/廣東省陽江市2023?2024學(xué)年高二下學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．3．已知為平面的一個(gè)法向量，l為一條直線，為直線l的方向向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若隨機(jī)變量，則.B．若隨機(jī)變量的方差，則.C．若，則事件與事件獨(dú)立.D．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則.5．展開式中的系數(shù)為（

）A．17 B．20 C．75 D．1006．已知正數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．若函數(shù)，在其定義域上只有一個(gè)零點(diǎn)，則整數(shù)a的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．78．記表示不超過的最大整數(shù)，，如，已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列滿足，則（

）A．23 B．22 C．24 D．25二、多選題（本大題共3小題）9．若直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的長度可能等于（

）A．3 B．4 C．5 D．610．下列定義在上的函數(shù)中，滿足的有（

）A． B．C． D．11．已知正方體的棱長為2，點(diǎn)M，N分別為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為四邊形（含邊界）內(nèi)一動點(diǎn)，且，則（

）A．平面B．點(diǎn)的軌跡長度為C．存在點(diǎn)，使得面D．點(diǎn)到平面距離的最大值為三、填空題（本大題共3小題）12．函數(shù)的極小值點(diǎn)為．13．已知過橢圓的右頂點(diǎn)作直線交軸于點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)，若是等腰三角形，且，則橢圓的離心率為．14．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)盒子，甲盒有2個(gè)紅球和1個(gè)白球，乙盒有1個(gè)紅球和1個(gè)白球.先從甲盒中取出2個(gè)球放入乙盒，再從乙盒中取出2個(gè)球放入甲盒.記事件A為“從甲盒中取出2個(gè)紅球”，事件B為“乙盒還剩1個(gè)紅球和1個(gè)白球”，則，.四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足求的前項(xiàng)和.16．在直四棱柱中，底面為矩形，，分別為底面的中心和的中點(diǎn)，連接．(1)求證：平面平面；(2)若，求平面與平面所成角的余弦值．17．已知函數(shù).(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值集合.18．時(shí)下流行的直播帶貨與主播的學(xué)歷層次有某些相關(guān)性，某調(diào)查小組就兩者的關(guān)系進(jìn)行調(diào)查，從網(wǎng)紅的直播中得到容量為200的樣本，將所得直播帶貨和主播的學(xué)歷層次的樣本觀測數(shù)據(jù)整理如下：主播的學(xué)歷層次直播帶貨評級合計(jì)優(yōu)秀良好本科及以上6040100?？萍耙韵?070100合計(jì)90110200(1)依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析直播帶貨的評級與主播學(xué)歷層次是否有關(guān)？(2)現(xiàn)從主播學(xué)歷層次為本科及以上的樣本中，按分層抽樣的方法選出5人組成一個(gè)小組，從抽取的5人中再抽取3人參加主播培訓(xùn)，求這3人中，主播帶貨優(yōu)秀的人數(shù)的概率分布和數(shù)學(xué)期望；(3)統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用表示在事件條件下事件發(fā)生的優(yōu)勢，稱為似然比，當(dāng)時(shí)，我們認(rèn)為事件條件下發(fā)生有優(yōu)勢．現(xiàn)從這200人中任選1人，表示“選到的主播帶貨良好”，表示“選到的主播學(xué)歷層次為?？萍耙韵隆保埨脴颖緮?shù)據(jù)，估計(jì)的值，并判斷事件條件下發(fā)生是否有優(yōu)勢．附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.82819．如圖，拋物線是拋物線內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條斜率存在且互相垂直的動直線，設(shè)與拋物線相交于點(diǎn)與拋物線相交于點(diǎn)，，當(dāng)恰好為線段的中點(diǎn)時(shí)，．

(1)求拋物線的方程；(2)求的最小值．

答案1．【正確答案】B【詳解】，又，.故選B.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】（1）當(dāng)集合是用列舉法表示時(shí),可借助Venn圖求解；（2）當(dāng)集合是用描述法表示的連續(xù)數(shù)集時(shí),可借助數(shù)軸,利用數(shù)軸分析求解。2．【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】由雙曲線，可得，所以雙曲線的漸近線方程為.故選C．3．【正確答案】B【分析】利用線面垂直的性質(zhì)及其法向量與方向向量的關(guān)系，即可判斷得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意可知，如下圖所示：若，則可以在平面內(nèi)，即，所以充分性不成立；若，易知，由線面垂直性質(zhì)可知，即必要性成立；所以可得“”是“”的必要不充分條件.故選B.4．【正確答案】B【分析】對于A，利用二項(xiàng)分布的期望公式分析判斷，對于B，利用方差的性質(zhì)分析判斷，對于C，利用條件概率公式結(jié)合獨(dú)立事件的定義分析判斷，對于D，利用正態(tài)分布的性質(zhì)分析判斷.【詳解】對于A，因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，故A正確；對于B，因?yàn)椋?，故B錯(cuò)誤；對于C，由，得，因?yàn)椋允录嗀與事件B獨(dú)立，故C正確；對于D，因?yàn)?，所?因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以所以，故D正確.故選B.5．【正確答案】A【分析】由，先求出的通項(xiàng)，令和即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋驗(yàn)榈耐?xiàng)為：，令可得，令可得，所以展開式中的系數(shù)為.故選A.6．【正確答案】C【分析】根據(jù)基本不等式可得，結(jié)合完全平方公式計(jì)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以．故選C．7．【正確答案】C【分析】先根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷出在上有唯一實(shí)數(shù)根，于是時(shí)，無解，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可判斷時(shí)，有最小值，只需最小值大于零即可.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，在存在唯一零點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)，時(shí)，，令，則，時(shí)，則；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，于是時(shí)，有最小值依題意，，解得，所以最小整數(shù)為故選C.8．【正確答案】D【分析】利用取整函數(shù)的定義及，直接計(jì)算即可.【詳解】由于，而，故.故選D.9．【正確答案】BCD【分析】根據(jù)直線過定點(diǎn)，可得，即可根據(jù)圓的弦長公式求解.【詳解】設(shè)圓心到直線的距離為，由于直線恒過原點(diǎn)，且，故，又，即，故選BCD．10．【正確答案】ACD【分析】對A、B、D：借助函數(shù)性質(zhì)與基本不等式逐項(xiàng)計(jì)算即可得；對C：借助余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可得.【詳解】對A：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故A正確；對B：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，不滿足條件，故B錯(cuò)誤；對C：，故C正確；對D：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故D正確．故選ACD．11．【正確答案】AD【分析】對于A，由正方體的性質(zhì)及線面平行的判定定理判斷即可，對于B，求出的長，即可判斷點(diǎn)的軌跡，對于CD，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量的坐標(biāo)即可判斷.【詳解】對于A，由正方體的性質(zhì)可知，，因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別為棱的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，所以A正確，對于B，因?yàn)?，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧，所以其軌跡的長為，所以B錯(cuò)誤，對于C，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，因?yàn)槊?，面，所以，，所以，解得，所以，所以，所以，所以不存在點(diǎn)，使得面，所以C錯(cuò)誤，對于D，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離，因?yàn)椋?，則令，所以，其中，所以點(diǎn)到平面距離的最大值為，所以D正確，故選AD.12．【正確答案】【分析】求得導(dǎo)函數(shù)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定極值點(diǎn)的情況.【詳解】，令，得或，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極小值點(diǎn)為.故答案為.13．【正確答案】【分析】根據(jù)題意，設(shè)，結(jié)合，求得，代入橢圓的方程得到，再由離心率的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，由橢圓對稱性不妨設(shè)，且，因?yàn)椋傻?，可得，可得，解得，即，代入橢圓的方程，可得，解得，所以．故答案為.14．【正確答案】/；【分析】利用條件概率與獨(dú)立事件的概率公式即可得解.【詳解】第一空：，第二空：從甲盒中取出的是一個(gè)紅球和一個(gè)白球，乙盒中還剩下兩個(gè)紅球或者兩個(gè)白球.則故/；.15．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系由：求解即可；（2）根據(jù)通項(xiàng)分奇偶分別計(jì)算求和，結(jié)合裂項(xiàng)相消和等比數(shù)列求和公式即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也符合.綜上，.（2）由則，故的前項(xiàng)和.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)榉謩e為底面的中心和的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所?又因?yàn)?，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系．由已知得，所以，又，設(shè)平面與平面的法向量分別為，所以解得，令，則，故.又因?yàn)榻獾?，令，則，故，因?yàn)?，所以，設(shè)平面與平面所成角的大小為，所以．17．【正確答案】(1)(2)答案見解析(3)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析判斷；（2）對函數(shù)求導(dǎo)后，分和兩種情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）由題意可得不合題意，當(dāng)時(shí)，由（2）可得，所以將問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線的斜率，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為；（2）由題意得：的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間，當(dāng)時(shí)，令，解得：，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，綜上所述：時(shí)，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間，時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（3）當(dāng)時(shí)，，不合題意，當(dāng)時(shí)，由（2）知，則，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，實(shí)數(shù)的取值集合為18．【正確答案】(1)有；(2)分布列見解析，；(3)，在事件條件下發(fā)生有優(yōu)勢【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算卡方，與臨界值比較即可求解，（2）根據(jù)分層抽樣得帶貨優(yōu)秀的有3人，直播帶貨良好的有2人，即可利用超幾何分布的概率公式求解概率，由期望公式求解即可，（3）根據(jù)所給的公式，結(jié)合條件概率公式可得，結(jié)合表中數(shù)據(jù)即可求解.【詳解】（1）由題意得，由于，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為直播帶貨的評級與主播的學(xué)歷層次有關(guān)聯(lián)；（2）按照分層抽樣，直播帶貨優(yōu)秀的有3人，直播帶貨良好的有2人，隨機(jī)變量的可能取值為1，2，3，，，，所以的分布列為：123所以數(shù)學(xué)期望；（3），因?yàn)?，所以認(rèn)為在事件條件下發(fā)生有優(yōu)勢．19．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)直線，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，依題意可得，再由弦長公式得到方程，解得即可；（2）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，又，同理可得，再由基