數(shù)學(xué)群論經(jīng)典題目及答案1.題目：設(shè)群\(G\)是一個(gè)有限群，\(H\)和\(K\)是\(G\)的兩個(gè)子群。證明：\(H\)和\(K\)在\(G\)中的正規(guī)化子的交集是\(H\)和\(K\)的正規(guī)化子的子群。答案：要證明\(H\)和\(K\)在\(G\)中的正規(guī)化子的交集是\(H\)和\(K\)的正規(guī)化子的子群，我們需要驗(yàn)證子群的三個(gè)條件：封閉性、結(jié)合律和單位元。(1)封閉性：設(shè)\(a,b\inN_G(H)\capN_G(K)\)，其中\(zhòng)(N_G(H)\)和\(N_G(K)\)分別表示\(H\)和\(K\)在\(G\)中的正規(guī)化子。我們需要證明\(ab^{-1}\inN_G(H)\capN_G(K)\)。由于\(a\)和\(b\)都在\(N_G(H)\)中，對(duì)于任意\(h\inH\)，有\(zhòng)(a^{-1}ha=h'\)和\(b^{-1}hb=h''\)，其中\(zhòng)(h',h''\inH\)。因此，\((ab^{-1})^{-1}h(ab^{-1})=b^{-1}a^{-1}hab=b^{-1}h'b\inH\)，所以\(ab^{-1}\inN_G(H)\)。同理可證\(ab^{-1}\inN_G(K)\)。(2)結(jié)合律：由于\(G\)是群，所以\(N_G(H)\capN_G(K)\)中的元素滿足結(jié)合律。(3)單位元：\(G\)的單位元\(e\)顯然在\(N_G(H)\)和\(N_G(K)\)中，因此也在它們的交集。綜上所述，\(N_G(H)\capN_G(K)\)是\(G\)的一個(gè)子群。2.題目：設(shè)\(G\)是一個(gè)群，\(a\)是\(G\)的一個(gè)元素。證明：\(a\)的中心化子\(C_G(a)\)是\(G\)的正規(guī)子群。答案：要證明\(C_G(a)\)是\(G\)的正規(guī)子群，我們需要證明對(duì)于任意\(g\inG\)和\(x\inC_G(a)\)，都有\(zhòng)(gxg^{-1}\inC_G(a)\)。設(shè)\(x\inC_G(a)\)，則\(xa=ax\)。我們需要證明\(gxg^{-1}\)也與\(a\)交換，即\((gxg^{-1})a=a(gxg^{-1})\)。計(jì)算左邊：\((gxg^{-1})a=g(xg^{-1}a)\)。由于\(x\inC_G(a)\)，所以\(xg^{-1}a=g^{-1}ax\)，因此\(g(xg^{-1}a)=g(g^{-1}ax)=(gg^{-1})ax=ax\)。計(jì)算右邊：\(a(gxg^{-1})=(ag)xg^{-1}\)。由于\(G\)是群，所以\(ag=ga\)，因此\((ag)xg^{-1}=(ga)xg^{-1}=g(ax)g^{-1}\)。由于\(x\inC_G(a)\)，所以\(ax=xa\)，因此\(g(ax)g^{-1}=g(xg^{-1}a)=ax\)。因此，\((gxg^{-1})a=a(gxg^{-1})\)，即\(gxg^{-1}\inC_G(a)\)。所以\(C_G(a)\)是\(G\)的正規(guī)子群。3.題目：設(shè)\(G\)是一個(gè)群，\(H\)是\(G\)的一個(gè)正規(guī)子群。證明：\(G/H\)是一個(gè)群。答案：要證明\(G/H\)是一個(gè)群，我們需要驗(yàn)證群的四個(gè)條件：封閉性、結(jié)合律、單位元和逆元。(1)封閉性：對(duì)于任意\(g_1H,g_2H\inG/H\)，它們的乘積\((g_1H)(g_2H)=g_1g_2H\)也在\(G/H\)中，因?yàn)閈(g_1g_2\inG\)。(2)結(jié)合律：對(duì)于任意\(g_1H,g_2H,g_3H\inG/H\)，有\(zhòng)((g_1H)(g_2H)(g_3H)=g_1g_2g_3H=g_1(g_2g_3)H=(g_1H)(g_2g_3H)\)，結(jié)合律成立。(3)單位元：\(G\)的單位元\(e\)形成的陪集\(eH\)是\(G/H\)的單位元。(4)逆元：對(duì)于任意\(gH\inG/H\)，它的逆元是\(g^{-1}H\)，因?yàn)閈((gH)(g^{-1}H)=gg^{-1}H=eH\)。綜上所述，\(G/H\)是一個(gè)群。4.題目：設(shè)\(G\)是一個(gè)群，\(H\)和\(K\)是\(G\)的兩個(gè)子群。證明：\(H\)和\(K\)的交集\(H\capK\)也是\(G\)的一個(gè)子群。答案：要證明\(H\capK\)是\(G\)的一個(gè)子群，我們需要驗(yàn)證子群的三個(gè)條件：封閉性、結(jié)合律和單位元。(1)封閉性：設(shè)\(a,b\inH\capK\)，則\(a,b\inH\)且\(a,b\inK\)。由于\(H\)和\(K\)都是子群，所以\(ab\inH\)且\(ab\inK\)，因此\(ab\inH\capK\)。(2)結(jié)合律：由于\(G\)是群，所以\(H\capK\)中的元素滿足結(jié)合律。(3)單位元：\(G\)的單位元\(e\)顯然在\(H\)和\(K\)中，因此也在它們的交集。綜上所述，\(H\capK\)是\(G\)的一個(gè)子群。5.題目：設(shè)\(G\)是一個(gè)群，\(H\)是\(G\)的一個(gè)正規(guī)子群。證明：\(G\)通過(guò)左陪集作用在\(G/H\)上是一個(gè)群作用。答案：要證明\(G\)通過(guò)左陪集作用在\(G/H\)上是一個(gè)群作用，我們需要驗(yàn)證群作用的兩個(gè)條件：良定義性和滿足群作用的定義。(1)良定義性：對(duì)于任意\(g_1,g_2\inG\)和\(xH\inG/H\)，如果\(g_1H=g_2H\)，則\(g_1^{-1}g_2\inH\)。我們需要證明\(g_1xH=g_2xH\)。由于\(g_1^{-1}g_2\inH\)，所以\(g_2=g_1h\)對(duì)于某個(gè)\(h\inH\)。因此，\(g_2xH=g_1hxH=g_1(hx)H=g_1xH\)，因?yàn)閈(H\)是正規(guī)子群，所以\(hxH=xH\)。(2)群作用定義：對(duì)于任意\(g\inG\)和\(xH\inG/H\)，\(g(xH)=(gx)H\)。我們需要證明\(e(xH)=xH\)和\((gh)(xH)=g(h(xH))\)。由于\(e\)是單位元，所以\(e(xH)=exH=xH\)。對(duì)于第二個(gè)條件，\((gh)(xH)=(gh)xH=g(hx)H=g(h(xH))\)。綜上所述，\(G\)通過(guò)左陪集作用在\(G/H\)上是一個(gè)群作用。6.題目：設(shè)\(G\)是一個(gè)群，\(H\)是\(G\)的一個(gè)子群。證明：\(H\)在\(G\)中的指數(shù)\([G:H]\)是有限的當(dāng)且僅當(dāng)\(H\)在\(G\)中是正規(guī)的。答案：(1)如果\(H\)在\(G\)中是正規(guī)的，那么\(G/H\)是一個(gè)群，根據(jù)拉格朗日定理，\(G/H\)的階數(shù)是有限的，即\([G:H]\)是有限的。(2)如果\([G:H]\)是有限的，那么存在有限個(gè)不同的\(H\)的左陪集。設(shè)\(g_1,g_2,\ldots,g_n\)是這些陪集的代表元素。對(duì)于任意\(g\inG\)和\(h\inH\)，\(ghg^{-1}\)必須在這些陪集中的