高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1安徽省安慶市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得，即得，借助于數(shù)軸表示易得：.故選：A.2.“”是“為奇函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當(dāng)時，為奇函數(shù)，故充分性成立；若為奇函數(shù)，又的定義域為，則，驗證適合題意，故必要性成立；所以“”是“為奇函數(shù)”的充要條件.故選：C.3.冪函數(shù)為增函數(shù)，則（）A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】由題意知，解得：或，即或，因為增函數(shù)，則，于是.故選：C.4.從甲地到乙地的距離約為，經(jīng)多次實驗得到一輛汽車每小時耗油（單位：）與速度（單位：的下列數(shù)據(jù)：為了描述汽車每小時耗油量與速度的關(guān)系，下列四個模型中你認(rèn)為最符合實際的函數(shù)模型是：（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由圖表中數(shù)據(jù)可知函數(shù)模型滿足：第一，定義域為；第二，在定義域單調(diào)遞增且單位增長率變快；第三，函數(shù)圖象過原點.函數(shù)和在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，不符合條件，故AC錯誤；函數(shù)中0不在函數(shù)的定義域中，故D錯誤；B選項：滿足上述三點，故B正確.故選：B.5.已知函數(shù)，則的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數(shù)的定義域為因，故函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱.故選：A.6.函數(shù)稱為高斯函數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，則方程的解的集合為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得，解得.故選：D.7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因，解得.故選：B.8.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因為對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，所以.對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，所以.進一步比較和的大小，利用換底公式，..因為（基本不等式），，所以，即.指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，，，，且，，所以.綜上可得，即.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對于、：取，則，，故、錯誤；對于：因為，所以，故正確；對于：因為，所以，所以，故正確.故選：BD.10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期為B.函數(shù)是奇函數(shù)C.函數(shù)有最大值，無最小值D.函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】對于A，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)中的真數(shù)須大于，即.解不等式，得.因為的最小正周期是，且的定義域是，在每一個這樣的區(qū)間內(nèi)，的周期是，所以是周期函數(shù)，最小正周期為，A選項正確.對于B，函數(shù)的定義域為，定義域不關(guān)于原點對稱.根據(jù)奇函數(shù)的定義，對于函數(shù)，如果對于定義域內(nèi)的任意，都有，且定義域關(guān)于原點對稱，而定義域不關(guān)于原點對稱，所以不是奇函數(shù)，B選項錯誤.對于C，因為，當(dāng)時.而在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，取得最大值，無最小值，C選項正確.對于D，令，.在上單調(diào)遞增.在上單調(diào)遞增，且在此區(qū)間成立.根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，D選項正確.故選：ACD.11.已知定義在上的奇函數(shù)，滿足，且，則以下結(jié)論正確的是（）A.B.為單調(diào)遞增函數(shù)C.的圖象關(guān)于成中心對稱D.的解集為【答案】BCD【解析】對于：由，即，所以在上單調(diào)遞增，由，有，故在上單調(diào)遞增，故B正確；對于：在上單調(diào)遞增，且，所以，故錯誤；對于：由，即，故圖象關(guān)于成中心對稱，故C正確；對于：由于，故，從而，又因為在上單調(diào)遞增，所以，解得，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.__________.【答案】【解析】.13.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則實數(shù)__________.【答案】【解析】由，得，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，解得，由，則當(dāng)時，取最小值，于是，解得，所以.14.已知函數(shù)，滿足，若函數(shù)恰有5個零點，則實數(shù)的范圍為__________.【答案】【解析】由，得，解得，則，令，由可得：，解得：，依題意，直線與直線與的圖象恰有5個交點.當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故時，；當(dāng)時，可看成關(guān)于軸對稱得到，故其在上單調(diào)遞減.作出函數(shù)的圖象如圖所示.由圖象可知，需使，即的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求的取值范圍.解：（1）由解得，∴，，當(dāng)，，解不等式得，，∴，.（2）∵“”是“”的充分不必要條件，∴是的真子集，又，當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，，；所以，且兩等號不能同時成立，解得，當(dāng)時，，，所以，且兩等號不能同時成立，解得.綜上，實數(shù)的取值范圍為.16.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點是坐標(biāo)原點，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點.（1）求的值；（2）若為銳角，且，求.解：（1）∵角的終邊經(jīng)過點，∴，∴，所以，∴.（2）由題意知，又，∴，若，則，與不符；∴，即是第二象限角.于是，所以.17.已知函數(shù).（1）若，且函數(shù)恰有一個零點，求的最小值；（2）設(shè)，若，且對任意的，總存在，使得成立，求的取值范圍.解：（1）由時，函數(shù)恰有一個零點，可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故此時取得最小值為4.（2）因為在區(qū)間上遞減，，由可得，因為對任意的，總存在，使得成立，所以對任意的，存在，即存在，使得成立，即存在，使得成立，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時，顯然存在，使得成立；當(dāng)時，需滿足方程有兩個不相等的實數(shù)根，即，即，解得，又，則，綜上可得，的取值范圍是.18.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)圖象的對稱中心坐標(biāo)；（3）當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根且，求的值.解：（1）由圖象知，又，故，由圖象可知，得，由于，故，所以.（2）令，解得，所以函數(shù)圖象的對稱中心坐標(biāo)為.（3）由，所以，又方程在有兩個不相等的實數(shù)根且，所以，所以，且，，又，即，所以，又，因為，所以，即的值為.19.設(shè)是函數(shù)的零點，是函數(shù)的零點，若，則稱函數(shù)與函數(shù)是“零點相近函數(shù)”（1）已知與函數(shù)，判斷函數(shù)與函數(shù)是否為“零點相近函數(shù)”，并給出理由；（2）若函數(shù)與函數(shù)是“零點相近函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)與函數(shù)是“零點相近函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）令得，解得，即以函數(shù)的零點為，令得，解得，于是，因，所以令，故函數(shù)的零點為，則，故函數(shù)與函數(shù)是“零點相近函數(shù)”.（2）當(dāng)時，，函數(shù)無零點；當(dāng)時，由，解得或（舍去），故函數(shù)的零點為，因函數(shù)與函數(shù)是“零點相近函數(shù)”，故函數(shù)的零點，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，故須使，即，解得，故實數(shù)的取值范圍是.（3）令，得，因，所以，構(gòu)造函數(shù)，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，因，所以，因此函數(shù)的零點是.令，得，即，因，而，兩函數(shù)都可在時取到等號，故函數(shù)的零點是，因為函數(shù)與函數(shù)是“零點相近函數(shù)”，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.安徽省安慶市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得，即得，借助于數(shù)軸表示易得：.故選：A.2.“”是“為奇函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當(dāng)時，為奇函數(shù)，故充分性成立；若為奇函數(shù)，又的定義域為，則，驗證適合題意，故必要性成立；所以“”是“為奇函數(shù)”的充要條件.故選：C.3.冪函數(shù)為增函數(shù)，則（）A. B. C.2 D.4【答案】C【解析】由題意知，解得：或，即或，因為增函數(shù)，則，于是.故選：C.4.從甲地到乙地的距離約為，經(jīng)多次實驗得到一輛汽車每小時耗油（單位：）與速度（單位：的下列數(shù)據(jù)：為了描述汽車每小時耗油量與速度的關(guān)系，下列四個模型中你認(rèn)為最符合實際的函數(shù)模型是：（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由圖表中數(shù)據(jù)可知函數(shù)模型滿足：第一，定義域為；第二，在定義域單調(diào)遞增且單位增長率變快；第三，函數(shù)圖象過原點.函數(shù)和在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，不符合條件，故AC錯誤；函數(shù)中0不在函數(shù)的定義域中，故D錯誤；B選項：滿足上述三點，故B正確.故選：B.5.已知函數(shù)，則的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數(shù)的定義域為因，故函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱.故選：A.6.函數(shù)稱為高斯函數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，則方程的解的集合為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得，解得.故選：D.7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因，解得.故選：B.8.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因為對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，所以.對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，所以.進一步比較和的大小，利用換底公式，..因為（基本不等式），，所以，即.指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，，，，且，，所以.綜上可得，即.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】對于、：取，則，，故、錯誤；對于：因為，所以，故正確；對于：因為，所以，所以，故正確.故選：BD.10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期為B.函數(shù)是奇函數(shù)C.函數(shù)有最大值，無最小值D.函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】對于A，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)中的真數(shù)須大于，即.解不等式，得.因為的最小正周期是，且的定義域是，在每一個這樣的區(qū)間內(nèi)，的周期是，所以是周期函數(shù)，最小正周期為，A選項正確.對于B，函數(shù)的定義域為，定義域不關(guān)于原點對稱.根據(jù)奇函數(shù)的定義，對于函數(shù)，如果對于定義域內(nèi)的任意，都有，且定義域關(guān)于原點對稱，而定義域不關(guān)于原點對稱，所以不是奇函數(shù)，B選項錯誤.對于C，因為，當(dāng)時.而在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，取得最大值，無最小值，C選項正確.對于D，令，.在上單調(diào)遞增.在上單調(diào)遞增，且在此區(qū)間成立.根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，D選項正確.故選：ACD.11.已知定義在上的奇函數(shù)，滿足，且，則以下結(jié)論正確的是（）A.B.為單調(diào)遞增函數(shù)C.的圖象關(guān)于成中心對稱D.的解集為【答案】BCD【解析】對于：由，即，所以在上單調(diào)遞增，由，有，故在上單調(diào)遞增，故B正確；對于：在上單調(diào)遞增，且，所以，故錯誤；對于：由，即，故圖象關(guān)于成中心對稱，故C正確；對于：由于，故，從而，又因為在上單調(diào)遞增，所以，解得，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.__________.【答案】【解析】.13.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則實數(shù)__________.【答案】【解析】由，得，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，解得，由，則當(dāng)時，取最小值，于是，解得，所以.14.已知函數(shù)，滿足，若函數(shù)恰有5個零點，則實數(shù)的范圍為__________.【答案】【解析】由，得，解得，則，令，由可得：，解得：，依題意，直線與直線與的圖象恰有5個交點.當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故時，；當(dāng)時，可看成關(guān)于軸對稱得到，故其在上單調(diào)遞減.作出函數(shù)的圖象如圖所示.由圖象可知，需使，即的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求的取值范圍.解：（1）由解得，∴，，當(dāng)，，解不等式得，，∴，.（2）∵“”是“”的充分不必要條件，∴是的真子集，又，當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，，；所以，且兩等號不能同時成立，解得，當(dāng)時，，，所以，且兩等號不能同時成立，解得.綜上，實數(shù)的取值范圍為.16.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點是坐標(biāo)原點，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點.（1）求的值；（2）若為銳角，且，求.解：（1）∵角的終邊經(jīng)過點，∴，∴，所以，∴.（2）由題意知，又，∴，若，則，與不符；∴，即是第二象限角.于是，所以.17.已知函數(shù).（1）若，且函數(shù)恰有一個零點，求的最小值；（2）設(shè)，若，且對任意的，總存在，使得成立，求的取值范圍.解：（1）由時，函數(shù)恰有一個零點，可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故此時取得最小值為4.（2）因為在區(qū)間上遞減，，由可得，因為對任意的，總存在，使得成立，所以對任意的，存在，即存在，使得成立，即存在，使得成立，由二