/第05講確定圓的條件（核心考點講與練）【基礎(chǔ)知識】一．確定圓的條件不在同一直線上的三點確定一個圓．注意：這里的“三個點”不是任意的三點，而是不在同一條直線上的三個點，而在同一直線上的三個點不能畫一個圓．“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓，過一點可畫無數(shù)個圓，過兩點也能畫無數(shù)個圓，過不在同一條直線上的三點能畫且只能畫一個圓．二．三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．（3）概念說明：①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點．②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個．【考點剖析】一．確定圓的條件（共5小題）1．（2022?石家莊模擬）下列條件中不能確定一個圓的是（）A．圓心與半徑 B．直徑 C．三角形的三個頂點 D．平面上的三個已知點2．（2021秋?東光縣期中）經(jīng)過兩點可以做個圓，不在同一直線的個點可以確定一個圓．3．（2021秋?龍鳳區(qū)期末）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的一塊碎片應(yīng)該是（）A．第一塊 B．第二塊 C．第三塊 D．第四塊4．（2022?江岸區(qū)模擬）如圖，已知平面直角坐標系內(nèi)三點A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P經(jīng)過點A、B、C，則點P的坐標為（）A．（6，8） B．（4，5） C．（4，） D．（4，）5．（2021秋?潛山市期末）在平面直角坐標系中有A，B，C三點，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．現(xiàn)在要畫一個圓同時經(jīng)過這三點，則圓心坐標為．二．三角形的外接圓與外心（共7小題）6．（2022?富陽區(qū)一模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，則點O是△ABC的（）A．三條高線的交點 B．三條邊的垂直平分線的交點 C．三條中線的交點 D．三角形三內(nèi)角角平分線的交點7．（2021秋?興化市期末）已知正三角形的邊長為12，則這個正三角形外接圓的半徑是（）A．2 B． C．3 D．48．（2022?邯山區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC為直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x軸，M為Rt△ABC的外心．若點A的坐標為（3，4），點M的坐標為（﹣1，1），則點B的坐標為（）A．（3，﹣1） B．（3，﹣2） C．（3，﹣3） D．（3，﹣4）9．（2021秋?無錫期末）如圖，正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為r，求這個正三角形的周長和面積．10．（2022?沈河區(qū)校級模擬）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠C＝45°，AB＝6，則⊙O的半徑長為（）A． B．2 C．3 D．411．（2022?福州模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O；∠A＝30°，過圓心O作OD⊥BC，垂足為D．若⊙O的半徑為6，求OD的長．12．（2021秋?海淀區(qū)期末）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，高AD經(jīng)過圓心O．（1）求證：AB＝AC；（2）若BC＝8，⊙O的半徑為5，求△ABC的面積．【過關(guān)檢測】一．選擇題（共5小題）1．（2020秋?西林縣期末）經(jīng)過不在同一直線上的三個點可以作圓的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．無數(shù)2．（2021秋?閔行區(qū)校級期中）下列說法正確的個數(shù)有（）①平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧；②在等圓中，如果弦相等，那么它們所對的弧也相等；③等弧所對的圓心角相等；④過三點可以畫一個圓．A．1 B．2 C．3 D．43．（2021秋?泗陽縣期末）下列說法正確的是（）A．一個三角形只有一個外接圓 B．三點確定一個圓 C．長度相等的弧是等弧 D．三角形的外心到三角形三條邊的距離相等4．（2021秋?無錫期末）如圖，在平面直角坐標系中，A（0，﹣3），B（2，﹣1），C（2，3）．則△ABC的外心坐標為（）A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）5．（2021秋?江北區(qū)期末）如圖，在等邊△ABC中，AB＝4，點D為AB的中點，動點E、F分別在AD、BC上，且EF＝2，作△BEF的外接圓⊙O，交AC于點G、H．當動點E從點D向點A運動時，線段GH長度的變化情況為（）A．一直不變 B．一直變大 C．先變小再變大 D．先變大再變小二．填空題（共2小題）6．（2022春?重慶期中）如圖，點A、點B是直線l上兩點，AB＝10，點M在直線l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若點P為直線l上一動點，連接MP，則線段MP的最小值是．7．（2021秋?西城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A，B，C的橫、縱坐標都為整數(shù)，過這三個點作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標為．三．解答題（共4小題）8．（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，I是△ABC內(nèi)一點，AI的延長線交BC于點D，交⊙O于E，連接BE，BI，若IB平分∠ABC，EB＝EI．（I）求證：AE平分∠BAC；（2）若BD，OI⊥AD于I，求CD的長．9．（2022春?諸暨市校級月考）（1）請借助網(wǎng)格和一把無刻度直尺找出△ABC的外心點O；（2）設(shè)每個小方格的邊長為1，求出外接圓⊙O的面積．10．（2021秋?曹縣期中）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD⊥BC于點D，圓心O在AD上，AB＝10，BC＝12，求⊙O的半徑．11．（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）已知：銳角三角形ABC內(nèi)接于⊙O（AB＞AC），AD⊥BC于點D，BE⊥AC于點E，AD、AE交于點F．（1）如圖1，若⊙O直徑為17，AC＝15，求BF的長；（2）如圖2，連接OA，若OA＝FA，AC＝BF，求∠OAD的大?。?

第05講確定圓的條件（核心考點講與練）【基礎(chǔ)知識】一．確定圓的條件不在同一直線上的三點確定一個圓．注意：這里的“三個點”不是任意的三點，而是不在同一條直線上的三個點，而在同一直線上的三個點不能畫一個圓．“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓，過一點可畫無數(shù)個圓，過兩點也能畫無數(shù)個圓，過不在同一條直線上的三點能畫且只能畫一個圓．二．三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．（3）概念說明：①“接”是說明三角形的頂點在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個頂點．②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個三角形的外心，就是找一個三角形的三條邊的垂直平分線的交點，三角形的外接圓只有一個，而一個圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個．【考點剖析】一．確定圓的條件（共5小題）1．（2022?石家莊模擬）下列條件中不能確定一個圓的是（）A．圓心與半徑 B．直徑 C．三角形的三個頂點 D．平面上的三個已知點【分析】根據(jù)不在同一條直線上的三個點確定一個圓，直接進行判斷即可．【解答】解：A、已知圓心和半徑能確定一個圓；B、已知直徑能確定一個圓；C、已知三角形的三個頂點，可以確定一個圓；D、平面上的三個已知點不能確定一個圓．故選：D．【點評】本題主要考查了確定圓的條件，屬于基礎(chǔ)題型．注意分類討論的思想的運用．2．（2021秋?東光縣期中）經(jīng)過兩點可以做無數(shù)個個圓，不在同一直線的三個點可以確定一個圓．【分析】經(jīng)過兩點可以做無數(shù)個個圓，不在同一直線的三個點可以確定一個圓．【解答】解：經(jīng)過兩點可以做無數(shù)個個圓，不在同一直線的三個點可以確定一個圓．故答案為：無數(shù)個，三．【點評】本題考查了確定圓的條件及確定直線的條件，屬于基礎(chǔ)題，比較簡單．3．（2021秋?龍鳳區(qū)期末）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的一塊碎片應(yīng)該是（）A．第一塊 B．第二塊 C．第三塊 D．第四塊【分析】要確定圓的大小需知道其半徑．根據(jù)垂徑定理知第①塊可確定半徑的大?。窘獯稹拷猓旱冖賶K出現(xiàn)一段完整的弧，可在這段弧上任做兩條弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點就是圓心，進而可得到半徑的長．故選：A．【點評】本題考查了確定圓的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：圓上任意兩弦的垂直平分線的交點即為該圓的圓心．4．（2022?江岸區(qū)模擬）如圖，已知平面直角坐標系內(nèi)三點A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P經(jīng)過點A、B、C，則點P的坐標為（）A．（6，8） B．（4，5） C．（4，） D．（4，）【分析】根據(jù)題意可知點P的橫坐標為4，設(shè)點P的坐標為（4，y），根據(jù)PA＝PC列出關(guān)于y的方程，解方程得到答案．【解答】解：∵⊙P經(jīng)過點A、B、C，∴點P在線段AB的垂直平分線上，∴點P的橫坐標為4，設(shè)點P的坐標為（4，y），作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，由題意得，，解得，y，故選：C．【點評】本題考查的是確定圓的條件，解題的關(guān)鍵是理解經(jīng)過不在同一直線上的三點作圓，圓心是過任意兩點的線段的垂直平分線的交點．5．（2021秋?潛山市期末）在平面直角坐標系中有A，B，C三點，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．現(xiàn)在要畫一個圓同時經(jīng)過這三點，則圓心坐標為（2，0）．【分析】根據(jù)不在同一直線上的三點能確定一個圓，該圓圓心在三點中任意兩點連線的垂直平分線上，據(jù)此及勾股定理可列式求解．【解答】解：∵A（1，3），B（3，3），C（5，1）不在同一直線上∴經(jīng)過點A，B，C可以確定一個圓∴該圓圓心必在線段AB的垂直平分線上∴設(shè)圓心坐標為M（2，m）則點M在線段BC的垂直平分線上∴MB＝MC由勾股定理得：∴1+m2﹣6m+9＝9+m2﹣2m+1∴m＝0∴圓心坐標為M（2，0）故答案為：（2，0）．【點評】本題考查了確定圓的條件，明確不在同一直線上的三點確定一個圓及圓心在這三條線段的垂直平分線的交點上，是解題的關(guān)鍵．二．三角形的外接圓與外心（共7小題）6．（2022?富陽區(qū)一模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，則點O是△ABC的（）A．三條高線的交點 B．三條邊的垂直平分線的交點 C．三條中線的交點 D．三角形三內(nèi)角角平分線的交點【分析】根據(jù)三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心，進而得出答案．【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圓，∴點O是△ABC的三條邊的垂直平分線的交點．故選：B．【點評】此題主要考查了三角形的外接圓與外心，正確把握外心的定義是解題關(guān)鍵．7．（2021秋?興化市期末）已知正三角形的邊長為12，則這個正三角形外接圓的半徑是（）A．2 B． C．3 D．4【分析】設(shè)正△ABC的中心為O，過O點作OD⊥BC，垂足為D，連接OB，把問題轉(zhuǎn)化到Rt△OBD中求OB即可．【解答】解：如圖，連接OB，作OD⊥BC，∵BC＝12，∴BDBC12＝6，∵△ABC是等邊三角形，∴∠OBD＝30°，∴OB．故選：D．【點評】本題考查了正多邊形和圓．關(guān)鍵是畫出正三角形及其中心，表示正三角形外接圓的半徑，把問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中求解．8．（2022?邯山區(qū)模擬）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC為直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x軸，M為Rt△ABC的外心．若點A的坐標為（3，4），點M的坐標為（﹣1，1），則點B的坐標為（）A．（3，﹣1） B．（3，﹣2） C．（3，﹣3） D．（3，﹣4）【分析】設(shè)C（m，n），利用直角三角形的外心為斜邊的中點，根據(jù)線段的中點坐標公式得到﹣1，1，求出m、n得到點C的坐標為（﹣5，﹣2），由于AB⊥x軸，BC∥x軸，從而得到B點坐標．【解答】解：∵M為Rt△ABC的外心，∴M點為AC的中點，設(shè)C（m，n），∵點A的坐標為（3，4），點M的坐標為（﹣1，1），∴﹣1，1，解得m＝﹣5，n＝﹣2，∴點C的坐標為（﹣5，﹣2），∵∠ABC＝90°，AB⊥x軸，∴BC∥x軸，∴B點坐標為（3，﹣2）．故選：B．【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心；銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點；鈍角三角形的外心在三角形的外部．也考查了坐標與圖形性質(zhì)．9．（2021秋?無錫期末）如圖，正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為r，求這個正三角形的周長和面積．【分析】連接OB、OC，作OD⊥BC于D，則∠ODB＝90°，BD＝CD，∠OBC＝30°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出OD，由勾股定理求出BD，得出BC，△ABC的面積＝3S△OBC，即可得出結(jié)果．【解答】解：如圖所示：連接OB、OC，作OD⊥BC于D，則∠ODB＝90°，BD＝CD，∠OBC＝30°，∴ODOBr，∴BDr，∴BC＝2BDr，即正三角形ABC邊長為r．∴正三角形ABC周長為．∴△ABC的面積＝3S△OBC＝3BC×OD＝3rr．∴正三角形ABC面積為．【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、三角形面積的計算；熟練掌握正三角形和圓的關(guān)系，并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵．10．（2022?沈河區(qū)校級模擬）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠C＝45°，AB＝6，則⊙O的半徑長為（）A． B．2 C．3 D．4【分析】連接OA，OB，可得∠AOB＝90°，進而利用等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：如圖，連接OA，OB，∵∠ACB＝45°，∴∠AOB＝2∠ACB＝90°，∵OA＝OB，∴△AOB是等腰直角三角形，在Rt△OAB中，OA2+OB2＝AB2，AB＝6，∴2OA2＝36，∴OA＝3，即⊙O的半徑是3，故選：C．【點評】此題考查三角形外接圓與外心，關(guān)鍵是根據(jù)圓周角與圓心角的關(guān)系得出∠AOB＝90°．11．（2022?福州模擬）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O；∠A＝30°，過圓心O作OD⊥BC，垂足為D．若⊙O的半徑為6，求OD的長．【分析】先證△BOC是等邊三角形，可得OB＝OC＝BC＝6，由勾股定理可求解．【解答】解：如圖，連接OB，OC，∵∠BOC＝2∠A，∠A＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等邊三角形，∴OB＝OC＝BC＝6，∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝3，在Rt△ODB中，OD3．【點評】本題考查了三角形的外接圓和外心，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．12．（2021秋?海淀區(qū)期末）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，高AD經(jīng)過圓心O．（1）求證：AB＝AC；（2）若BC＝8，⊙O的半徑為5，求△ABC的面積．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理證明結(jié)論；（2）連接OB，根據(jù)垂徑定理求出BD，根據(jù)勾股定理求出OD，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．【解答】（1）證明：∵OD⊥BC，∴，∴AB＝AC；（2）解：連接OB，∵OD⊥BC，BC＝8，∴BD＝DCBC8＝4，在Rt△ODB中，OD3，∴AD＝5+3＝8，∴S△ABC8×8＝32．【點評】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握垂徑定理、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一．選擇題（共5小題）1．（2020秋?西林縣期末）經(jīng)過不在同一直線上的三個點可以作圓的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．無數(shù)【分析】不在同一直線上的三點確定一個圓．【解答】解：經(jīng)過不在同一直線上的三點確定一個圓．故選：A．【點評】本題考查的是圓的確定，過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓，過一點可畫無數(shù)個圓，過兩點也能畫無數(shù)個圓，過不在同一條直線上的三點能畫且只能畫一個圓．2．（2021秋?閔行區(qū)校級期中）下列說法正確的個數(shù)有（）①平分弦的直徑，平分這條弦所對的??；②在等圓中，如果弦相等，那么它們所對的弧也相等；③等弧所對的圓心角相等；④過三點可以畫一個圓．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系以及確定圓的條件進行逐個判斷即可．【解答】解：①平分弦（弦不是直徑）的直徑，平分這條弦所對的弧，說法錯誤；②在等圓中，如果弦相等，但它們所對的弧不一定相等，說法錯誤；③等弧所對的圓心角相等，說法正確；④過不在同一直線上的三點可以畫一個圓，說法錯誤．綜上所述，正確的說法有1個．故選：A．【點評】本題考查的是垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系及確定圓的條件，在解答此類問題時要注意只有在同圓或等圓中，等弧所對的圓心角、弦、弦心距都分別相等．3．（2021秋?泗陽縣期末）下列說法正確的是（）A．一個三角形只有一個外接圓 B．三點確定一個圓 C．長度相等的弧是等弧 D．三角形的外心到三角形三條邊的距離相等【分析】根據(jù)三角形的外接圓、等弧的定義、三角形外心的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：A、任意三角形都有且只有一個外接圓，正確，本選項符合題意；B、不共線的三點確定一個圓，原說法錯誤，本選項不符合題意；C、長度相等的弧不一定是等弧，原說法錯誤，本選項不符合題意；D、三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，原說法錯誤，本選項不符合題意．故選：A．【點評】本題考查了三角形的外接圓、等弧的定義，熟練掌握圓的有關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋?無錫期末）如圖，在平面直角坐標系中，A（0，﹣3），B（2，﹣1），C（2，3）．則△ABC的外心坐標為（）A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點，所以在平面直角坐標系中作AB與BC的垂線，兩垂線的交點即為△ABC的外心．【解答】解：如圖，根據(jù)網(wǎng)格點O′即為所求．∵△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點，∴EF與MN的交點O′即為所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐標是（﹣2，1）．故選：D．【點評】此題考查了三角形的外接圓與外心，坐標與圖形性質(zhì)．注意三角形的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點．解此題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．5．（2021秋?江北區(qū)期末）如圖，在等邊△ABC中，AB＝4，點D為AB的中點，動點E、F分別在AD、BC上，且EF＝2，作△BEF的外接圓⊙O，交AC于點G、H．當動點E從點D向點A運動時，線段GH長度的變化情況為（）A．一直不變 B．一直變大 C．先變小再變大 D．先變大再變小【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可求ON＝1，F(xiàn)O＝OB＝GO＝OH＝2，則點O在以點B為圓心，2為半徑的圓上運動，由勾股定理可求GH＝2，即可求解．【解答】解：如圖，連接BO，EO，F(xiàn)O，GO，HO，過點O作ON⊥EF于N，OP⊥GH于P，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠EOF＝120°，∵OE＝OF，ON⊥EF，∴∠OEF＝∠OFE＝30°，EN＝FN，∴OF＝2ON，F(xiàn)NON，∴ON＝1，F(xiàn)O＝2，∴OB＝GO＝OH＝2，∴點O在以點B為圓心，2為半徑的圓上運動，∵OG＝OH，OP⊥GH，∴GH＝2PH，∵PH，∴GH＝2，∵動點E從點D向點A運動時，OP的長是先變小再變大，∴GH的長度是先變大再變小，故選：D．【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，確定點O的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共2小題）6．（2022春?重慶期中）如圖，點A、點B是直線l上兩點，AB＝10，點M在直線l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若點P為直線l上一動點，連接MP，則線段MP的最小值是4.8．【分析】根據(jù)垂線段最短可知：當MP⊥AB時，MP有最小值，再利用三角形的面積可列式計算求解MP的最小值．【解答】解：當MP⊥AB時，MP有最小值，∵AB＝10，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，∴AB?MP＝AM?BM，即10MP＝6×8，解得MP＝4.8．故答案為：4.8．【點評】本題主要考查垂線段最短，三角形的面積，找到MP最小時的P點位置是解題的關(guān)鍵．7．（2021秋?西城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A，B，C的橫、縱坐標都為整數(shù)，過這三個點作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標為（2，1）．【分析】根據(jù)圖形得出A、B、C的坐標，再連接AB，作線段AB和線段BC的垂直平分線MN、EF，兩線交于Q，則Q是圓弧的圓心，最后求出點Q的坐標即可．【解答】解：從圖形可知：A點的坐標是（0，2），B點的坐標是（1，3），C點的坐標是（3，3），連接AB，作線段AB和線段BC的垂直平分線MN、EF，兩線交于Q，則Q是圓弧的圓心，如圖，∴Q點的坐標是（2，1），故答案為：（2，1）．【點評】本題考查了確定圓的條件，坐標與圖形性質(zhì)，垂徑定理等知識點，能找出圓弧的圓心Q的位置是解此題的關(guān)鍵．三．解答題（共4小題）8．（2022春?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，I是△ABC內(nèi)一點，AI的延長線交BC于點D，交⊙O于E，連接BE，BI，若IB平分∠ABC，EB＝EI．（I）求證：AE平分∠BAC；（2）若BD，OI⊥AD于I，求CD的長．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠ABI＝∠CBI，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠EBI＝∠EIB，通過三角形外角的性質(zhì)和圓周角定理即可得到結(jié)論；（2）由AB是⊙O的直徑，得到AE⊥BE，推出OI∥BE，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到AI＝IE＝BE，推出AE＝2BE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，求得BE＝2，DE＝1，AE＝4，AD＝3，由于△ACD∽△BDE，得到2，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵IB平分∠ABC，∴∠ABI＝∠CBI，∵EB＝EI，∴∠EBI＝∠EIB，∵∠EBI＝∠BAI+∠IBA，∠EBI＝∠IBC+∠CBE，∴∠BAE＝∠CBE，∵∠CBE＝∠EAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴AE平分∠BAC；（2）∵AB是⊙O的直徑，∴AE⊥BE，∵OI⊥AE，∴OI∥BE，∵AO＝BO，∴AI＝IE＝BE，∴AE＝2BE，∵∠EBC＝∠BAE，∴△BDE∽△ABE，∴，∵BD，∴BE＝2，DE＝1，∴AE＝4，∴AD＝3，∵△ACD∽△BDE，∴2，∴CD2+AC2＝AD2，即CD2+（2CD）2＝9，∴CD．【點評】本題考查了三角形的外接圓和外心，垂徑定理，圓周角定理，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，能正確作出輔助線并求出AE＝2BE是解此題的關(guān)鍵，有一定的難度．9．（2022春?諸暨市校級月考）（1）請借助網(wǎng)格和一把無刻度直尺找出△ABC的外心點O；（2）設(shè)每個小方格的邊長為1，求出外接圓⊙O的面積．【分析】（1）根據(jù)三角形的外心是三邊垂直平分線的交點作出點O；（2）根據(jù)勾股定理求出圓的半徑，根據(jù)圓的面積公式計算，得到答案．【解答】解：（1）如圖所示，點O即為所求；（2）連接OB，由勾股定理得：OB，∴外接圓⊙O的面