探索規(guī)律（提高）知識(shí)講解責(zé)編：康紅梅【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過(guò)觀察、分析、總結(jié)等一系列過(guò)程，經(jīng)歷探索數(shù)量關(guān)系，并運(yùn)用代數(shù)式表示規(guī)律，通過(guò)運(yùn)算驗(yàn)證規(guī)律是否正確的過(guò)程；2.會(huì)用代數(shù)式表示簡(jiǎn)單問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，能用合并同類項(xiàng)、去括號(hào)等法則驗(yàn)證所探索的規(guī)律是否正確；3.通過(guò)動(dòng)手操作、觀察、思考，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)是充滿著探索性和創(chuàng)造性的過(guò)程.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、規(guī)律探索型問(wèn)題常見(jiàn)類型1、數(shù)式規(guī)律通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或不等式，然后猜想其中蘊(yùn)含的規(guī)律，反映了由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法，考查了學(xué)生的分析、歸納、抽象、概括能力.一般解法是先寫出數(shù)式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過(guò)橫比（比較同一等式中不同部分的數(shù)量關(guān)系）或縱比（比較不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系）找出各部分的特征，改寫成要求的格式.要點(diǎn)詮釋：由于尋找規(guī)律并用字母表示這一規(guī)律體現(xiàn)了從特殊到一般和歸納、猜想的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.解題中應(yīng)注意先從特殊的結(jié)果入手尋找規(guī)律，再用字母表示，最后加以驗(yàn)證.2、圖形規(guī)律根據(jù)一組相關(guān)圖形的變化，從中總結(jié)圖形變化所反映的規(guī)律.解決這類圖形規(guī)律問(wèn)題的方法有兩種，一種是數(shù)圖形，將圖形轉(zhuǎn)化成數(shù)字規(guī)律，再用數(shù)字規(guī)律的解決問(wèn)題，一種是通過(guò)圖形的直觀性，從圖形中直接尋找規(guī)律.要點(diǎn)詮釋：圖案、圖表具有直觀、形象、簡(jiǎn)明，包含的信息量多等特點(diǎn)，解決此類問(wèn)題需要把“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.3、數(shù)表規(guī)律解決本題的方法一般是先看行（或列）的規(guī)律，再以列（或行）為單位用數(shù)列找規(guī)律方法找規(guī)律.有時(shí)也需要看看有沒(méi)有一個(gè)數(shù)是上面兩數(shù)或下面兩數(shù)的和或差等.有時(shí)還需要先局部看，再整體找規(guī)律.要點(diǎn)二、規(guī)律探索型問(wèn)題解題技巧1、抓住條件中的變與不變找數(shù)學(xué)規(guī)律的題目，都會(huì)涉及到一個(gè)或者幾個(gè)變化的量.所謂找規(guī)律，多數(shù)情況下，是指變量的變化規(guī)律.所以，抓住了變量，就等于抓住了解決問(wèn)題的關(guān)鍵.而這些變量通常按照一定的順序給出，揭示的規(guī)律，常常包含著事物的序列號(hào).2、化繁為簡(jiǎn)，形轉(zhuǎn)化為數(shù)有些題目看上去很大、圖形很復(fù)雜，實(shí)際上，關(guān)鍵性的內(nèi)容并不多.對(duì)題目做一番認(rèn)真地分析，去粗取精，取偽存真，把其中主要的、關(guān)鍵的內(nèi)容抽出來(lái)，題目的難度就會(huì)大幅度降低，問(wèn)題也就容易解決了.3、要進(jìn)行計(jì)算嘗試找規(guī)律，當(dāng)然是找數(shù)學(xué)規(guī)律.而數(shù)學(xué)規(guī)律，多數(shù)是函數(shù)的解析式.函數(shù)的解析式里常常包含著數(shù)學(xué)運(yùn)算.因此，找規(guī)律，在很大程度上是在找能夠反映已知量的數(shù)學(xué)運(yùn)算式子.所以，從運(yùn)算入手，嘗試著做一些計(jì)算，也是解答找規(guī)律題的好途徑.4、尋找事物的循環(huán)節(jié)有些題目包含著事物的循環(huán)規(guī)律，找到了事物的循環(huán)規(guī)律，其他問(wèn)題就可以迎刃而解.【典型例題】類型一、數(shù)式規(guī)律 1．在下列數(shù)列里，寫出后面兩個(gè)數(shù)：（1）1，10，3，13，5，16，7，19，，，…（2）2，5，6，10，18，20，54，40，，，…（3）4，16，36，64，，144，196，，…，（4）0，1，2，3，6，11，20，，，…【解析】解：（1）這個(gè)數(shù)列中，奇數(shù)位上的數(shù)后一項(xiàng)總比前一項(xiàng)多2，偶數(shù)位上的數(shù)后一項(xiàng)總比前一項(xiàng)多3．（2）這個(gè)數(shù)列中，奇數(shù)位上數(shù)后一項(xiàng)總是前一項(xiàng)的3倍，偶數(shù)位上的數(shù)后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的2倍．（3）同除以4后可得新數(shù)列：1、4、9、16…，很顯然是位置數(shù)的平方．（4）這個(gè)數(shù)列中某項(xiàng)的數(shù)等于它前面3項(xiàng)數(shù)之和．舉一反三：【變式】（2015?包頭）觀察下列各數(shù)：1，，，，…，按你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算這列數(shù)的第6個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C解：觀察該組數(shù)發(fā)現(xiàn)：1，，，，…，第n個(gè)數(shù)為，當(dāng)n=6時(shí)，==．2．（通遼）觀察下列等式：…【思路點(diǎn)撥】觀察不難發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)數(shù)的積等于這兩個(gè)數(shù)乘以后面的數(shù)減去這兩個(gè)數(shù)乘以前面的數(shù)，然后乘以，把括號(hào)內(nèi)的積都寫成積的差的的形式，然后相加互相抵消即可得解.【解析】…舉一反三：【變式】觀察下面組成的圖案和算式，解答問(wèn)題：1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52；（1）請(qǐng)猜想1+3+5+7+9+…+19=

；（2）請(qǐng)猜想1+3+5+7+9+…+（2n1）+（2n+1）+（2n+3）=

.類型二、圖表規(guī)律3．用火柴棒按圖中的方式搭圖：(1)填寫下表：圖形編號(hào)①②③④⑤⑥火柴棒根數(shù)

(2)第N個(gè)圖形需要多少根火柴？【思路點(diǎn)撥】在解此類問(wèn)題時(shí)，方法很明確；就是把圖形型問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)字型問(wèn)題，再?gòu)臄?shù)字的特點(diǎn)來(lái)尋找出規(guī)律來(lái)解答.【答案與解析】解：（1）顯然，第一個(gè)圖形中有3根火柴棒；第二個(gè)圖形中有9根火柴棒；第三個(gè)圖形中有18根火柴棒；第四個(gè)圖形中有30根火柴棒；……，所以填寫表格如下：圖形編號(hào)①②③④⑤⑥火柴棒根數(shù)3918304563（2）解法一：3=1×3；9=3×3=（1+2）×3；18=6×3=（1+2+3）×3；30=10×3=（1+2+3+4）×3；……解法二：3=3；9=3+6；18=3+6+9；30=3+6+9+12；……因此，第N個(gè)圖形中的火柴棒的根數(shù)為：【總結(jié)升華】在數(shù)圖形的數(shù)量時(shí)，如能掌握：先單一、后2個(gè)復(fù)合、再3個(gè)復(fù)合……依次類推，數(shù)出相應(yīng)所有的結(jié)論，這樣做不易重復(fù)和遺漏.舉一反三：【變式】從一個(gè)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊引一條線段，此時(shí)圖中共有3個(gè)三角形（如圖2）；若再向它的對(duì)邊引一條線段，此時(shí)圖中共有6個(gè)三角形（如圖3）；……依次類推，則第N個(gè)圖中共有個(gè)三角形？4．（2015?廬陽(yáng)區(qū)二模）將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列下去．若用有序?qū)崝?shù)對(duì)（m，n）表示第m排、從左到右第n個(gè)數(shù)，如（3，2）表示實(shí)數(shù)5．（1）圖中（7，3）位置上的數(shù)；數(shù)據(jù)45對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)是．（2）第2n行的最后一個(gè)數(shù)為，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)如圖所示的排列規(guī)律，可得每行數(shù)字的個(gè)數(shù)等于行數(shù)，而且奇數(shù)行的數(shù)字都是奇數(shù)，偶數(shù)行的數(shù)字都是偶數(shù)．（1）首先判斷出前3個(gè)奇數(shù)行的數(shù)字最大是17，所以第7排、從左到右第3個(gè)數(shù)是23，即圖中（7，3）位置上的數(shù)是23；然后判斷出前4個(gè)奇數(shù)行的數(shù)字最大是31，進(jìn)而判斷出數(shù)據(jù)45是第5個(gè)奇數(shù)行的第7個(gè)數(shù)，即第9行的第7個(gè)數(shù)，即它對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)是（9，7），據(jù)此解答即可．（2）因?yàn)榈?n排的最后一個(gè)數(shù)是從2開(kāi)始數(shù)的第（2+4+6+…+2n）個(gè)正偶數(shù)，所以第2n行的最后一個(gè)數(shù)為：2（2+4+6+…+2n）==2n（n+1），據(jù)此解答即可．【答案】23、（9，7）、2n（n+1）．【解析】解：根據(jù)分析，可得（1）圖中（7，3）位置上的數(shù)是23；數(shù)據(jù)45對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)是（9，7）．（2）第2n行的最后一個(gè)數(shù)為2n（n+1），理由：因?yàn)榈?n排的最后一個(gè)數(shù)是從2開(kāi)始數(shù)的第（2+4+6+…+2n）個(gè)正偶數(shù)，所以此數(shù)為2（2+4+6+…+2n）==2n（n+1）．故答案為：23、（9，7）、2n（n+1）．【總結(jié)升華】此題主要考查了探尋數(shù)列規(guī)律問(wèn)題，注意觀察總結(jié)規(guī)律，并能正確的應(yīng)用規(guī)律，解答此題的關(guān)鍵是判斷出：每行數(shù)字的個(gè)數(shù)等于行數(shù)，而且奇數(shù)行的數(shù)字都是奇數(shù)，偶數(shù)行的數(shù)字都是偶數(shù)．舉一反三：【變式】（本溪）根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，在最后一個(gè)空格中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字．【答案】738．5．觀察下列球的排列規(guī)律(其中●是實(shí)心球，○是空心球)：●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……從第1個(gè)球起到第2004個(gè)球止，共有實(shí)心球個(gè).【答案】602；【解析】解：這些球，從左到右，按照固定的順序排列，每隔10個(gè)球循環(huán)一次，循環(huán)節(jié)是●○○●●○○○○○.每個(gè)循環(huán)節(jié)里有3個(gè)實(shí)心球.我們只要知道2004包含有多少個(gè)循環(huán)節(jié)，就容易計(jì)算出實(shí)心球的個(gè)數(shù).∵2004÷10＝200……4，∴2004個(gè)球里有200個(gè)循環(huán)節(jié)，還余4個(gè)球.200個(gè)循環(huán)節(jié)里有200×3=600個(gè)實(shí)心球，剩下的4個(gè)球里有2個(gè)實(shí)心球.所以，一共有602個(gè)實(shí)心球.【總結(jié)升華】解決此題的關(guān)鍵是找到規(guī)律：每10個(gè)球一組；第1，4，5為實(shí)心球，第2，3，6，7，8，9，10個(gè)為空心球．舉一反三：【變式1】白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子，前2002個(gè)中有幾個(gè)是黑的？【答案】解：白︳黑白