/專題04二元一次方程組【考點(diǎn)1：】二元一次方程【考點(diǎn)2：】二元一次方程組【考點(diǎn)3：】解二元一次方程組【考點(diǎn)4：】三元一次方程組【考點(diǎn)5：】用二元一次方程組解決問題二元一次方程二元一次方程滿足的三個條件：（1）在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數(shù).（2）“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項（單項式）的次數(shù)是1.（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.二元一次方程的解：(1)二元一次方程的解都是一對數(shù)值，而不是一個數(shù)值，一般用大括號聯(lián)立起來，如：．(2)一般情況下，二元一次方程有無數(shù)個解，即有無數(shù)多對數(shù)適合這個二元一次方程．二、二元一次方程組組成方程組的兩個方程不必同時含有兩個未知數(shù)，例也是二元一次方程組三、解二元一次方程組形式：（1）二元一次方程組的解是一組數(shù)對，必須同時滿足方程組中每一個方程一般寫成的形式．(2)一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組的解有無數(shù)個．消元：1.消元思想：二元一次方程組中有兩個未知數(shù)，如果消去其中一個未知數(shù)，那么就把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程，我們就可以先求出一個未知數(shù)，然后再求出另一個未知數(shù).這種將未知數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知數(shù)由多變少.3.消元的基本方法：把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程.代入：(1)代入消元法的關(guān)鍵是先把系數(shù)較簡單的方程變形為：用含一個未知數(shù)的式子表示另一個未知數(shù)的形式，再代入另一個方程中達(dá)到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①當(dāng)方程組中含有一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)的代數(shù)式時，可以直接利用代入法求解；②若方程組中有未知數(shù)的系數(shù)為1(或-1)的方程．則選擇系數(shù)為1(或-1)的方程進(jìn)行變形較簡便；③若方程組中所有方程里的未知數(shù)的系數(shù)都不是1或-1，選系數(shù)絕對值較小的方程變形比較簡便．加減：(1)方程組的兩個方程中，如果同一個未知數(shù)的系數(shù)既不互為相反數(shù)，又不相等，那么就用適當(dāng)?shù)臄?shù)乘方程的兩邊，使同一個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等；(2)把兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；(3)解這個一元一次方程，求得一個未知數(shù)的值；（4)將這個求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的任意一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值，并把求得的兩個未知數(shù)的值用“大括號”聯(lián)立起來，就是方程組的解．四、三元一次方程組方法：（1）觀察方程組中未知數(shù)的系數(shù)特點(diǎn)，確定先消去哪個未知數(shù)；（2）利用代入法或加減法，把方程組中的一個方程，與另外兩個方程分別組成兩組，消去同一個未知數(shù)，得到一個關(guān)于另外兩個未知數(shù)的二元一次方程組；（3）解這個二元一次方程組，求得兩個未知數(shù)得值；（4）將這兩個未知數(shù)得值代入原方程組中較簡單得一個方程中，求出第三個未知數(shù)得值，從而得到原三元一次方程組得解。五、二元一次方程解決問題1、年齡問題（1）兩個人的年齡差是不變的；（2）兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的（3）兩個人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的。常用的計算公式是：成倍時小的年齡=大小年齡之差÷(倍數(shù)-1)幾年前的年齡=小的現(xiàn)年-成倍數(shù)時小的年齡幾年后的年齡=成倍時小的年齡-小的現(xiàn)在年2、古文問題只需看譯文后即可，節(jié)約時間3、倍分問題增長量＝原有量×增長率較大量＝較小量＋多余量總量＝倍數(shù)×倍量4、幾何問題用未知數(shù)表示長與寬，用面積與周長構(gòu)造等量關(guān)系5、方案問題在解決問題時，常常需合理安排．需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用、到不同旅行社購票等，一般都要運(yùn)用方程解答，得出最佳方案．方案選擇題的題目較長，有時方案不止一種，閱讀時應(yīng)抓住重點(diǎn),比較幾種方案得出最佳方案．6、行程問題速度×?xí)r間=路程.順?biāo)俣?靜水速度+水流速度逆水速度=靜水速度-水流速度7、工程問題工作量＝工作效率×工作時間，各部分勞動量之和＝總量，設(shè)工作總量為“1”。8、利潤問題商品利潤＝商品售價－商品進(jìn)價9、數(shù)字問題已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類問題一般設(shè)間接未知數(shù)，例如：若一個兩位數(shù)的個位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個兩位數(shù)可以表示為10b+a．10、解決應(yīng)用題方法與步驟1.列方程組解應(yīng)用題的基本思路2.列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟設(shè)：用兩個字母表示問題中的兩個未知數(shù)；列：列出方程組（分析題意，找出兩個等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組）；解：解方程組，求出未知數(shù)的值；驗：檢驗求得的值是否正確和符合實際情形；答：寫出答案．要點(diǎn)詮釋：（1）解實際應(yīng)用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個方程并組成方程組.考點(diǎn)剖析【考點(diǎn)1：】二元一次方程1．下列是二元一次方程的是（

）A． B． C． D．2．已知是二元一次方程的解，則的值為（

）A．11 B．5 C． D．3．二元一次方程的非負(fù)整數(shù)解有組．4．若是二元一次方程的一組解，則的值為．5．如果是關(guān)于x、y的二元一次方程，求m的值．6．對于二元一次方程（其中a，b是常數(shù)，x，y是未知數(shù)）當(dāng)時，x的值稱為二元一次方程的“完美值”，例如：當(dāng)時，二元一次方程化為，其“完美值”為．(1)求二元一次方程的“完美值”；(2)是二元一次方程的“完美值”，求m的值；(3)是否存在n，使得二元一次方程與（n是常數(shù)）的“完美值”相同？若存在，請求出n的值及此時的“完美值”；若不存在，請說明理由．【考點(diǎn)2：】二元一次方程組1．已知二元一次方程組的解是，則☆表示的方程可能是（

）A． B． C． D．2．關(guān)于x、y的方程組的解是，則的值是（

）．A．4 B．9 C．5 D．113．若關(guān)于、的二元一次方程組的解是，則關(guān)于、的二元一次方程組的解是.4．小剛解出了方程組，解為，因不小心滴上了兩滴墨水，剛好蓋住了方程組中的一個數(shù)和解中的一個數(shù)，則．5．解方程組時，小明本應(yīng)該解出，由于看錯了系數(shù)c，從而得到解，試求出的值6．關(guān)于，的二元一次方程組，，是常數(shù)），，．(1)當(dāng)時，求c的值；(2)若a是正整數(shù)，求證：僅當(dāng)時，該方程有正整數(shù)解．【考點(diǎn)3：】解二元一次方程組1．方程，用含y的代數(shù)式表示x為（

）A． B． C． D．2．關(guān)于x．y的方程組的解為，則方程組的解是（）A． B． C． D．3．若關(guān)于x，y的方程組的解滿足，則的值為．4．已知關(guān)于，的方程組的解的和是，則．5．解方程組：(1)(2)6．閱讀探索：知識累計：解方程組解：設(shè)，，原方程組可變?yōu)?，解方程組得，即，解得，此種解方程組的方法叫換元法．(1)拓展提高：運(yùn)用上述方法解下列方程組：(2)能力運(yùn)用：已知關(guān)于，的方程組的解為，求出關(guān)于，的方程組的解．【考點(diǎn)4：】三元一次方程組1．如圖，兩個天平都平衡，則與1個“●”質(zhì)量相等的“□”的個數(shù)為（

）

A．4 B．3 C．2 D．12．三元一次方程組消去一個未知數(shù)后，所得二元一次方程組是（

）A． B． C． D．3．已知、、是三個非負(fù)實數(shù)，滿足，，若，則的最大值與最小值的差為．4．利用兩塊完全一樣的長方體木塊測量一張桌子的高度，首先按圖①所示的方式放置，再交換兩木塊的位置，按圖②所示的方式放置．測量的數(shù)據(jù)如圖，則桌子的高度等于．5．解方程組：．6．有些關(guān)于方程組的問題，欲求的結(jié)果不是每一個未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題：已知實數(shù)x、y滿足①，②，求和的值．本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x、y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運(yùn)算量比較大．其實，仔細(xì)觀察兩個方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由可得，由可得，這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．解決問題：(1)已知二元一次方程組則______，______．(2)某班級組織活動購買小獎品，買13支鉛筆、5塊橡皮、2本日記本共需31元，買25支鉛筆、9塊橡皮、3本日記本共需55元，則購買3支鉛筆、3塊橡皮、3本日記本共需多少元？【考點(diǎn)5：】用二元一次方程組解決問題1．我國古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載了“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托，折回索子卻量竿，卻比竿子短一托．”其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺．設(shè)繩索長x尺，竿長y尺．下列符合題意的方程組是（

）A． B． C． D．2．某班去看演出，甲種票每張25元，乙種票每張15元，如果38名學(xué)生購票恰好用去750元，設(shè)買了x張甲種票，y張乙種票，則所列方程組正確的是（

）A． B．C． D．3．一工坊用鐵皮制作糖果盒，每張鐵皮可制作盒身20個，或制作盒底30個，一個盒身與兩個盒底配成一套糖果盒．現(xiàn)有35張鐵皮，則用張鐵皮做盒身，張鐵皮做盒底，恰巧配套．4．某元宵生產(chǎn)商家受原料保質(zhì)期影響，在購買元宵主要原料糯米粉和黃油時分三次購買，每次購買價格不變，購進(jìn)原料價格和數(shù)量如下表所示：第一次第二次糯米粉/千克1012黃油/千克23總金額/元310405若第三次購進(jìn)糯米粉20千克，黃油5千克，則第三次購買的總金額為元．5．長郡開福中學(xué)在今年3月29日組織了一場有聲有色的“愛心義賣”活動．在這次活動中，學(xué)生會組織的“衫衫來了，愛心義賣”成為活動焦點(diǎn).活動前一個月左右學(xué)生會購進(jìn)黑白兩種純色文化衫共200件，組織學(xué)校美術(shù)愛好者進(jìn)行手繪設(shè)計，計劃設(shè)計好后全部在義賣活動中售出（顏料由學(xué)校提供，不計入成本），預(yù)計獲利3360元．已知每種文化衫的成本和售價如下表：白色文化衫黑色文化衫成本（元/件）1012售價（元/件）2630(1)他們購進(jìn)兩種文化衫各多少件？(2)由于活動時間有限，白色文化衫按原價售出后，剩余的七五折銷售，黑色文化衫原價售出55件后，剩余的八折銷售，最后全部賣出．他們將實際獲利全部捐贈，求他們在這次“愛心義賣”活動中實際捐款多少元？6．甲、乙兩公司全體員工踴躍參與“攜手防疫，共渡難關(guān)”捐款活動，甲公司人均捐款120元，乙公司人均捐款100元，如圖是甲、乙兩公司員工的一段對話．(1)甲、乙兩公司各有多少人？(2)甲、乙兩公司共捐款多少元？(3)在第（2）問的情況下，現(xiàn)甲、乙兩公司共同使用這筆捐款購買、兩種防疫物資，種防疫物資每箱1500元，種防疫物資每箱1200元．若購買種防疫物資不少于20箱，并恰好將捐款用完，有幾種購買方案？請設(shè)計出來（注、兩種防疫物資均需購買，并按整箱配送）．過關(guān)檢測1．若關(guān)于x、y的方程的一組解是，則a的值為（

）A． B． C． D．2．用代入法解方程組時，將方程①代入②中，所得的方程正確的是（

）A． B．C． D．3．《九章算術(shù)》中記載“今有共買羊，人出五，不足三十五；人出七，余五，問人數(shù)、羊價各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差35錢；若每人出7錢，多余5錢，問合伙人數(shù)、羊價各是多少？此問題中羊價為（

）A．110錢 B．80錢 C．125錢 D．135錢4．如果方程組的解也是方程的解，那么m的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．45．若關(guān)于x、y的方程組與有相同的解，則的值為（）A．2024 B． C．1 D．6．若關(guān)于，的方程組（其中，是常數(shù)）的解為，則方程組的解為（

）A． B．C． D．7．已知關(guān)于x，y的二元一次方程組（a是常數(shù)），若不論a取什么實數(shù)，代數(shù)式（k是常數(shù)）的值始終不變，則k的值為（

）A． B． C．1 D．28．如圖，四邊形面積為，，，則的面積等于（

）

A． B． C． D．9．若關(guān)于，的方程組的解滿足，則的值為．10．二元一次方程的正整數(shù)解為（寫出一個即可）11．已知關(guān)于x，y的方程組的解滿足，則．12．若對于有理數(shù)x和y，定義一種運(yùn)算“”，，其中a、b、c為常數(shù)．已知，求5△4的值．13．如圖，在中，已知，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上．將沿直線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，向右平移若干單位長度后恰好能與邊重合，連接．若，則的值為．

14．如圖，在中，D是邊的中點(diǎn)，E、F分別是邊上的三等分點(diǎn)，連接分別交于G、H點(diǎn)，若的面積為90，則四邊形的面積為．

15．解方程組(1)；(2)．16．閱讀：某同學(xué)在解方程組時，運(yùn)用了換元法，方法如下：設(shè)，，則原方程組可變形為關(guān)于m，n的方程組，解這個方程組得到它的解為．由，，求得原方程組的解為．請利用換元法解方程組：．17．某公司后勤部準(zhǔn)備去超市采購牛奶和咖啡若干箱，現(xiàn)有兩種不同的購買方案，如下表：牛奶（箱咖啡（箱金額（元方案一20101100方案二3015__________(1)采購人員不慎將污漬弄到表格上，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，判斷污漬蓋住地方對應(yīng)金額是__元；(2)若后勤部購買牛奶25箱，咖啡20箱，則需支付金額1750元；①求牛奶與咖啡每箱分別為多少元？②超市中該款咖啡和牛奶有部分因保質(zhì)期臨近，進(jìn)行打六折的促銷活動，后勤部根據(jù)需要選擇原價或打折的咖啡和牛奶，此次采購共花費(fèi)了1200元，其中購買打折的牛奶箱數(shù)是所有牛奶、咖啡的總箱數(shù)的，則此次按原價采購的咖啡有箱（直接寫出答案）．18．把形狀、大小完全相同，長為y，寬為x的小長方形卡片（如圖①）不重疊地放在一個底面為長方形（長為m，寬為n，且）的盒子底部，有如下兩種擺法（如圖②③），盒子底部未被卡片覆蓋的部分用陰影表示．(1)圖②中陰影部分的周長為______（用含m，n的式子表示）；(2)圖③中，若，請直接寫出m，n的長（用含x，y的式子表示）；(3)若圖②中陰影部分的面積為480，，且，在（2）的條件下，求圖③中的長．

專題04二元一次方程組【考點(diǎn)1：】二元一次方程【考點(diǎn)2：】二元一次方程組【考點(diǎn)3：】解二元一次方程組【考點(diǎn)4：】三元一次方程組【考點(diǎn)5：】用二元一次方程組解決問題二元一次方程二元一次方程滿足的三個條件：（1）在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個未知數(shù).（2）“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項（單項式）的次數(shù)是1.（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.二元一次方程的解：(1)二元一次方程的解都是一對數(shù)值，而不是一個數(shù)值，一般用大括號聯(lián)立起來，如：．(2)一般情況下，二元一次方程有無數(shù)個解，即有無數(shù)多對數(shù)適合這個二元一次方程．二、二元一次方程組組成方程組的兩個方程不必同時含有兩個未知數(shù)，例也是二元一次方程組三、解二元一次方程組形式：（1）二元一次方程組的解是一組數(shù)對，必須同時滿足方程組中每一個方程一般寫成的形式．(2)一般地，二元一次方程組的解只有一個，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組的解有無數(shù)個．消元：1.消元思想：二元一次方程組中有兩個未知數(shù)，如果消去其中一個未知數(shù)，那么就把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程，我們就可以先求出一個未知數(shù)，然后再求出另一個未知數(shù).這種將未知數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知數(shù)由多變少.3.消元的基本方法：把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程.代入：(1)代入消元法的關(guān)鍵是先把系數(shù)較簡單的方程變形為：用含一個未知數(shù)的式子表示另一個未知數(shù)的形式，再代入另一個方程中達(dá)到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①當(dāng)方程組中含有一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)的代數(shù)式時，可以直接利用代入法求解；②若方程組中有未知數(shù)的系數(shù)為1(或-1)的方程．則選擇系數(shù)為1(或-1)的方程進(jìn)行變形較簡便；③若方程組中所有方程里的未知數(shù)的系數(shù)都不是1或-1，選系數(shù)絕對值較小的方程變形比較簡便．加減：(1)方程組的兩個方程中，如果同一個未知數(shù)的系數(shù)既不互為相反數(shù)，又不相等，那么就用適當(dāng)?shù)臄?shù)乘方程的兩邊，使同一個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等；(2)把兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；(3)解這個一元一次方程，求得一個未知數(shù)的值；（4)將這個求得的未知數(shù)的值代入原方程組中的任意一個方程中，求出另一個未知數(shù)的值，并把求得的兩個未知數(shù)的值用“大括號”聯(lián)立起來，就是方程組的解．四、三元一次方程組方法：（1）觀察方程組中未知數(shù)的系數(shù)特點(diǎn)，確定先消去哪個未知數(shù)；（2）利用代入法或加減法，把方程組中的一個方程，與另外兩個方程分別組成兩組，消去同一個未知數(shù)，得到一個關(guān)于另外兩個未知數(shù)的二元一次方程組；（3）解這個二元一次方程組，求得兩個未知數(shù)得值；（4）將這兩個未知數(shù)得值代入原方程組中較簡單得一個方程中，求出第三個未知數(shù)得值，從而得到原三元一次方程組得解。五、二元一次方程解決問題1、年齡問題（1）兩個人的年齡差是不變的；（2）兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的（3）兩個人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的。常用的計算公式是：成倍時小的年齡=大小年齡之差÷(倍數(shù)-1)幾年前的年齡=小的現(xiàn)年-成倍數(shù)時小的年齡幾年后的年齡=成倍時小的年齡-小的現(xiàn)在年2、古文問題只需看譯文后即可，節(jié)約時間3、倍分問題增長量＝原有量×增長率較大量＝較小量＋多余量總量＝倍數(shù)×倍量4、幾何問題用未知數(shù)表示長與寬，用面積與周長構(gòu)造等量關(guān)系5、方案問題在解決問題時，常常需合理安排．需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用、到不同旅行社購票等，一般都要運(yùn)用方程解答，得出最佳方案．方案選擇題的題目較長，有時方案不止一種，閱讀時應(yīng)抓住重點(diǎn),比較幾種方案得出最佳方案．6、行程問題速度×?xí)r間=路程.順?biāo)俣?靜水速度+水流速度逆水速度=靜水速度-水流速度7、工程問題工作量＝工作效率×工作時間，各部分勞動量之和＝總量，設(shè)工作總量為“1”。8、利潤問題商品利潤＝商品售價－商品進(jìn)價9、數(shù)字問題已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類問題一般設(shè)間接未知數(shù)，例如：若一個兩位數(shù)的個位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個兩位數(shù)可以表示為10b+a．10、解決應(yīng)用題方法與步驟1.列方程組解應(yīng)用題的基本思路2.列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟設(shè)：用兩個字母表示問題中的兩個未知數(shù)；列：列出方程組（分析題意，找出兩個等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組）；解：解方程組，求出未知數(shù)的值；驗：檢驗求得的值是否正確和符合實際情形；答：寫出答案．要點(diǎn)詮釋：（1）解實際應(yīng)用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設(shè)幾個未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個方程并組成方程組.考點(diǎn)剖析【考點(diǎn)1：】二元一次方程1．下列是二元一次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了二元一次方程的定義，熟悉掌握二元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二元一次方程的定義逐一判斷即可．【詳解】解：A：不是等式，故錯誤；B：是二元一次方程，故正確；C：，的次數(shù)為，故錯誤；D：，含有三個未知數(shù)，故錯誤；故選：B．2．已知是二元一次方程的解，則的值為（

）A．11 B．5 C． D．【答案】B【分析】本題考查了二元一次方程組的解，解一元一次方程，由題意得出，解一元一次方程即可得出答案．【詳解】解：是二元一次方程的解，，解得：，故選：B．3．二元一次方程的非負(fù)整數(shù)解有組．【答案】2【分析】本題主要考查了二元一次方程的解，掌握二元一次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是解題的關(guān)鍵；先用x去表示出y，再分別討論x的取值求解即可；【詳解】解：，，∵當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴二元一次方程的非負(fù)整數(shù)解為：，共2組，故答案為：2．4．若是二元一次方程的一組解，則的值為．【答案】2021【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解的定義，代數(shù)式求值，二元一次方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，據(jù)此把代入原方程得到，據(jù)此利用整體代入法代值計算即可．【詳解】解：∵是二元一次方程的一組解，∴，∴，故答案為：2021．5．如果是關(guān)于x、y的二元一次方程，求m的值．【答案】【分析】本題主要考查了二元一次方程的定義，只含有兩個未知數(shù)，且含未知數(shù)的項的系數(shù)為1的整式方程叫做二元一次方程，據(jù)此可得，解之即可得到答案．【詳解】解：∵是關(guān)于x、y的二元一次方程，∴，∴．6．對于二元一次方程（其中a，b是常數(shù)，x，y是未知數(shù)）當(dāng)時，x的值稱為二元一次方程的“完美值”，例如：當(dāng)時，二元一次方程化為，其“完美值”為．(1)求二元一次方程的“完美值”；(2)是二元一次方程的“完美值”，求m的值；(3)是否存在n，使得二元一次方程與（n是常數(shù)）的“完美值”相同？若存在，請求出n的值及此時的“完美值”；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)，【分析】本題考查二元一次方程的解，理解新定義，熟練掌握一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵．（1）由題意可得，即可求解；（2）由題意可得，求出m即可；（3）由，得，由，得，再由，即可求n的值，進(jìn)而求出完美值．【詳解】（1）∵有“完美值”，∴，解得，∴二元一次方程的“完美值”為；（2）∵是二元一次方程的“完美值”，∴，解得；（3）存在n，使得二元一次方程與（n是常數(shù)）的“完美值”相同，理由如下：由，得，由，得，∴，解得，∴，∴“完美值”為．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程的解，理解新定義，熟練掌握一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)2：】二元一次方程組1．已知二元一次方程組的解是，則☆表示的方程可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查二元一次方程組的解，根據(jù)方程組的解使方程組中的每一個方程都成立，求出的值，再將方程組的解分別代入各個選項中，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵二元一次方程組的解是，∴，∴，∴，∴，，，．故☆表示的方程可能是．故選C．2．關(guān)于x、y的方程組的解是，則的值是（

）．A．4 B．9 C．5 D．11【答案】B【分析】本題考查了二元一次方程組的解的定義，把方程組的解代入方程組求出、的值是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵方程組的解是，∴，解得，所以，．故選：B．3．若關(guān)于、的二元一次方程組的解是，則關(guān)于、的二元一次方程組的解是.【答案】【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解，正確得出關(guān)于、的方程組是解題關(guān)鍵．根據(jù)已知得出關(guān)于、的方程組，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：關(guān)于關(guān)于、的二元一次方程組的解是，方程組中，解得：．故答案為：．4．小剛解出了方程組，解為，因不小心滴上了兩滴墨水，剛好蓋住了方程組中的一個數(shù)和解中的一個數(shù)，則．【答案】8【分析】本題考查二元一次方程組的解和解二元一次方程組．掌握方程的解就是使等式成立的未知數(shù)的值是解題關(guān)鍵．將代入原方程組，解出和即可．【詳解】解：由題意得，解得：，．∴．故答案為：8．5．解方程組時，小明本應(yīng)該解出，由于看錯了系數(shù)c，從而得到解，試求出的值【答案】【分析】此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．將第一對x與y的值代入方程組第二個方程求出c的值，將兩對x與y的值代入方程組中第一個方程，求出a，b的值即可．【詳解】解：把代入，得，解得，把代入，得①，把代入，得②，①，②聯(lián)立方程組，得解得，∴．6．關(guān)于，的二元一次方程組，，是常數(shù)），，．(1)當(dāng)時，求c的值；(2)若a是正整數(shù)，求證：僅當(dāng)時，該方程有正整數(shù)解．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）將，值代入方程，得到關(guān)于，，的方程求解．（2）先表示方程的解，再確定．【詳解】（1）解：代入方程得：，，，，，．；（2）證明：由題意，得，整理得，①，、均為正整數(shù)，是正整數(shù)，是正整數(shù)，是正整數(shù)，，把代入①得，，，此時，，，，方程的正整數(shù)解是．僅當(dāng)時，該方程有正整數(shù)解．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程的解，消元法是求解本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)3：】解二元一次方程組1．方程，用含y的代數(shù)式表示x為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)，將其中一個未知數(shù)當(dāng)成常數(shù)，解方程即可．【詳解】解：∵，∴，∴；故選C．2．關(guān)于x．y的方程組的解為，則方程組的解是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解和解二元一次方程組，先將方程組變形為，再根據(jù)題意得到，即可求出最后結(jié)果．【詳解】解：方程組可變?yōu)椋?，∵關(guān)于x．y的方程組的解為，∴，由①得：，解得：，由②得：，∴方程組的解是，故選：B．3．若關(guān)于x，y的方程組的解滿足，則的值為．【答案】/0.125【分析】本題主要考查了解二元一次方程組，同底數(shù)冪除法計算，冪的乘方和冪的乘方的逆運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，先利用加減消元法得到，進(jìn)而得到，再推出，據(jù)此根據(jù)同底數(shù)冪除法計算法則求解即可．【詳解】解：，得，∵，∴，∴，∴，，故答案為：．4．已知關(guān)于，的方程組的解的和是，則．【答案】2【分析】本題考查了解二元一次方程組、已知二元一次方程組的解的情況求參數(shù)、解一元一次方程，解二元一次方程組得出，結(jié)合題意得出，再解一元一次方程即可得出答案．【詳解】解：，由得：，解得：，關(guān)于，的方程組的解的和是，，解得：，故答案為：．5．解方程組：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，解題的關(guān)鍵是利用代入消元法或加減消元法消去一個未知數(shù)．（1）方程組利用代入消元法求解即可；（2）方程組整理后，方程組利用加減消元法求解即可．【詳解】（1）得：解得將代入①得：解得，∴方程組的解為：；（2）方程整理得，得：解得將代入①得：解得，∴方程組的解為：．6．閱讀探索：知識累計：解方程組解：設(shè)，，原方程組可變?yōu)椋夥匠探M得，即，解得，此種解方程組的方法叫換元法．(1)拓展提高：運(yùn)用上述方法解下列方程組：(2)能力運(yùn)用：已知關(guān)于，的方程組的解為，求出關(guān)于，的方程組的解．【答案】(1)，詳見解析(2)，詳見解析【分析】本題主要考查了解二元一次方程組等知識點(diǎn)，（1）根據(jù)換元法設(shè)，，進(jìn)行求解計算即可；（2）根據(jù)換元法設(shè)，，進(jìn)行求解計算即可．熟練掌握運(yùn)算法則是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：設(shè)，，∴原方程組可變?yōu)椋?，解得：，即，解得：；?）設(shè)，，∴所求方程組可變?yōu)椋骸嗫傻?，∴解得：．【考點(diǎn)4：】三元一次方程組1．如圖，兩個天平都平衡，則與1個“●”質(zhì)量相等的“□”的個數(shù)為（

）

A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】本題主要考查了三元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)圖中物體的質(zhì)量和天平的平衡情況，設(shè)出未知數(shù)，列出方程組解答．【詳解】解：設(shè)1個“”，“”，“”的質(zhì)量分別為，∴，∴，∴，即：與1個“”質(zhì)量相等的“”的個數(shù)為2；故選C．2．三元一次方程組消去一個未知數(shù)后，所得二元一次方程組是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是三元一次方程組的解法，掌握加減消元法是解本題的關(guān)鍵，先消去未知數(shù)可得，從而可得答案．【詳解】解：，②③得：即，③①得：，∴，故選A3．已知、、是三個非負(fù)實數(shù)，滿足，，若，則的最大值與最小值的差為．【答案】1【分析】本題主要考查解二元一次方程組，根據(jù)題意，先推斷出S取最大值與最小值時的x、y、z的值，再求S的最大值與最小值的和．【詳解】解：要使S取最大值，最大，z最小，∵x、y、z是三個非負(fù)整數(shù)，∴，解方程組，解得：，∴S的最大值；要使S取最小值，聯(lián)立得方程組，得，，得，，∴，把，代入，整理得，，當(dāng)x取最小值時，S有最小值，∵x、y、z是三個非負(fù)整數(shù)，∴x的最小值是0，∴，∴S的最大值與最小值的差：；故答案為：14．利用兩塊完全一樣的長方體木塊測量一張桌子的高度，首先按圖①所示的方式放置，再交換兩木塊的位置，按圖②所示的方式放置．測量的數(shù)據(jù)如圖，則桌子的高度等于．【答案】【分析】本題主要考查了三元一次方程組的實際應(yīng)用，設(shè)長方體木塊長、寬，桌子的高為，根據(jù)圖①和圖②列出方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)長方體木塊長、寬，桌子的高為，由題意得，，解得，∴桌子的高度等于，故答案為：．5．解方程組：．【答案】【分析】此題考查了解三元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．方程組前兩個方程相加消去得到與的方程，與第三個方程聯(lián)立求出與的值，進(jìn)而求出的值即可．【詳解】解：①②得：④，④③得：，解得：，把代入③得：，解得：，把，代入②得：，解得：，則方程組的解為．6．有些關(guān)于方程組的問題，欲求的結(jié)果不是每一個未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題：已知實數(shù)x、y滿足①，②，求和的值．本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x、y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運(yùn)算量比較大．其實，仔細(xì)觀察兩個方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由可得，由可得，這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．解決問題：(1)已知二元一次方程組則______，______．(2)某班級組織活動購買小獎品，買13支鉛筆、5塊橡皮、2本日記本共需31元，買25支鉛筆、9塊橡皮、3本日記本共需55元，則購買3支鉛筆、3塊橡皮、3本日記本共需多少元？【答案】(1)4，2(2)45元【分析】本題考查了三元一次方程組的應(yīng)用以及整體思想的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出三元一次方程組是解題的關(guān)鍵．（1）用整體的思想求解即可；（2）先列出三元一次方程組，再由“整體思想”即可得解．【詳解】（1），得：，得：，∴，故答案為：4，2；（2）購買1支鉛筆需a元，1塊橡皮需b元，1本日記本共需c元，由題意得：，得：，∴．答：購買3支鉛筆、3塊橡皮、3本日記本共需45元．【考點(diǎn)5：】用二元一次方程組解決問題1．我國古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載了“繩索量竿”問題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托，折回索子卻量竿，卻比竿子短一托．”其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺．設(shè)繩索長x尺，竿長y尺．下列符合題意的方程組是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查根據(jù)實際問題列二元一次方程組，根據(jù)用繩索去量竿，繩索比竿長5尺，以及將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺，列出方程組即可．【詳解】解：設(shè)繩索長x尺，竿長y尺，由題意，得：；故選B．2．某班去看演出，甲種票每張25元，乙種票每張15元，如果38名學(xué)生購票恰好用去750元，設(shè)買了x張甲種票，y張乙種票，則所列方程組正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，正確得出等式是解題關(guān)鍵．分別利用有38名學(xué)生以及購票恰好用去750元，得出等式求出答案．【詳解】解：設(shè)買了張甲種票，張乙種票，根據(jù)題意可得：．故選：C．3．一工坊用鐵皮制作糖果盒，每張鐵皮可制作盒身20個，或制作盒底30個，一個盒身與兩個盒底配成一套糖果盒．現(xiàn)有35張鐵皮，則用張鐵皮做盒身，張鐵皮做盒底，恰巧配套．【答案】1520【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確分析題目中的等量關(guān)系．根據(jù)題意可知，本題中的相等關(guān)系是（1）盒身的個數(shù)盒底的個數(shù)；(2)制作盒身的白鐵皮張數(shù)+制作盒底的白鐵皮張數(shù)，列方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)用x張制作盒身，y張制作盒底，根據(jù)題意，得，解得，故答案為：15，20．4．某元宵生產(chǎn)商家受原料保質(zhì)期影響，在購買元宵主要原料糯米粉和黃油時分三次購買，每次購買價格不變，購進(jìn)原料價格和數(shù)量如下表所示：第一次第二次糯米粉/千克1012黃油/千克23總金額/元310405若第三次購進(jìn)糯米粉20千克，黃油5千克，則第三次購買的總金額為元．【答案】675【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用．設(shè)糯米粉每千克的單價為元，黃油每千克的單價為元，根據(jù)題意列得二元一次方程組，求得和的值，再代入，計算即可求解．【詳解】解：設(shè)糯米粉每千克的單價為元，黃油每千克的單價為元，依題意得，解得，∴（元），故答案為：675．5．長郡開福中學(xué)在今年3月29日組織了一場有聲有色的“愛心義賣”活動．在這次活動中，學(xué)生會組織的“衫衫來了，愛心義賣”成為活動焦點(diǎn).活動前一個月左右學(xué)生會購進(jìn)黑白兩種純色文化衫共200件，組織學(xué)校美術(shù)愛好者進(jìn)行手繪設(shè)計，計劃設(shè)計好后全部在義賣活動中售出（顏料由學(xué)校提供，不計入成本），預(yù)計獲利3360元．已知每種文化衫的成本和售價如下表：白色文化衫黑色文化衫成本（元/件）1012售價（元/件）2630(1)他們購進(jìn)兩種文化衫各多少件？(2)由于活動時間有限，白色文化衫按原價售出后，剩余的七五折銷售，黑色文化衫原價售出55件后，剩余的八折銷售，最后全部賣出．他們將實際獲利全部捐贈，求他們在這次“愛心義賣”活動中實際捐款多少元？【答案】(1)購進(jìn)白色文化衫件，黑色文化衫件(2)捐款元【分析】本題主要考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，準(zhǔn)確列出方程組是解題的關(guān)鍵．（1）利用題中條件以及表格，列出對應(yīng)的二元一次方程組即可進(jìn)行解題；（2）根據(jù)題意列出算式計算解題即可．【詳解】（1）解：設(shè)購進(jìn)白色文化衫件，黑色文化衫件，列方程組得：，解得：，答：購進(jìn)白色文化衫件，黑色文化衫件．（2）解：元，答：他們在這次“愛心義賣”活動中實際捐款元．6．甲、乙兩公司全體員工踴躍參與“攜手防疫，共渡難關(guān)”捐款活動，甲公司人均捐款120元，乙公司人均捐款100元，如圖是甲、乙兩公司員工的一段對話．(1)甲、乙兩公司各有多少人？(2)甲、乙兩公司共捐款多少元？(3)在第（2）問的情況下，現(xiàn)甲、乙兩公司共同使用這筆捐款購買、兩種防疫物資，種防疫物資每箱1500元，種防疫物資每箱1200元．若購買種防疫物資不少于20箱，并恰好將捐款用完，有幾種購買方案？請設(shè)計出來（注、兩種防疫物資均需購買，并按整箱配送）．【答案】(1)甲公司有150人，乙公司有180人；(2)甲、乙兩公司共捐款36000元；(3)共有2種購買方案，方案1：購買8箱種防疫物資，20箱種防疫物資；方案2：購買4箱種防疫物資，25箱種防疫物資．【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列式計算；（3）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．（1）設(shè)甲公司有人，則乙公司有人，根據(jù)“甲公司的人數(shù)比乙公司少30人，且甲、乙兩公司的捐款總數(shù)相同”，可列出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）利用甲、乙兩公司的捐款總數(shù)甲公司的人均捐款數(shù)甲公司的人數(shù)乙公司的人均捐款數(shù)乙公司的人數(shù)，即可求出結(jié)論；（3）設(shè)購買箱種防疫物資，箱種防疫物資，利用總價單價數(shù)量，可列出關(guān)于，的二元一次方程，結(jié)合，均為正整數(shù)且，即可得出各購買方案．【詳解】（1）解：設(shè)甲公司有人，則乙公司有人，根據(jù)題意得：，解得：．答：甲公司有150人，乙公司有180人；（2）解：（元．答：甲、乙兩公司共捐款36000元；（3）解：設(shè)購買箱種防疫物資，箱種防疫物資，根據(jù)題意得：，．又，均為正整數(shù)，且，或，共有2種購買方案，方案1：購買8箱種防疫物資，20箱種防疫物資；方案2：購買4箱種防疫物資，25箱種防疫物資．過關(guān)檢測1．若關(guān)于x、y的方程的一組解是，則a的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查二元一次方程的知識，解題的關(guān)鍵是掌握二元一次方程的解，把，代入，即可．【詳解】∵方程的一組解是，∴，解得：．故選：A．2．用代入法解方程組時，將方程①代入②中，所得的方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】此題考查了代入法解二元一次方程組的關(guān)鍵一步“代入消元”，通過這一步，使二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程來解答，典型地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想．將方程①代入②，然后去括號即可．【詳解】解：將方程①代入②中，得，故選D．3．《九章算術(shù)》中記載“今有共買羊，人出五，不足三十五；人出七，余五，問人數(shù)、羊價各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差35錢；若每人出7錢，多余5錢，問合伙人數(shù)、羊價各是多少？此問題中羊價為（

）A．110錢 B．80錢 C．125錢 D．135錢【答案】D【分析】本題考查二元一次方程組的實際應(yīng)用，設(shè)合伙人有人，羊的價格為錢，根據(jù)每人出5錢，還差35錢；若每人出7錢，多余5錢，列出方程組進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)合伙人有人，羊的價格為錢，由題意，得：，解得：；故羊的價格為135錢，故選D．4．如果方程組的解也是方程的解，那么m的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查了二元一次方程組的解法，熟練掌了二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)同解方程將運(yùn)用加減消元法求出方程組解，再將解代入方程①得到一個關(guān)于的等式，求解即可．【詳解】解：∵方程組的解也是方程的解，∴，得，將代入②，得，將，代入①得，解得，故選：B．5．若關(guān)于x、y的方程組與有相同的解，則的值為（）A．2024 B． C．1 D．【答案】C【分析】本題考查了二元一次方程組的解，解二元一次方程組和求代數(shù)式的值等知識，能求出兩方程組的相同的解是解此題的關(guān)鍵．先求出的解，然后將方程組的解代入含a、b的方程中組成二元一次方程組，求解出含a、b的值，再代入求出即可．【詳解】解：由題意，得，，得，∴，把代入②得，∴，解得；將代入，得，，得，解得：，把代入④得，解得：．，故選：C．6．若關(guān)于，的方程組（其中，是常數(shù)）的解為，則方程組的解為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了二元一次方程組的特殊運(yùn)算，熟悉掌握如何聯(lián)立系數(shù)是解題的關(guān)鍵．由兩方程組的系數(shù)相同，聯(lián)立兩方程組后運(yùn)算求解即可．【詳解】解：由可變形為，∵的解為，且與的系數(shù)相同，∴聯(lián)立與的可得：，解得：故選：B．7．已知關(guān)于x，y的二元一次方程組（a是常數(shù)），若不論a取什么實數(shù)，代數(shù)式（k是常數(shù)）的值始終不變，則k的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【分析】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用，將方程組中的兩個方程變形后聯(lián)立消掉a即可得出結(jié)論，將方程組中的兩個方程聯(lián)立消掉是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：關(guān)于x，y的二元一次方程組，可得，即，故k的值為，故選：A．8．如圖，四邊形面積為，，，則的面積等于（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，設(shè)，，根據(jù)已知得出①，進(jìn)而得出，可得②，解方程組，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，

設(shè)，∵∴，，∵，∴，即整理得①∵，則∴∴即解得②聯(lián)立①②得∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，三角形面積公式，得出是解題的關(guān)鍵．9．若關(guān)于，的方程組的解滿足，則的值為．【答案】【分析】本題考查了加減消元解二元一次方程組，根據(jù)題意得，進(jìn)而可得，即可求解．【詳解】解：得，∴∵，∴∴，故答案為：．10．二元一次方程的正整數(shù)解為（寫出一個即可）【答案】或或【分析】本題考查求二元一次方程的整數(shù)解，根據(jù)方程的解是使方程成立的未知數(shù)的值，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵均為正整數(shù)，∴或或；故答案為：或或．11．已知關(guān)于x，y的方程組的解滿足，則．【答案】4【分析】本題考查根據(jù)方程組的解的情況，求參數(shù)，將兩個方程相加后，整體代入法得到關(guān)于的一元一次方程，求解即可．【詳解】解：，得：，∵，∴，∴；故答案為：4．12．若對于有理數(shù)x和y，定義一種運(yùn)算“”，，其中a、b、c為常數(shù)．已知，求5△4的值．【答案】6【分析】本題考查新定義運(yùn)算，理解新定義運(yùn)算法則，列出三元一次方程組并利用整體思想求解是關(guān)鍵．根據(jù)新定義運(yùn)算列出方程組，然后用加減法及整體思想計算求解．【詳解】解：∵，，可得：，，，故答案為：6．13．如圖，在中，已知，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上．將沿直線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，向右平移若干單位長度后恰好能與邊重合，連接．若，則的值為．

【答案】12【分析】由折疊的性質(zhì)和平移的性質(zhì)可得、、，再根據(jù)可得，再結(jié)合可得，最后代入即可解答．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得：；由平移的性質(zhì)可得：，，∴，∴∵，即，∴，，∴．故答案為12．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、平移的性質(zhì)等知識點(diǎn)，理解折疊和平移的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．14．如圖，在中，D是邊的中點(diǎn)，E、F分別是邊上的三等分點(diǎn)，連接分別交于G、H點(diǎn)，若的面積為90，則四邊形的面積