高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省邵陽市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期拔尖創(chuàng)新班第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以.故選：D.2.某校高一年級有1200名學(xué)生，其中男生700名．按男女比例用分層隨機(jī)抽樣的方法，從該年級學(xué)生中抽取一個容量為72的樣本，則應(yīng)抽取的女生人數(shù)是（）A.20 B.30 C.40 D.50【答案】B【解析】設(shè)應(yīng)抽取的女生人數(shù)是，所以，計算得.故選：B.3.數(shù)據(jù)53，62，78，67，98，32，42，12，90的第三四分位數(shù)是（）A.67 B.42 C.62 D.78【答案】D【解析】這組數(shù)據(jù)共9個數(shù)，從小到大排列是12，32，42，53，62，67，78，90，98，，所以第三四分位數(shù)是第7個數(shù)，即.故選：D.4.已知向量，的夾角為，且，則向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，即，所以，向量在向量上的投影向量是.故選：B.5.已知集合，．若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，，①當(dāng)時，，滿足，符合題意；②當(dāng)時，，即得，此時，由，則或，解得；綜上所述，所求即為.故選：D.6.若，，則下列能成為“的最小值為16”的充要條件是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，，又的最小值為16，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即取到最小值16．所以，即．若，顯然的最小值為16．故選：A．7.已知平面向量，，，滿足，且，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，設(shè)，則，即，解得，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．設(shè)，，，則，，，，，因為，所以，則，所以的最大值為．故選：C．8.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，且，有成立．設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不妨令，則由得：，，設(shè)，在上單調(diào)遞減，，又為奇函數(shù)，，，，又，，即故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知兩條不同的直線a，b，三個不同的平面，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】BC【解析】若，，此時有可能在平面內(nèi)，并不一定，所以A選項錯誤.因為，，根據(jù)一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也垂直于另一個平面，可得.又因為，垂直于同一個平面的兩條直線平行，所以，B選項正確.設(shè)，，在平面內(nèi)作直線，因為，則.在平面內(nèi)作直線，因為，則.那么，，，所以.又，，所以，從而，C選項正確.僅由，，，無法得出，與可能平行，也可能相交，所以D選項錯誤.故選：BC.10.某飲料廠商開發(fā)了一種新的飲料，為了促銷，每箱裝的6瓶飲料中有2瓶瓶蓋上分別印有“一等獎”，“二等獎”，其余4瓶印有“謝謝惠顧”．甲從新開的一箱中任選2瓶購買，設(shè)事件A表示“甲沒有中獎”，事件B表示“甲獲得一等獎”，事件C表示“甲中獎”，則（）A.事件A和事件B是對立事件 B.事件A和事件C是對立事件C. D.【答案】BC【解析】因為表示“甲沒有中獎或甲獲得一等獎”，但甲可能獲得二等獎，即事件A和事件B不是對立事件，A錯誤．事件A表示“甲沒有中獎”，事件C表示“甲中獎”，則事件A和事件C是互斥且和事件為全集，事件A和事件C是對立事件，B正確．又因為，所以，C選項正確．，D選項錯誤．故選：BC．11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線為函數(shù)的圖象的一條對稱軸B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.，【答案】ABD【解析】對于A，因為，所以，故A對；對于B，又易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，故B對；對于C，易知，，不能滿足，故C錯；對于D，易知，計算可得，，結(jié)合B選項的單調(diào)性可得，使得，故D對．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若數(shù)據(jù)，，…，的方差為3，則數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為__________．【答案】【解析】因為數(shù)據(jù)，，…，的方差為3，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為，則數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為.13.已知函數(shù)若關(guān)于的方程有4個不相等的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【解析】，設(shè)，，則的圖象如圖所示：當(dāng)時，顯然不成立；當(dāng)時，有一個解，設(shè)為，由圖可知，當(dāng)時，顯然無四個解，不成立．當(dāng)時，有三解，設(shè)為，由圖可知．無解，有三解，有一解，故滿足題意．當(dāng)或時，顯然不滿足題意．綜上所得，實數(shù)的取值范圍為：.14.已知正四面體的四個頂點在球的球面上，，Q為BC的中點，則過點的平面截球所得截面圓的面積的取值范圍是__________．【答案】【解析】已知正方體的外接球與正四面體的外接球相同，且正方體體對角線的中點為球心.設(shè)正四面體的棱長為.設(shè)外接球半徑為，正四面體體積公式.正四面體的外接球半徑與棱長的關(guān)系為，已知.那么，所以，代入可得.根據(jù)圓的面積公式（對于球的截面圓，當(dāng)截面過球心時，截面圓半徑等于球的半徑），所以最大截面為過球心的圓，其面積.這是因為過球心的截面圓是球的大圓，此時圓的半徑就是球的半徑，所以面積最大.因為為的中點，由正方體結(jié)構(gòu)特征可得.設(shè)截面圓半徑為，球的半徑為，球心到截面的距離為（這里，），根據(jù)球的截面性質(zhì)（在由球心、截面圓心和球面上一點構(gòu)成的直角三角形中，球的半徑為斜邊，球心到截面的距離和截面圓半徑為兩直角邊，滿足勾股定理），則.再根據(jù)圓的面積公式，可得最小截面圓面積.這是因為當(dāng)與截面圓垂直時，球心到截面的距離達(dá)到最大，此時截面圓半徑最小，所以截面圓面積最小.由前面求出的最大截面圓面積和最小截面圓面積，可知過點的平面截球所得截面圓的面積的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某校高一（三）班數(shù)學(xué)研究小組隨機(jī)抽取100名同學(xué)，獲得了他們一周課外鍛煉時長（單位：小時）的數(shù)據(jù)，并整理得到相應(yīng)的頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖，如表（一），圖（一）所示.結(jié)合以上信息，回答下列問題：（1）求a，b值；（2）假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組對應(yīng)區(qū)間的中點值代替，試估計樣本中的100名同學(xué)該周課外鍛煉時長的平均數(shù)；（3）試估計樣本中的100名同學(xué)該周課外鍛煉時長的中位數(shù)．（保留三位有效數(shù)字）解：（1）由表（一）可知：，解得；位于區(qū)間的頻數(shù)為，則頻率為，所以.（2）樣本中的100名同學(xué)該周課外鍛煉時長的平均數(shù)為：．（3）設(shè)樣本中的100名同學(xué)該周課外鍛煉時長的中位數(shù)為，由表（一）可知，位于區(qū)間的頻率為，位于區(qū)間的頻率為，所以中位數(shù)位于區(qū)間，所以，．因此，估計樣本中的100名同學(xué)該周課外鍛煉時長的中位數(shù)為.16.已知函數(shù)，．（1）若，求方程的解；（2），不等式對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1），設(shè)，，，方程可化為：，解得：或，或.（2）當(dāng)時，，；由（1）知：可化為，當(dāng)時，，在上恒成立，即在上恒成立，當(dāng)時，，，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.17.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求角B；（2）若的角平分線交AC于點D，，，求BD；（3）若的外接圓的半徑為，求的取值范圍．解：（1）因為，可得，由正弦定理得，則，且，所以．（2）由題意可知：，因為，則，即，可得．（3）由正弦定理可得，則，可得，又因為，則，可得，即，所以的取值范圍為.18.每年的10月1日是國慶節(jié)，為慶祝該節(jié)日，某學(xué)校舉辦了“知識競賽”．競賽共分兩輪，即每位參賽選手均須參加兩輪比賽，已知在第一輪比賽中，選手甲，乙勝出的概率分別為，；在第二輪比賽中，選手甲，乙勝出的概率分別為p，q．假設(shè)甲，乙兩人在每輪比賽中是否勝出互不影響．（1）若，求乙恰好有一輪勝出的概率；（2）若甲，乙各有一輪勝出的概率為，甲，乙兩輪都勝出的概率為．①求p，q的值；②求甲，乙兩人至少有一人兩輪都勝出的概率．解：（1）設(shè)事件“第一輪比賽中甲勝出”，事件“第二輪比賽中甲勝出”，設(shè)事件“第一輪比賽中乙勝出”，事件“第二輪比賽中乙勝出”，由題意得，，，相互獨立，且，，，．記事件“乙恰好有一輪勝出”，則，又互斥，所以，當(dāng)時，.因此，當(dāng)時，乙恰好有一輪勝出的概率為.（2）①事件“甲，乙各有一輪勝出”，事件“甲，乙兩輪都勝出”，則，，則，解得，．②事件“甲兩輪都勝出”，事件“乙兩輪都勝出”，事件“甲，乙兩人至少有一人兩輪都勝出”，，，19.已知在平面四邊形中，，，．將沿BD翻折至，，點在線段BD上，且，．（1）求證：面；（2）求三棱錐外接球半徑；（3）求直線CF與平面所成角正弦值的取值范圍．解：（1），，是等邊三角形．又，，即，．，，由勾股定理得，．又BC，面，，面．（2）過等邊三角形的外心作直線面，設(shè)球心，連接OA，OB，過點作，交AB于．設(shè)球的半徑為R，，則，，解得．（3）由（1）得，面，，而在中，，得，，由題意，所以，所以，設(shè)到面的距離為，則，，，得．在中，由余弦定理，得．設(shè)CF與平面所成角為，則，，，．湖南省邵陽市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期拔尖創(chuàng)新班第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以.故選：D.2.某校高一年級有1200名學(xué)生，其中男生700名．按男女比例用分層隨機(jī)抽樣的方法，從該年級學(xué)生中抽取一個容量為72的樣本，則應(yīng)抽取的女生人數(shù)是（）A.20 B.30 C.40 D.50【答案】B【解析】設(shè)應(yīng)抽取的女生人數(shù)是，所以，計算得.故選：B.3.數(shù)據(jù)53，62，78，67，98，32，42，12，90的第三四分位數(shù)是（）A.67 B.42 C.62 D.78【答案】D【解析】這組數(shù)據(jù)共9個數(shù)，從小到大排列是12，32，42，53，62，67，78，90，98，，所以第三四分位數(shù)是第7個數(shù)，即.故選：D.4.已知向量，的夾角為，且，則向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，即，所以，向量在向量上的投影向量是.故選：B.5.已知集合，．若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，，①當(dāng)時，，滿足，符合題意；②當(dāng)時，，即得，此時，由，則或，解得；綜上所述，所求即為.故選：D.6.若，，則下列能成為“的最小值為16”的充要條件是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，，又的最小值為16，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即取到最小值16．所以，即．若，顯然的最小值為16．故選：A．7.已知平面向量，，，滿足，且，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，設(shè)，則，即，解得，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．設(shè)，，，則，，，，，因為，所以，則，所以的最大值為．故選：C．8.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，且，有成立．設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】不妨令，則由得：，，設(shè)，在上單調(diào)遞減，，又為奇函數(shù)，，，，又，，即故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知兩條不同的直線a，b，三個不同的平面，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則【答案】BC【解析】若，，此時有可能在平面內(nèi)，并不一定，所以A選項錯誤.因為，，根據(jù)一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也垂直于另一個平面，可得.又因為，垂直于同一個平面的兩條直線平行，所以，B選項正確.設(shè)，，在平面內(nèi)作直線，因為，則.在平面內(nèi)作直線，因為，則.那么，，，所以.又，，所以，從而，C選項正確.僅由，，，無法得出，與可能平行，也可能相交，所以D選項錯誤.故選：BC.10.某飲料廠商開發(fā)了一種新的飲料，為了促銷，每箱裝的6瓶飲料中有2瓶瓶蓋上分別印有“一等獎”，“二等獎”，其余4瓶印有“謝謝惠顧”．甲從新開的一箱中任選2瓶購買，設(shè)事件A表示“甲沒有中獎”，事件B表示“甲獲得一等獎”，事件C表示“甲中獎”，則（）A.事件A和事件B是對立事件 B.事件A和事件C是對立事件C. D.【答案】BC【解析】因為表示“甲沒有中獎或甲獲得一等獎”，但甲可能獲得二等獎，即事件A和事件B不是對立事件，A錯誤．事件A表示“甲沒有中獎”，事件C表示“甲中獎”，則事件A和事件C是互斥且和事件為全集，事件A和事件C是對立事件，B正確．又因為，所以，C選項正確．，D選項錯誤．故選：BC．11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線為函數(shù)的圖象的一條對稱軸B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.，【答案】ABD【解析】對于A，因為，所以，故A對；對于B，又易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞增，故B對；對于C，易知，，不能滿足，故C錯；對于D，易知，計算可得，，結(jié)合B選項的單調(diào)性可得，使得，故D對．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若數(shù)據(jù)，，…，的方差為3，則數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為__________．【答案】【解析】因為數(shù)據(jù)，，…，的方差為3，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為，則數(shù)據(jù)，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差為.13.已知函數(shù)若關(guān)于的方程有4個不相等的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【解析】，設(shè)，，則的圖象如圖所示：當(dāng)時，顯然不成立；當(dāng)時，有一個解，設(shè)為，由圖可知，當(dāng)時，顯然無四個解，不成立．當(dāng)時，有三解，設(shè)為，由圖可知．無解，有三解，有一解，故滿足題意．當(dāng)或時，顯然不滿足題意．綜上所得，實數(shù)的取值范圍為：.14.已知正四面體的四個頂點在球的球面上，，Q為BC的中點，則過點的平面截球所得截面圓的面積的取值范圍是__________．【答案】【解析】已知正方體的外接球與正四面體的外接球相同，且正方體體對角線的中點為球心.設(shè)正四面體的棱長為.設(shè)外接球半徑為，正四面體體積公式.正四面體的外接球半徑與棱長的關(guān)系為，已知.那么，所以，代入可得.根據(jù)圓的面積公式（對于球的截面圓，當(dāng)截面過球心時，截面圓半徑等于球的半徑），所以最大截面為過球心的圓，其面積.這是因為過球心的截面圓是球的大圓，此時圓的半徑就是球的半徑，所以面積最大.因為為的中點，由正方體結(jié)構(gòu)特征可得.設(shè)截面圓半徑為，球的半徑為，球心到截面的距離為（這里，），根據(jù)球的截面性質(zhì)（在由球心、截面圓心和球面上一點構(gòu)成的直角三角形中，球的半徑為斜邊，球心到截面的距離和截面圓半徑為兩直角邊，滿足勾股定理），則.再根據(jù)圓的面積公式，可得最小截面圓面積.這是因為當(dāng)與截面圓垂直時，球心到截面的距離達(dá)到最大，此時截面圓半徑最小，所以截面圓面積最小.由前面求出的最大截面圓面積和最小截面圓面積，可知過點的平面截球所得截面圓的面積的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.某校高一（三）班數(shù)學(xué)研究小組隨機(jī)抽取100名同學(xué)，獲得了他們一周課外鍛煉時長（單位：小時）的數(shù)據(jù)，并整理得到相應(yīng)的頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖，如表（一），圖（一）所示.結(jié)合以上信息，回答下列問題：（1）求a，b值；（2）假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組對應(yīng)區(qū)間的中點值代替，試估計樣本中的100名同學(xué)該周課外鍛煉時長的平均數(shù)；（3）試估計樣本中的100名同學(xué)該周課外鍛煉時長的中位數(shù)．（保留三位有效數(shù)字）解：（1）由表（一）可知：，解得；位于區(qū)間的頻數(shù)為，則頻率為，所以.（2）樣本中的100名同學(xué)該周課外鍛煉時長的平均數(shù)為：．（3）設(shè)樣本中的100名同學(xué)該周課外鍛煉時長的中位數(shù)為，由表（一）可知，位于區(qū)間的頻率為，位于區(qū)間的頻率為，所以中位數(shù)位于區(qū)間，所以，．因此，估計樣本中的100名同學(xué)該周課外鍛煉時長的中位數(shù)為.16.已知函數(shù)，．（1）若，求方程的解；（2），不等式對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1），設(shè)，，，方程可化為：，解得：或，或.（2）當(dāng)時，，；由（1）知：可化為，當(dāng)時，，在上恒成立，即在上恒成立，當(dāng)時，，，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.17.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求角B；（2）若的角平