第一講不等式和絕對值不等式典型例題本專題主要考查利用不等式性質(zhì)判斷不等式或有關(guān)結(jié)論是否成立，再就是利用不等式性質(zhì)，進(jìn)行數(shù)值(或代數(shù)式)大小的比較，有時考查分類討論思想，常與函數(shù)、數(shù)列等知識綜合進(jìn)行考查．若a、b是任意實數(shù)，且a＞b，則()A．a(chǎn)2＞b2B.eq\f(a,b)＜1C．lg(a－b)＞0D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(b)1．證明不等式不等式的證明方法很多，關(guān)鍵是從式子的結(jié)構(gòu)入手分析，運用基本不等式證明不等式時，要注意成立的條件，同時熟記一些變形形式，放縮的尺度要把握好．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求證：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,y)))≥9.若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1.求證：eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＋eq\f(1,c＋a)≥eq\f(9,2).2．求函數(shù)的最值在利用基本不等式求函數(shù)最值時，一定要滿足下列三個條件：①x、y為正數(shù)．②“和”或“積”為定值．③等號一定能取到，這三個條件缺一不可．已知0＜x＜eq\f(1,3)，求函數(shù)y＝x(1－3x)的最大值．當(dāng)0<x<eq\f(π,2)時，函數(shù)f(x)＝eq\f(1＋cos2x＋8sin2x,sin2x)的最小值為()A．2B．2eq\r(3)C．4D．4eq\r(3)3．解決實際問題由于受算術(shù)平均與幾何平均定理求最值的約束條件的限制，在求最值時常常需要對解析式進(jìn)行合理的變形．對于一些分式結(jié)構(gòu)的函數(shù)，當(dāng)分子中變量的次數(shù)不小于分母中變量的次數(shù)時，通常采用分離變量(或常數(shù))的方法，拼湊出類似函數(shù)y＝x＋eq\f(a,x)的結(jié)構(gòu)，然后用基本不等式(符合條件)或單調(diào)性求最值．這種變形的技巧經(jīng)過適當(dāng)?shù)膹?qiáng)化訓(xùn)練，是可以較容易掌握的．某游泳館出售冬游泳卡，每張240元，其使用規(guī)定：不記名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同學(xué)，老師打算組織同學(xué)們集體去游泳，除需購買若干張游泳卡外，每次游泳還需包一輛汽車，無論乘坐多少名同學(xué)，每次的包車費均為40元．(1)若使每個同學(xué)游8次，每人最少應(yīng)交多少元錢？(2)若使每個同學(xué)游4次，每人最少應(yīng)交多少元錢？1．公式法|f(x)|＞g(x)?f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)；|f(x)|＜g(x)?－g(x)＜f(x)＜g(x)．2．平方法|f(x)|＞|g(x)|?[f(x)]2＞[g(x)]2.3．零點分段法含有兩個以上絕對值符號的不等式，可先求出使每個含絕對值符號的代數(shù)式值等于零的未知數(shù)的值，將這些值依次在數(shù)軸上標(biāo)注出來，它們把數(shù)軸分成若干個區(qū)間，討論每一個絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式在每一個區(qū)間上的符號，轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式去解．解下列關(guān)于x的不等式：(1)|x－x2－2|＞x2－3x－4；(2)|x＋1|＞|x－3|；(3)|x2－2|x|－2|≤1；(4)|x－2|－|2x＋5|＞2x；(5)|2x－1|＜|x|＋1.若不等式對于給定區(qū)間內(nèi)的任意值都成立，我們稱它為不等式恒成立問題，常用的解決方法有：(1)實根分布法涉及到指定區(qū)間上一元二次不等式的恒成立問題時，應(yīng)根據(jù)“三個二次”的辯證統(tǒng)一關(guān)系，按照二次三項式有無實根分類討論去解決問題．(2)最值法運用“f(x)≤a?f(x)max≤a，f(x)≥a?f(x)min≥a”可解決恒成立中的參數(shù)范圍問題．(3)更換主元法不少含參不等式恒成立問題，若直接從主元入手非常困難或不可能時，可轉(zhuǎn)換思維角度，將主元與參數(shù)互換，?？傻玫胶喗莸慕夥ǎ?4)數(shù)形結(jié)合法在研究曲線交點的恒成立問題時，若能數(shù)形結(jié)合，揭示問題所蘊含的幾何背景，發(fā)揮形象思維與抽象思維各自的優(yōu)勢，可直觀地解決問題．若不等式|x－a|＋|x－2|≥1對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．若不等式|x－4|＋|3－x|<a的解集是空集，求a的取值范圍．課堂練習(xí)一、選擇題1．已知y＞x＞0，且x＋y＝1，那么()A．x＜eq\f(x＋y,2)＜y＜2xyB．2xy＜x＜eq\f(x＋y,2)＜yC．x＜eq\f(x＋y,2)＜2xy＜yD．x＜2xy＜eq\f(x＋y,2)＜y2．若1＜a＜3，－4＜b＜2，則a－|b|的取值范圍是()A．(－1，3)B．(－3，6)C．(－3，3)D．(1，4)3．下列命題正確的是()A．a(chǎn)＞b?ac2>bc2B.eq\f(a,c)＞eq\f(b,c)?a＞bC.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a3＞b3,ab＞0))?eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)D.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a2＞b2,ab＞0))?eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)4．已知|α＋β|＝|α|＋|β|，|α|＞2eq\r(2)，|β|＞2eq\r(2)，則下列結(jié)論：①|(zhì)α－β|≤|α＋β|；②|α－β|＞|α＋β|；③|α＋β|＞5；④|α＋β|≤5.其中正確的有()A．①②B．①③C．②③D．③④二、填空題5．(陜西高考)設(shè)a，b∈R，|a－b|>2，則關(guān)于實數(shù)x的不等式|x－a|＋|x－b|＞2的解集是________．6．設(shè)x，y，z為正實數(shù)，滿足x－2y＋3z＝0，則eq\f(y2,xz)的最小值是________．7．(江西高考)在實數(shù)范圍內(nèi)，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集為________．8．a(chǎn)＞0，b＞0，給出下列四個不等式：①a＋b＋eq\f(1,\r(ab))≥2eq\r(2)；②(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4；③eq\f(a2＋b2,\r(ab))≥a＋b;④a＋eq\f(1,a＋4)≥－2.其中正確的不等式有________(只填序號)．三、解答題9．設(shè)a＞0，且a≠1，t＞0，比較eq\f(1,2)loga