/1.2一元二次方程的解法教材知識(shí)總結(jié)教材知識(shí)總結(jié)直接開方法解一元二次方程：

(1)直接開方法解一元二次方程：利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法稱為直接開平方法.

(2)直接開平方法的理論依據(jù)：平方根的定義.

(3)能用直接開平方法解一元二次方程的類型有兩類：

①形如關(guān)于x的一元二次方程，可直接開平方求解.

若，則；表示為，有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；

若，則x=O；表示為，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

若，則方程無實(shí)數(shù)根．

②形如關(guān)于x的一元二次方程，可直接開平方求解，兩根是

.

【點(diǎn)撥】用直接開平方法解一元二次方程的理論依據(jù)是平方根的定義，應(yīng)用時(shí)應(yīng)把方程化成左邊是含未知數(shù)的完全平方式，右邊是非負(fù)數(shù)的形式，就可以直接開平方求這個(gè)方程的根.

一元二次方程的解法配方法

1．配方法解一元二次方程：

(1)配方法解一元二次方程：

將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.

(2)配方法解一元二次方程的理論依據(jù)是公式：.

(3)用配方法解一元二次方程的一般步驟：

①把原方程化為的形式；

②將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)的系數(shù)，將二次項(xiàng)系數(shù)化為1；

③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

④再把方程左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；

⑤若方程右邊是非負(fù)數(shù)，則兩邊直接開平方，求出方程的解；若右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解.【點(diǎn)撥】（1）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；（2）配方法關(guān)鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.（3）配方法的理論依據(jù)是完全平方公式．

配方法的應(yīng)用1．用于比較大?。涸诒容^大小中的應(yīng)用，通過作差法最后拆項(xiàng)或添項(xiàng)、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比較出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的應(yīng)用，將原等式右邊變?yōu)?，左邊配成完全平方式后，再運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（?。┲禃r(shí)的應(yīng)用，將原式化成一個(gè)完全平方式后可求出最值．4．用于證明：“配方法”在代數(shù)證明中有著廣泛的應(yīng)用，我們學(xué)習(xí)二次函數(shù)后還會(huì)知道“配方法”在二次函數(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用．【點(diǎn)撥】“配方法”在初中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，是恒等變形的重要手段，是研究相等關(guān)系，討論不等關(guān)系的常用技巧，是挖掘題目當(dāng)中隱含條件的有力工具，同學(xué)們一定要把它學(xué)好．

公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式

一元二次方程，當(dāng)時(shí)，.

2.一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式：．

①當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；

②當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

③當(dāng)時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)根.

3.用公式法解一元二次方程的步驟

用公式法解關(guān)于x的一元二次方程的步驟：

①把一元二次方程化為一般形式；

②確定a、b、c的值（要注意符號(hào)）；

③求出的值；

④若，則利用公式求出原方程的解；

若，則原方程無實(shí)根.

【點(diǎn)撥】（1）雖然所有的一元二次方程都可以用公式法來求解，但它往往并非最簡單的，一定要注意方法的選擇.（2）一元二次方程，用配方法將其變形為：.①當(dāng)時(shí)，右端是正數(shù)．因此，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根：.②當(dāng)時(shí)，右端是零．因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根：.③當(dāng)時(shí)，右端是負(fù)數(shù)．因此，方程沒有實(shí)根.

因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步驟

（1）將方程右邊化為0；

（2）將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積；

（3）令這兩個(gè)一次式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程；

（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.

2.常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.【點(diǎn)撥】（1）能用分解因式法來解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個(gè)一次因式的積；（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個(gè)因式的積為0，那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點(diǎn)：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時(shí)除以含有未知數(shù)的代數(shù)式.看例題，漲知識(shí)看例題，漲知識(shí)【例題1】解方程：．【例題2】解方程：．【例題3】用你喜歡的方法解方程：．【例題4】解方程：課后習(xí)題鞏固一下課后習(xí)題鞏固一下一、單選題1．一元二次方程根的情況是（

）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根2．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）．A． B． C．且 D．且3．一元二次方程，配方后可變形為（

）A． B． C． D．4．下列一元二次方程中，無實(shí)數(shù)根的是（

）A． B．C． D．5．關(guān)于x的一元二次方程（其中）的根的情況是（

）A．沒有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．有沒有實(shí)數(shù)根取決于a的值6．方程的解為（

）A． B． C．或 D．或二、填空題7．一元二次方程的解是________．8．若關(guān)于x的一元二次方程無實(shí)數(shù)根，則c的取值范圍是____________．9．關(guān)于x的方程的解是___．10．已知、是一元二次方程的兩個(gè)根，則代數(shù)式的值為______．三、解答題11．解方程．(1)；(2)．12．解方程(1)(2)13．關(guān)于的一元二次方程．(1)當(dāng)時(shí)，解方程；(2)當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，求的取值范圍．14．已知：關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：不論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)選擇一個(gè)你喜歡的整數(shù)m的值代入原方程，并求出這個(gè)方程的解．15．定義：若，則稱與是關(guān)于的關(guān)聯(lián)數(shù)．例如：若，則稱與是關(guān)于2的關(guān)聯(lián)數(shù)；(1)若3與是關(guān)于的關(guān)聯(lián)數(shù)，則__________．(2)若與是關(guān)于-2的關(guān)聯(lián)數(shù)，求的值．(3)若與是關(guān)于的關(guān)聯(lián)數(shù)，，的值與無關(guān)，求的值．/

1.2一元二次方程的解法教材知識(shí)總結(jié)教材知識(shí)總結(jié)直接開方法解一元二次方程：

(1)直接開方法解一元二次方程：利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法稱為直接開平方法.

(2)直接開平方法的理論依據(jù)：平方根的定義.

(3)能用直接開平方法解一元二次方程的類型有兩類：

①形如關(guān)于x的一元二次方程，可直接開平方求解.

若，則；表示為，有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；

若，則x=O；表示為，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

若，則方程無實(shí)數(shù)根．

②形如關(guān)于x的一元二次方程，可直接開平方求解，兩根是

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【點(diǎn)撥】用直接開平方法解一元二次方程的理論依據(jù)是平方根的定義，應(yīng)用時(shí)應(yīng)把方程化成左邊是含未知數(shù)的完全平方式，右邊是非負(fù)數(shù)的形式，就可以直接開平方求這個(gè)方程的根.

一元二次方程的解法配方法

1．配方法解一元二次方程：

(1)配方法解一元二次方程：

將一元二次方程配成的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法.

(2)配方法解一元二次方程的理論依據(jù)是公式：.

(3)用配方法解一元二次方程的一般步驟：

①把原方程化為的形式；

②將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)的系數(shù)，將二次項(xiàng)系數(shù)化為1；

③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

④再把方程左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；

⑤若方程右邊是非負(fù)數(shù)，則兩邊直接開平方，求出方程的解；若右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解.【點(diǎn)撥】（1）配方法解一元二次方程的口訣：一除二移三配四開方；（2）配方法關(guān)鍵的一步是“配方”，即在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.（3）配方法的理論依據(jù)是完全平方公式．

配方法的應(yīng)用1．用于比較大?。涸诒容^大小中的應(yīng)用，通過作差法最后拆項(xiàng)或添項(xiàng)、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比較出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的應(yīng)用，將原等式右邊變?yōu)?，左邊配成完全平方式后，再運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（?。┲禃r(shí)的應(yīng)用，將原式化成一個(gè)完全平方式后可求出最值．4．用于證明：“配方法”在代數(shù)證明中有著廣泛的應(yīng)用，我們學(xué)習(xí)二次函數(shù)后還會(huì)知道“配方法”在二次函數(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用．【點(diǎn)撥】“配方法”在初中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，是恒等變形的重要手段，是研究相等關(guān)系，討論不等關(guān)系的常用技巧，是挖掘題目當(dāng)中隱含條件的有力工具，同學(xué)們一定要把它學(xué)好．

公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式

一元二次方程，當(dāng)時(shí)，.

2.一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式：．

①當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；

②當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

③當(dāng)時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)根.

3.用公式法解一元二次方程的步驟

用公式法解關(guān)于x的一元二次方程的步驟：

①把一元二次方程化為一般形式；

②確定a、b、c的值（要注意符號(hào)）；

③求出的值；

④若，則利用公式求出原方程的解；

若，則原方程無實(shí)根.

【點(diǎn)撥】（1）雖然所有的一元二次方程都可以用公式法來求解，但它往往并非最簡單的，一定要注意方法的選擇.（2）一元二次方程，用配方法將其變形為：.①當(dāng)時(shí)，右端是正數(shù)．因此，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根：.②當(dāng)時(shí)，右端是零．因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根：.③當(dāng)時(shí)，右端是負(fù)數(shù)．因此，方程沒有實(shí)根.

因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步驟

（1）將方程右邊化為0；

（2）將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積；

（3）令這兩個(gè)一次式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程；

（4）解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.

2.常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.【點(diǎn)撥】（1）能用分解因式法來解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個(gè)一次因式的積；（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個(gè)因式的積為0，那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點(diǎn)：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時(shí)除以含有未知數(shù)的代數(shù)式.看例題，漲知識(shí)看例題，漲知識(shí)【例題1】解方程：．【答案】【分析】將方程整理，再直接開平方即可．【解析】解：整理得：∴．【例題2】解方程：．【答案】【分析】利用配方法解答，即可求解．【解析】解：方程可化為，解得：，∴．【例題3】用你喜歡的方法解方程：．【答案】，【分析】利用公式法解一元二次方程即可得．【解析】解：方程中的，則方程根的判別式為，所以方程的解為，即．【例題4】解方程：【答案】，【分析】方程利用因式分解法求解即可．【解析】解：∴，∴，課后習(xí)題鞏固一下課后習(xí)題鞏固一下一、單選題1．一元二次方程根的情況是（

）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】C【分析】先把方程化為一般式，再計(jì)算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況．【解析】解：方程化為一般式為：＝0，∵Δ=，∴方程沒有實(shí)數(shù)根，故選：C．2．若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）．A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】根據(jù)根的判別式是非負(fù)數(shù)，且二次項(xiàng)系數(shù)不等于0，列不等式求解即可．【解析】解：由題意得，且解得且．故選：C．3．一元二次方程，配方后可變形為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】移項(xiàng)后，兩邊配上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方可得．【解析】解：移項(xiàng)得：x2-8x=1，配方得x2-8x+16=1+16，即（x-4）2=17，故選：A．4．下列一元二次方程中，無實(shí)數(shù)根的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分別計(jì)算各選項(xiàng)方程的根的判別式然后根據(jù)計(jì)算的結(jié)果分別判斷根的情況．【解析】解：A，方程沒有實(shí)數(shù)根，故符合題意．B，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故不符合題意．C，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故不符合題意．D，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故不符合題意．故選：A．5．關(guān)于x的一元二次方程（其中）的根的情況是（

）A．沒有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．有沒有實(shí)數(shù)根取決于a的值【答案】C【分析】求出，結(jié)合a≠1得出，確定出結(jié)果．【解析】解：∵a≠1，∴＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選擇C．6．方程的解為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】先移項(xiàng)，再利用因式分解的方法解方程即可．【解析】解：，解得：故選D二、填空題7．一元二次方程的解是________．【答案】【分析】先移項(xiàng)，然后利用因式分解法解方程，即可求出答案．【解析】解：，∴，∴，∴；故答案為：8．若關(guān)于x的一元二次方程無實(shí)數(shù)根，則c的取值范圍是____________．【答案】【分析】因?yàn)闊o實(shí)數(shù)根，即無實(shí)數(shù)根，根據(jù)根的判別式，求出c的取值范圍即可．【解析】∵無實(shí)數(shù)根，∴無實(shí)數(shù)根，∴，解得，∴當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根，故答案為：．9．關(guān)于x的方程的解是___．【答案】3或-1【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程．【解析】解：根據(jù)因式分解可直接得x-3=0，x+1=0解得x1=3，x2=-1．故答案為：3或-110．已知、是一元二次方程的兩個(gè)根，則代數(shù)式的值為______．【答案】10【分析】先解一元二次方程求出a、b的值，然后代值計(jì)算即可．【解析】解：∵，∴，解得，∵、是一元二次方程的兩個(gè)根，∴或，∴，故答案為：10．三、解答題11．解方程．(1)；(2)．【答案】(1)，；(2)，【分析】(1)移項(xiàng)后，利用直接開平方法解方程即可；(2)利用一元二次方程的求根公式直接求解即可．【解析】(1)解：，，，∴，解得，(2)解：這里，，，∴，∴，解得，12．解方程(1)(2)【答案】(1)，；(2)，【分析】（1）利用配方法解方程；（2）先移項(xiàng)得到（2x-1）2-（3-x）2=0，然后利用因式分解法解方程．【解析】(1)解：x2-6x-1=0，移項(xiàng)得：x2-6x=1，配方得：x2-6x+9=1+9，即（x-3）2=10，∴x-3=±，∴x1=3+，x2=3-；(2)解：移項(xiàng)得：（2x-1）2-（3-x）2=0，因式分解得：（2x-1+3-x）（2x-1-3+x）=0，∴2x-1+3-x=0或2x-1-3+x=0，∴x1=-2，x2=．13．關(guān)于的一元二次方程．(1)當(dāng)時(shí)，解方程；(2)當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，求的取值范圍．【答案】(1)，，(2)m<．【分析】（1）當(dāng)m=5時(shí)，方程為，得到一個(gè)一元二次方程，應(yīng)