，，，，…，每4個(gè)為一循環(huán)，且，，．【融會(huì)貫通】1．閱讀理解題：定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于，記為識(shí)，這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位．那么和我們所學(xué)的實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)就叫做復(fù)數(shù)，表示為（a，b為實(shí)數(shù)），a叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部．b叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，它的加、減、乘法運(yùn)算與整式的加、減、乘法運(yùn)算類(lèi)似．例如計(jì)算：(1)填空：___________，___________；(2)計(jì)算：①

②(3)若兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，則它們的實(shí)部和虛部必須分別相等，完成下列問(wèn)題：已知：（x，y為實(shí)數(shù)），求x，y的值．【答案】(1)(2)①10；②(3)【分析】本題考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，乘法公式，解二元一次方程組，準(zhǔn)確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)材料所給的方法計(jì)算即可；（2）①利用平方差公式運(yùn)算即可；②利用完全平方公式計(jì)算即可；（3）根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，則它們的實(shí)部和虛部必須分別相等，得出，求解即可【詳解】（1）∵，∴，故答案為：；（2）①；②；（3）∵，∴，解得，即．2．材料，一般的，若（a＞0且a≠1），那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作，比如指數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式可轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，根據(jù)以上材料，解決下列問(wèn)題：(1)計(jì)算：，，；(2)觀察（1）中的三個(gè)數(shù)，猜想（且，，）；(3)已知，求和的值（且）【答案】(1)2，4，6；(2)(3)，【分析】（1）根據(jù)題中定義求解即可；（2）設(shè)，，根據(jù)題中定義將對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，利用同底數(shù)冪的乘法法則求解即可；（3）利用（2）中結(jié)論求解即可．【詳解】（1）解：∵，，，∴，，，故答案為：2，4，6；（2）解：設(shè)，，則，，∴，，即，故答案為：；（3）解：由（2）知，，∵，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法，理解題中定義，弄懂對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系以及相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．3．閱讀以下材料：對(duì)數(shù)的創(chuàng)始入是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J.Napier，1550年-1617年），納皮爾發(fā)明對(duì)數(shù)是在指數(shù)概念建立之前，直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler，1707年-1783年）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的聯(lián)系．對(duì)數(shù)的定義：一般地，若，則x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作．比如指數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為，對(duì)數(shù)式可以轉(zhuǎn)化為．我們根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得到對(duì)數(shù)的一個(gè)性質(zhì)：．理由如下：設(shè)，所以，所以，由對(duì)數(shù)的定義得，又因?yàn)?，所以．解決以下問(wèn)題：(1)將指數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式__________________；(2)仿照上面的材料，試證明：；(3)_________；_________．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)詳解；(3)1；0．【分析】（1）根據(jù)定義直接寫(xiě)出對(duì)數(shù)式即可；（2）先設(shè)logaM＝m，logaN＝n，根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可表示為指數(shù)式為：M＝am，N＝an，計(jì)算的結(jié)果，同理由所給材料的證明過(guò)程可得結(jié)論；（3）根據(jù)公式：loga（M·N）＝logaM+logaN和的逆用，將所求式子表示為：log2（2×4÷8），計(jì)算可得結(jié)論．【詳解】（1）解：將指數(shù)轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式：．故答案為：；（2）證明：設(shè)logaM＝x，logaN＝y(tǒng)，∴M＝ax，N＝ay，∴，由對(duì)數(shù)的定義得，又∵x﹣y＝logaM﹣logaN，∴；（3）∵，∴；由題意：；故答案為：1；0．【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法，整式的混合運(yùn)算、對(duì)數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系與相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確新定義，明白指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的關(guān)系與相互轉(zhuǎn)化關(guān)系．【一覽眾山小】1．下列各等式中，僅有一個(gè)括號(hào)內(nèi)填入才能使等式成立，這個(gè)等式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘除法、合并同類(lèi)項(xiàng)，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．將填入各個(gè)選項(xiàng)計(jì)算即可得．【詳解】解：A、，則此項(xiàng)不符合題意；B、，則此項(xiàng)不符合題意；C、，則此項(xiàng)符合題意；D、，則此項(xiàng)不符合題意；故選：C．2．李明在教材第83頁(yè)的教學(xué)活動(dòng)探索發(fā)現(xiàn)，如圖，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1個(gè)正方形需要4個(gè)小正方形，拼第2個(gè)正方形需要9個(gè)小正方形…，拼一拼，想一想，按照這樣的方法拼成的第n個(gè)正方形比第個(gè)正方形多（）個(gè)小正方形？A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)所需小正方形個(gè)數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)所給圖形，依次求出圖形中正方形的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問(wèn)題．【詳解】解：由所給圖形可知，拼第1個(gè)正方形需要的小正方形個(gè)數(shù)為：；拼第2個(gè)正方形需要的小正方形個(gè)數(shù)為：；拼第3個(gè)正方形需要的小正方形個(gè)數(shù)為：；…，所以拼第n個(gè)正方形需要的小正方形個(gè)數(shù)為個(gè)，則，即拼第n個(gè)正方形比第個(gè)正方形多個(gè)正方形．故選：D．3．若x為任意實(shí)數(shù)，則代數(shù)式的最小值是（

）A．6 B．3 C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，依據(jù)題意得，，再由對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，從而可得，進(jìn)而可以判斷得解．解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行變形是關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得，．對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，．的最小值是．故選：D．4．若，，則等于．【答案】40【分析】本題考查了完全平方公式的變形應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵；根據(jù)完全平方公式對(duì)與關(guān)系的轉(zhuǎn)化，結(jié)合已知條件求解?！驹斀狻拷猓骸撸?，∴，故答案為：405．如圖，若，求長(zhǎng)方形A與B的面積差．【答案】【分析】本題主要考查整式的混合運(yùn)算，分別表示出長(zhǎng)方形與長(zhǎng)方形的面積之差，再結(jié)合條件進(jìn)行求解即可，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．【詳解】解：由題意得：，∵，∴，故答案為：．6．已知，，則的值等于．【答案】【分析】本題主要考查