有心圓錐曲線的焦點(diǎn)四邊形及應(yīng)用一．基本原理如圖，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，的左右焦點(diǎn)記為，則稱為橢圓的焦點(diǎn)四邊形.性質(zhì)1：為平行四邊形.性質(zhì)2：任意兩鄰邊之和為，?周長(zhǎng)恒為.性質(zhì)3：.等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)不存在.性質(zhì)4：當(dāng)且僅當(dāng)不存在時(shí)，取最大張角.此時(shí)，取最小值.性質(zhì)5：由平行四邊形性質(zhì)可得：性質(zhì)6：由余弦定理：.由均值不等式：.則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)..性質(zhì)7：若四邊形為矩形，則.由矩形性質(zhì)可知，對(duì)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，有.性質(zhì)8：設(shè)的坐標(biāo)分別為，則，.性質(zhì)9[1]一般地，橢圓的左、右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，，，過點(diǎn)的直線（不是軸）交橢圓于兩點(diǎn)，直線相交于點(diǎn)，直線，相交于點(diǎn)，則（1）；（2）；（3）直線恒過定點(diǎn)；（4）二．典例分析例1．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)M，N在橢圓C上（點(diǎn)M位于第一象限），且點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，若，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．解析：依題意作下圖，由于，并且線段MN，互相平分，∴四邊形是矩形，其中，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，，，整理得，由于點(diǎn)M在第一象限，，由，得，即，整理得，即，解得或舍去.故選：B．例2．已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l與橢圓E交于P，Q兩點(diǎn)，若，且，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．解析：設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，連接，根據(jù)橢圓對(duì)稱性可知四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)?，可得，所以，則，.由余弦定理可得，即，即故橢圓離心率故選：C.例3．已知橢圓=1的右焦點(diǎn)為F，橢圓上的A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，且，則該橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．解析：由題意知，如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為E，則，因?yàn)辄c(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以四邊形為平行四邊形，由，得，，在中，，所以.由，得，整理，得，又，所以.例4．已知F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，若存在直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且，則橢圓離心率的取值范圍是（

）．A． B． C． D．解析：連接，與左右焦點(diǎn)，的連線，由，由橢圓及直線的對(duì)稱性可得四邊形為平行四邊形，，在三角形中，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又直線的斜率存在，故，即，可得，所以橢圓的離心率.故選：A．下面我們看雙曲線中的焦點(diǎn)四邊形及應(yīng)用.例5.已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)A、B分別在雙曲線的左、右兩支上，，，且點(diǎn)C在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．解析：如下圖，若左焦點(diǎn)，連接，因?yàn)锳、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且，所以為矩形，設(shè)，則，，，在直角△中，即，所以，在直角△中，即，所以.故選：B例6.已知點(diǎn)F為雙曲線(，)的左焦點(diǎn)，過原點(diǎn)O的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)B在雙曲線左支上)，連接BF并延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)C，且，AF⊥BC，則該雙曲線的離心率為(

)A． B． C． D．解析：如圖，為雙曲線右焦點(diǎn)，則根據(jù)對(duì)稱性知為矩形﹒設(shè)，則，，，，在△中，由余弦定理得，，即，即①，在Rt△中，，即②，聯(lián)立①②解得，，代入②，，解得.故選：B.例7.已知，分別為雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)，以為直徑的圓與雙曲線在第一象限和第三象限的交點(diǎn)分別為，，設(shè)四邊形的周長(zhǎng)為，面積為S，且滿足，則該雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．解析：由題意可得，，解得，又為直徑，所以四邊形為矩形，所以，又，所以，即，由，得，即，所以，即．故選：C．例8．如圖，，是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，，分別是，在第二、四象限的公共點(diǎn)，若，且，則與的離心率之積為_____.解析：連接，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知：點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，若，所以