第05講空間向量的應(yīng)用（一）：直線、平面的位置關(guān)系目錄TOC\o"1-2"\h\u第05講空間向量的應(yīng)用（一）：直線、平面的位置關(guān)系 1一、空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示 2基礎(chǔ)知識(shí) 2考點(diǎn)1法向量 2二、由空間向量研究直線、平面的平行關(guān)系 5基礎(chǔ)知識(shí) 5考點(diǎn)2證明線線平行 5考點(diǎn)3證明線面平行 9考點(diǎn)4證明面面平行 13三、由空間向量研究直線、平面的垂直關(guān)系 19基礎(chǔ)知識(shí) 19考點(diǎn)5證明線線垂直 19考點(diǎn)6證明線面垂直 25考點(diǎn)7證明面面垂直 30四、課后作業(yè) 35單選題 35多選題 41填空題 42解答題 45

一、空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示基礎(chǔ)知識(shí)1．空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示(1)空間中點(diǎn)的位置向量：如圖，在空間中，我們?nèi)∫欢c(diǎn)O作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)P就可以用向量eq\o(OP,\s\up6(→))來(lái)表示．我們把向量eq\o(OP,\s\up6(→))稱為點(diǎn)P的位置向量．(2)空間中直線的向量表示式：直線l的方向向量為a，且過(guò)點(diǎn)A.如圖，取定空間中的任意一點(diǎn)O，可以得到點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta①，把eq\o(AB,\s\up6(→))＝a代入①式得eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→))②，①式和②式都稱為空間直線的向量表示式．(3)平面的法向量定義：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，我們稱向量a為平面α的法向量.給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量a，那么過(guò)點(diǎn)A，且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合.【注】一個(gè)平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時(shí)，可適當(dāng)取平面的一個(gè)法向量.已知一平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個(gè)法向量.考點(diǎn)1法向量【例1.1】（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知點(diǎn)A1,0,0,B0,2,0,C0,0,3A．1,2,3 B．3,2,1 C．2,3,6 D．6,3,2【解題思路】設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為n=x,y,z，利用【解答過(guò)程】由A1,0,0,B0,2,0設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為n=x,y,z，所以取x=6，解得n=另外選項(xiàng)ABC中的向量與選項(xiàng)D中的向量不共線.故選：D.【例1.2】（23-24高二上·浙江嘉興·期中）在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，A?1,0,0，B1,2,?2，C2,3,?2，則平面ABCA．1,?1,0 B．1,?1,1 C．1,0,?1 D．0,1,1【解題思路】設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為n=x,y,z，利用【解答過(guò)程】由已知AB=設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為n=∴取x=1，解得n=選項(xiàng)A符合，另外選項(xiàng)BCD中的向量與選項(xiàng)A中的向量不共線.故選：A.【變式1.1】（23-24高二上·河南·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A1,2,3，B1,1,0，C0,1,1，則下列向量是平面ABCA．?1,3,?1 B．?1,?3,?1C．1,3,1 D．?1,3,1【解題思路】表示出向量AB,AC，根據(jù)法向量定義，依次驗(yàn)證各選項(xiàng)中的向量與【解答過(guò)程】由題意知：AB=0,?1,?3，對(duì)于A，∵?1,3,?1?0,?1,?3∴?1,3,?1與AB,AC均垂直，∴對(duì)于B，∵?1,?3,?1??1,?1,?2=1+3+2=6，∴?1,?3,?1不是平面ABC對(duì)于C，∵1,3,1?0,?1,?3=0?3?3=?6，∴1,3,1不是平面ABC對(duì)于D，∵?1,3,1?0,?1,?3=0?3?3=?6，∴?1,3,1不是平面ABC故選：A.【變式1.2】（23-24高二下·江西撫州·階段練習(xí)）已知平面α內(nèi)兩向量a=(1,1,1)，b=(0,2,?1)且c=ma+nb+(4,?4,1).若c為平面αA．-1，2 B．1，-2C．1，2 D．-1，-2【解題思路】求出向量c的坐標(biāo)后，利用向量c是平面α的法向量，得c⊥【解答過(guò)程】c=(m+4,m+2n?4,m?n+1)，由c為平面α的法向量，得c·a解得m=?1故選：A.

二、由空間向量研究直線、平面的平行關(guān)系基礎(chǔ)知識(shí)1．空間中直線、平面的平行(1)線線平行的向量表示：設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2.(2)線面平行的向量表示：設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l∥α?u⊥n?u·n＝0.(3)面面平行的向量表示：設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2.2．利用向量證明線線平行：證明線線平行只需證明兩條直線的方向向量共線即可．3．證明線面平行：(1)證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線向量且直線不在平面內(nèi)；(2)證明直線的方向向量可以用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量表示且直線不在平面內(nèi)；(3)證明直線的方向向量與平面的法向量垂直且直線不在平面內(nèi)．4．證明面面平行：(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行．(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進(jìn)行證明．考點(diǎn)2證明線線平行【例1.1】（2023高二·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=2,AA證明：B2【解題思路】利用空間直角坐標(biāo)系，由正四棱柱的各棱長(zhǎng)分別表示出向量B2C2【解答過(guò)程】根據(jù)正四棱柱性質(zhì)可知，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CD,CB,CC1所在直線為則C(0,0,0),C所以B2可得B2C2=A又B2所以B2【例1.2】（23-24高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=3，點(diǎn)S、P在棱CC1、AA1上，且CS【解題思路】利用坐標(biāo)法，利用向量共線定理即得.【解答過(guò)程】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以DA、DC與DD1的方向?yàn)閤、y與則D0,0,0、A3,0,0、C0,4,0、B3,4,0、D10,0,3、由題意知P3,0,2、Q0,2,3、S0,4,1∴PQ=?3,2,1，∴PQ=RS，又PQ，∴PQ∥【變式1.1】（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，E為CP的中點(diǎn)，N為DE的中點(diǎn)，DM=14DB,DA=DP=1,CD=2

【解題思路】證法一：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DP所在直線分別為x軸?y軸?z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出AP,證法二：由空間向量的線性表示可得答案.【解答過(guò)程】證法一：由題意知，直線DA,DC,DP兩兩垂直，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DP所在直線分別為x軸?y軸?z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則D0,0,0所以AP=(?1,0,1),所以MN=14AP，又證法二：由題意可得MN=14BD又M?AP，所以MN//

【變式1.2】（22-23高二下·江蘇·課后作業(yè)）如圖，四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，且不共面，M，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，求證：CE//MN.【解題思路】根據(jù)給定條件，利用空間向量的線性運(yùn)算，計(jì)算判斷CE與MN共線即可推理作答.【解答過(guò)程】（方法1）因?yàn)镸，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，則有MN=MA+兩式相加得：2MN=CE，因此CE與MN共線，而直線CE所以CE//MN.（方法2）因?yàn)镸，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，MN=AN?因此CE與MN共線，而直線CE與MN不重合，所以CE//MN.考點(diǎn)3證明線面平行【例2.1】（2024高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=12AP=2，D是AP的中點(diǎn)，E,F,G分別為PC,PD,CB的中點(diǎn)，將△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD，試用向量方法證明AP∥【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，求出AP的方向向量和平面EFG的法向量即可求解.【解答過(guò)程】由題意可知底面ABCD為正方形，因?yàn)镻D⊥平面ABCD，DA,DC?平面ABCD，所以DA,DC,DP兩兩垂直，如圖以D為原點(diǎn)，以DA,DC,則有關(guān)點(diǎn)及向量的坐標(biāo)為：P0,0,2，C0,2,0，G1,2,0，E0,1,1，AP=?2,0,2，EF=設(shè)平面EFG的法向量為n=則n?EF=?y=0n?EG=x+y?z=0因?yàn)閚?AP=?2+0+2=0，又AP所以AP∥平面EFG.【例2.2】（2024高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC,AB=1，AC=AA1=2,AD=CD=【解題思路】以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面ABCD的一個(gè)法向量n=(0,0,1)和向量MN=(0,?52,0)，結(jié)合MN【解答過(guò)程】以A為原點(diǎn)，分別以AC,AB,AA1所在直線為x,y,z如圖所示，可得A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,?2,0),A1(0,0,2),又因?yàn)镸,N分別為B1C和D1又由向量n=(0,0,1)為平面ABCD的一個(gè)法向量，且MN由此可得MN?n=0，又因?yàn)橹本€MN?平面ABCD，所以MN//【變式2.1】（2023高二·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AD⊥MN，AB=2，AD=AP=4，M，N分別是BC，PD的中點(diǎn).求證：MN∥平面PAB.

【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來(lái)證得MN∥平面PAB【解答過(guò)程】由題意，在矩形ABCD中，AB=2，AD=AP=4，AB⊥AD，M，N分別是BC，PD的中點(diǎn)，∴BM=CM=12BC=在四棱錐P?ABCD中，面PAD⊥平面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，AB⊥AD，AB?平面ABCD，∴AB⊥面PAD，PA?面PAD，∴PA⊥AB，取AP中點(diǎn)E，連接BE,EN，∵EN//∴EN//BM,EN=BM，所以四邊形∵AD⊥MN，∴AD⊥BE，AD⊥AB∵BE?面PAB，AB?面PAB，AB∩BE=B∴AD⊥面PAB，∵PA?平面PAB，∴PA⊥AD以AB、AD、AP為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，∴A0,0,0∴MN=?2,0,2，面PAB的一個(gè)法向量為∵M(jìn)N?AD=?2×0+0×4+2×0=0，MN?∴MN//平面PAB

【變式2.2】（23-24高三上·云南昆明·階段練習(xí)）如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，EF//AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC=2EF，AE=AF，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)．

(1)證明：AG⊥平面ABCD；(2)線段AC上是否存在一點(diǎn)M，使MG//平面ABF？若存在，求出MCAC【解題思路】（1）直接利用面面垂直的性質(zhì)定理得到線面垂直；（2）利用題中的已知條件建立空間直角坐標(biāo)系，首先假設(shè)存在點(diǎn)M，設(shè)AMAC=λ，求出平面【解答過(guò)程】（1）因?yàn)锳E=AF，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，所以AG⊥EF，又因?yàn)镋F//AD，所以AG⊥AD，由平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，AG?平面ADEF，所以AG⊥平面ABCD．（2）由（1）得AG⊥平面ABCD，AD,AB?平面ABCD，∴AG⊥AD,AG⊥AB，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，所以AG、AD、AB兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，如圖，

所以A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,4,0)，假設(shè)線段AC上存在一點(diǎn)M，使MG//平面ABF，設(shè)AMAC=λ，則∵AC=(4,4,0)，∴AM設(shè)AG=t(t>0)，則AG=(0,0,t),所以MG=F(0,?1,t),AF設(shè)平面ABF的法向量為mAF?m由于MG//平面ABF，所以MG?m=0，即所以AMAC=1即當(dāng)MCAC=34時(shí)，MG考點(diǎn)4證明面面平行【例3.1】（23-24高二上·湖南株洲·期中）如圖，已知在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N，

(1)MN//平面CC(2)平面MNP//平面C【解題思路】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)正方體性質(zhì)可知DA為平面CC1D（2）證明DA也是平面MNP的一個(gè)法向量即可.【解答過(guò)程】（1）證明：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1的方向分別為x，y，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，M(1,0,1)，N(1,1,0)，P(1,2,1)．

由正方體的性質(zhì)，知AD⊥平面CC所以DA=(2,0,0)為平面C由于MN=(0,1,?1)則MN?所以MN⊥又MN?平面CC所以MN//平面C（2）證明：因?yàn)镈A=(2,0,0)為平面C由于MP=(0,2,0)，MN則MP·即DA=(2,0,0)也是平面MNP所以平面MNP//平面C【例3.2】（2023高一·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，正四棱ABCD?A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)1，側(cè)棱長(zhǎng)4，AA1中點(diǎn)為

【解題思路】以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證DE//FB【解答過(guò)程】以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA

則B(1,0,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)，B1(1,0,4)，D1(0,1,4)，∵DE=FB1=(0,?1,2)∵DE?平面B1D1F，F(xiàn)B1?∵BD?平面B1D1F，B1D1又DE∩BD=D,DE,BD?平面BDE∴平面BDE與平面B1【變式3.1】（23-24高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點(diǎn)，求證：（1）FC1∥平面ADE；（2）平面ADE∥平面B1C1F.【解題思路】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求得直線的方向向量以及平面的法向量，計(jì)算其數(shù)量積即可證明；（2）計(jì)算兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)法向量是否平行，即可證明.【解答過(guò)程】證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(xiàn)(0，0，1)，B1(2，2，2)，所以FC1=(0，2，1)，DA=(2，0，0)，（1）設(shè)n1=(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，則n1⊥DA，n1即n1→·DA=2x1=0，n所以n1=(0，-1，2).因?yàn)镕C1·n1=-2+2=0，所以又因?yàn)镕C1?平面ADE，所以FC1∥平面ADE.（2）C1設(shè)n2→=(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一個(gè)法向量.由n2→⊥FC得n令z2=2，則y2=-1，所以n2因?yàn)閚1→=n2→，所以平面ADE∥平面B1【變式3.2】（23-24高二上·天津薊州·階段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1(1)求證：平面A1C1B(2)線段B1C上，是否存在點(diǎn)P，使得A1P【解題思路】（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間坐標(biāo)系，分別求平面A1（2）A1P=A1B1+B1P=A【解答過(guò)程】（1）因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為由題知A(3,0,0),B(3,4,0),C(0,4,0),A則A1設(shè)平面A1C1B的法向量為n=(x,y,z)設(shè)平面ACD1的法向量為m=(x,y,z)，則m因?yàn)閚∥m，所以平面A1C1B（2）設(shè)線段B1C上存在點(diǎn)P使得A1P由（1）得A1B1=(0,4,0)，B1所以A1由m?A1P=?3t×4+4×3+(?2t)×6=0解得t=12，即P為線段B

三、由空間向量研究直線、平面的垂直關(guān)系基礎(chǔ)知識(shí)1．空間中直線、平面的垂直(1)線線垂直的向量表示：設(shè)u1，u2分別是直線l1,l2的方向向量，則l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0.(2)線面垂直的向量表示：設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，l?α，則l⊥α?u∥n??λ∈R，使得u＝λn.(3)面面垂直的向量表示：設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.2．證明兩直線垂直：建立空間直角坐標(biāo)系→寫出點(diǎn)的坐標(biāo)→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直．3．用坐標(biāo)法證明線面垂直：(1)利用線線垂直：①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；②找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標(biāo)表示它們的方向向量；③判斷直線的方向向量與平面內(nèi)兩條直線的方向向量垂直．(2)利用平面的法向量：①將直線的方向向量用坐標(biāo)表示；②求出平面的法向量；③判斷直線的方向向量與平面的法向量平行．4．證明面面垂直：(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明．(2)法向量法：證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直．考點(diǎn)5證明線線垂直【例1.1】（22-23高二上·云南昆明·期中）如圖，下列正方體中，O為底面的中點(diǎn)，P為所在棱的中點(diǎn)，M、N為正方體的頂點(diǎn)，則滿足MN⊥OP的是（

）A．③④ B．①② C．②④ D．②③【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法判斷MN?【解答過(guò)程】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，對(duì)于①：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則M(2,0,2),N(0,2,2),P(0,2,1),O(1,1,0)，可得MN=(?2,2,0),OP=(?1,1,1)所以MN與OP不垂直，即MN與OP不垂直，所以①錯(cuò)誤；對(duì)于②：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則M(0,0,2),N(2,0,0),P(2,0,1),O(1,1,0)，可得MN=(2,0,?2),OP=(1,?1,1)所以MN⊥OP，即

對(duì)于③：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則M(2,2,2),N(0,2,0),P(0,0,1),O(1,1,0)，可得MN=(?2,0,?2),OP=(?1,?1,1)所以MN⊥OP，即對(duì)于④：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則M(0,2,0),N(0,0,2),P(2,1,2),O(1,1,0)，可得MN=(0,?2,2),OP=(1,0,2)所以MN與OP不垂直，即MN與OP不垂直，所以④錯(cuò)誤；故選：D.【例1.2】（23-24高二下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)M，N分別是棱DDA．有且僅有1條 B．有且僅有2條C．有且僅有3條 D．有無(wú)數(shù)條【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量垂直的數(shù)量積表示計(jì)算得解.【解答過(guò)程】以DA,DC,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則M(0,0,a),N(x,1,1?x),A(1,0,0),D所以MN=(x,1,1?x?a),若AD1⊥MN即2x=1?a(0≤x≤1,0≤a≤1)，方程有無(wú)數(shù)組解，故選：D.【變式1.1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=1，AA(1)EF⊥BD1且(2)EF//【解題思路】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出EF?CC（2）根據(jù)向量坐標(biāo)得到EF=?【解答過(guò)程】（1）在正四棱柱ABCD?A則C0,0,0，B0,1,0，D11,0,2，F(xiàn)12,由EF=12,1得EF?CC所以EF⊥BD（2）AC=?1,?1,0，由于EF=12【變式1.2】（21-22高一下·四川成都·期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB=2，BC=1，PC=PD=2，E為PB

(1)求證：PD∥平面ACE；(2)在棱PD上是否存在點(diǎn)M，使得AM⊥BD?若存在，求PMPD【解題思路】（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)并用參數(shù)表示，利用向量垂直的坐標(biāo)表示可求得參數(shù)的值，即可得出結(jié)論，求得答案.【解答過(guò)程】（1）設(shè)BD,AC交與點(diǎn)F，連接EF，

因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，所以F為BD的中點(diǎn)，又E為PB中點(diǎn)，故EF∥而PD?平面ACE，EF?平面ACE，故PD∥平面ACE；（2）在棱PD上存在點(diǎn)M，使得AM⊥BD；取CD的中點(diǎn)為O，連接PO,FO,因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形，故BC⊥CD，PC=PD=2，故O為BC的中點(diǎn)，則PO⊥CD，而F為BD故OF∥又平面PCD⊥平面ABCD，PO?平面PCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，故PO⊥平面ABCD，故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OF,OC,OP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,設(shè)PMPD=λλ∈即(x,y,z?1)=λ(0,故AM=因?yàn)锳M⊥BD，故AM?BD=0解得λ=1即在棱PD上存在點(diǎn)M，使得AM⊥BD，此時(shí)PMPD考點(diǎn)6證明線面垂直【例2.1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，M、N、P分別是棱CC【解題思路】結(jié)論空間直角坐標(biāo)系，求平面DMN的法向量n，證明n與A1【解答過(guò)程】建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，連結(jié)DM、DN．則D0,0,0、N12,1,0、M0,1,于是，DN=12設(shè)平面DMN的法向量為n=由n⊥DN，得12x+y=0，令y=?1，則x=z=2，故n=2,?1,2．又易知n=?2A1P∴A1P⊥平面【例2.2】（23-24高二上·浙江·期中）已知正三棱臺(tái)ABC?A1B1C1中，AA1=1，BC=2

(1)求該正三棱臺(tái)的表面積；(2)求證：DE⊥平面BC【解題思路】（1）將正三棱臺(tái)ABC?A1B1C1補(bǔ)成正三棱錐P?ABC，分析可知正三棱錐（2）設(shè)點(diǎn)P在底面ABC的射影為點(diǎn)O，則O為正△ABC的中心，取AB的中點(diǎn)M，連接CM，則CM⊥AB，以點(diǎn)CO、AB、OP的方向分別為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，證明出DE⊥CP，DE⊥CB，再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立.【解答過(guò)程】（1）解：將正三棱臺(tái)ABC?A1B因?yàn)锽1C1//BC，且BC=2B1C1則PA=2AA1=2，PC=PB=PA=2，故△PBC由此可知，△PAB、△PAC都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，易知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，△A1B故正三棱臺(tái)ABC?A1B（2）解：設(shè)點(diǎn)P在底面ABC的射影為點(diǎn)O，則O為正△ABC的中心，取AB的中點(diǎn)M，連接CM，則CM⊥AB，CM=ACsinπ3因?yàn)镻O⊥平面ABC，CO?平面ABC，則OP⊥CO，所以，PO=P以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，CO、AB、OP的方向分別為x、y、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則C?233,0,0、BD34,?則DE=?33,1,所以，DE?CP=?23+2因?yàn)镃P∩CB=C，CP、CB?平面BCC1B1，故【變式2.1】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E在棱DD1上運(yùn)動(dòng)，

(1)當(dāng)E,F為中點(diǎn)時(shí)，證明：DF⊥平面ACE；(2)若DF⊥平面ACE，求DGDF的最大值及此時(shí)DE【解題思路】（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1方向?yàn)閤,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)（2）由（1）坐標(biāo)關(guān)系與線面垂直，設(shè)DG=mDF，可得【解答過(guò)程】（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1方向?yàn)?/p>

則A1,0,0設(shè)E0,0,λ當(dāng)E，F(xiàn)為中點(diǎn)時(shí)，λ=μ=12，有所以DF=12,12,1，AC所以DF⊥AC,DF⊥AE，又AC∩AE=A,AC,AE?平面ACE，所以DF⊥平面ACE．（2）由（1）可得DF=(μ,μ,1)，AC=(?1,1,0)，若DF⊥平面ACE，則AC?DF=0，AE設(shè)DG=mDF，則由AG?平面ACE，所以AG?當(dāng)μ≠0時(shí)，m=μ2μ2+1=1所以λ=μ=22，即綜上，DGDF的最大值為24，【變式2.2】（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C(1)在B1B上是否存在一點(diǎn)P，使D1P⊥平面(2)在平面AA1B1B上是否存在一點(diǎn)N【解題思路】（1）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P1,1,z，由D（2）設(shè)N1,b,c，由D【解答過(guò)程】（1）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)A(1，0，0)，E12,1B1A=0,?1,?1，假設(shè)存在點(diǎn)P1,1,z滿足題意，于是D所以D1P?解得z=0與z=1故在B1B上不存在點(diǎn)使D1（2）假設(shè)在平面AA1B1B上存在點(diǎn)N設(shè)N1,b,c則D1N?所以0?b?c+1=0?12故平面AA1B1B上存在點(diǎn)N1,12,1考點(diǎn)7證明面面垂直【例3.1】（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3.E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且求證：平面AEF⊥平面PCD.【解題思路】如圖，以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC為x軸，y軸，過(guò)D作AP平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，利用空間向量證明即可.【解答過(guò)程】證明：如圖，以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC為x軸，y軸，過(guò)D作AP平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則D0,0,0，A2,0,0，C0,2,0，P2,0,2，所以DC=0,2,0，PC=?2,2,?2，因?yàn)樗訢F=13所以AF=?2設(shè)平面AEF的法向量為n=x,y,z，則令x=z=1，則y=?1，所以n=平面PCD的法向量為m=a,b,c，則令a=1，則c=?1，所以m=所以n?所以n⊥所以平面AEF⊥平面PCD.【例3.2】（2023高二·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1中，

證明：平面CEF⊥平面ACC【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，求解兩個(gè)平面的法向量，利用法向量證明面面垂直.【解答過(guò)程】證明：取BC的中點(diǎn)O，連接OA，

在正三棱柱ABC?A1B以O(shè)為原點(diǎn)，OB,OA分別為x軸和則C?a,0,0,ACF=設(shè)平面CEF的一個(gè)法向量為n=則n?CF=2ax+z=0n?CE=ax+3ay+2z=0設(shè)平面ACC1A則m?CA=am+3an=0m?CC因?yàn)閙?n=?3+【變式3.1】（23-24高二上·新疆昌吉·期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥AB,AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．證明：

(1)BE//平面PAD；(2)平面PCD⊥平面PAD．【解題思路】（1）由題意可以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以AB,AD,AP分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出直線BE的方向向量和平面PAD的法向量AB=1,0,0，由（2）求出平面PCD的一個(gè)法向量，由n?【解答過(guò)程】（1）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，且AB?平面ABCD，所以AB⊥PA，又因?yàn)锳B⊥AD，且PA∩AD=A,PA,AD?平面PAD，所以AB⊥平面PAD，依題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以AB,AD,AP分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則B1,0,0,C2,2,0由E為棱PC的中點(diǎn)，得E1,1,1，則BE所以AB=1,0,0為平面又BE?AB=又BE?平面PAD，所以BE//平面PAD．（2）由（1）知平面PAD的法向量AB=1,0,0，PD=設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為n=則n?PD=0n?DC=0，即2y?2z=0又n?所以n⊥AB，所以平面PCD⊥平面【變式3.2】（23-24高三上·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，三角形PAB為正三角形，且側(cè)面PAB⊥底面ABCD.E,M分別為線段AB,PD的中點(diǎn).

(1)求證：PB//平面ACM；(2)在棱CD上是否存在點(diǎn)G，使得平面GAM⊥平面ABCD？若存在，請(qǐng)求出CGCD【解題思路】（1）構(gòu)造三角形的中位線得到線線平行，再利用線面平行的判定定理即可得到線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CGCD=λ，求出平面GAM和平面【解答過(guò)程】（1）連接BD交AC于H點(diǎn)，連接MH，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以點(diǎn)H為BD的中點(diǎn).又因?yàn)镸為PD的中點(diǎn)，所以MH//BP，又因?yàn)锽P?平面ACM,MH?平面ACM，所以BP//平面ACM.

（2）設(shè)底面邊長(zhǎng)為2，連接EC，由于ABCD為菱形，且∠ABC=60°，故BE=1,BC=2,EC=B所以BC2=B又三角形PAB為正三角形，E為AB中點(diǎn)，故PE⊥AB，又側(cè)面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE?面PAB，所以PE⊥平面ABCD，如圖，以E為原點(diǎn)，EC,EA,則A0,1,0設(shè)CGCD=λ，則則G3設(shè)平面GAM的法向量為n=x,y,z，則有n?取y=1，得x=1?2λ3，z=2λ?1又平面ABCD法向量可取為m=由題可知cosm,n=m故存在點(diǎn)G使得平面GAM⊥平面ABCD，CGCD

四、課后作業(yè)單選題1．（23-24高二下·江蘇·單元測(cè)試）已知平面α上的兩個(gè)向量a→=2,3,1，b→=A．1,?1,1 B．2,?1,1C．?2,1,1 D．?1,1,1【解題思路】根據(jù)平面法向量的定義，列式計(jì)算得解.【解答過(guò)程】顯然a與b不平行，設(shè)平面α的法向量為n=則a?n=0b?n=0，所以2x+3y+z=0所以n=故選：C.2．（23-24高二上·廣東茂名·期末）已知直線l的方向向量為m=a,1,?2，平面α的一個(gè)法向量為n=?1,2,3，若直線l//平面α，則A．?7 B．2 C．?1 D．?4【解題思路】根據(jù)給定條件，利用空間位置關(guān)系的向量證明，列式計(jì)算即得.【解答過(guò)程】由直線l//平面α，得m⊥n，則m?故選：D.3．（23-24高二上·江西九江·期末）若平面α外的直線l的方向向量為a→=1,0,?2，平面α的法向量為mA．l⊥α B．l//α C．a(chǎn)//m D．l與【解題思路】根據(jù)題意，分析可得a?【解答過(guò)程】根據(jù)題意，直線l的方向向量為a→平面α的法向量為m→=8,?1,4又直線l在平面α外，則有l(wèi)//α．故選：B．4．（23-24高二上·河南洛陽(yáng)·期末）若平面α的法向量為n，直線l的方向向量為m，l?α，則下列四組向量中能使l//α的是（

）A．m→=(?1,0,1)，n→=(1,0,1) C．m→=(1,?2,1)，n→=(?2,1,?2) 【解題思路】根據(jù)題意，由平面法向量的定義，依次分析選項(xiàng)中向量是否滿足m?【解答過(guò)程】根據(jù)題意，平面α的法向量為n，直線l的方向向量為m，l?α，若m?n=0，即m⊥n依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，m→=?1,0,1，n→=對(duì)于B，m→=0,?1,2，n→=對(duì)于C，m→=1,?2,1，n→=對(duì)于D，m→=2,?1,1，n→=故選：A．5．（23-24高二下·湖南長(zhǎng)沙·開學(xué)考試）如圖，在下列各正方體中，l為正方體的一條體對(duì)角線，M、N分別為所在棱的中點(diǎn)，則滿足MN⊥l的是（

）A．

B．

C．

D．

【解題思路】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷即得.【解答過(guò)程】在正方體中，建立空間直角坐標(biāo)系，令棱長(zhǎng)為2，體對(duì)角線l的端點(diǎn)為B,D對(duì)于A，B(2,2,0),D1(0,0,2),M(1,2,2),N(2,1,0)，直線l

MN=(1,?1,?2)，顯然MN?a=4≠0，直線對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，直線l的方向向量a=(2,2,?2)，M(0,1,2),N(2,0,1)

則MN?=(2,?1,?1),顯然MN?a=4≠0對(duì)于C，由選項(xiàng)A知，直線l的方向向量a=(2,2,?2)，M(0,2,1),N(1,0,0)

則MN=(1,?2,?1),顯然MN?a對(duì)于D，由選項(xiàng)A知，直線l的方向向量a=(2,2,?2)，M(2,0,1),N(1,2,0)

則MN=(?1,2,?1),顯然MN?a=4≠0，直線故選：C.6．（23-24高二上·北京石景山·期末）在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，點(diǎn)A1,2,1,B?1,2,?1A．直線AB∥坐標(biāo)平面xOy B．直線AB⊥坐標(biāo)平面xOyC．直線AB∥坐標(biāo)平面xOz D．直線AB⊥坐標(biāo)平面xOz【解題思路】首先求向量AB的坐標(biāo)，再判斷向量AB與坐標(biāo)平面的法向量的關(guān)系，即可判斷選項(xiàng).【解答過(guò)程】由題意可知，AB=平面xOy的法向量為m=因?yàn)锳B≠λm所以AB與m既不平行也不垂直，所以直線AB與坐標(biāo)平面xOy既不平行也不垂直，故AB錯(cuò)誤；坐標(biāo)平面xOz的法向量為n=AB?n=0，所以AB⊥n故選：C.7．（23-24高二下·江蘇徐州·階段練習(xí)）已知直線l是正方體體對(duì)角線所在直線，P,Q,R為其對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，則下列正方體的圖形中滿足l⊥平面PQR的是（

）A．（1）（2） B．（1）（3）C．（1）（4） D．（2）（4）【解題思路】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來(lái)判斷出正確答案.【解答過(guò)程】設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，對(duì)于圖（1），建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P2,1,0，Q2,2,1，R1,2,0，直線lPQ=0,1,1，因?yàn)閙?PQ=0所以l⊥PR，l⊥PQ，PR∩PQ=P，PR,PQ?平面PQR，所以l⊥平面PQR，故圖（1）正確；對(duì)于圖（2），建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P2,1,0，Q0,1,2，R1,2,0，直線l則PQ=?2,0,2，因?yàn)閙?PQ=?4≠0所以l與平面PQR不垂直，故圖（2）錯(cuò)誤；對(duì)于圖（3），建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P2,1,0，Q1,0,2，R0,2,1，PR直線l的方向向量為m=1,1,1，因?yàn)閙?所以l⊥PR，l⊥PQ，PR∩PQ=P，PR,PQ?平面PQR，所以l⊥平面PQR，故圖（3）正確；對(duì)于圖（4），建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P2,1,0，R1,2,0，Q0,0,1直線l的方向向量為m=1,1,1，因?yàn)樗詌與PQ不垂直，所以l與平面PQR不垂直，故圖（4）正確.綜上，正確的有圖（1）（3）.故選：B.8．（23-24高三下·浙江·開學(xué)考試）在正方體ABCD?A1B1C1DA．平面B1EF∥B．平面B1EF⊥C．平面B1EF∥D．平面B1EF⊥【解題思路】建系，分別求出所需的各面的法向量，再用法向量垂直與平行逐個(gè)選項(xiàng)求出即可.【解答過(guò)程】如圖，以D為原點(diǎn)，DA,DC,DD1所在直線分別為則B1則EF=AA設(shè)平面B1EF的法向量為m=令z1=?1，則同理可得平面A1C1D的法向量為n1平面B1DD1的法向量n3對(duì)A，因?yàn)?1≠?1?1，則可知對(duì)B，因?yàn)閙?n4=?1≠0，則對(duì)C，因?yàn)?2≠0?1，所以對(duì)D，因?yàn)閙?n3=1,?1,0故選：D.多選題9．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）（多選）已知平面α內(nèi)兩向量a=1,1,1,b=0,2,?1，且c=mA．m=?1 B．m=1 C．n=2 D．n=?2【解題思路】利用空間向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)形式以及法向量的性質(zhì)計(jì)算求解.【解答過(guò)程】c=m由c為平面α的一個(gè)法向量，得c得m+4+m+2n?4+m?n+1=0,解得m=?1,n=2.故選：AC.10．（23-24高二上·江西贛州·期末）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，A．EF//平面A1B1C1C．EF⊥平面B1DF D．平面B【解題思路】建立空間坐標(biāo)系結(jié)合正方體性質(zhì)利用向量方法證明判斷即可.【解答過(guò)程】由正方體性質(zhì)易得平面ABCD//平面A1B1C1D1，又EF?如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)則B1(2,2,2),E(2,1,0),F(1,2,0),B(2,2,0)，A1(2,0,2)則EF=(?1,1,0),EBAA1=(0,0,2),對(duì)B,設(shè)平面B1EF的法向量為則有m?EF=?則m=(2,2,?1),而m?AA1=?2≠0對(duì)C,因?yàn)镋F?DF=?1+2≠0，故EF對(duì)D，設(shè)平面BDD1的法向量為n=(a,b,c)令a=1,∴b=?1，則平面BDD1因?yàn)閙?n=0，則平面B故選：AD．填空題11．（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知u=3,a,b（a，b∈R）是直線l的方向向量，n=1,2,3是平面α的法向量，如果l⊥α，則2a+3b=【解題思路】由l⊥α可得：u//【解答過(guò)程】因l⊥α，依題意，必有u//n，即存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使u=λ則3=λa=2λb=3λ，解得：λ=3,a=6,b=9，故故答案為：39.12．（2023·北京·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直角梯形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，BC⊥CD，AE⊥CD，M，N分別是AD，BE的中點(diǎn)，將△ADE沿AE折起，使點(diǎn)D不在平面ABCE內(nèi)，則下命題中正確的序號(hào)為②③．①M(fèi)N//AB；②MN⊥AE；③MN//平面CDE；④存在某折起位置，使得平面BCD⊥平面ABD．【解題思路】①③，作出輔助線，得到MN//CD，從而得到MN與AB不平行，MN//平面CDE；②證明線面垂直，得到線線垂直；④建立空間直角坐標(biāo)系，得到兩平面的法向量，由法向量不為0得到不存在某折起位置，使得平面BCD⊥平面ABD.【解答過(guò)程】①③，如圖所示：直角梯形ABCD中，CD//AB，又因?yàn)锽C⊥CD，AE⊥CD，所以AE//BC，故四邊形ABCE為矩形，因?yàn)镹分別是BE的中點(diǎn)連接AC，則BE與AC相交于點(diǎn)N，故點(diǎn)N是AC的中點(diǎn)，因?yàn)镸是AD的中點(diǎn)，所以MN//CD，又AB//CE，而CE與CD相交于點(diǎn)C，故AB與CD不平行，故MN與AB不平行，①錯(cuò)誤，因?yàn)镸N//CD，CD?平面CDE，MN?平面CDE，所以MN//平面CDE，③正確；②，因?yàn)锳E⊥DE,AE⊥CE，DE∩CE=E，DE,CE?平面CDE，所以AE⊥平面CDE，因?yàn)镃D?平面CDE，所以AE⊥CD，由①知MN//CD，所以MN⊥AE，②正確；④，連接BD，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA,EC分別為x,y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=1,EA=aa≠0，∠CED=θ，θ∈故Aa,0,0設(shè)平面BCD的法向量為m=故m?解得x1=0，令y1故m=