/河北省張家口市2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知一個總體中有個個體，用抽簽法從中抽取一個容量為的樣本，若每個個體被抽到的可能性是，則（

）A．10 B．20 C．40 D．不確定2．已知復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位），則的虛部是（

）A． B． C． D．3．一組數(shù)據(jù)28，39，12，23，17，43，50，34的上四分位數(shù)為（

）A．17 B．20 C．39 D．414．如圖，在中，D是線段BC上的一點，且滿足：，則（

）

A． B． C． D．5．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，若有兩解，則b的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．如圖，水平放置的四邊形OABC的斜二測畫法的直觀圖為直角梯形，已知，則原四邊形OABC的面積為（

）

A． B．3 C． D．7．隨著暑假將近，某市文旅局今年為了使游客有更好的旅游體驗，收集并整理去年暑假60天期間日接待游客量數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)頻率分布直方圖，估計該市今年日接待游客量的平均數(shù)為（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）（

）A．43.6萬人 B．44.5萬人 C．45萬人 D．49.1萬人8．如圖，某電子元件由，，三種部件組成，現(xiàn)將該電子元件應(yīng)用到某研發(fā)設(shè)備中，經(jīng)過反復(fù)測試，，，三種部件不能正常工作的概率分別為，，，各個部件是否正常工作相互獨立，則該電子元件能正常工作的概率是（

）

A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的最小正周期為B．圖象的對稱中心為C．的單調(diào)遞增區(qū)間為D．為了得到的圖象，可將的圖象向左平移個單位長度，再將橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍11．如圖，已知正方體的棱長為4，是的中點，是的中點，則（

）A．若是側(cè)面內(nèi)一動點，則滿足平面的點的軌跡長為B．平面內(nèi)不存在點，使得平面C．三棱錐的體積為16D．若是上一點，則的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知，若，則.13．在正四棱錐中，，與平面所成角的余弦值為，則四棱錐外接球的體積為．14．在中，，是上一點，是的平分線，且，則的面積為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知向量，且.(1)求x的值及的夾角；(2)若，求k的值.16．已知某校高一年級1班、2班、3班分別有36人、48人、60人，現(xiàn)從這3個班用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取24人參加安全知識競賽．(1)求這3個班分別抽取的人數(shù)；(2)已知從1班抽取的人中有2名女生，若要從1班抽取的人中選2名同學(xué)作為組長，求至少有1名女生作為組長的概率；(3)知識競賽結(jié)束后，依據(jù)答題規(guī)則進行統(tǒng)計，甲同學(xué)回答5道題的得分分別為69，71，72，73，75，乙同學(xué)回答5道題的得分分別為70，71，71，73，75，請問甲、乙兩名同學(xué)哪位同學(xué)的成績更穩(wěn)定？17．如圖，在矩形中，，是的中點，將沿折起使點到點的位置，是的中點．(1)證明：平面；(2)若，證明：平面平面；(3)在（2）的條件下，求二面角的余弦值．18．請在①向量，，且；②這兩個條件中任選一個，填入橫線上并解答．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足_________．(1)求角的大??；(2)若為銳角三角形，，求面積的取值范圍．（注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分）19．如圖是函數(shù)圖象的一部分．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)記方程在上的根從小到大依次為，若，試求與的值．

答案1．【正確答案】C【分析】抽簽法可知每個個體被抽到的可能性均為，即可得到方程，解得即可.【詳解】根據(jù)抽簽法可知每個個體被抽到的可能性均為，依題意可得，解得.故選C.2．【正確答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算化簡復(fù)數(shù)，從而得到其虛部，由此得解.【詳解】，所以的虛部是.故選C.3．【正確答案】D【分析】根據(jù)百分位數(shù)計算規(guī)則計算可得.【詳解】j將數(shù)據(jù)從小到大排列為，，，，，，，，又，所以上四分位數(shù)為.故選D.4．【正確答案】B【分析】利用平面向量的線性運算即可得解.【詳解】在中，，則，所以.故選B.5．【正確答案】A【分析】根據(jù)題意得到三角形有兩解的條件，進而得解.【詳解】三角形中，，如圖，當(dāng)有兩解時，，即，即.故選A.6．【正確答案】A【分析】先利用梯形的面積公式求得直觀圖的面積，再利用直觀圖與原圖面積的比值即可得解.【詳解】根據(jù)題意，直觀圖直角梯形中，，則直觀圖的面積，故原圖的面積.故選A.7．【正確答案】A【分析】利用頻率分布直方圖中各頻率之和為求得，再利用其估計平均數(shù)的方法列式計算即可得解.【詳解】由頻率分布直方圖得：，解得，則從左到右各小矩形面積依次為，所以該組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.故選A.8．【正確答案】C【分析】設(shè)上半部分正常工作為事件，下半部分正常工作為事件，該電子元件能正常工作為事件，根據(jù)相互獨立事件的概率公式求出、，即可求出、，再根據(jù)對立事件及獨立事件的概率公式計算可得.【詳解】設(shè)上半部分正常工作為事件，下半部分正常工作為事件，該電子元件能正常工作為事件，則，，，所以，所以，即該電子元件能正常工作的概率是.故選C.【思路導(dǎo)引】本題解答的關(guān)鍵是利用對立事件的概率公式及相互獨立事件的概率公式求出.9．【正確答案】ABD【分析】A選項，設(shè)，利用復(fù)數(shù)乘法法則和模長公式計算出A正確；B選項，設(shè)，，則，，B正確；C選項，計算出，C錯誤；D選項，設(shè)，，利用復(fù)數(shù)加減運算和模長公式計算出D正確,【詳解】A選項，設(shè)，則，故，而，故，A正確；B選項，設(shè)，，故，，，故，B正確；C選項，設(shè)，，C錯誤；D選項，設(shè)，，則，，則，，故，，D正確.故選ABD.10．【正確答案】AC【分析】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】對于A：因為，所以的最小正周期，故A正確；對于B：令，解得，所以圖象的對稱中心為，故B錯誤；對于C：令，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故C正確，對于D：將的圖象向左平移個單位長度，得到，再將橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋兜玫剑蔇錯誤．故選AC．11．【正確答案】ACD【分析】分別取，的中點，，即可證明平面平面，從而得到在線段上，即可判斷A；連接，即可證明平面，從而判斷B；結(jié)合B及錐體的體積公式判斷C；將與展開在同一個平面內(nèi)，化折線為直線，利用余弦定理計算出最小值，即可判斷D.【詳解】對于A：如圖分別取，的中點，，連接、、、、，則，又，所以，又平面，平面，所以平面，同理可證平面，又，平面，所以平面平面，又是側(cè)面內(nèi)一動點，且滿足平面，所以在線段上，所以點的軌跡長為，故A正確；對于B：連接，則為的中點，又為的中點，，因為，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，同理可證，，平面，所以平面，平面，平面內(nèi)存在點，使得平面，故B錯誤；對于C：結(jié)合B可知，又為邊長為的等邊三角形，三棱錐的體積為，故C正確；對于D：將與展開在同一個平面內(nèi)，如圖，連接交于點，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點共線時，等號成立，又，，，又，根據(jù)余弦定理可得，的最小值為，故D正確．故選ACD．【思路導(dǎo)引】D選項關(guān)鍵是將與展開在同一個平面內(nèi)，將折線問題轉(zhuǎn)化為求兩點間距離，再借助余弦定理計算.12．【正確答案】【分析】利用三角函數(shù)的平方關(guān)系求得，再利用三角函數(shù)的和差公式即可得解.【詳解】因為，所以，又，則，所以，所以.故13．【正確答案】【分析】設(shè)，連接，則平面，即可得到為與平面所成角，從而求出，設(shè)四棱錐的外接球的球心為，則在上，利用勾股定理求出外接球的半徑，即可求出外接球的體積.【詳解】在正四棱錐中，，設(shè)，連接，則平面，所以為與平面所成角，設(shè)四棱錐的外接球的球心為，則在上，連接，依題意，因為與平面所成角的余弦值為，即，則，所以，設(shè)四棱錐外接球的半徑為，則，解得，所以四棱錐外接球的體積．故．14．【正確答案】【分析】根據(jù)條件，得到，再利用，得到，，即可求解.【詳解】過分別作于，設(shè)到的距離為，因為是的平分線，所以，易知①，②，又，由①②得到，又，，又，所以，設(shè)，所以，解得，即，所以，得到的面積為，故答案為.15．【正確答案】(1)；(2)【分析】（1）利用向量垂直的坐標表示與夾角的坐標表示即可得解；（2）利用向量線性運算與平行的坐標表示，列式計算即可得解.【詳解】（1）因為，所以，又，則，所以，解得，則，故，，所以，又，所以.（2）因為，所以，，又，所以，解得.經(jīng)檢驗，滿足題意，故.16．【正確答案】(1)1班應(yīng)抽取6人，2班應(yīng)抽取8人，3班應(yīng)抽取10人(2)(3)乙的成績更穩(wěn)定【分析】（1）按分層抽樣方法計算可得；（2）由（1）的結(jié)論，1班應(yīng)抽取6人，其中有2名女生，利用列舉法列出所有可能結(jié)果，再由古典概型的概率公式計算可得；（3）根據(jù)題意，計算甲、乙兩人平均數(shù)和方差，比較可得答案．【詳解】（1）根據(jù)題意，某校高一年級1班、2班、3班分別有36人、48人、60人，故共有人，現(xiàn)從這3個班用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取24人，所以1班應(yīng)抽取人，2班應(yīng)抽取人，3班應(yīng)抽取人；（2）根據(jù)題意，由（1）的結(jié)論，1班應(yīng)抽取6人，其中有2名女生，設(shè)2名女生為、，4名男生為、、、，從中選出2名同學(xué)作為組長，有、、、、、、、、、、、、、、，共15種取法，至少有1名女生作為組長的有、、、、、、、、共9種取法，故至少有名女生作為組長的概率；（3）甲同學(xué)回答5道題的得分分別為69，71，72，73，75，其平均數(shù)，其方差；乙同學(xué)回答5道題的得分分別為70，71，71，73，75，其平均數(shù)，其方差，由于，所以乙的成績更穩(wěn)定．17．【正確答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）取的中點，連接，，即可證明四邊形為平行四邊形，從而得到，即可得證；（2）利用勾股定理逆定理得到，再由，即可證明平面，從而得證；（3）在平面內(nèi)過作于點，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，再過作于點，連接，則根據(jù)三垂線定理可得即為所求，最后由銳角三角函數(shù)計算可得．【詳解】（1）取的中點，連接，，又是的中點，且，又且，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面；（2）矩形中，，，是的中點，即，，又，，，又，且，平面，平面，又平面，平面平面；（3）由（2）可知平面平面，在平面內(nèi)過作于點，由平面平面，平面，所以平面，又為等腰直角三角形，為的中點，再過作于點，連接，則根據(jù)三垂線定理可得即為二面角的平面角，取中點，連接，則四邊形為正方形，易知為的中點，則，又，又平面，平面，所以，，，故二面角的余弦值為．18．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）若選①由向量共線的坐標表示得到，再由正弦定理將邊化角，利用兩角和的正弦公式計算可得；若選②利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理計算可得；（2）由（1）及已知，利用正弦定理可得，再利用三角形面積公式及和差角的正弦化簡，借助三角函數(shù)性質(zhì)求出范圍.【詳解】（1）若選①向量，，且，則，由正弦定理可得，即，即，即，因為，所以，所以，又，所以；若選②，由正弦定理可得，由余弦定理，又，所以；（2）由（1）得，又，由正弦定理，所以，，所以的面積，由為銳角三角形，而，所以，所以，則，所以，則，所以面積的取值范圍是.19．【正確答案】(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，(3)，【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象可得，由周期求出，再根據(jù)函數(shù)過點求出，即可得到函數(shù)解析式；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（3）依題意可得，由的取值范圍求出的取值范圍，令，，即，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象及對