8.3.2圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積(人教A版普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第八章)深圳市第三高級(jí)中學(xué)虞志剛一、教學(xué)目標(biāo)1.數(shù)學(xué)抽象：通過圓的面積推導(dǎo)方法由球的表面積推出其體積公式。2.邏輯推理：通過例題和練習(xí)逐步培養(yǎng)學(xué)生將理論應(yīng)用實(shí)際的。3.數(shù)學(xué)建模：本節(jié)重點(diǎn)是數(shù)學(xué)中的形在講解時(shí)注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力，有利于數(shù)學(xué)建模中數(shù)形結(jié)合能力。4.數(shù)據(jù)分析：通過利用表面積及體積公式解決一些計(jì)算問題。二、教學(xué)重難點(diǎn)1.掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積計(jì)算公式和應(yīng)用；2.掌握棱柱、棱錐、棱臺(tái)有關(guān)的組合體的表面積與體積,會(huì)解決球的切、接問題三、教學(xué)過程1創(chuàng)設(shè)情景讓學(xué)生回顧棱柱、棱錐、棱臺(tái)有關(guān)的組合體的表面積與體積【設(shè)計(jì)意圖】把已學(xué)知識(shí)與新知建立聯(lián)系，溫故知新。并引出本節(jié)新課內(nèi)容2新知探究問題1:圓柱、圓錐、圓臺(tái)的展開圖是什么？(小組合作，學(xué)生回答，教師點(diǎn)撥)生答:圓柱的側(cè)面展開圖為矩形:圓錐的側(cè)面展開圖是扇形:圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是扇環(huán):問題2:如何求它們的表面積與體積？(提出本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容)問題3:圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者的表面積與體積公式之間有什么關(guān)系？大家能用圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征來解釋這種關(guān)系嗎？小組合作，學(xué)生回答，教師點(diǎn)撥問題4:你能將它們統(tǒng)一成柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式嗎？柱體、椎體、臺(tái)體的體積公式之間又有什么關(guān)系？小組合作，學(xué)生回答，教師點(diǎn)撥【設(shè)計(jì)意圖】段煉學(xué)生推理能力,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力.3新知建構(gòu)球的體積：利用圓的周長求圓的面積的方法，我們可以利用球的表面積求球的體積。如圖，把球O的表面分成n個(gè)小網(wǎng)格，連接球心O和每個(gè)小網(wǎng)格的頂點(diǎn)，整個(gè)球體就被分割成n個(gè)“小錐形”。當(dāng)n越大，每個(gè)小網(wǎng)格越小時(shí)，每個(gè)“小錐體”的底面就越平?！靶∽刁w”就越近似于棱錐，其高越近似于球的半徑R，設(shè)OABCD是其中一個(gè)“小椎體”，它的體積是S0?ABCD由于球的體積就是這n個(gè)“小椎體”的體積之和，而這n個(gè)“小椎體”的底面積之和就是球的表面積。因此，球的體積V球=【設(shè)計(jì)意圖】段煉學(xué)生類比推理能力，使學(xué)生宏觀理解多個(gè)公式之間的關(guān)系.4數(shù)學(xué)運(yùn)用例一：如圖，某種浮標(biāo)由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱黏合而成的，半球的直徑是0.3m.圓柱高0.6m.如果在浮標(biāo)表面涂一層防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么給1000個(gè)這樣的浮標(biāo)涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14)解：一個(gè)浮標(biāo)的表面積為2π*0.15*0.6+4π*0.152=0.8478（m2）所以給1000個(gè)這樣的浮標(biāo)涂防水漆約需涂料0.8478*0.5*1000=423.9（kg)【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)其解決實(shí)際問題能力，對(duì)已學(xué)知識(shí)進(jìn)行鞏固，段煉其計(jì)算能力.例二：如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球與圓柱的體積之比。解：設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R，V球=4【設(shè)計(jì)意圖】段煉其發(fā)散思維，培養(yǎng)其解決實(shí)際問題能力。變式題1：內(nèi)接球問題設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a，a，a，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為()3πa2B.6πa2C.12π解：作出圖形的軸截面如圖所示，點(diǎn)O即為該球的球心，線段AB即為長方體底面的對(duì)角線，長度為＝a2+2a2=長度為a2+(5a)2總結(jié)：（1）.球與正方體的六個(gè)面都相切，稱球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，此時(shí)球的半徑為r1=(2).長方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，稱球?yàn)殚L方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，長方體的體對(duì)角線是球的直徑，若長方體過同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，過球心作長方體的對(duì)角線，則球的半徑為12【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)已學(xué)知識(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)，對(duì)學(xué)生新知掌握程度有所了解，培養(yǎng)學(xué)生理論與實(shí)際相結(jié)合的能力.變式題2：《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依恒內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問：積及為米幾何？”其意思是：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖所示，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆高5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知一斛米的體積約1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放米堆約有（）A14斛B22斛C36斛D66斛【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)已學(xué)知識(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)，了解數(shù)學(xué)史，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的