第七章立體幾何與空間向量第3課時空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系[考試要求]

1.借助長方體，在直觀認(rèn)識空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義.2.了解四個基本事實和一個定理，并能應(yīng)用定理解決問題.鏈接教材·夯基固本1．基本事實基本事實1過___________________的三個點(diǎn)，有且只有一個平面基本事實2如果一條直線上的_________在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有______過該點(diǎn)的公共直線基本事實4平行于同一條直線的兩條直線______不在一條直線上兩個點(diǎn)一條平行2．三個推論推論1：經(jīng)過一條直線和______________一點(diǎn)，有且只有一個平面．推論2：經(jīng)過兩條______直線，有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條______直線，有且只有一個平面．3．空間中直線與直線的位置關(guān)系這條直線外相交平行相交平行任何提醒：分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線不一定為異面直線，它們也可能平行或相交．4．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系符號直線和平面直線在平面外a?α直線在平面內(nèi)直線與平面相交a∩α＝A直線與平面平行a∥α平面和平面兩平面平行α∥β兩平面相交α∩β＝l5．定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角_______________.6．異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a，b′∥b，把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．(2)范圍：__________.相等或互補(bǔ)[常用結(jié)論]1．異面直線的一個判定定理與一個平面相交的直線和這個平面內(nèi)不經(jīng)過交點(diǎn)的直線是異面直線，如圖所示．2．唯一性定理(1)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行．(2)過直線外一點(diǎn)有且只有一個平面與已知直線垂直．(3)過平面外一點(diǎn)有且只有一個平面與已知平面平行．(4)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．一、易錯易混辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線是異面直線．(

)(2)兩個平面α，β有一個公共點(diǎn)A，就說α，β相交于過點(diǎn)A的任意一條直線．(

)(3)如果兩個平面有三個公共點(diǎn)，那么這兩個平面重合．(

)(4)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面．(

)×××√二、教材經(jīng)典衍生1．(人教A版必修第二冊P131練習(xí)T4改編)已知平面α∥平面β，直線a∥平面α，直線b∥平面β，則a與b的位置關(guān)系可能是(

)A．平行或相交

B．相交或異面C．平行或異面

D．平行、相交或異面√D

[當(dāng)a與b共面時，a與b平行或相交，如圖所示：顯然滿足題目條件；在a與b相交的條件下，分別把a(bǔ)，b平行移動到平面β，平面α上，此時a與b異面，亦滿足題目條件．故選D.]2．(人教A版必修第二冊P128練習(xí)T2改編)下列命題正確的是(

)A．空間任意三個點(diǎn)確定一個平面B．一個點(diǎn)和一條直線確定一個平面C．兩兩相交的三條直線確定一個平面D．兩兩平行的三條直線確定一個或三個平面D

[不在一條直線上的三個點(diǎn)才能確定一個平面，A錯誤；只有點(diǎn)在直線外時才能確定一個平面，B錯誤；當(dāng)三條直線交于一點(diǎn)時不能確定一個平面，C錯誤，D正確．]√3．(多選)(人教A版必修第二冊P132習(xí)題8.4T9改編)如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中(

)A．AB與CD異面B．CD與GH平行C．EF與GH成60°角

D．CD與EF相交√√AC

[該正方體的直觀圖如圖所示，AB與CD是異面直線，A正確；CD與GH相交，B錯誤；因為該幾何體為正方體，所以EF∥CD，三角形GHD為正三角形，直線GH與直線GD所成角為60°，則EF與GH所成角為60°，C正確，D錯誤．故選AC．]4．(人教A版必修第二冊P132習(xí)題8.4T5改編)三個平面最多能把空間分為________部分，最少能把空間分成________部分．8

4

[三個平面可將空間分成4,6,7,8部分，所以三個平面最少可將空間分成4部分，最多分成8部分．]典例精研·核心考點(diǎn)

考點(diǎn)一基本事實的應(yīng)用[典例1]如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)．求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．證明：(1)如圖，連接EF，CD1，A1B．因為E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，所以EF∥BA1.又因為A1B∥D1C，所以EF∥CD1，所以E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．(2)因為EF∥CD1，EF<CD1，所以直線CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則由P∈直線CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，所以P∈直線DA．所以CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．

共面、共線、共點(diǎn)問題的證明(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個平面內(nèi)(或證兩平面重合)．(2)證明共線的方法：①先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；②直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上．(3)證明線共點(diǎn)的常用方法：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．(2025·聊城模擬)如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.則下列說法中正確的個數(shù)是(

)①E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；②EG∥FH；③若直線EG與直線FH交于點(diǎn)P，則P，A，C三點(diǎn)共線．A．0

B．1C．2

D．3√C

[如圖所示，因為GH>EF，所以四邊形FEGH是梯形，EG∥FH不成立，說法②錯誤；若直線EG與直線FH交于點(diǎn)P，則由P∈EG，EG?平面ABC，得P∈平面ABC，同理P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三點(diǎn)共線，說法③正確．故選C．]

考點(diǎn)二空間兩直線位置關(guān)系的判定[典例2](1)已知三個平面α，β，γ，其中α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a∩b＝P，則下列結(jié)論一定成立的是(

)A．b，c是異面直線B．b∩c＝PC．b∥cD．a(chǎn)與c沒有公共點(diǎn)√A．AE＝CF，AC與EF是共面直線B．AE≠CF，AC與EF是共面直線C．AE＝CF，AC與EF是異面直線D．AE≠CF，AC與EF是異面直線√(1)B

(2)D

[(1)因為α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∩b＝P，所以P∈a，P∈b，而a?α，b?γ，則P∈α，P∈γ，而γ∩α＝c，所以P∈c，可得a∩c＝P，b∩c＝P.故選B．

空間中兩直線位置關(guān)系的判定方法[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)已知a，b為兩條直線，α，β為兩個平面，且滿足a?α，b?β，α∩β＝l，a∥l，則“a與b異面”是“直線b與l相交”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件√(2)(2025·濱州模擬)如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中，①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成60°角；④DM與BN垂直．以上四個結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是(

)A．①②③

B．②④C．③④

D．①③④√(1)C

(2)C

[(1)若“a與b異面”，反證：若直線b與l不相交，由于b，l?β，則b∥l，因為a∥l，則a∥b，這與a與b異面相矛盾，故直線b與l相交，故“a與b異面”是“直線b與l相交”的充分條件；若“直線b與l相交”，反證：若a與b不異面，則a與b平行或相交．①若a與b平行，因為a∥l，則b∥l，這與直線b與l相交相矛盾；②若a與b相交，設(shè)a∩b＝A，即A∈a，A∈b，因為a?α，b?β，則A∈α，A∈β，即點(diǎn)A為α，β的公共點(diǎn)，且α∩β＝l，所以A∈l，即A為直線a與l的公共點(diǎn)，這與a∥l相矛盾．綜合①②知a與b異面．即“a與b異面”是“直線b與l相交”的必要條件．所以“a與b異面”是“直線b與l相交”的充要條件．故選C．(2)由正方體的平面展開圖復(fù)原得空間正方體如圖所示．由圖可知，①BM與ED是異面直線，故錯誤；②CN與BE是平行直線，故錯誤；③CN∥BE，BE與BM的夾角是60°，故CN與BM所成的角也是60°，故正確；④DM與BN是異面垂直，正確．所以正確的序號為③④.故選C．]

考點(diǎn)三異面直線所成的角[典例3](1)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，2BB1＝3AB，D是棱BC的中點(diǎn)，E在棱CC1上，且CC1＝3CE，則異面直線A1D與B1E所成角的余弦值是(

)√√又CE∥B1G，所以四邊形CEB1G是平行四邊形，B1E∥CG，同時可得F是BG中點(diǎn)，而D是BC中點(diǎn)，所以DF∥CG.所以DF∥B1E，則∠A1DF是異面直線A1D與B1E所成的角(或補(bǔ)角)．又DH∥CC1，CC1⊥平面A1B1C1，則DH⊥平面A1B1C1，A1H?平面A1B1C1，則DH⊥A1H，法二(補(bǔ)體法)：如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1的一側(cè)補(bǔ)上一個相同的長方體A′B′BA-A′1B′1B1A1.連接B1B′，由長方體性質(zhì)可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′為異面直線AD1與DB1所成的角或其補(bǔ)角．連接DB′，由題意，得

求異面直線所成角的方法(1)平移法：將異面直線中的某一條平移，使其與另一條相交，一般采用圖中已有的平行線或者作平行線，

形成三角形求解．(2)補(bǔ)形法：在該幾何體的某側(cè)補(bǔ)接上同樣一個幾何體，在這兩個幾何體中找異面直線相應(yīng)的位置，形成三角形求解．(3)坐標(biāo)法：如果幾何圖形便于建系，可以將問題坐標(biāo)化，借助向量求解．提醒：將兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時，需注意這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)(2025·濟(jì)寧模擬)在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O1為底面A1B1C1D1的中心，E為BC的中點(diǎn)，則異面直線AO1與C1E所成角的余弦值是________.(2)如圖，圓臺OO1的上底面半徑為O1A1＝1，下底面半徑為OA＝2，母線長AA1＝2，過OA的中點(diǎn)B作OA的垂線交圓O于點(diǎn)C，則異面直線OO1與A1C所成角的大小為________.因為E為BC的中點(diǎn)，有EF∥CD∥C1D1，EF＝CD＝C1D1，所以四邊形C1D1FE是平行四邊形，于是D1F∥C1E.又AF∥D1M，AF＝D1M，即有四邊形AMD1F是平行四邊形，因此AM∥D1F∥C1E，則∠O1AM是異面直線AO1與C1E所成的角或補(bǔ)角．因為O1為底面A1B1C1D1的中心，所以O(shè)1M∥C1D1.又C1D1⊥平面ADD1A1，從而O1M⊥平面ADD1A1，而AM?平面ADD1A1，則O1M⊥AM.微點(diǎn)突破5空間幾何體中的截面、截線問題在立體幾何中，截面是指用一個平面去截一個幾何體得到的平面圖形；截線就是平面與相應(yīng)幾何體面的公共線．解答此類問題的關(guān)鍵是熟知立體幾何理論體系，提升空間想象能力．一、截面問題[典例1](1)(多選)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，直線AC1⊥平面α.平面α截此正方體所得截面有如下四個結(jié)論，其中正確的是

(

)A．截面形狀可能為正三角形B．截面形狀可能為正方形C．截面形狀不可能是正五邊形√√√[答案]

ACD(2)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，平面α經(jīng)過直線BD且與直線C1E平行，若正方體的棱長為2，則平面α截正方體所得的多邊形的面積為________.[賞析]

突破點(diǎn)：線面平行的性質(zhì)如圖，過點(diǎn)B作BM∥C1E交B1C1于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作BD的平行線，交C1