高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省邵陽市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為集合，則.故選：D.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】命題“”的否定是.故選：C.3.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由的圖象關(guān)于原點對稱，為奇函數(shù)，對于A，，排除A，對于C，非奇非偶，排除C，對于D，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，排除D．通過排除法，符合條件的只有B.故選：B.4.用弧度制表示與角的終邊相同的角的集合為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】用弧度制可表示為，所以與角的終邊相同的角構(gòu)成的集合為.故選：D．5.已知，“”是“”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性由“”得到“”，當(dāng)時，滿足，推不出來，故是不充分條件；又當(dāng)時，滿足，推不出來，故是不必要條件.所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.6.若對于任意實數(shù)x，不等式恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，則．依題意得：，對恒成立．顯然時，恒成立．當(dāng)時，．而在上單調(diào)遞減，∴時，即時，，∴．故選：A．7.牛頓冷卻定律描述物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體的初始溫度是，則經(jīng)過一定時間t分鐘后的溫度T滿足，其中h是常數(shù)，環(huán)境溫度是．若，現(xiàn)有一杯的熱水降至大約用時1分鐘，那么水溫從降至，大約還需要（）（參考數(shù)據(jù)：）A.11分鐘 B.10分鐘 C.9分鐘 D.8分鐘【答案】B【解析】由題意知，因為一杯的熱水降至大約用時1分鐘，∴，即；設(shè)水溫從降至，需要的時間為t分鐘，∴，即，∴，∴，∴水溫從降至，大約還需要10分鐘．故選：B．8.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，，當(dāng)時，都有設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可知，當(dāng)時，，由可得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增．又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，由函數(shù)圖象平移變化可知，函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，則．由于函數(shù)在單調(diào)遞增，即比較三個數(shù)的大小．，注意到，因為，所以，∴，∴．因為，所以，∴，∴，所以．∴，即．故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列結(jié)論不正確的是（）A.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則B.函數(shù)（且）的圖象必過定點C.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是D.函數(shù)的最小正周期是【答案】AC【解析】對A選項，設(shè)，則，得．∴，故A錯誤；對B選項，，故B正確；對C選項，，則，單調(diào)增區(qū)間為，故C錯誤；對D選項，的周期為，故D正確．故選：AC.10.下列選項正確的是（）A.若，則B.若．且，則C.D.【答案】ABD【解析】對選項A，分子分母同除以得，即，故A正確；對選項B，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故B正確；對選項C，，故C錯誤；對選項D，，故D正確．故選：ABD.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，則B.若在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，則或C.若在區(qū)間內(nèi)有零點，則D.若在區(qū)間內(nèi)有零點，則【答案】BD【解析】對A選項，B選項，在內(nèi)恰有一個解．當(dāng)時，顯然不是的解，當(dāng)時，可化為與，恰有一個交點．設(shè)與恰有一個交點，由圖知，或，∴或，故B正確，A錯；對C選項，D選項有零點在內(nèi)有解，與有交點，由圖得：，故D正確，C錯．故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則的取值范圍為________．【答案】【解析】因為，所以，所以，即的取值范圍為.13.求值：________．【答案】1【解析】．14.已知，若存在實數(shù)a（且），，當(dāng)時，都有，則實數(shù)b的取值范圍為__________.【答案】【解析】由，得（假設(shè)），設(shè)，由題意得存在a使在R上為增函數(shù)，故，故，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.化簡求值：（1）；（2）已知，求．解：（1）原式.（2）由題意得：，∴．故．∴，即.16.某藥物研究所發(fā)現(xiàn)，病人在服用某種藥物后，血液中藥物的含量（單位：）在0～6小時內(nèi)隨時間（單位：h）的變化曲線如圖所示．當(dāng)時，可選擇用函數(shù)來近似地刻畫隨變化的規(guī)律；當(dāng)時，可選擇用函數(shù)（a為常數(shù)）來近似地刻畫隨變化的規(guī)律．（1）當(dāng)時，求這段曲線的函數(shù)解析式；（2）如果該藥物在病人血液中的含量保持在以上時才有療效，問病人一次性服用該藥物，持續(xù)有療效時長約為多少小時？（參考數(shù)據(jù)：）解：（1）由題意知，當(dāng)時，函數(shù)過點，代入得．所求曲線的函數(shù)解析式為.（2）當(dāng)時，令，解得．當(dāng)時，令，兩邊同時取常用對數(shù)得：，∴，解得，∴．故病人一次性服用藥物，持續(xù)有療效時長約為3.50小時．17.已知函數(shù)的最小正周期是，將的圖象向右平移個單位后得到的圖象關(guān)于原點對稱．（1）求函數(shù)的圖象的對稱中心的坐標(biāo)和對稱軸的方程；（2）若，且，求的值．解：（1）∵函數(shù)的最小正周期是，∴，則．將的圖象向右平移個單位后得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)為，∵為奇函數(shù)，，即．∵，∴，∴，令，則；又令，則．∴的圖象的對稱中心的坐標(biāo)為，對稱軸的方程為．（2）若，則．而在上遞增，在上遞減，若且，則，可得，∴.18.已知函數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)．（1）求實數(shù)a的值；（2）判斷在R上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（3）若存在區(qū)間，使得函數(shù)在上的值域為，求實數(shù)t的取值范圍．解：（1）∵是定義在R上的奇函數(shù)，∴，解得．經(jīng)檢驗時，是奇函數(shù)．所以．（2）在R上單調(diào)遞增．證明如下：任取，且，則．由，及函數(shù)為增函數(shù)可得：，∴，得，∴在R上單調(diào)遞增．（3）由（2）的結(jié)論易知在上單調(diào)遞增．因為函數(shù)在上的值域為，所以，即關(guān)于x的方程有兩個不等實根．令，則關(guān)于k的方程有兩個大于1的不等實根.故函數(shù)與的圖象有兩個不同交點.作出函數(shù)的圖象，由圖可知，故實數(shù)t的取值范圍為．19.閱讀材料：某中學(xué)的數(shù)學(xué)小組在探究函數(shù)的性質(zhì)時，發(fā)現(xiàn)函數(shù)和，它們雖然都是增函數(shù)，但是圖象卻有很大的差異．通過觀察圖象和閱讀數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，該小組了解到了函數(shù)的凹凸性的概念：設(shè)連續(xù)函數(shù)的定義域為區(qū)間，如果，都有，則稱為區(qū)間上的凹函數(shù)；如果，都有，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù)．對于函數(shù)的凹凸性，通過查閱資料，小組成員又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若是區(qū)間I上的凹函數(shù)，則有不等式恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）；若是區(qū)間I上的凸函數(shù)，則有不等式恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）．小組成員詢問老師，得到了如下評注：在運用琴生不等式求含有多個變量的式子的最值問題時，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)．解決下面問題：（1）已知A，B，C分別為的三個內(nèi)角，直接寫出的最大值（不用寫出解題過程）；（2）判斷二次函數(shù)在R上的凹凸性，并說明理由：（3）若是一組實數(shù)，且（為定值），試求的最小值．解：（1），理由如下：由在上的圖像可知其為凸函數(shù)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號.（2）當(dāng)時，為凹函數(shù)；當(dāng)時，為凸函數(shù)．理由：任取，，當(dāng)時，，由條件得，為凹函數(shù)；當(dāng)時，，由條件得，為凸函數(shù).（3）由（2）知，時，為R上的凹函數(shù)，由題意構(gòu)造，則有：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．故的最小值為.湖南省邵陽市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為集合，則.故選：D.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】命題“”的否定是.故選：C.3.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由的圖象關(guān)于原點對稱，為奇函數(shù)，對于A，，排除A，對于C，非奇非偶，排除C，對于D，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，排除D．通過排除法，符合條件的只有B.故選：B.4.用弧度制表示與角的終邊相同的角的集合為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】用弧度制可表示為，所以與角的終邊相同的角構(gòu)成的集合為.故選：D．5.已知，“”是“”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性由“”得到“”，當(dāng)時，滿足，推不出來，故是不充分條件；又當(dāng)時，滿足，推不出來，故是不必要條件.所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.6.若對于任意實數(shù)x，不等式恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，則．依題意得：，對恒成立．顯然時，恒成立．當(dāng)時，．而在上單調(diào)遞減，∴時，即時，，∴．故選：A．7.牛頓冷卻定律描述物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體的初始溫度是，則經(jīng)過一定時間t分鐘后的溫度T滿足，其中h是常數(shù)，環(huán)境溫度是．若，現(xiàn)有一杯的熱水降至大約用時1分鐘，那么水溫從降至，大約還需要（）（參考數(shù)據(jù)：）A.11分鐘 B.10分鐘 C.9分鐘 D.8分鐘【答案】B【解析】由題意知，因為一杯的熱水降至大約用時1分鐘，∴，即；設(shè)水溫從降至，需要的時間為t分鐘，∴，即，∴，∴，∴水溫從降至，大約還需要10分鐘．故選：B．8.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，，當(dāng)時，都有設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可知，當(dāng)時，，由可得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增．又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，由函數(shù)圖象平移變化可知，函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，則．由于函數(shù)在單調(diào)遞增，即比較三個數(shù)的大?。?，注意到，因為，所以，∴，∴．因為，所以，∴，∴，所以．∴，即．故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列結(jié)論不正確的是（）A.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則B.函數(shù)（且）的圖象必過定點C.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是D.函數(shù)的最小正周期是【答案】AC【解析】對A選項，設(shè)，則，得．∴，故A錯誤；對B選項，，故B正確；對C選項，，則，單調(diào)增區(qū)間為，故C錯誤；對D選項，的周期為，故D正確．故選：AC.10.下列選項正確的是（）A.若，則B.若．且，則C.D.【答案】ABD【解析】對選項A，分子分母同除以得，即，故A正確；對選項B，∵，∴，∴，∵，∴，∴．故B正確；對選項C，，故C錯誤；對選項D，，故D正確．故選：ABD.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，則B.若在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，則或C.若在區(qū)間內(nèi)有零點，則D.若在區(qū)間內(nèi)有零點，則【答案】BD【解析】對A選項，B選項，在內(nèi)恰有一個解．當(dāng)時，顯然不是的解，當(dāng)時，可化為與，恰有一個交點．設(shè)與恰有一個交點，由圖知，或，∴或，故B正確，A錯；對C選項，D選項有零點在內(nèi)有解，與有交點，由圖得：，故D正確，C錯．故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則的取值范圍為________．【答案】【解析】因為，所以，所以，即的取值范圍為.13.求值：________．【答案】1【解析】．14.已知，若存在實數(shù)a（且），，當(dāng)時，都有，則實數(shù)b的取值范圍為__________.【答案】【解析】由，得（假設(shè)），設(shè)，由題意得存在a使在R上為增函數(shù)，故，故，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.化簡求值：（1）；（2）已知，求．解：（1）原式.（2）由題意得：，∴．故．∴，即.16.某藥物研究所發(fā)現(xiàn)，病人在服用某種藥物后，血液中藥物的含量（單位：）在0～6小時內(nèi)隨時間（單位：h）的變化曲線如圖所示．當(dāng)時，可選擇用函數(shù)來近似地刻畫隨變化的規(guī)律；當(dāng)時，可選擇用函數(shù)（a為常數(shù)）來近似地刻畫隨變化的規(guī)律．（1）當(dāng)時，求這段曲線的函數(shù)解析式；（2）如果該藥物在病人血液中的含量保持在以上時才有療效，問病人一次性服用該藥物，持續(xù)有療效時長約為多少小時？（參考數(shù)據(jù)：）解：（1）由題意知，當(dāng)時，函數(shù)過點，代入得．所求曲線的函數(shù)解析式為.（2）當(dāng)時，令，解得．當(dāng)時，令，兩邊同時取常用對數(shù)得：，∴，解得，∴．故病人一次性服用藥物，持續(xù)有療效時長約為3.50小時．17.已知函數(shù)的最小正周期是，將的圖象向右平移個單位后得到的圖象關(guān)于原點對稱．（1）求函數(shù)的圖象的對稱中心的坐標(biāo)和對稱軸的方程；（2）若，且，求的值．解：（1）∵函數(shù)的最小正周期是，∴，則．將的圖象向右平移個單位后得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)為，∵為奇函數(shù)，，即．∵，∴，∴，令，則；又令，則．∴的圖象的對稱中心的坐標(biāo)為，對稱軸的方程為．（2）若，則．而在上遞增，在上遞減，若且，則，可得，∴.18.已知函數(shù)，是定義在R上的奇函數(shù)．（1）求實數(shù)a的值；（2）判斷在R上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（3）若存在區(qū)間，使得函數(shù)在上的值域為，求實數(shù)t的取值范圍．解：（1）∵是定義在R上的奇函數(shù)，∴，解得．經(jīng)檢驗時，是奇函數(shù)．所以．（2）在R上單調(diào)遞增．證明如下：任取，且，則．由，及函數(shù)為增函數(shù)可得：，∴，得，∴在R上單調(diào)