高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省衡陽市衡陽縣2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題第I卷一?單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】或，，所以.故選：D.2.若復(fù)數(shù)，則（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】．故選:D．3.已知是兩個(gè)單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（）A.30° B.60° C.90° D.120°【答案】B【解析】因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛椋莾蓚€(gè)單位向量，所以，所以，又，所以，所以，又，所以，又，所以向量與向量的夾角為，即.故選：B.4.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋遥?，由題意知，所以，所以，所以，則.故選：D5.將5本不同的書（2本文學(xué)書、2本科學(xué)書和1本體育書）分給甲、乙、丙三人，每人至少分得1本書，每本書只能分給一人，其中體育書只能分給甲、乙中的一人，則不同的分配方法數(shù)為（）A.78 B.92 C.100 D.122【答案】C【解析】若將體育書分給甲，當(dāng)剩余4本書恰好分給乙、丙時(shí)，此時(shí)的分配方法有種，當(dāng)剩余4本書恰好分給甲、乙、丙三人時(shí)，此時(shí)的分配方法有種.綜上，將體育書分給甲，不同的分配方法數(shù)是.同理，將體育書分給乙，不同的分配方法數(shù)也是50.故不同的分配方法數(shù)是.故選：C6.已知等差數(shù)列的公差為，且集合中有且只有個(gè)元素，則中的所有元素之積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】有等差數(shù)列可知，，周期，故只需考慮前項(xiàng)的值：，，，，，，由題意知，這個(gè)式子只能取到個(gè)不同的值.借助三角函數(shù)的定義，即在單位圓上有個(gè)點(diǎn)均分圓周，且這個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)只能取到個(gè)不同的值（如圖所示），于是集合，即所有元素乘積為，故選：A.7.如圖，已知雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)是雙曲線的漸近線上的一點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線左支上的一點(diǎn).若四邊形是一個(gè)平行四邊形，且，則雙曲線的離心率是（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】因?yàn)樗倪呅问且粋€(gè)平行四邊形，且，可得，即，由雙曲線，可得，漸近線方程為，即，可得，且，因?yàn)橹本€，可得，又因?yàn)?，所以即，代入雙曲線方程，可得，整理得，所以，可得，即，所以離心率.故選：A.8.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函數(shù)的圖象如圖所示,①當(dāng)直線與曲線相切于點(diǎn)時(shí),,故當(dāng)或時(shí),直線與函數(shù)的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn),當(dāng)時(shí),直線與函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn),②當(dāng)直線與曲線相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為,則,解得,或,，當(dāng)時(shí),直線與函數(shù)的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn),當(dāng)或時(shí),直線與函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn),當(dāng)時(shí),直線與函數(shù)的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn),綜上的取值范圍是.故選：C.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題正確的是（）A.數(shù)據(jù)的分位數(shù)為11B.已知變量的線性回歸方程，且，則C.已知隨機(jī)變量最大，則的取值為3D.已知隨機(jī)變量，則【答案】BD【解析】對于A，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為14，故A錯誤；對于，因過點(diǎn)，則有，解得，故B正確；對于由，其中.由此時(shí)，遞增；此時(shí)，；此時(shí)遞減，故，即最大時(shí)，的取值為3或4，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：BD.10.六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個(gè)氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)，若相鄰兩個(gè)氟原子之間的距離為m，則（）A.該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積為 B.該正八面體結(jié)構(gòu)的體積為C.該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積為 D.該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為【答案】ACD【解析】對A：由題知，各側(cè)面均為邊長為的正三角形，故該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積，故A正確；對B：連接，則，底面，故該正八面體結(jié)構(gòu)的體積，故B錯誤；對C：底面中心到各頂點(diǎn)的距離相等，故為外接球球心，外接球半徑，故該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積，故C正確；對D：該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球半徑，故內(nèi)切球的表面積，故D正確；故選：ACD．11.“最速曲線”是一段旋輪線上下翻轉(zhuǎn)而成．旋輪線C的參數(shù)方程為，其中為參數(shù)，為常數(shù)，旋輪線C也可看作某一個(gè)函數(shù)的圖象．下列說法正確的有（）A.點(diǎn)在旋輪線C上B.函數(shù)是偶函數(shù)C.函數(shù)不周期函數(shù)D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減【答案】ABD【解析】當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)A正確；因故當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，變?yōu)椋藭r(shí)的值不變，即f-x=fx，故偶函數(shù)，選項(xiàng)B因，所以當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，變?yōu)?，此時(shí)的值不變，即，故函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，故選項(xiàng)錯誤；當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而在時(shí)單調(diào)遞減，即當(dāng)時(shí)，隨著的增加在內(nèi)增加，隨著的增加而減小，故y=fx在單調(diào)遞減，選項(xiàng)D正確.故選：ABD.第II卷三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，，，若，則的面積為___________.【答案】【解析】由三角形中的射影定理,結(jié)合已知條件，可得,又∵，∴，由，可得，解得(負(fù)值舍去)，∴三角形的面積為，故答案為：.13.已知橢圓C：的左，右焦點(diǎn)分別是是橢圓C上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且的周長為.過點(diǎn)作的切線，分別與軸和軸交于兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在上移動時(shí)，面積的最小值為___________.【答案】2【解析】設(shè)直線方程為，因?yàn)榈闹荛L為，所以，且，所以，所以橢圓，聯(lián)立可得，所以，所以，又因?yàn)榕c坐標(biāo)軸交于，所以，取等號時(shí)，所以面積的最小值為，故答案為：.14.已知的內(nèi)角的對邊分別是，且，若為最大邊，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】在中，由，得，兩邊加得，即，解得，或，當(dāng)時(shí)，由余弦定理得，而，則，由為最大邊，得為最大角，于是，，因此；當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)為最大角，為最大邊，符合題意，令，則，由正弦定理得，所以的取值范圍是.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程及驗(yàn)算步驟.15.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最值；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，，，在，上單調(diào)遞增，，．（2）當(dāng)，時(shí)，，，，，，當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，，，，的取值范圍為，．16.已知四棱柱如圖所示，底面為平行四邊形，其中點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為點(diǎn)，且．（1）求證：平面平面；（2）已知點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)位置），且平面與平面的夾角的余弦值為，求的值．解：（1）不妨設(shè)，因?yàn)槠矫嫫矫?，故，在中，，由余弦定理，，得，故，則，因?yàn)槠矫妫云矫?，而平面，所以平面平面；?）由（1）知，兩兩垂直，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立的空間直角坐標(biāo)系，則，故，，所以，設(shè)，則，即，所以；設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，因?yàn)檩S平面，則可取為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得，故．17.某商城玩具柜臺五一期間促銷，購買甲、乙系列的盲盒，并且集齊所有的產(chǎn)品就可以贈送節(jié)日送禮，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)系列盲盒，每個(gè)甲系列盲盒可以開出玩偶，，中的一個(gè)，每個(gè)乙系列盲盒可以開出玩偶，中的一個(gè).（1）記事件：一次性購買個(gè)甲系列盲盒后集齊玩偶，，玩偶；事件：一次性購買個(gè)乙系列盲盒后集齊，玩偶；求概率及；（2）某禮品店限量出售甲、乙兩個(gè)系列的盲盒，每個(gè)消費(fèi)者每天只有一次購買機(jī)會，且購買時(shí)，只能選擇其中一個(gè)系列的一個(gè)盲盒.通過統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：第一次購買盲盒的消費(fèi)者購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；而前一次購買甲系列的消費(fèi)者下一次購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為，前一次購買乙系列的消費(fèi)者下一次購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；如此往復(fù)，記某人第次購買甲系列的概率為.①求的通項(xiàng)公式；②若每天購買盲盒的人數(shù)約為，且這人都已購買過很多次這兩個(gè)系列的盲盒，試估計(jì)該禮品店每天應(yīng)準(zhǔn)備甲、乙兩個(gè)系列的盲盒各多少個(gè).解：（1）若一次性購買個(gè)甲系列盲盒，得到玩偶的情況總數(shù)為，集齊，，玩偶，則有兩種情況：

①其中一個(gè)玩偶個(gè)，其他兩個(gè)玩偶各個(gè)，則有種結(jié)果；②若其中兩個(gè)玩偶各個(gè)，另外兩個(gè)玩偶1個(gè)，則共有種結(jié)果，故；若一次性購買個(gè)乙系列盲盒，全部為與全部為的概率相等，均為，故；（2）①由題可知：，當(dāng)時(shí)，，則，，即是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.所以，即；②因?yàn)槊刻熨徺I盲盒的人都已購買過很多次，所以對于每一個(gè)人來說，某一天來購買盲盒時(shí)，可看作，所以，其購買甲系列的概率近似于，假設(shè)用表示一天中購買甲系列盲盒的人數(shù)，則，所以，即購買甲系列的人數(shù)的期望為，所以禮品店應(yīng)準(zhǔn)備甲系列盲盒個(gè)，乙系列盲盒個(gè).18.過拋物線外一點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，我們稱為拋物線的阿基米德三角形，弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形稱為相應(yīng)的“囧邊形”，且已知“囧邊形”的面積恰為相應(yīng)阿基米德三角形面積的三分之二．如圖，點(diǎn)是圓上的動點(diǎn),是拋物線的阿基米德三角形，是拋物線的焦點(diǎn)，且．（1）求拋物線的方程；（2）利用題給的結(jié)論，求圖中“囧邊形”面積的取值范圍；（3）設(shè)是“圓邊形”的拋物線弧上的任意一動點(diǎn)（異于A，B兩點(diǎn)），過D作拋物線的切線交阿基米德三角形的兩切線邊PA,PB于M，N,證明：．解：（1）由題意得，，由，所以（2）設(shè)，聯(lián)立，，設(shè)方程的兩根為，則，由，所以，聯(lián)立直線可得，代入方程中，得，即，故的面積.因?yàn)樵趫A上，所以且，于是，顯然此式在上單調(diào)遞增，故，也即，因此，由題干知“囧邊形”面積，所以“囧邊形”面積的取值范圍為.（3）由（2）知，,設(shè)，過的切線，即，過點(diǎn)切線交得，同理，因?yàn)椋?所以，即.19.若數(shù)列滿足：存在等差數(shù)列，使得集合元素的個(gè)數(shù)為不大于，則稱數(shù)列具有性質(zhì).（1）已知數(shù)列滿足，.求證：數(shù)列是等差數(shù)列，且數(shù)列有性質(zhì)；（2）若數(shù)列有性質(zhì),數(shù)列有性質(zhì),證明：數(shù)列有性質(zhì)；（3）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若數(shù)列具有性質(zhì)，是否存在，使得數(shù)列具有性質(zhì)？說明理由.解：（1）由，故，即，又，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，即，故存在等差數(shù)列，使，由，故數(shù)列有性質(zhì)；（2）設(shè)對數(shù)列，存在等差數(shù)列，使，對數(shù)列，存在等差數(shù)列，使，則對數(shù)列，存在等差數(shù)列，使的值為，這樣的最多有個(gè)，即數(shù)列有性質(zhì)；（3）設(shè)對數(shù)列，存在等差數(shù)列，且其公差為，使得，當(dāng)時(shí)，有，由，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，可能有種，故這樣的最多有個(gè)，即存在等差數(shù)列，使，的元素個(gè)數(shù)不超過個(gè)，故一定存在，使得數(shù)列具有性質(zhì).湖南省衡陽市衡陽縣2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題第I卷一?單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】或，，所以.故選：D.2.若復(fù)數(shù)，則（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】．故選:D．3.已知是兩個(gè)單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（）A.30° B.60° C.90° D.120°【答案】B【解析】因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄繛?，是兩個(gè)單位向量，所以，所以，又，所以，所以，又，所以，又，所以向量與向量的夾角為，即.故選：B.4.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，且，所以，由題意知，所以，所以，所以，則.故選：D5.將5本不同的書（2本文學(xué)書、2本科學(xué)書和1本體育書）分給甲、乙、丙三人，每人至少分得1本書，每本書只能分給一人，其中體育書只能分給甲、乙中的一人，則不同的分配方法數(shù)為（）A.78 B.92 C.100 D.122【答案】C【解析】若將體育書分給甲，當(dāng)剩余4本書恰好分給乙、丙時(shí)，此時(shí)的分配方法有種，當(dāng)剩余4本書恰好分給甲、乙、丙三人時(shí)，此時(shí)的分配方法有種.綜上，將體育書分給甲，不同的分配方法數(shù)是.同理，將體育書分給乙，不同的分配方法數(shù)也是50.故不同的分配方法數(shù)是.故選：C6.已知等差數(shù)列的公差為，且集合中有且只有個(gè)元素，則中的所有元素之積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】有等差數(shù)列可知，，周期，故只需考慮前項(xiàng)的值：，，，，，，由題意知，這個(gè)式子只能取到個(gè)不同的值.借助三角函數(shù)的定義，即在單位圓上有個(gè)點(diǎn)均分圓周，且這個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)只能取到個(gè)不同的值（如圖所示），于是集合，即所有元素乘積為，故選：A.7.如圖，已知雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)是雙曲線的漸近線上的一點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線左支上的一點(diǎn).若四邊形是一個(gè)平行四邊形，且，則雙曲線的離心率是（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】因?yàn)樗倪呅问且粋€(gè)平行四邊形，且，可得，即，由雙曲線，可得，漸近線方程為，即，可得，且，因?yàn)橹本€，可得，又因?yàn)椋约?，代入雙曲線方程，可得，整理得，所以，可得，即，所以離心率.故選：A.8.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】函數(shù)的圖象如圖所示,①當(dāng)直線與曲線相切于點(diǎn)時(shí),,故當(dāng)或時(shí),直線與函數(shù)的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn),當(dāng)時(shí),直線與函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn),②當(dāng)直線與曲線相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)為,則,解得,或,，當(dāng)時(shí),直線與函數(shù)的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn),當(dāng)或時(shí),直線與函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn),當(dāng)時(shí),直線與函數(shù)的圖象恰有三個(gè)交點(diǎn),綜上的取值范圍是.故選：C.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題正確的是（）A.數(shù)據(jù)的分位數(shù)為11B.已知變量的線性回歸方程，且，則C.已知隨機(jī)變量最大，則的取值為3D.已知隨機(jī)變量，則【答案】BD【解析】對于A，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為14，故A錯誤；對于，因過點(diǎn)，則有，解得，故B正確；對于由，其中.由此時(shí)，遞增；此時(shí)，；此時(shí)遞減，故，即最大時(shí)，的取值為3或4，故C錯誤；對于D，，故D正確.故選：BD.10.六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個(gè)氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn)，若相鄰兩個(gè)氟原子之間的距離為m，則（）A.該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積為 B.該正八面體結(jié)構(gòu)的體積為C.該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積為 D.該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為【答案】ACD【解析】對A：由題知，各側(cè)面均為邊長為的正三角形，故該正八面體結(jié)構(gòu)的表面積，故A正確；對B：連接，則，底面，故該正八面體結(jié)構(gòu)的體積，故B錯誤；對C：底面中心到各頂點(diǎn)的距離相等，故為外接球球心，外接球半徑，故該正八面體結(jié)構(gòu)的外接球表面積，故C正確；對D：該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球半徑，故內(nèi)切球的表面積，故D正確；故選：ACD．11.“最速曲線”是一段旋輪線上下翻轉(zhuǎn)而成．旋輪線C的參數(shù)方程為，其中為參數(shù)，為常數(shù)，旋輪線C也可看作某一個(gè)函數(shù)的圖象．下列說法正確的有（）A.點(diǎn)在旋輪線C上B.函數(shù)是偶函數(shù)C.函數(shù)不周期函數(shù)D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減【答案】ABD【解析】當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)A正確；因故當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，變?yōu)椋藭r(shí)的值不變，即f-x=fx，故偶函數(shù)，選項(xiàng)B因，所以當(dāng)變?yōu)闀r(shí)，變?yōu)?，此時(shí)的值不變，即，故函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，故選項(xiàng)錯誤；當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而在時(shí)單調(diào)遞減，即當(dāng)時(shí)，隨著的增加在內(nèi)增加，隨著的增加而減小，故y=fx在單調(diào)遞減，選項(xiàng)D正確.故選：ABD.第II卷三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，，，若，則的面積為___________.【答案】【解析】由三角形中的射影定理,結(jié)合已知條件，可得,又∵，∴，由，可得，解得(負(fù)值舍去)，∴三角形的面積為，故答案為：.13.已知橢圓C：的左，右焦點(diǎn)分別是是橢圓C上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且的周長為.過點(diǎn)作的切線，分別與軸和軸交于兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在上移動時(shí)，面積的最小值為___________.【答案】2【解析】設(shè)直線方程為，因?yàn)榈闹荛L為，所以，且，所以，所以橢圓，聯(lián)立可得，所以，所以，又因?yàn)榕c坐標(biāo)軸交于，所以，取等號時(shí)，所以面積的最小值為，故答案為：.14.已知的內(nèi)角的對邊分別是，且，若為最大邊，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】在中，由，得，兩邊加得，即，解得，或，當(dāng)時(shí)，由余弦定理得，而，則，由為最大邊，得為最大角，于是，，因此；當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)為最大角，為最大邊，符合題意，令，則，由正弦定理得，所以的取值范圍是.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程及驗(yàn)算步驟.15.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在區(qū)間上的最值；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，，，在，上單調(diào)遞增，，．（2）當(dāng)，時(shí)，，，，，，當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，，，，的取值范圍為，．16.已知四棱柱如圖所示，底面為平行四邊形，其中點(diǎn)在平面內(nèi)的投影為點(diǎn)，且．（1）求證：平面平面；（2）已知點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)位置），且平面與平面的夾角的余弦值為，求的值．解：（1）不妨設(shè)，因?yàn)槠矫嫫矫?，故，在中，，由余弦定理，，得，故，則，因?yàn)槠矫?，所以平面，而平面，所以平面平面；?）由（1）知，兩兩垂直，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立的空間直角坐標(biāo)系，則，故，，所以，設(shè)，則，即，所以；設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，因?yàn)檩S平面，則可取為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，解得，故．17.某商城玩具柜臺五一期間促銷，購買甲、乙系列的盲盒，并且集齊所有的產(chǎn)品就可以贈送節(jié)日送禮，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)系列盲盒，每個(gè)甲系列盲盒可以開出玩偶，，中的一個(gè)，每個(gè)乙系列盲盒可以開出玩偶，中的一個(gè).（1）記事件：一次性購買個(gè)甲系列盲盒后集齊玩偶，，玩偶；事件：一次性購買個(gè)乙系列盲盒后集齊，玩偶；求概率及；（2）某禮品店限量出售甲、乙兩個(gè)系列的盲盒，每個(gè)消費(fèi)者每天只有一次購買機(jī)會，且購買時(shí)，只能選擇其中一個(gè)系列的一個(gè)盲盒.通過統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：第一次購買盲盒的消費(fèi)者購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；而前一次購買甲系列的消費(fèi)者下一次購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為，前一次購買乙系列的消費(fèi)者下一次購買甲系列的概率為，購買乙系列的概率為；如此往復(fù)，記某人第次購買甲系列的概率為.①求的通項(xiàng)公式；②若每天購買盲盒的人數(shù)約為，且這人都已購買過很多次這兩個(gè)系列的盲盒，試估計(jì)該禮品店每天應(yīng)準(zhǔn)備甲、乙兩個(gè)系列的盲盒各多少個(gè).解：（1）若一次性購買個(gè)甲系列盲盒，得到玩偶的情況總數(shù)為，集齊，，玩偶，則有兩種情況：

①其中一個(gè)玩偶個(gè)，其他兩個(gè)玩偶各個(gè)，則有種結(jié)果；②若其中兩個(gè)玩偶各個(gè)，另外兩個(gè)玩偶1個(gè)，則共有種結(jié)果，故；若一次性購買個(gè)乙系列盲盒，全部為與全部為的概率相等，均為，故；（2）①由題可知：，當(dāng)