高級中學名校試卷PAGEPAGE1北京市海淀區(qū)2024-2025學年高一上學期期中考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由得又，故，故選：A2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】命題“”為特稱量詞命題，其否定為：.故選：A3.函數(shù)的一個零點所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為與均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，，，所以，所以在上存在一個零點.故選：B4.下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（）A B.C. D.【答案】D【解析】對A,的值域為的值域為，不是同一函數(shù)，故錯誤；對B,定義域為的定義域為，不是同一函數(shù)，故錯誤；對C,定義域為的定義域為，不是同一函數(shù)，故錯誤；對D,，二者的定義域、對應法則均相同，為同一函數(shù)，故正確.故選：D5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對于A：的定義域為，為偶函數(shù)，但是函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B：定義域為，且，所以為偶函數(shù)，當時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于C：為奇函數(shù)，故C錯誤；對于D：定義域，且，所以為偶函數(shù)，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D6.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，則，即可以推導出，故充分性成立；由推不出，如，，滿足，但是，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A7.我國著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休．”在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質，也常用函數(shù)的解析式來研究函數(shù)圖象的特征．我們從這個商標中抽象出一個圖象如圖，其對應的函數(shù)可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，函數(shù)與的定義域均為.由圖知的定義域為，排除選項A、D，對于，當時，，不符合圖象，所以排除選項C.故選：B.8.若關于x的不等式x2－4x－2－a＞0在區(qū)間(1，4)內(nèi)有解，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞)C.(－6，＋∞) D.(－∞，－6)【答案】A【解析】不等式x2－4x－2－a＞0在區(qū)間(1，4)內(nèi)有解等價于a＜(x2－4x－2)max，令f（x）＝x2－4x－2，x∈(1，4)，對稱軸為所以f（x）＜f（4）＝－2，所以a＜－2．故選：A9.已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，當時，恒成立．設，則a，b，c的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當且，時，恒成立，可得在上單調(diào)遞減，且關于對稱，所以在上單調(diào)遞增，，，，即.故選：B10.對于任意的表示不超過的最大整數(shù)．十八世紀，被“數(shù)學王子”高斯采用，因此得名為高斯函數(shù)，人們更習慣稱為“取整函數(shù)”．下列說法正確的是（）A.函數(shù)為奇函數(shù)B.函數(shù)的值域為C.對于任意的，不等式恒成立D.不等式的解集為【答案】BCD【解析】對于A，當時，，當，，所以不是奇函數(shù)，所以A錯誤，對于B，因為表示不超過的最大整數(shù)，所以當時，，所以函數(shù)的值域為，所以B正確，對于C，因為時，，所以，所以C正確，對于D，由，得，因為表示不超過的最大整數(shù)，所以，所以D正確.故選：BCD二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分．11.函數(shù)的定義域是_______．【答案】【解析】對于函數(shù)，令，解得且，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：12.不等式的解集為_______．【答案】【解析】移項得：，通分化簡得到分式不等式：；兩邊同時乘以分母得平方，結合分母不為零，得到不等式組：解得.原不等式解集為.故答案為：13.已知，若，則的值為_______．【答案】或【解析】因為，所以，又，所以或，解得或或，當時，集合、均不滿足集合元素的互異性，故舍去；當或時，經(jīng)檢驗均符合題意；綜上可得或故答案為：或14.若函數(shù)是上的減函數(shù)，則a的取值范圍是_______【答案】【解析】由題意得，且，解得；當時，，解得；綜上得實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.15.已知函數(shù)，其中，下列結論正確的是_______．①存在實數(shù)a，使得函數(shù)為奇函數(shù)②存在實數(shù)a，使得函數(shù)為偶函數(shù)③當時，的單調(diào)增區(qū)間為④當時，若方程有三個不等實根，則【答案】【解析】由，顯然當a＝0時有f-x=-f但不存在實數(shù)a使f-x=fx成立，所以存在實數(shù)a不存在實數(shù)，使得函數(shù)為偶函數(shù).所以①正確，②錯誤；且在處連續(xù)，當時，易知：在上遞增，遞減，上遞增，③正確；由解析式，當時在上遞增，遞減，上遞增，又，，要使有三個不等實根，即與有三個交點，所以，又，可得，④正確.故答案為：.三、解答題：本題共4小題，共40分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.已知全集，求．解：由題意知，或，所以，，或，所以17.已知函數(shù)．（1）若，且，求的最小值；（2）若，解關于的不等式．解：（1）因為且，所以，即，又，所以，當且僅當，即，時取等號，所以的最小值為；（2）當時，不等式，即為，即；當時，解得，所以不等式的解集為；當時，不等式等價于，解得或，所以不等式的解集為；當時，不等式即為，解得，所以不等式的解集為；當時，，解得，所以不等式的解集為；當時，，解得，所以不等式的解集為；綜上可得：當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.18.已知函數(shù)．（1）證明：為奇函數(shù)．（2）判斷在上的單調(diào)性，并證明你的結論．（3）解關于t的不等式．（1）證明：由已知函數(shù)的定義域關于原點對稱，且對于定義域內(nèi)任意的，都有：，為奇函數(shù).（2）解：在是增函數(shù)，證明如下：選擇任意的，滿足，則，通分化簡：，由可得：，，，；即，有.證得在是增函數(shù).（3）解：，則，由是奇函數(shù)，則，又由是增函數(shù)，則；結合定義域，得到不等式組：，解得.故解集為：19.對于定義域為的函數(shù)，如果存在區(qū)間，同時滿足下列兩個條件：①在區(qū)間上是單調(diào)的；②當定義域是時，的值域也是．則稱是函數(shù)的一個“黃金區(qū)間”．（1）請證明：函數(shù)不存在“黃金區(qū)間”．（2）已知函數(shù)在上存在“黃金區(qū)間”，請求出它的“黃金區(qū)間”．（3）如果是函數(shù)的一個“黃金區(qū)間”，請求出的最大值．（1）證明：由為(0,+∞)上的增函數(shù)，則有，∴，無解，∴不存在“黃金區(qū)間”；（2）解：記是函數(shù)的一個“黃金區(qū)間”，由及此時函數(shù)值域為，可知而其對稱軸為，∴在上必為增函數(shù)，令，∴，∴，故該函數(shù)有唯一一個“黃金區(qū)間”；（3）解：由在和(0,+∞)上均為增函數(shù)，已知在“黃金區(qū)間”上單調(diào)，所以或，且在上為單調(diào)遞增，則同理可得，，即是方程的兩個同號的實數(shù)根，等價于方程有兩個同號的實數(shù)根，又，則只要，∴或，而由韋達定理知，，所以，其中或，所以當時，取得最大值．北京市海淀區(qū)2024-2025學年高一上學期期中考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由得又，故，故選：A2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】命題“”為特稱量詞命題，其否定為：.故選：A3.函數(shù)的一個零點所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為與均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，，，所以，所以在上存在一個零點.故選：B4.下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（）A B.C. D.【答案】D【解析】對A,的值域為的值域為，不是同一函數(shù)，故錯誤；對B,定義域為的定義域為，不是同一函數(shù)，故錯誤；對C,定義域為的定義域為，不是同一函數(shù)，故錯誤；對D,，二者的定義域、對應法則均相同，為同一函數(shù)，故正確.故選：D5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上是增函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對于A：的定義域為，為偶函數(shù)，但是函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B：定義域為，且，所以為偶函數(shù)，當時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于C：為奇函數(shù)，故C錯誤；對于D：定義域，且，所以為偶函數(shù)，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D6.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，則，即可以推導出，故充分性成立；由推不出，如，，滿足，但是，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A7.我國著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休．”在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質，也常用函數(shù)的解析式來研究函數(shù)圖象的特征．我們從這個商標中抽象出一個圖象如圖，其對應的函數(shù)可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，函數(shù)與的定義域均為.由圖知的定義域為，排除選項A、D，對于，當時，，不符合圖象，所以排除選項C.故選：B.8.若關于x的不等式x2－4x－2－a＞0在區(qū)間(1，4)內(nèi)有解，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞)C.(－6，＋∞) D.(－∞，－6)【答案】A【解析】不等式x2－4x－2－a＞0在區(qū)間(1，4)內(nèi)有解等價于a＜(x2－4x－2)max，令f（x）＝x2－4x－2，x∈(1，4)，對稱軸為所以f（x）＜f（4）＝－2，所以a＜－2．故選：A9.已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，當時，恒成立．設，則a，b，c的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當且，時，恒成立，可得在上單調(diào)遞減，且關于對稱，所以在上單調(diào)遞增，，，，即.故選：B10.對于任意的表示不超過的最大整數(shù)．十八世紀，被“數(shù)學王子”高斯采用，因此得名為高斯函數(shù)，人們更習慣稱為“取整函數(shù)”．下列說法正確的是（）A.函數(shù)為奇函數(shù)B.函數(shù)的值域為C.對于任意的，不等式恒成立D.不等式的解集為【答案】BCD【解析】對于A，當時，，當，，所以不是奇函數(shù)，所以A錯誤，對于B，因為表示不超過的最大整數(shù)，所以當時，，所以函數(shù)的值域為，所以B正確，對于C，因為時，，所以，所以C正確，對于D，由，得，因為表示不超過的最大整數(shù)，所以，所以D正確.故選：BCD二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分．11.函數(shù)的定義域是_______．【答案】【解析】對于函數(shù)，令，解得且，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：12.不等式的解集為_______．【答案】【解析】移項得：，通分化簡得到分式不等式：；兩邊同時乘以分母得平方，結合分母不為零，得到不等式組：解得.原不等式解集為.故答案為：13.已知，若，則的值為_______．【答案】或【解析】因為，所以，又，所以或，解得或或，當時，集合、均不滿足集合元素的互異性，故舍去；當或時，經(jīng)檢驗均符合題意；綜上可得或故答案為：或14.若函數(shù)是上的減函數(shù)，則a的取值范圍是_______【答案】【解析】由題意得，且，解得；當時，，解得；綜上得實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.15.已知函數(shù)，其中，下列結論正確的是_______．①存在實數(shù)a，使得函數(shù)為奇函數(shù)②存在實數(shù)a，使得函數(shù)為偶函數(shù)③當時，的單調(diào)增區(qū)間為④當時，若方程有三個不等實根，則【答案】【解析】由，顯然當a＝0時有f-x=-f但不存在實數(shù)a使f-x=fx成立，所以存在實數(shù)a不存在實數(shù)，使得函數(shù)為偶函數(shù).所以①正確，②錯誤；且在處連續(xù)，當時，易知：在上遞增，遞減，上遞增，③正確；由解析式，當時在上遞增，遞減，上遞增，又，，要使有三個不等實根，即與有三個交點，所以，又，可得，④正確.故答案為：.三、解答題：本題共4小題，共40分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.已知全集，求．解：由題意知，或，所以，，或，所以17.已知函數(shù)．（1）若，且，求的最小值；（2）若，解關于的不等式．解：（1）因為且，所以，即，又，所以，當且僅當，即，時取等號，所以的最小值為；（2）當時，不等式，即為，即；當時，解得，所以不等式的解集為；當時，不等式等價于，解得或，所以不等式的解集為；當時，不等式即為，解得，所以不等式的解集為；當時，，解得，所以不等式的解集為；當時，，解得，所以不等式的解集為；綜上可得：當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.18.已知函數(shù)．（1）證明：為奇函數(shù)．（2）判斷在上的單調(diào)性，并證明你的結論．（3）解關于t的不等式．（1）證明：由已知函數(shù)的定義域關于原點對稱，且對于定義域內(nèi)任意的，都有：，為奇函數(shù).（2）解：在是增函數(shù)，證明如下：選擇任意的，滿足，則，通分化簡：，由可得：，，，；即，有.證得在是增函數(shù).（3）解：，則，由是奇函數(shù)，則，又由是增函數(shù)，則；結合定義域，得到不等式組：，解得.故解集為：19.對于定義域為的函數(shù)，如果存在區(qū)間，同時滿足下列兩個條件：①在區(qū)間上是單調(diào)的；②當定義域是時，的值域也是．則稱是函數(shù)的一個“黃金區(qū)間”．（1）請證明：函