數(shù)學試題

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合要求的．

1.下列實數(shù)中，最小的數(shù)是（）

A.1B.0C.2D.2

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查比較實數(shù)的大小，首先確定各數(shù)的正負性，再按負數(shù)小于0小于正數(shù)的順序比較大小即

可．

【詳解】解：∵1022，

∴最小的數(shù)為1；

故選：A

2.中國古算詩詞歌賦較多．古算詩詞題，是反映數(shù)學數(shù)量關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律的一種文學浪漫形式．下

列分別是古算詩詞題“圓中方形”“方形圓徑”“圓材藏壁”“勾股容圓”所描繪的圖形，其中既不是軸

對稱圖形也不是中心對稱圖形的是（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了軸對稱圖形，中心對稱圖形的識別．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：在平面內(nèi)，一個圖形

沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對稱圖形；在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個

點旋轉(zhuǎn)180度，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形．根據(jù)中心對稱

和軸對稱的定義，進行判斷即可．

【詳解】解：A、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，不符合題意；

B、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，不符合題意；

C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

D、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，符合題意；

故選D．

1

3.若x1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的值可以是（）

A.2B.1C.0D.2

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了二次根式有意義的條件．根據(jù)二次根式有意義的條件，被開方數(shù)必須非負，即x10，

解不等式即可確定x的取值范圍，進而選出正確選項．

【詳解】解：要使x1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，

需滿足被開方數(shù)x10，

解得x1．

∴x2符合．

故選：D．

4.福建博物院收藏著一件“鎮(zhèn)館之寶”——云紋青銅大繞，如圖1．云紋青銅大繞是西周樂器，鼓飾變形

獸面紋，兩側(cè)飾云雷紋，渾大厚重，作風穩(wěn)重古樸，代表了福建古代青銅文化曾經(jīng)的歷史和輝煌．圖2為

其示意圖，它的主視圖是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了幾何體的三視圖，從前面看到的圖形是主視圖，從上面看到的圖形是俯視圖，從左邊

看到的圖形是左視圖．根據(jù)主視圖是從前面看到的圖形解答即可．

【詳解】解；A是該幾何體的主視圖，B，C，D不是該幾何體的三視圖．

故選A．

1

5.不等式x12的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）

2

A.B.

2

C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查求不等式的解集，在數(shù)軸上表示解集，先求出不等式的解集，定邊界，定方向，表示出

不等式的解集即可．

1

【詳解】解：x12，

2

1

x21，

2

1

x1，

2

∴x2；

在數(shù)軸上表示如圖：

故選C．

6.在分別寫有1，1，2的三張卡片中，不放回地隨機抽取兩張，這兩張卡片上的數(shù)恰好互為相反數(shù)的概

率是（）

1112

A.B.C.D.

4323

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查列表法求概率，列出表格，利用概率公式進行計算即可．

【詳解】解：由題意，列表如下：

112

11,11,2

11,11,2

22,12,1

3

共有6種等可能的結(jié)果，其中兩張卡片上的數(shù)恰好互為相反數(shù)的情況有1,1，1,1兩種，

21

∴P；

63

故選：B．

7.某數(shù)學興趣小組為探究平行線的有關(guān)性質(zhì)，用一副三角尺按如圖所示的方式擺放，其中點A，E，C，F(xiàn)

在同一條直線上，BACEDF90,B45,DEF60．當AD∥BC時，ADE的大小為

（）

A.5B.15C.25D.35

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到DAEBCA45，

再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，進行求解即可．熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．

【詳解】解：∵BAC90,B45，

∴ACB45，

∵AD∥BC，

∴DAEACB45，

∵DEFDAEADE60，

∴ADE15；

故選：B．

8.為加強勞動教育，增加學生實踐機會，某校擬用總長為5米的籬笆，在兩邊都足夠長的直角圍墻的一角，

圍出一塊6平方米的矩形菜地作為實踐基地，如圖所示．設(shè)矩形的一邊長為x米，根據(jù)題意可列方程（）

2

A.5x26B.51x6C.x(5x)6D.5(1x)26

4

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用，先用x表示出矩形的另一條邊長，利用矩形的面積公式，列

出方程即可．

【詳解】解：設(shè)設(shè)矩形的一邊長為x米，則另一邊長為5x米，由題意，得：

x(5x)6；

故選：C．

9.如圖，PA與O相切于點A，PO的延長線交O于點C．AB∥PC，且交O于點B．若P30，

則BCP的大小為（）

A.30B.45C.60D.75

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，連接OA，OB，切線得到OAAP，求出

POA903060，平行，得到POAOAB60，進而得到VAOB為等邊三角形，推出

BOC為等邊三角形，即可得出結(jié)果．

【詳解】連接OA，OB，則：OAOBOC，

∵PA與O相切于點A，

∴OAAP，

∵P30，

∴POA903060，

5

∵AB∥PC，

∴POAOAB60，

∴VAOB為等邊三角形，

∴AOB60，

∴BOC180POAAOB60，

∴BOC為等邊三角形，

∴BCP60，

故選C．

2

10.已知點A2,y1,B1,y2在拋物線y3xbx1上，若3b，則下列判斷正確的是（）

A.1y1y2B.y11y2C.1y2y1D.y21y1

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查比較二次函數(shù)的函數(shù)值的大小，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵，先求

出對稱軸的范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性進行判斷即可．

【詳解】解：∵y3x2bx1，

∴當x0時，y1，

∴拋物線過點0,1，

bb

∴拋物線的開口向上，對稱軸為x，

236

∴拋物線上的點離對稱軸越遠，函數(shù)值越大，

∵3b，

2b1

∴，

362

211b20b

∵，1，

22626

∴點A2,y1到對稱軸的距離大于點0,1到對稱軸的距離，小于B1,y2到對稱軸的距離，

∴1y1y2；

故選：A．

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分．

11.為響應(yīng)“體重管理年”有關(guān)倡議，小敏對自己的體重進行了跟蹤統(tǒng)計．為方便記錄，他將體重增加1.5kg

6

記作+1.5，那么體重減少1kg應(yīng)記作_______．

【答案】1

【解析】

【分析】本題考查正負數(shù)的意義，根據(jù)正負數(shù)表示一對相反意義的量，增加為正，則減少為負，進行作答

即可．

【詳解】解：體重增加1.5kg記作+1.5，那么體重減少1kg應(yīng)記作1；

故答案為：1．

12.某房梁如圖所示，立柱ADBC，E，F(xiàn)分別是斜梁AB，AC的中點．若ABAC8m，則DE的

長為_______m．

【答案】4

【解析】

【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，是解題的

1

關(guān)鍵．根據(jù)ADBC，得出△ABD為直角三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出DEAB4m．

2

【詳解】解：∵ADBC，

∴△ABD為直角三角形，

∵E是斜梁AB的中點，

1

∴DEAB4m．

2

故答案為：4．

k

13.若反比例函數(shù)y的圖象過點(2,1)，則常數(shù)k_______．

x

【答案】2

【解析】

【分析】本題考查求反比例函數(shù)的解析式，待定系數(shù)法求出k值即可．

k

【詳解】解：∵反比例函數(shù)y的圖象過點(2,1)，

x

∴k212；

7

故答案為：2．

14.如圖，菱形ABCD的對角線相交于點O，EF過點O且與邊AB，CD分別相交于點E，F(xiàn)．若

OA2,OD1，則△AOE與DOF的面積之和為_______．

【答案】1

【解析】

1

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出S菱形ACBD4，

ABCD2

OABOCD，然后證明△AOE≌△COFASA即可求解．

【詳解】解：∵菱形ABCD，OA2,OD1，

∴AC4,BD2，OAOC，AB∥CD，

1

∴S菱形ACBD4，OABOCD．

ABCD2

∵AOECOF，

∴△AOE≌△COFASA，

∴，

SAOESCOF

1

∴SSS菱形1，

AOECOF4ABCD

故答案為：1．

15.某公司為選拔英語翻譯員，舉行聽、說、讀、寫綜合測試，其中聽、說、讀、寫各項成績（百分制）按

4:3:2:1的比例計算最終成績．參與選拔的甲、乙兩位員工的聽、說、讀、寫各項測試成績及最終成績?nèi)?/p>

下表：

項目

聽說讀寫最終成績

員工

甲A70809082

乙B90807082

由以上信息，可以判斷A，B的大小關(guān)系是A_______B．（填“>”“=”或“<”）

8

【答案】>

【解析】

【分析】本題考查了加權(quán)平均數(shù)的計算，能夠掌握計算公式且準確計算是解決問題的關(guān)鍵．利用加權(quán)平均

數(shù)的計算公式求解即可．

4321

【詳解】解：∵A70809082，

10101010

∴A90．

4321

∵B90807082，

10101010

∴B80．

∵9080，

∴AB．

故答案為；．

16.彈簧秤是根據(jù)胡克定律并利用物體的重力來測量物體質(zhì)量的．胡克定律為：在彈性限度內(nèi)，彈簧彈力F

的大小與彈簧伸長（或壓縮）的長度x成正比，即Fkx，其中k為常數(shù)，是彈簧的勁度系數(shù)；質(zhì)量為m

的物體重力為mg，其中g(shù)為常數(shù)．如圖，一把彈簧秤在不掛任何物體時彈簧的長度為6厘米．在其彈性限

度內(nèi)：當所掛物體的質(zhì)量為0.5千克時，彈簧長度為6.5厘米，那么，當彈簧長度為6.8厘米時，所掛物體

的質(zhì)量為_______千克．

【答案】0.8

【解析】

【分析】本題主要考查了胡克定律的應(yīng)用，熟練掌握胡克定律Fkx（其中F為彈力，k為勁度系數(shù)，x

為彈簧伸長或壓縮量）及重力與質(zhì)量的關(guān)系Gmg是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)已知條件求出彈簧的勁度系數(shù)k，

再利用胡克定律求出彈簧長度為6.8厘米時所掛物體的質(zhì)量．

【詳解】解：不掛物體時彈簧長度L06厘米，掛質(zhì)量m10.5千克物體時，彈簧長度L16.5厘米，則

彈簧伸長量x1L1L06.560.5(厘米)．

9

g

物體重力F1m1g（為常量），根據(jù)胡克定律Fkx，可得m1gkx1，即0.5gk0.5，解得kg．

當彈簧長度L26.8厘米時，彈簧伸長量x2L2L06.860.8(厘米)．

g

設(shè)此時所掛物體質(zhì)量為m2千克，則m2gkx2，因為kg，所以m2gg0.8，兩邊同時除以，得

m20.8．

故答案為：0.8．

三、解答題：本題共9小題，共86分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

17.計算：20|12|8

【答案】2

【解析】

【分析】本題考查實數(shù)的混合運算，涉及二次根式的化簡、零指數(shù)冪、化簡絕對值等知識，是基礎(chǔ)考點，

掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．原式利用二次根式性質(zhì)，零指數(shù)冪法則，以及絕對值的代數(shù)意義計算即可得到

結(jié)果．

【詳解】解：20|12|8

12122

2．

18.如圖，點E，F(xiàn)分別在AB,AD的延長線上，CBECDF,ACBACD．求證：ABAD．

【答案】見解析

【解析】

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、補角的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理能力、幾何直觀等．先證

明ABCADC，AAS證明△ABC≌△ADC，即可得出結(jié)論．

【詳解】證明：QCBECDF,ABCCBE180,ADCCDF180，

ABCADC．

10

在VABC和△ADC中，

ABCADC

ACBACD，

ACAC

ABC≌ADC，

ABAD．

1aa22a1

19.先化簡，再求值：2，其中a51．

aa

1

【答案】，5

a15

【解析】

【分析】本題考查分式的混合運算、分母有理化等知識．先把括號內(nèi)通分，并把除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后約

分化簡，再把a51代入即可即可．

1aa22a1

【詳解】解：2

aa

2a1aa

aa22a1

a1a

a(a1)2

1

．

a1

當a51時，

15

原式．

5115

20.甲、乙兩人是新華高級中學數(shù)學興趣小組成員．以下是他們在參加高中數(shù)學聯(lián)賽預(yù)備隊員集訓(xùn)期間的測

試成績及當?shù)亟迥旮咧袛?shù)學聯(lián)賽的相關(guān)信息．

信息一：甲、乙兩人集訓(xùn)期間的測試成績（單位：分）

日期2月2月3月3月3月4月4月4月5月5月

隊員10日21日5日14日25日7日17日27日8日20日

甲75807381908385929596

11

乙82838682928387868485

22

其中，甲、乙成績的平均數(shù)分別是x甲85,x乙85；方差分別是s甲58.4，s乙a．

信息二：當?shù)亟迥旮咧袛?shù)學聯(lián)賽獲獎分數(shù)線（單位：分）

年份20202021202220232024

獲獎分數(shù)線9089908990

試根據(jù)以上信息及你所學的統(tǒng)計學知識，解決以下問題：

（1）計算a的值，并根據(jù)平均數(shù)與方差對甲、乙的成績進行評價；

（2）計算當?shù)亟迥旮咧袛?shù)學聯(lián)賽獲獎分數(shù)線的平均數(shù)，并說明：若要從中選擇一人參加高中數(shù)學聯(lián)賽，

選誰更合適；

（3）若要從中選擇一人參加進一步的培養(yǎng)，從發(fā)展?jié)撃艿慕嵌瓤紤]，你認為選誰更合適？為什么？

【答案】（1）a8.2，見解析

（2）甲，見解析（3）選甲更合適．理由見解析

【解析】

【分析】本小題考查平均數(shù)、方差，正確求出乙的方差是解答本題的關(guān)鍵．

（1）先求出乙的方差，然后比較即可；

（2）先求出五年獲獎的平均數(shù)，然后根據(jù)甲、乙十次測試成績達到平均成績的頻數(shù)多少判斷即可；

（3）根據(jù)甲乙成績的變化趨勢分析即可．

【小問1詳解】

211

s乙(94194944110)828.2，即a8.2．

1010

2

因為x甲85,x乙85,s甲58.4，

22

所以x甲x乙,s甲s乙，

所以甲、乙兩人的整體水平相當，但乙的成績比甲穩(wěn)定．

【小問2詳解】

1

由已知得，獲獎分數(shù)線的平均數(shù)為x90(2)89.6，

5

從信息一可知，在集訓(xùn)期間的十次測試成績中，甲達到獲獎分數(shù)線的平均數(shù)的頻數(shù)為4，而乙的頻數(shù)為1，

所以甲獲獎的可能性更大，故選甲參加更合適．

【小問3詳解】

12

選甲更合適．理由：在集訓(xùn)期間的十次測試成績中，甲呈上升趨勢，而乙基本穩(wěn)定在原有的水平，故從發(fā)

展?jié)撃艿慕嵌瓤紤]，選甲更合適．

21.如圖，VABC是等邊三角形，D是AB的中點，CEBC，垂足為C，EF是由CD沿CE方向平移

得到的．已知EF過點A，BE交CD于點G．

（1）求DCE的大??；

（2）求證：CEG是等邊三角形．

【答案】（1）60

（2）見解析

【解析】

【分析】（1）等邊三角形的性質(zhì)推出DCB30，垂直，得到BCE90，角的和差關(guān)系求出DCE

的大小即可；

（2）平移得到CD∥EF，進而得到EACDCA30，角的和差關(guān)系推出EACECA，進而

1

得到AECE,AEC120，根據(jù)ABCB，推出BE垂直平分AC，進而得到GECAEC60，

2

推出GECGCEEGC，進而得到CEG是等邊三角形即可．

【小問1詳解】

解：ABC是等邊三角形，

∴ACB60．

D是AB的中點，

1

DCBDCAACB30．

2

CEBC，

BCE90，

DCEBCEDCB60．

【小問2詳解】

由平移可知：CD∥EF，

13

EACDCA30，

又QECABCEACB30，

EACECA，

∴AECE,AEC120，

又ABCB，

BE垂直平分AC，

1

GECAEC60，

2

由（1）知，GCE60，

EGC60，

GECGCEEGC，

CEG是等邊三角形．

【點睛】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、平移的基本性質(zhì)、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)、平行線的

性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查空間觀念、幾何直觀與推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想

等，熟練掌握相關(guān)知識點，是解題的關(guān)鍵．

22.如圖，矩形ABCD中，ABAD．

（1）求作正方形EFGH，使得點E，G分別落在邊AD,BC上，點F，H落在BD上；（要求：尺規(guī)作圖，

不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）若AB2,AD4，求（1）中所作的正方形的邊長．

10

【答案】（1）見解析（2）

2

【解析】

【分析】（1）作BD的中垂線交AD于點E，交BC于點G，以EG為直徑畫圓，交BD于點F,H，即可

得到正方形EFGH；

（2）勾股定理求出BD的長，進而求出OD的長，證明△EOD∽△BAD，求出OE的長，再根據(jù)正方形

的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求出EH的長即可．

【小問1詳解】

14

解：如圖，四邊形EFGH就是所求作的正方形．

由作圖可知，OBOD，EGHF，

∵矩形ABCD，

∴AD∥BC，

∴ADBCBD，DEOBGO，

∴DOE≌BOG，

∴OEOG，

由作圖可知，OE=OG=OF=OH，

∴四邊形EHGF為矩形，

∵EGHF，

∴四邊形EHGF為正方形；

【小問2詳解】

由（1）知：OBOD，OEOG，

四邊形ABCD是矩形，

A90，

在Rt△ABD中，AB2,AD4，

BDAB2AD225，

1

ODBD5．

2

EGFH，

DOEDAB90．

又QODEADB，

△EOD∽△BAD，

15

OEODOE5

，即，

ABAD24

5

OE．

2

在Rt△EOH中，OEOH，

10

EH2OE，

2

10

∴正方形EFGH的邊長為．

2

【點睛】本題考查尺規(guī)作圖、矩形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相

似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，考查推理能力、運算能力、幾何直觀與空間觀念，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、

函數(shù)與方程思想等，熟練掌握相關(guān)知識點，是解題的關(guān)鍵．

23.在平面直角坐標系中，二次函數(shù)yax2bx2的圖象過點A(1,t),B(2,t)．

b

（1）求的值；

a

3

（2）已知二次函數(shù)yax2bx2的最大值為1a2．

4

①求該二次函數(shù)的表達式；

2

x11x22

②若Mx1,m,Nx2,m為該二次函數(shù)圖象上的不同兩點，且m0，求證：．

mx12

【答案】（1）3

（2）①yx23x2；②見解析

【解析】

【分析】本題考查了二次函數(shù)表達式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一元二次方程．

（1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求解即可；

3

（2）①先求出頂點坐標，然后根據(jù)最大值為1a2列方程求解即可；

4

2

x11x22

②先根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出x1x23，然后把通分后代入即可求解．

mx12

【小問1詳解】

b

解：二次函數(shù)yax2bx2的圖象的對稱軸為x．

2a

16

因為點A(1,t),B(2,t)在該函數(shù)的圖象上，

bb

所以21，

2a2a

b3

所以，

2a2

b

所以3．

a

【小問2詳解】

①由（1）可得，b3a，

所以該函數(shù)的表達式為yax23ax2，

39

函數(shù)圖象的頂點坐標為,a2．

24

3

因為函數(shù)的最大值為1a2，

4

93

所以a0，且a21a2，

44

解得a1，或a4（舍去）．

所以該二次函數(shù)的表達式為yx23x2．

2

②因為點Mx1,m在函數(shù)yx3x2的圖象上，

2

所以mx13x12．

3

由①知，點Mx,m,Nx,m關(guān)于直線x對稱，不妨設(shè)xx，

12212

33

則xx，即xx3．

222112

22

x1x2x1x2mx2

所以12112

mx12mx12

x1x2x1mx2

1112

mx12

2

x13x12x11mx22

mx12

mx1mx2

12

mx12

17

mxx3

12

mx12

0，

2

x1x2

所以12．

mx12

閱讀材料，回答問題．

24.

主

兩個正數(shù)的積與商的位數(shù)探究

題

提小明是一位愛思考的小學生．一次，在完成多位數(shù)的乘法時，他根據(jù)算式

出

“46292;3521735;663117293，猜想：m位的

問

正整數(shù)與n位的正整數(shù)的乘積是一個(mn1)位的正整數(shù)．

題

分

析

問題1小明的猜想是否正確？若正確，請給予證明；否則，請舉出反例

探

究

小明的猜想激發(fā)了初中生小華的探究熱情．為了使問題的研究推廣到有理數(shù)的乘

法，進而遷移到對除法的研究，小華將數(shù)的“位數(shù)”與“數(shù)字”的概念進行推廣，

規(guī)定：如果一個正數(shù)用科學記數(shù)法表示為a10n，則稱這個數(shù)的位數(shù)是n1，數(shù)

字是a．

推借此，小華研究了兩個數(shù)乘積的位數(shù)問題，提出并證明了以下命題．

廣

命題：若正數(shù)A，B，C的位數(shù)分別為m，n，p，數(shù)字分別為a，b，c，且ABC，

延

則必有c≥a且cb，或ca且cb．并且，當c≥a且cb時，pmn1；

伸

當ca且cb時，pmn．

證明：依題意知，A，B，C用科學記數(shù)法可分別表示為a10m1,b10n1,c10p1，

其中a，b，c均為正數(shù)．

由ABC，得ab10mn2c10p1，

18

ab

即10pmn1．（*）

c

aababa1

當c≥a且cb時，“1，所以b10，又，所以

cccc10

1abab

10．由（*）知，1，所以pmn1；

10cc

aab

1b10

ccab

當c≥a且cb時，，所以所以110，

babc

1a1

cc

與（*）矛盾，不合題意；

當ca且cb時，①；

當ca且cb時，②．

綜上所述，命題成立．

拓

展A

問題2若正數(shù)A，B的位數(shù)分別為m，n，那么的位數(shù)是多少？證明你的結(jié)論．

遷B

移

（1）解決問題1；

（2）請把①②所缺的證明過程補充完整；

（3）解決問題2．

【答案】（1）小明的猜想不正確，反例：3412

A

（2）見解析（3）當A的數(shù)字大于或等于B的數(shù)字時，的位數(shù)是mn1；當A的數(shù)字小于B的

B

A

數(shù)字時，的位數(shù)是mn

B

【解析】

【分析】（1）舉反例即可；

ab

b1,

cab

（2）①當ca且cb時，可得，得110，不合題意；

abc

a10,

c

ababab

②當ca且cb時，可得b1，可得1100，得10，即得pmn．

ccc

19

A

（3）設(shè)C，A，B，C的數(shù)字分別為a，b，c，C的位數(shù)為x，則BCA．當ab時，必有ac，

B

mnx1，即xmn1；當ab時，必有ac，mnx，即xmn．

【小問1詳解】

解：小明的猜想不正確．

反例：3412．

【小問2詳解】

aab

1,b1,

ccab

證明：①，所以，所以110，與（*）矛盾，不合題意；

babc

1,a10,

cc

aababab

②1，所以b1，又ab100，所以1100，

cccc

ab

由（*）知10，所以pmn．

c

【小問3詳解】

A

解：當A的數(shù)字大于或等于B的數(shù)字時，的位數(shù)是mn1；

B

A

當A的數(shù)字小于B的數(shù)字時，的位數(shù)是mn．

B

證明如下：

由已知，A，B的位數(shù)分別為m，n，

A

設(shè)C，A，B，C的數(shù)字分別為a，b，c，C的位數(shù)為x，則BCA．

B

由小華的命題知，當ab時，必有ac，

此時，mnx1，所以xmn1；

當ab時，必有ac，

此時，mnx，所以xmn．

A

綜上所述，當A的數(shù)字大于或等于B的數(shù)字時，的位數(shù)是mn1；

B

A

當A的數(shù)字小于B的數(shù)字時，的位數(shù)是mn，

B

【點睛】本小題考查判斷命題的真