高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省岳陽市2024-2025學年高一上學期期末數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意，所以．故選：A．2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】將命題的量詞改變，并否定結論即得：命題“，”的否定是“，”.故選：A.3.的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C.4.已知，，則“關于的不等式有解”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若關于的不等式有解，當時，關于的不等式一定有解，此時無法確定判別式是否大于零，當時，則，則關于的不等式有解不能推出，若，當時，關于的不等式一定有解，當時，關于的不等式有解，所以能推出關于的不等式有解，所以“關于的不等式有解”是“”的必要不充分條件.故選：B.5.若如圖是函數（且，）的大致圖象，則函數的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由函數的圖象知，則，所以函數為增函數，且函數的圖象是由函數向上平大于零小于個單位，所以函數的大致圖象是C選項.故選：C.6.下列函數中，不能用二分法求其零點近似值的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于A，函數上單調遞增，有唯一零點，所以函數值在零點兩側異號，故可用二分法求零點；對于B，函數，故函數有唯一零點，且函數值在零點兩側同號，故不能用二分法求零點；對于C，當時，，當且僅當時，等號成立，無零點；當時，，當且僅當時，等號成立，函數在上單調遞減，在上單調遞增，此時有兩個零點，且函數值在零點兩側異號，故可用二分法求零點；對于D，函數在上單調遞增，有唯一零點，所以函數值在零點兩側異號，故可用二分法求零點.故選：B.7.玻璃的透光性是玻璃的一項重要的性能指標．某玻璃廠在進行產品的性能測試時，發(fā)現光線通過一塊玻璃，強度要損失10%．設光線原來的強度為k，通過x塊這樣的玻璃以后，光線強度為，要使光線削弱為原來的，至少需要通過幾塊這樣的玻璃？（已知，）（）A.13 B.14 C.15 D.16【答案】D【解析】由題意，設通過x塊這樣的玻璃以后，光線削弱為原來的，則易得：，即，兩邊取對數，可得，故至少需要通過16塊這樣的玻璃.故選：D.8.已知是R上的減函數，則實數a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，需使①；在上恒成立②；③；④.同時滿足，由②可得；由③可得；由④可得.綜上可得：實數a的取值范圍為.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，，則（）A.函數的最小正周期為B.函數的圖象關于點成中心對稱圖形C.函數的最大值為2D.函數的單調遞減區(qū)間為【答案】ACD【解析】對于A，函數的最小正周期為，故A正確；對于B，，所以函數的圖象不關于點成中心對稱圖形，故B錯誤；對于C，因為，所以，所以函數的最大值為2，故C正確；對于D，令，解得，故D正確.故選：ACD.10.已知實數a，b，c，m，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，，則C.若關于x的不等式的解集為，則關于x的不等式的解集為D.若，且，則的最小值為【答案】AB【解析】對于A，由可知，故可得，即A正確；對于B，由，因，，可得，故有，即B正確；對于C，依題意，是方程的兩根，且，則得，解得，于是不等式即，解得或，故其解集為，故C錯誤；對于D，由，且可得或，解得或，因，故，則，當且僅當時等號成立，但當時，不滿足，故等號不成立，即的最小值不是，故D錯誤.故選：AB.11.函數的定義域為，為奇函數，為偶函數，當時，，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】由為奇函數，得，即，由偶函數，得，則，，于是，因此函數是偶函數，且當時，單調遞減，對于A，，則，A正確；對于B，，則，B正確；對于C，，C正確；對于D，，，則，，即，D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數（且）的圖象過定點______．【答案】【解析】當時，，則其所過定點為.13.已知分別是方程與的實數解，則的值為______．【答案】10【解析】由可得，由可得，不妨記，依題意，為與的交點的橫坐標，為與的交點的橫坐標，作出這些函數的圖象如下：因函數與是一對反函數，圖象關于直線對稱，而直線與直線垂直，故也關于直線對稱，則點與點也關于直線對稱，故得，化簡得：，即.14.已知函數，，則函數的值域為______．【答案】【解析】因，，，則由，解得：，即函數的定義域為，設，則，且在上單調遞增，故當時，即時，；當，即時，，因，故函數的值域為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數，，滿足，．（1）求函數的解析式；（2）判斷函數的奇偶性，并用定義證明．解：（1）因為，，所以，得，，所以.（2）因的定義域為，關于原點對稱，又，所以為奇函數．16.如圖，在平面直角坐標系中，角的始邊與x軸的非負半軸重合，將角的終邊按逆時針方向旋轉，恰好與單位圓O相交于點，過A作x軸的垂線，垂足為B．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）由題意得角的終邊與單位圓O相交于，所以．（2）因角的終邊與單位圓O相交于，故，則．17.春節(jié)期間，“旅游潮”、“探親潮”將為交通帶來巨大壓力．已知某火車站候車廳，候車人數與時刻t有關，時刻t滿足，．經觀察，當時，候車人數達到滿廳人數5000人，當時，候車人數相對于滿廳人數減少，減少人數與成正比．已知時，候車人數為3800人，記候車廳候車人數為．（1）求的表達式；（2）鐵路系統(tǒng)為了體現“人性化”管理，每逢整點時，會給旅客提供免費面包，數量為，求t為何值時，需要提供的免費面包數量最少．解：（1）依題意，當時，設，因，解得，，.（2）當，，當且僅當時等號成立；當時，在上為減函數，故得.又，所以當時，需要提供的面包數量最少．18.已知函數的部分圖象如圖所示.（1）求函數的解析式；（2）將圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到函數的圖象，若對于任意的，當時，恒成立，求實數的最大值.解：（1）由圖象可知，周期，，因為點在函數圖象上，所以，即，又，，則，即，因為點在函數圖象上，所以，即，故函數的解析式為.（2）由題意可得，設，當時，恒成立，即恒成立，即恒成立，在區(qū)間上單調遞減，令，解得，因為，所以，則，故，解得，所以最大值為.19.若函數滿足：對于任意正數m，n，都有，，且，則稱函數為“速增函數”．（1）試判斷函數與是否為“速增函數”；（2）若函數為“速增函數”，求a的取值范圍；（3）若函數為“速增函數”，且，求證：對任意，都有．解：（1）對于函數，當，時，有f1m=m>0，f因為，所以，故根據“速增函數”的定義可得：不是“速增函數”．對于函數，當時，有f2m故根據“速增函數”的定義可得：不是“速增函數”．（2）因為是“速增函數”，根據“速增函數”的定義可得：當時，gn=2n當，時，恒成立②．由①可得：對一切正數n恒成立又因為當時，，所以對一切正數n恒成立，故得．由②可得：gn+m即對一切正數n，m恒成立．因為，所以，又因為當，時，，所以，由對一切正數n，m恒成立，可得，即．綜上可知，a的取值范圍是．（3）由函數為“速增函數”，可知對于任意正數m，n，都有，，且，令，可知f2m>2fm，即故對于正整數k與正數m，都有f2對任意，可得，又，所以fx同理，故．湖南省岳陽市2024-2025學年高一上學期期末數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項、是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意，所以．故選：A．2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】將命題的量詞改變，并否定結論即得：命題“，”的否定是“，”.故選：A.3.的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C.4.已知，，則“關于的不等式有解”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若關于的不等式有解，當時，關于的不等式一定有解，此時無法確定判別式是否大于零，當時，則，則關于的不等式有解不能推出，若，當時，關于的不等式一定有解，當時，關于的不等式有解，所以能推出關于的不等式有解，所以“關于的不等式有解”是“”的必要不充分條件.故選：B.5.若如圖是函數（且，）的大致圖象，則函數的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由函數的圖象知，則，所以函數為增函數，且函數的圖象是由函數向上平大于零小于個單位，所以函數的大致圖象是C選項.故選：C.6.下列函數中，不能用二分法求其零點近似值的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于A，函數上單調遞增，有唯一零點，所以函數值在零點兩側異號，故可用二分法求零點；對于B，函數，故函數有唯一零點，且函數值在零點兩側同號，故不能用二分法求零點；對于C，當時，，當且僅當時，等號成立，無零點；當時，，當且僅當時，等號成立，函數在上單調遞減，在上單調遞增，此時有兩個零點，且函數值在零點兩側異號，故可用二分法求零點；對于D，函數在上單調遞增，有唯一零點，所以函數值在零點兩側異號，故可用二分法求零點.故選：B.7.玻璃的透光性是玻璃的一項重要的性能指標．某玻璃廠在進行產品的性能測試時，發(fā)現光線通過一塊玻璃，強度要損失10%．設光線原來的強度為k，通過x塊這樣的玻璃以后，光線強度為，要使光線削弱為原來的，至少需要通過幾塊這樣的玻璃？（已知，）（）A.13 B.14 C.15 D.16【答案】D【解析】由題意，設通過x塊這樣的玻璃以后，光線削弱為原來的，則易得：，即，兩邊取對數，可得，故至少需要通過16塊這樣的玻璃.故選：D.8.已知是R上的減函數，則實數a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，需使①；在上恒成立②；③；④.同時滿足，由②可得；由③可得；由④可得.綜上可得：實數a的取值范圍為.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數，，則（）A.函數的最小正周期為B.函數的圖象關于點成中心對稱圖形C.函數的最大值為2D.函數的單調遞減區(qū)間為【答案】ACD【解析】對于A，函數的最小正周期為，故A正確；對于B，，所以函數的圖象不關于點成中心對稱圖形，故B錯誤；對于C，因為，所以，所以函數的最大值為2，故C正確；對于D，令，解得，故D正確.故選：ACD.10.已知實數a，b，c，m，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，，則C.若關于x的不等式的解集為，則關于x的不等式的解集為D.若，且，則的最小值為【答案】AB【解析】對于A，由可知，故可得，即A正確；對于B，由，因，，可得，故有，即B正確；對于C，依題意，是方程的兩根，且，則得，解得，于是不等式即，解得或，故其解集為，故C錯誤；對于D，由，且可得或，解得或，因，故，則，當且僅當時等號成立，但當時，不滿足，故等號不成立，即的最小值不是，故D錯誤.故選：AB.11.函數的定義域為，為奇函數，為偶函數，當時，，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】由為奇函數，得，即，由偶函數，得，則，，于是，因此函數是偶函數，且當時，單調遞減，對于A，，則，A正確；對于B，，則，B正確；對于C，，C正確；對于D，，，則，，即，D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數（且）的圖象過定點______．【答案】【解析】當時，，則其所過定點為.13.已知分別是方程與的實數解，則的值為______．【答案】10【解析】由可得，由可得，不妨記，依題意，為與的交點的橫坐標，為與的交點的橫坐標，作出這些函數的圖象如下：因函數與是一對反函數，圖象關于直線對稱，而直線與直線垂直，故也關于直線對稱，則點與點也關于直線對稱，故得，化簡得：，即.14.已知函數，，則函數的值域為______．【答案】【解析】因，，，則由，解得：，即函數的定義域為，設，則，且在上單調遞增，故當時，即時，；當，即時，，因，故函數的值域為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數，，滿足，．（1）求函數的解析式；（2）判斷函數的奇偶性，并用定義證明．解：（1）因為，，所以，得，，所以.（2）因的定義域為，關于原點對稱，又，所以為奇函數．16.如圖，在平面直角坐標系中，角的始邊與x軸的非負半軸重合，將角的終邊按逆時針方向旋轉，恰好與單位圓O相交于點，過A作x軸的垂線，垂足為B．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）由題意得角的終邊與單位圓O相交于，所以．（2）因角的終邊與單位圓O相交于，故，則．17.春節(jié)期間，“旅游潮”、“探親潮”將為交通帶來巨大壓力．已知某火車站候車廳，候車人數與時刻t有關，時刻t滿足，．經觀察，當時，候車人數達到滿廳人數5000人，當時，候車人數相對于滿廳人數減少，減少人數與成正比．已知時，候車人數為3800人，記候車廳候車人數為．（1）求的表達式；（2）鐵路系統(tǒng)為了體現“人性化”管理，每逢整點時，會給旅客提供免費面包，數量為，求t為何值時，需要提供的免費面包數量最少．解：（1）依題意，當時，設，因，解得，，.（2）當，，當且僅當時等號成立；當時