/第09講圓周角（3種題型）1.理解并掌握圓周角相關(guān)概念2.探索并掌握圓周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對的圓周角的特征；1.圓周角定義：像圖中∠AEB、∠ADB、∠ACB這樣的角，它們的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．2.圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．頂點在圓上,它們的兩邊在圓內(nèi)的部分分別是圓的弦.圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。3、圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)。推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑,高考物理。圓周角的特點:(1)角的頂點在圓上;(2)角的兩邊在圓內(nèi)的部分是圓的弦.4、圓周角和圓心角相對于圓心與直徑的位置關(guān)系有三種:解題規(guī)律:5、解決圓周角和圓心角的計算和證明問題,要準確找出同弧所對的圓周角和圓心角,然后再靈活運用圓周角定理3.圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．【微點撥】(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.圓心與圓周角存在三種位置關(guān)系：圓心在圓周角的一邊上；圓心在圓周角的內(nèi)部；圓心在圓周角的外部．（如下圖）一．圓周角定理（共12小題）1．（2023?亭湖區(qū)校級三模）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BCD＝40°，則∠ABD的大小為（）A．60° B．50° C．45° D．40°2．（2023?溧陽市一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的兩點，若∠ABD＝54°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．36° B．40° C．46° D．65°3．（2023?金壇區(qū)一模）如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點P，若∠A＝40°，∠APD＝70°，則∠B的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．35° D．40°4．（2023?天寧區(qū)模擬）如圖，在⊙O中，AB∥OC，若∠OBA＝40°，則∠BAC的度數(shù)是（）A．50° B．30° C．25° D．20°5．（2023?鹽都區(qū)一模）用破損量角器按如圖方式測量∠ABC的度數(shù)，讓∠ABC的頂點恰好在量角器圓弧上，兩邊分別經(jīng)過圓弧上的A、C兩點．若點A、C對應(yīng)的刻度分別為55°，135°，則∠ABC的度數(shù)為．6．（2023?蘇州模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交⊙O于點C，D，連接BD．若∠A＝34°，∠AED＝87°，則∠B＝°．?7．（2022秋?南京期末）在同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點．（1）如圖①，若大圓、小圓的半徑分別為13和7，AB＝24，則CD的長為．（2）如圖②，大圓的另一條弦EF交小圓于G，H兩點，若AB＝EF，求證CD＝GH．8．（2023?南京模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD與AB交于點E，連接AC、BD，∠B＝75°，∠A＝45°，，則弦CD＝．?9．（2023?蘇州模擬）如圖，已知AB，CD是⊙O的兩條直徑，直徑CD平分∠ACE，∠ACE的一邊CE與⊙O和直徑AB分別交于點E，F(xiàn)，連接BE，且AC＝AF．?（1）證明：BE∥CD；（2）若CF＝2，求BF的長．10．（2022秋?太倉市期末）如圖，⊙O的直徑AB＝5，弦AC＝4，連接BC，以C為圓心，BC長為半徑畫弧與⊙O交于點D，連接AD，BD，BD與AC交于點E．（1）請直接寫出圖中與∠CAB相等的所有角；（2）求AD的長．11．（2022秋?鼓樓區(qū)期末）如圖，AB為⊙O的直徑，D是弦AC延長線上一點，AC＝CD，DB的延長線交⊙O于點E，連接CE．（1）求證∠A＝∠D；（2）若的度數(shù)為108°，求∠E的度數(shù)．12．（2022秋?建鄴區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，AC是⊙O的直徑，，∠CAB＝32°．求∠ACD的度數(shù)．二．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共14小題）13．（2023?高新區(qū)校級模擬）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BE是⊙O的直徑，連接AE．若∠BCD＝2∠BAD，則∠DAE的度數(shù)是（）A．20° B．30° C．40° D．45°14．（2023?興化市二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，∠ABD＝20°，則∠BCD的度數(shù)為°．15．（2023?建鄴區(qū)一模）如圖，點A，B，C，D在⊙O上．若∠O＝∠C＝130°，則∠BAO＝°．16．（2023?沭陽縣模擬）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AO、CO，若∠AOC＝112°，則∠B的度數(shù)是．17．（2022秋?江陰市校級月考）如圖，正方形ABCD四個頂點都在⊙O上，點P是在弧BC上的一點（P點與C點不重合），則∠CPD的度數(shù)是．18．（2022秋?靖江市期末）如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O．求證：∠A+∠C＝180°．19．（2022秋?宿城區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于一圓，CE是邊BC的延長線．（1）求證∠DAB＝∠DCE；（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度數(shù)．20．（2022秋?宿豫區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，∠ADB＝∠CDB，若，AD＝1，求CD的長度．21．（2022秋?鎮(zhèn)江期中）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠EAD＝∠BAC，BA、CD延長線交于點E．求證：BD＝BC．22．（2022秋?建鄴區(qū)期中）求證：圓內(nèi)接四邊形的對角互補．已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O．求證：∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°．證明：作直徑AE，連接BE、DE．所以∠ABE＝∠ADE＝90°．因為∠CBE＝∠CDE，（①）所以∠ABC+∠CDA＝∠ABE+∠EDA＝180°．同理∠DAB+∠BCD＝180°．（1）證明過程中依據(jù)①是；（2）請給出另一種證明方法．23．（2023?蘇州一模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠BCD＝2∠BOD，則∠A的度數(shù)是（）A．30° B．36° C．45° D．60°24．（2023?鼓樓區(qū)校級三模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠A＝120°，則∠BOD的度數(shù)為（）A．60° B．70° C．120° D．150°25．（2022秋?棲霞區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足為E．（1）求證：∠BAC＝2∠DAC；（2）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．26．（2022秋?高新區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC的延長線與AD的延長線交于點E，且DC＝DE．（1）求證：∠A＝∠AEB；（2）連接OE，交CD于點F，若OE⊥CD，求∠A的度數(shù)．三．相交弦定理（共5小題）27．（2021?鹽都區(qū)二模）如圖，在⊙O中，弦CD過弦AB的中點E，CE＝1，DE＝3，則AB＝．28．（2022秋?濱湖區(qū)校級期中）如圖，在⊙O中，弦AB、CD相交于點P，且PD＜PC．（1）求證：△PAD∽△PCB；（2）若PA＝3，PB＝8，CD＝10，求PD．29．（2021秋?錫山區(qū)校級月考）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD交于點E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，求EC的長．30．（2021秋?江陰市校級月考）如圖，在⊙O中，弦AD，BC相交于點E，連接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．（1）求證：AB＝CD；（2）如果⊙O的直徑為10，DE＝1，求AE的長．31．（2021秋?濱湖區(qū)校級期中）如圖，已知圓O，弦AB、CD相交于點M．（1）求證：AM?MB＝CM?MD；（2）若M為CD中點，且圓O的半徑為3，OM＝2，求AM?MB的值．一．選擇題（共10小題）1．（2023?錫山區(qū)模擬）如圖，A、B、C、D是⊙O上四點，且點D是弧AB的中點，CD交OB于E，∠AOB＝100°，∠OBC＝55°，則∠OEC的度數(shù)為（）A．90° B．80° C．70° D．60°2．（2023?漣水縣一模）如圖，點A、B、C在⊙O上，∠AOB＝108°，則∠ACB的度數(shù)是（）A．54° B．27° C．36° D．108°3．（2023?南京二模）如圖，AB是半圓O的直徑，C，D在半圓O上．若∠CAB＝28°，則∠ADC的度數(shù)為（）A．152° B．142° C．118° D．108°4．（2023?如皋市一模）如圖，A，B，C為⊙O上三點，∠AOC＝100°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．130° B．125° C．100° D．80°5．（2023?銅山區(qū)一模）下列說法中，正確的是（）①對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形；②對角線相等的四邊形是矩形；③同弧或等弧所對的圓周角相等；④半圓是弧，但弧不一定是半圓．A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④6．（2023?徐州模擬）如圖，點A、B、C在⊙O上，若∠ACB＝39°，則∠AOB的度數(shù)為（）A．78° B．61° C．76° D．51°7．（2023?如東縣一模）如圖，AB，BC為⊙O的兩條弦，連接OA，OC，點D為AB的延長線上一點，若∠CBD＝62°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．100° B．118° C．124° D．130°8．（2023?新華區(qū)校級模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝1，則⊙O的半徑為（）A．4 B． C． D．9．（2023?連云港二模）小明用一個破損的量角器按照如圖所示的方式測量∠ABC的度數(shù)，讓∠ABC的頂點恰好在量角器的圓弧上，兩邊分別經(jīng)過圓弧上的A、C兩點．若點A、C對應(yīng)的刻度分別為55°，135°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．135° B．140° C．145° D．150°10．（2023?鼓樓區(qū)校級二模）如圖，點A，B，C都在⊙O上，∠C＝40°，則∠AOB的度數(shù)為（）A．20° B．40° C．60° D．80°二．填空題（共8小題）11．（2023?姑蘇區(qū)校級二模）如圖，O、B兩點是線段AC的三等分點，以AB為直徑作⊙O，點E為⊙O上一點，連接CE，交⊙O于點D，連接BD、AE，若點D恰為線段CE中點且BD＝2，則△AEC周長為．12．（2023?鹽都區(qū)一模）如圖，點A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝130°，則∠ABC＝°．13．（2023?贛榆區(qū)一模）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D是圓周上的兩點，若∠ABC＝38°，則∠BDC的度數(shù)為．14．（2023?南京一模）如圖，在⊙O中，C為上的點，．若∠ACB＝120°，則∠OBC＝．15．（2023?工業(yè)園區(qū)校級二模）如圖，在矩形ABCD中，AD＝4，，以AD為直徑作⊙O，E為BC的中點，AE交⊙O于F，連CF，則CF的長為．16．（2023?姑蘇區(qū)校級一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，且OC⊥AB，過點C的弦CD與線段OB相交于點E，滿足∠OCD＝25°，連接AD，則∠BAD＝°．17．（2023?溧陽市一模）如圖，正方形ABCD中，點E是BC的中點，連接DE，與以CD為直徑的半圓交于點F，連接AF并延長交BC于點P，則的值．18．（2023?武進區(qū)一模）如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E是BC邊上一點，以AB為直徑在正方形內(nèi)作半圓O，將△DCE沿DE翻折，點C剛好落在半圓O的點F處，則CF的長為．三．解答題（共7小題）19．（2022秋?淮安區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD的頂點都在同一個圓上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4．（1）求∠A、∠B的度數(shù)；（2）若D為的中點，AB＝4，BC＝3，求四邊形ABCD的面積．20．（2022秋?蘇州期末）如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過△ABC的頂點C，AE，BE分別平分∠BAC和∠ABC，AE的延長線交BC于點F，交⊙O于點D，連接BD．（1）求證：∠CBD＝∠BAD；（2）求證：BD＝DE；（3）若，，求BC的長．21．（2022秋?高新區(qū)校級月考）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB為直徑作半圓O，分別交BC，AC于點D，E．（1）求證：BD＝DC．（2）若∠BAC＝40°，求所對的圓心角的度數(shù)．22．（2022秋?海陵區(qū)校級期末）如圖，點A在y軸正半軸上，點B是第一象限內(nèi)的一點，以AB為直徑的圓交x軸于D，C兩點．（1）OA與OD滿足什么條件時，AC＝BC，寫出滿足的條件，并證明AC＝BC；（2）在（1）的條件下，若OA＝1，，求CD長．23．（2023?沭陽縣模擬）如圖，已知AC是⊙O的直徑，AB，CD是⊙O中的兩條弦，且AB∥CD，連結(jié)AD，BC．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）若∠BAC＝30°，⊙O的直徑為10，求矩形ABCD的面積．24．（2022秋?姑蘇區(qū)校級期中）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，K為弧AC上一動點，AK，DC的延長線相交于點F，連接CK，KD．（1）求證：∠AKD＝∠CKF；（2）已知AB＝8，CD＝4，求∠CKF的大?。?5．（2023?姑蘇區(qū)校級一模）我們給出定義：如果三角形存在兩個內(nèi)角α與β滿足2a+β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準互余三角形”．已知△ABC為“準互余三角形”，并且∠A＞∠B＞∠C．（1）如圖①，若∠B＝60°且，求邊BC的長；（2）如圖②，∠B＞45°，以邊AC為直徑作⊙O，交BC于點D，若BD＝2，BC＝7，試求⊙O的面積．

一．選擇題1．如圖，△ABC的頂點均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝84°，則∠AOC的度數(shù)是（）A．45° B．28° C．56° D．60°2．如圖，已知⊙O的弦AB、DC的延長線相交于點E，∠AOD＝128°，∠E＝40°，則∠BDC的度數(shù)是（）A．16° B．20° C．24° D．32°3．如圖，在⊙O中，弦AC，BD交于點E，連接AB、CD，在圖中的“蝴蝶”形中，若AE，AC＝5，BE＝3，則BD的長為（）A． B． C．5 D．4．如圖，點A，B在以CD為直徑的半圓上，B是的中點，連結(jié)BD，AC交于點E，若∠C＝38°，則∠CED的度數(shù)是（）A．115° B．116° C．118° D．120°5．如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠A＝50°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．50° B．80° C．100° D．130°6．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，D是的中點，若∠B＝70°，則∠CAD的度數(shù)為（）A．70° B．55° C．35° D．20°二．填空題7．如圖，⊙O中，弦AB、CD相交于點P，若AP＝5，BP＝4，CP＝3，則DP為．8．如圖，點A，B，C都在⊙O上，∠AOC：∠BOC＝2：5，OA∥BC，則∠ABC＝°．9．如圖已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝70°，則∠ADC的度數(shù)是．10．如圖，點A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，垂足為E．若∠ADC＝30°，BC＝4，則AE＝．11．如圖，AB是⊙O的弦，AB＝4，點P是優(yōu)弧APB上的動點，∠P＝45°，連接PA、PB，AC是△ABP的中線，（1）若∠CAB＝∠P，則AC＝；（2）AC的最大值＝．三．解答題（共6小題）12．如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，C、D是上兩點，過點D作DE∥OC交OB于E點，在OD上取點F，使OF＝DE，連接CF并延長交OB于G點．（1）求證：△OCF≌△DOE；（2）若C、D是AB的三等分點，：①求∠OGC；②請比較GE和BE的大?。?3．如圖，已知點C在以AB為直徑的半圓O上，點D為弧BC中點，連結(jié)AC并延長交BD的延長線于點E，過點E作EG⊥AB，垂足為點F，交AD于點G，連結(jié)OG，DG＝1，DB＝2．（1）求證：AE＝AB．（2）求FB的長．（3）求OG的長．14．已知：Rt△ACB中，∠C＝90°，以AC為直徑的⊙O交AB于E，點F為弧EC的中點，OF的延長線交CB于D．（1）求證：CD＝BD；（2）連接EC交OD于G，若AC＝6，CD＝4，求GF的長．15．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的圓分別交AC，BC于點D、E，過點A作AF∥BC交圓于點F，連接DE、EF．求證：（1）四邊形ACEF是平行四邊形；（2）EF平分∠BED．16．如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AC，BC交以AB為直徑的半⊙O于D，E．連接AE，BD，交點為F．（1）證明：AF＝BC；（2）當點F是BD中點時，求BE：EC值．17．如圖，AB是⊙O直徑，弦CD⊥AB于點E，過點C作DB的垂線，交AB的延長線于點G，垂足為點F，連結(jié)AC，其中∠A＝∠D．（1）求證：AC＝CG；（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半徑．

第09講圓周角（3種題型）1.理解并掌握圓周角相關(guān)概念2.探索并掌握圓周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對的圓周角的特征；1.圓周角定義：像圖中∠AEB、∠ADB、∠ACB這樣的角，它們的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．2.圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．頂點在圓上,它們的兩邊在圓內(nèi)的部分分別是圓的弦.圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。3、圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)。推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑,高考物理。圓周角的特點:(1)角的頂點在圓上;(2)角的兩邊在圓內(nèi)的部分是圓的弦.4、圓周角和圓心角相對于圓心與直徑的位置關(guān)系有三種:解題規(guī)律:5、解決圓周角和圓心角的計算和證明問題,要準確找出同弧所對的圓周角和圓心角,然后再靈活運用圓周角定理3.圓周角定理的推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．【微點撥】(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.圓心與圓周角存在三種位置關(guān)系：圓心在圓周角的一邊上；圓心在圓周角的內(nèi)部；圓心在圓周角的外部．（如下圖）一．圓周角定理（共12小題）1．（2023?亭湖區(qū)校級三模）如圖，AB是⊙O的直徑，∠BCD＝40°，則∠ABD的大小為（）A．60° B．50° C．45° D．40°【分析】由圓周角定理得到∠ADB＝90°，∠BAD＝∠BCD＝40°，由直角三角形的性質(zhì)，即可求出∠ABD的度數(shù)．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠BAD＝∠BCD＝40°，∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝50°．故選：B．【點評】本題考查圓周角定理，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023?溧陽市一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的兩點，若∠ABD＝54°，則∠BCD的度數(shù)是（）A．36° B．40° C．46° D．65°【分析】連接AD，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠ADB＝90°，然后利用直角三角形的兩個銳角互余可求出∠DAB＝36°，從而利用同弧所對的圓周角相等，即可解答．【解答】解：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝54°，∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝36°，∴∠DAB＝∠BCD＝36°，故選：A．【點評】本題考查了圓周角定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．3．（2023?金壇區(qū)一模）如圖，在⊙O中，弦AB，CD相交于點P，若∠A＝40°，∠APD＝70°，則∠B的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．35° D．40°【分析】由三角形外角的性質(zhì)求出∠C＝30°，由圓周角定理得到∠B＝∠C＝30°．【解答】解：∵∠APD＝∠C+∠A，∠A＝40°，∠APD＝70°，∴∠C＝∠APD﹣∠A＝70°﹣40°＝30°，∴∠B＝∠C＝30°．故選：B．【點評】本題考查圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握圓周角定理，三角形外角的性質(zhì)．4．（2023?天寧區(qū)模擬）如圖，在⊙O中，AB∥OC，若∠OBA＝40°，則∠BAC的度數(shù)是（）A．50° B．30° C．25° D．20°【分析】先利用平行線的性質(zhì)可得∠COB＝∠OBA＝40°，然后再利用圓周角定理，進行計算即可解答．【解答】解：∵AB∥OC，∠OBA＝40°，∴∠COB＝∠OBA＝40°，∴∠BAC＝∠COB＝20°，故選：D．【點評】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．5．（2023?鹽都區(qū)一模）用破損量角器按如圖方式測量∠ABC的度數(shù)，讓∠ABC的頂點恰好在量角器圓弧上，兩邊分別經(jīng)過圓弧上的A、C兩點．若點A、C對應(yīng)的刻度分別為55°，135°，則∠ABC的度數(shù)為140°．【分析】先圖形抽象出來，然后應(yīng)用圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可解答．【解答】解：連接OA、OC、DA、DC，設(shè)⊙O的直徑為EF，如圖：由題意可知，∠AOE＝55°，∠EOC＝135°，∴∠AOC＝∠EOC﹣∠AOE＝135°﹣55°＝80°，∴∠ADC＝∠AOC＝40°，∵∠ABC+∠AOC＝180°，∴∠ABC＝140°，故答案為：140°．【點評】本題考查圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，根據(jù)題意抽象出圖形是解題關(guān)鍵．6．（2023?蘇州模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交⊙O于點C，D，連接BD．若∠A＝34°，∠AED＝87°，則∠B＝53°．?【分析】先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠C＝∠AED﹣∠A＝53°，然后利用同弧所對的圓周角相等可得∠C＝∠B＝53°，即可解答．【解答】解：∵∠AED是△ACE的一個外角，∠A＝34°，∠AED＝87°，∴∠C＝∠AED﹣∠A＝53°，∴∠C＝∠B＝53°，故答案為：53．【點評】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋?南京期末）在同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點．（1）如圖①，若大圓、小圓的半徑分別為13和7，AB＝24，則CD的長為4．（2）如圖②，大圓的另一條弦EF交小圓于G，H兩點，若AB＝EF，求證CD＝GH．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理和勾股定理即可求出答案；（2）利用弦，弧、圓心角、弦心距之間的關(guān)系進行解答即可．【解答】解：（1）如圖①，過點O作OE⊥AB，垂足為E，則AE＝BE＝AB＝12，CE＝DE，連接OA，OC，在Rt△AOE中，OE2＝OA2﹣AE2，在Rt△COE中，OE2＝OC2﹣CE2，∴OA2﹣AE2＝OC2﹣CE2，即132﹣122＝72﹣CE2，解得CE＝2，∴CD＝2CE＝4，故答案為：4；（2）如圖②，過點O作OM⊥AB，ON⊥EF，垂足分別為M、N．∵AB＝EF，∴OM＝ON，∴CD＝GH．【點評】本題考查垂徑定理，圓心角、弦、弧、弦心距之間的關(guān)系，掌握垂徑定理，圓心角、弦、弧、弦心距之間的關(guān)系是正確解答的前提．8．（2023?南京模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD與AB交于點E，連接AC、BD，∠B＝75°，∠A＝45°，，則弦CD＝2．?【分析】連接OC，過點O作OH⊥CD，垂足為H，根據(jù)垂徑定理可得CD＝2CH，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠A＝∠ACO＝45°，從而可得∠AOC＝90°，然后利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得OA＝OC＝2，再利用同弧所對的圓周角相等可得∠ACD＝∠B＝75°，從而可得∠OCD＝30°，最后在Rt△OCH中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得OH＝1，CH＝，從而可得CD＝2CH＝2，即可解答．【解答】解：連接OC，過點O作OH⊥CD，垂足為H，∴CD＝2CH，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝45°，∴∠AOC＝180°﹣∠A﹣∠ACO＝90°，∵，∴OA＝OC＝＝＝2，∵∠B＝75°，∴∠ACD＝∠B＝75°，∴∠OCD＝∠ACD﹣∠ACO＝30°，在Rt△OCH中，OH＝OC＝1，CH＝OH＝，∴CD＝2CH＝2，故答案為：2．【點評】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．9．（2023?蘇州模擬）如圖，已知AB，CD是⊙O的兩條直徑，直徑CD平分∠ACE，∠ACE的一邊CE與⊙O和直徑AB分別交于點E，F(xiàn)，連接BE，且AC＝AF．?（1）證明：BE∥CD；（2）若CF＝2，求BF的長．【分析】（1）先利用∠OCA＝∠A和∠OCA＝∠OCF得到∠A＝∠OCF，再根據(jù)圓周角定理得到∠E＝∠A，所以∠E＝∠OCF，然后根據(jù)平行線的判定方法得到結(jié)論；（2）先證明∠FOC＝∠OFC得到CF＝CO＝2，再證明△FCO∽△FAC，接著利用相似三角形的性質(zhì)得到即2：（2+OF）＝OF：2，然后解方程求出OF，最后計算OB﹣OF即可．【解答】（1）證明：∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A，∵CD平分∠ACE，∴∠OCA＝∠OCF，∴∠A＝∠OCF，∵∠E＝∠A，∴∠E＝∠OCF，∴BE∥CD；（2）解：∵∠FOC＝2∠A，∠ACF＝2∠OCA，∴∠FOC＝∠ACF，∵AC＝AF，∴∠ACF＝∠OFC，∴∠FOC＝∠OFC，∴CF＝CO＝2，∵∠OFC＝∠CFA，∠OCF＝∠A，∴△FCO∽△FAC，∴CF：AF＝OF：CF，即2：（2+OF）＝OF：2，解得OF＝﹣1或OF＝﹣﹣1（舍去），∴BF＝OB﹣OF＝2﹣（﹣1）＝3﹣．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．10．（2022秋?太倉市期末）如圖，⊙O的直徑AB＝5，弦AC＝4，連接BC，以C為圓心，BC長為半徑畫弧與⊙O交于點D，連接AD，BD，BD與AC交于點E．（1）請直接寫出圖中與∠CAB相等的所有角∠CBD，∠CAD；（2）求AD的長．【分析】（1）根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系，由CB＝CD得到＝，然后根據(jù)圓周角定理得到∠CAB＝∠CBD＝∠CAD；（2）先公交卡圓周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，則利用勾股定理可計算出BC＝3，再證明△CBE∽△CAB，利用相似比可求出CE＝，所以AE＝，利用勾股定理可計算出BE＝，然后證明△ADE∽△BCE，則利用相似比可求出AD的長．【解答】解：（1）∵CB＝CD，∴＝，∴∠CAB＝∠CBD＝∠CAD；故答案為：∠CBD，∠CAD；（2）∵AB為直徑，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△ACB中，BC＝＝＝3，∵∠CBE＝∠CAB，∠BCE＝∠ACB，∴△CBE∽△CAB，∴CE：CB＝CB：CA，即CE：3＝3：4，解得CE＝，∴AE＝AC﹣CE＝4﹣＝，在Rt△BCE中，BE＝＝＝，∵∠DAE＝∠CBE，∠D＝∠C，∴△ADE∽△BCE，∴AD：BC＝AE：BE，即AD：3＝：，解得AD＝，即AD的長為．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．11．（2022秋?鼓樓區(qū)期末）如圖，AB為⊙O的直徑，D是弦AC延長線上一點，AC＝CD，DB的延長線交⊙O于點E，連接CE．（1）求證∠A＝∠D；（2）若的度數(shù)為108°，求∠E的度數(shù)．【分析】（1）連接BC，首先證明BA＝BD，即可解決問題；（2）根據(jù)的度數(shù)為108°，可得∠EBA＝54°，又∠EBA＝∠A+∠D，∠A＝∠D，所以，即可求出答案．【解答】（1）證明：連接BC，∵AB是⊙O的直徑，∴即AD⊥BC，又AC＝CD，∴AB＝BD，∴∠A＝∠D；（2）解：∵的度數(shù)為108°，∴∠EBA＝54°，又∠EBA＝∠A+∠D，∠A＝∠D，∴，∴∠E＝∠A＝27°．【點評】本題考查圓周角定理和圓心角、弧、弦的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．12．（2022秋?建鄴區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，AC是⊙O的直徑，，∠CAB＝32°．求∠ACD的度數(shù)．【分析】由圓周角定理得到∠ABC＝90°，∠ADB＝58°，由三角形內(nèi)角和定理求出∠DBA的度數(shù)，由圓周角定理即可求出∠ACD的度數(shù)．【解答】解：∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠CAB＝90°﹣32°＝58°，∴∠ADB＝∠ACB＝58°，∵＝，∴∠DAB＝∠DBA＝（180°﹣58°）＝61°，∴∠ACD＝∠DBA＝61°．∴∠ACD的度數(shù)是61°．【點評】本題考查圓周角定理，圓心角，弧，弦的關(guān)系，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．二．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共14小題）13．（2023?高新區(qū)校級模擬）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BE是⊙O的直徑，連接AE．若∠BCD＝2∠BAD，則∠DAE的度數(shù)是（）A．20° B．30° C．40° D．45°【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠BAD＝60°，根據(jù)圓周角定理得到∠BAE＝90°，結(jié)合圖形計算，得到答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BCD＝120°，∠BAD＝60°，∵BE是⊙O的直徑，∴∠BAE＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，故選：B．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理的應(yīng)用，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．14．（2023?興化市二模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，∠ABD＝20°，則∠BCD的度數(shù)為110°．【分析】根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90°，進而求出∠A，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計算，得到答案．【解答】解：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝20°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝70°，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣70°＝110°，故答案為：110．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．15．（2023?建鄴區(qū)一模）如圖，點A，B，C，D在⊙O上．若∠O＝∠C＝130°，則∠BAO＝75°．【分析】根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角相等求解即可．【解答】解：如圖：連接AD，∵∠O＝130°，OA＝OD，∴∠OAD＝（180°﹣130°）＝25°，∵∠C＝130°，∴∠BAD＝180°﹣130°＝50°，∴∠BAO＝∠BAD+∠OAD＝25°+50°＝75°．故答案為：75．【點評】考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，正確記憶相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵．16．（2023?沭陽縣模擬）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AO、CO，若∠AOC＝112°，則∠B的度數(shù)是124°．【分析】首先利用圓周角定理求的∠ADC的度數(shù)，然后利用圓內(nèi)接四邊形的對角互補求的答案即可．【解答】解：∵∠AOC＝112°，∴∠ADC＝∠AOC＝×112°＝56°，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180﹣56°＝124°，故答案為：124°．【點評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及圓周角定理的知識，解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補，難度較?。?7．（2022秋?江陰市校級月考）如圖，正方形ABCD四個頂點都在⊙O上，點P是在弧BC上的一點（P點與C點不重合），則∠CPD的度數(shù)是45°．【分析】連接BD，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出∠DBC＝45°，根據(jù)圓周角定理解答即可．【解答】解：連接BD，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠DBC＝45°，由圓周角定理得：∠CPD＝∠DBC＝45°，故答案為：45°．【點評】本題考查的是正方形的性質(zhì)、圓周角定理，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出∠DBC＝45°是解題的關(guān)鍵．18．（2022秋?靖江市期末）如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O．求證：∠A+∠C＝180°．【分析】連接OB、OD，根據(jù)圓周角定理得到∠A＝∠2，∠C＝∠1，進而證明結(jié)論．【解答】證明：如圖，連接OB、OD，由圓周角定理得：∠A＝∠2，∠C＝∠1，∵∠2+∠1＝360°，∴∠A+∠C＝180°．【點評】本題考查的是圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．19．（2022秋?宿城區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于一圓，CE是邊BC的延長線．（1）求證∠DAB＝∠DCE；（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠DAB+∠DCB＝180°，根據(jù)同角的補角相等證明結(jié)論；（2）根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝∠ACB＝70°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∵∠DCE+∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCE；（2）解：∵∠ACB＝70°，∴∠ADB＝∠ACB＝70°，∴∠ABD＝180°﹣60°﹣70°＝50°．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋?宿豫區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，∠ADB＝∠CDB，若，AD＝1，求CD的長度．【分析】根據(jù)AC為⊙O的直徑，可得∠ABC＝∠ADC＝90°，然后根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠ACB＝∠CAB＝45°，然后根據(jù)勾股定理進行計算即可．【解答】解：∵AC為⊙O的直徑，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∵∠ADB＝∠CDB，∴∠ACB＝∠CAB＝45°，∴△ABC為等腰直角三角形，在Rt△ABC中，，在Rt△ADC中，．【點評】本題考查了圓周角定理，勾股定理，熟知直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等是解本題的關(guān)鍵．21．（2022秋?鎮(zhèn)江期中）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠EAD＝∠BAC，BA、CD延長線交于點E．求證：BD＝BC．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠BCD+∠BAD＝180°，進而證明∠BCD＝∠EAD，根據(jù)圓周角定理得到∠BDC＝∠BAC，等量代換得到∠BCD＝∠BDC，根據(jù)等腰三角形的判定定理證明結(jié)論．【解答】證明：∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠EAD+∠BAD＝180°，∴∠BCD＝∠EAD，∵∠EAD＝∠BAC，∴∠BCD＝∠BAC，∵∠BDC＝∠BAC，∴∠BCD＝∠BDC，∴BD＝BC．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的判定，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋?建鄴區(qū)期中）求證：圓內(nèi)接四邊形的對角互補．已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O．求證：∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°．證明：作直徑AE，連接BE、DE．所以∠ABE＝∠ADE＝90°．因為∠CBE＝∠CDE，（①）所以∠ABC+∠CDA＝∠ABE+∠EDA＝180°．同理∠DAB+∠BCD＝180°．（1）證明過程中依據(jù)①是在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等；（2）請給出另一種證明方法．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得答案；（2）連接BO，DO，根據(jù)圓周角定理證得∠A＝∠2，∠C＝∠1，進而根據(jù)∠1+∠2＝360°，證得∠A+∠C＝180°即可證得結(jié)論．【解答】證明：連接BO，DO，由圓周角定理得：∠A＝∠2，∠C＝∠1，∵∠1+∠2＝360°，∴∠A+∠C＝180°，同理∠B+∠D＝180°．即圓內(nèi)接四邊形的對角互補．【點評】本題考查了圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運用在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．23．（2023?蘇州一模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠BCD＝2∠BOD，則∠A的度數(shù)是（）A．30° B．36° C．45° D．60°【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠A+∠BCD＝180°，根據(jù)圓周角定理得出∠BOD＝2∠A，再求出答案即可．【解答】解：∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝2∠BOD，∠BOD＝2∠A，∴∠BCD＝4∠A，∴4∠A+∠A＝180°，解得：∠A＝36°，故選：B．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．24．（2023?鼓樓區(qū)校級三模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠A＝120°，則∠BOD的度數(shù)為（）A．60° B．70° C．120° D．150°【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠C，根據(jù)圓周角定理解答即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠C＝180°﹣∠A＝60°，由圓周角定理得，∠BOD＝2∠C＝120°，故選：C．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．25．（2022秋?棲霞區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足為E．（1）求證：∠BAC＝2∠DAC；（2）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；（2）過A作AH⊥BC于H，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAH＝∠CAH＝∠CAB，CH＝BH，過C作CG⊥AD交AD的延長線于G，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG＝AH，CG＝CH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到＝，設(shè)BH＝k，AH＝2k，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，∵∠DAC＝∠CBD，∴∠BAC＝2∠DAC；（2）解：過A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，∴∠BAH＝∠CAH＝CAB，CH＝BH，∵∠BAC＝2∠DAC，∴∠CAG＝∠CAH，過C作CG⊥AD交AD的延長線于G，∴∠G＝∠AHC＝90°，∵AC＝AC，∴△AGC≌△AHC（AAS），∴AG＝AH，CG＝CH，∵∠CDG＝∠ABC，∴△CDG∽△ABH，∴，∴＝，設(shè)BH＝k，AH＝2k，∴AB＝＝k＝10，∴k＝2，∴BC＝2k＝4．【點評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．26．（2022秋?高新區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC的延長線與AD的延長線交于點E，且DC＝DE．（1）求證：∠A＝∠AEB；（2）連接OE，交CD于點F，若OE⊥CD，求∠A的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠A+∠BCD＝180°，根據(jù)鄰補角互補可得∠DCE+∠BCD＝180°，進而得到∠A＝∠DCE，然后利用等邊對等角可得∠DCE＝∠AEB，進而可得∠A＝∠AEB；（2）首先證明△DCE是等邊三角形，進而可得∠AEB＝60°，再根據(jù)∠A＝∠AEB，可得△ABE是等腰三角形，進而可得△ABE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠DCE+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠DCE，∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠AEB，∴∠A＝∠AEB；（2）∵∠A＝∠AEB，∴△ABE是等腰三角形，∵EO⊥CD，∴CF＝DF，∴EO是CD的垂直平分線，∴ED＝EC，∵DC＝DE，∴DC＝DE＝EC，∴△DCE是等邊三角形，∴∠AEB＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∴∠A＝60°．【點評】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補．三．相交弦定理（共5小題）27．（2021?鹽都區(qū)二模）如圖，在⊙O中，弦CD過弦AB的中點E，CE＝1，DE＝3，則AB＝2．【分析】直接利用相交弦定理得出CE×DE＝AE×BE，求出即可．【解答】解：∵弦CD過弦AB的中點E，CE＝1，DE＝3，∴CE?DE＝AE?BE，∴1×3＝AE2，解得：AE＝，∴弦AB的長為：AB＝2AE＝2，故答案為：2．【點評】此題主要考查了相交弦定理，正確記憶相交弦定理是解題關(guān)鍵．28．（2022秋?濱湖區(qū)校級期中）如圖，在⊙O中，弦AB、CD相交于點P，且PD＜PC．（1）求證：△PAD∽△PCB；（2）若PA＝3，PB＝8，CD＝10，求PD．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得出∠A＝∠C，∠D＝∠B，再根據(jù)相似三角形的判定推出即可；（2）根據(jù)相似得出比例式，再求出答案即可．【解答】（1）證明：∵∠A＝∠C，∠D＝∠B（在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等），∴△PAD∽△PCB；（2）解：∵△PAD∽△PCB，∴＝，∵PA＝3，PB＝8，CD＝10，∴＝，解得：PD＝4或6，當PD＝4時，PC＝6，當PD＝6時，PC＝4，∵PD＜PC，∴PD＝4．【點評】本題考查了相交弦定理，圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點，能正確運用知識點進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．29．（2021秋?錫山區(qū)校級月考）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD交于點E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，求EC的長．【分析】設(shè)EC＝x，則ED＝CD﹣CE＝4﹣x，根據(jù)相交弦定理x（4﹣x）＝5?1，然后解一元二次方程即可．【解答】解：設(shè)EC＝x，則ED＝CD﹣CE＝4﹣x，根據(jù)題意得AE?BE＝CE?DE，所以x（4﹣x）＝5?1，整理得x2﹣4x+5＝0，解得x＝2±，即EC的長為2+或2﹣．【點評】本題考查了相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．30．（2021秋?江陰市校級月考）如圖，在⊙O中，弦AD，BC相交于點E，連接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．（1）求證：AB＝CD；（2）如果⊙O的直徑為10，DE＝1，求AE的長．【分析】（1）欲證明AB＝CD，只需證得＝；（2）如圖，過O作OF⊥AD于點F，作OG⊥BC于點G，連接OA、OC．構(gòu)建正方形EFOG，利用正方形的性質(zhì)，垂徑定理和勾股定理來求AF的長度，則易求AE的長度．【解答】（1）證明：如圖，∵AD＝BC，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴AB＝CD；（2）如圖，過O作OF⊥AD于點F，作OG⊥BC于點G，連接OA、OC．則AF＝FD，BG＝CG．∵AD＝BC，∴AF＝CG．在Rt△AOF與Rt△COG中，，∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），∴OF＝OG，∴四邊形OFEG是正方形，∴OF＝EF．設(shè)OF＝EF＝x，則AF＝FD＝x+1，在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2＝52，解得x＝3．則AF＝3+1＝4，即AE＝AF+3＝7．【點評】本題考查了勾股定理，正方形的判定與性質(zhì)，垂徑定理以及圓周角、弧、弦間的關(guān)系．注意（2）中輔助線的作法．31．（2021秋?濱湖區(qū)校級期中）如圖，已知圓O，弦AB、CD相交于點M．（1）求證：AM?MB＝CM?MD；（2）若M為CD中點，且圓O的半徑為3，OM＝2，求AM?MB的值．【分析】（1）利用同弧所對的圓周角相等，證明△ADM∽△CBM；（2）連接OM、OC，由于M是CD的中點，由垂徑定理得OM⊥CD，利用勾股定理可求出CM的值，根據(jù)（1）的結(jié)論，求出AM?BM．【解答】解：（1）∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，∴△ADM∽△CBM∴，即AM?MB＝CM?MD．（2）連接OM、OC．∵M為CD中點，∴OM⊥CD在Rt△OMC中，∵OC＝3，OM＝2∴CM＝DM＝，由（1）知AM?MB＝CM?MD．∴AM?MB＝?＝5．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理及垂徑定理，是綜合性較強的題目．（1）利用相似、圓周角定理得到相交弦定理；（2）中利用垂徑定理、勾股定理和相交弦定理得到了AM與BM的積．相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．一．選擇題（共10小題）1．（2023?錫山區(qū)模擬）如圖，A、B、C、D是⊙O上四點，且點D是弧AB的中點，CD交OB于E，∠AOB＝100°，∠OBC＝55°，則∠OEC的度數(shù)為（）A．90° B．80° C．70° D．60°【分析】根據(jù)等弧所對的圓心角相等以及圓周角定理，得∠BCD＝100°÷4＝25°．再根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，得∠OEC＝55°+25°＝80°．【解答】解：連接OD，∵點D是弧AB的中點，∴，∵∠AOB＝100°，∴∠BOD＝∠AOB＝50°，∴∠BCD＝∠BOD＝25°，∴∠OEC＝∠OBC+∠C＝55°+25°＝80°．故選：B．【點評】本題考查了圓心角、弦、弧之間的關(guān)系定理、圓周角定理以及三角形的內(nèi)角和定理的推論，解題的關(guān)鍵是掌握并熟練運用相關(guān)的性質(zhì)和定理．2．（2023?漣水縣一模）如圖，點A、B、C在⊙O上，∠AOB＝108°，則∠ACB的度數(shù)是（）A．54° B．27° C．36° D．108°【分析】根據(jù)圓周角定理解答即可，在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半．【解答】解：∵∠AOB＝108°，∴∠ACB＝∠AOB＝54°．故選：A．【點評】本題考查了圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握圓周角定理并靈活運用．3．（2023?南京二模）如圖，AB是半圓O的直徑，C，D在半圓O上．若∠CAB＝28°，則∠ADC的度數(shù)為（）A．152° B．142° C．118° D．108°【分析】先用直徑所對的圓周角是直角求出∠ABC，再用圓的內(nèi)接四邊形對角互補，求出∠ADC即可．【解答】解：連接BC，∵AB是圓的直徑，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∵∠CAB＝28°，∴∠ABC＝62°，∵點A，B，C，D四點共圓，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣62°＝118°，故選：C．【點評】此題是圓周角定理，主要考查了直徑所對的圓周角是直角，圓的內(nèi)接四邊形對角互補，解本題的關(guān)鍵是圓的內(nèi)接四邊形的對角互補的應(yīng)用．4．（2023?如皋市一模）如圖，A，B，C為⊙O上三點，∠AOC＝100°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．130° B．125° C．100° D．80°【分析】首先在上取點D，連接AD，CD，由圓周角定理即可求得∠D的度數(shù)，然后由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，求得∠ABC的度數(shù)．【解答】解：如圖，在優(yōu)弧上取點D，連接AD，CD，∵∠AOC＝100°，∴∠ADC＝∠AOC＝50°，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝130°．故選：A．【點評】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵．5．（2023?銅山區(qū)一模）下列說法中，正確的是（）①對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形；②對角線相等的四邊形是矩形；③同弧或等弧所對的圓周角相等；④半圓是弧，但弧不一定是半圓．A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④【分析】根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形為菱形，對角線相等的平行四邊形為矩形，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，弧分為優(yōu)弧、劣弧、半圓弧分別判斷即可．【解答】解：①、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線互相垂直的平行四邊形為菱形，故該項正確；②、對角線相等的平行四邊形為矩形，故該選項錯誤；③、同弧或等弧所對的圓周角相等，故該選項正確；④、弧分為優(yōu)弧、劣弧、半圓弧，則半圓是弧，但弧不一定是半圓，故該項正確；故選：C．【點評】本題考查基本概念，熟記知識點是解題關(guān)鍵．6．（2023?徐州模擬）如圖，點A、B、C在⊙O上，若∠ACB＝39°，則∠AOB的度數(shù)為（）A．78° B．61° C．76° D．51°【分析】根據(jù)圓周角定理即可得出答案．【解答】解：∵∠ACB＝∠AOB，∠ACB＝39°，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×39°＝78°．故選：A．【點評】本題主要考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．7．（2023?如東縣一模）如圖，AB，BC為⊙O的兩條弦，連接OA，OC，點D為AB的延長線上一點，若∠CBD＝62°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．100° B．118° C．124° D．130°【分析】根據(jù)∠CBD的度數(shù)可先求出弧AC所對應(yīng)的圓周角的度數(shù)，進而可得答案．【解答】解：如圖，在優(yōu)弧AC上取點P，連接PA，PC，∵∠CBD＝62°，∴∠CPA＝62°，∴∠AOC＝2∠APC＝124°，故選：C．【點評】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題關(guān)鍵．8．（2023?新華區(qū)校級模擬）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝1，則⊙O的半徑為（）A．4 B． C． D．【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補得出∠ADC＝45°，由圓周角定理得出∠AOC＝90°，根據(jù)OA＝OC可得出答案．【解答】解：連接OA，OC，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝135°，∴∠ADC＝45°，∴∠AOC＝90°，由勾股定理得：OA2+OC2＝AC2，∵OA＝OC，AC＝1，∴OA2+OC2＝12，∴2OA2＝1，∴OA＝，∴⊙O的半徑為．故選：D．【點評】本題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角與圓心角的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練運用相關(guān)定理．9．（2023?連云港二模）小明用一個破損的量角器按照如圖所示的方式測量∠ABC的度數(shù)，讓∠ABC的頂點恰好在量角器的圓弧上，兩邊分別經(jīng)過圓弧上的A、C兩點．若點A、C對應(yīng)的刻度分別為55°，135°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．135° B．140° C．145° D．150°【分析】如圖，連接OA，OC，DA，DC，設(shè)⊙O的直徑為EF，可求出∠AOC＝80°，即可得∠ADC＝40°，進一步可求出∠ABC＝140°．【解答】解：連接OA，OC，DA，DC，設(shè)⊙O的直徑為EF，如圖，∵∠AOE＝55°，∠EOC＝135°，∴∠AOC＝∠EOC﹣∠AOE＝135°﹣55°＝80°，∴，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣40°＝140°．故選：C．【點評】本題考查了圓周角定理，從實際問題中抽象出圓周角定理模型是解題的關(guān)鍵．10．（2023?鼓樓區(qū)校級二模）如圖，點A，B，C都在⊙O上，∠C＝40°，則∠AOB的度數(shù)為（）A．20° B．40° C．60° D．80°【分析】根據(jù)圓周角定理的含義可得答案．【解答】解：∵∠C＝40°，∴∠AOB＝2∠C＝80°，故選：D．【點評】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，熟記在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角是其所對的圓心角的一半．二．填空題（共8小題）11．（2023?姑蘇區(qū)校級二模）如圖，O、B兩點是線段AC的三等分點，以AB為直徑作⊙O，點E為⊙O上一點，連接CE，交⊙O于點D，連接BD、AE，若點D恰為線段CE中點且BD＝2，則△AEC周長為12+6．【分析】連接AD，交OE于F，如圖，先證明BD為△OCE的中位線，則OE＝2BD＝4，再根據(jù)圓周角定理得到∠ADB＝90°，則∠AFO＝90°，OF為△ABD的中位線，OF＝BD＝1，則EF＝OE﹣OF＝3，再利用勾股定理計算出AD＝2，則AF＝，再利用勾股定理求出AE，ED，即可求解．【解答】解：連接OE、AD，如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，∵O、B兩點是線段AC的三等分點，∴OB＝CB，∵點D恰為線段CE中點，∴BD為△OCE的中位線，∴OE＝2BD＝4，OE∥BD，∵AB為直徑，O、B兩點是線段AC的三等分點，∴∠ADB＝90°，AB＝2OE＝8，AC＝12，在Rt△ABD中，AD＝＝＝2，∵OA＝OB，OE∥BD，∴∠AFO＝90°，OF為△ABD的中位線，OF＝BD＝1，AF＝DF＝AF＝，∴EF＝OE﹣OF＝3，∴AE＝ED＝＝＝2，∴CE＝2DE＝4，∴△AEC周長為AE+CE+AC＝2+4+12＝12+6，故答案為：12+6．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了勾股定理和三角形的中位線定理．12．（2023?鹽都區(qū)一模）如圖，點A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝130°，則∠ABC＝115°．【分析】先作出弧AC所對的圓周角∠D，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠D＝∠AOC＝65°，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求∠ABC的度數(shù)．【解答】解：∵∠D為弧AC所對的圓周角，∴∠D＝∠AOC＝＝65°，∵∠D+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣65°＝115°．故答案為：115．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．13．（2023?贛榆區(qū)一模）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D是圓周上的兩點，若∠ABC＝38°，則∠BDC的度數(shù)為52°．【分析】連接AC．由直徑所對圓周角為直角可得出∠ACB＝90°，從而可求出∠BAC＝52°．再結(jié)合同弧所對圓周角相等即得出∠BDC＝∠BAC＝52°．【解答】解：如圖，連接AC．∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°．∵∠ABC＝38°，∴∠BAC＝90°﹣38°＝52°．∵，∴∠BDC＝∠BAC＝52°．故答案為：52°．【點評】本題考查圓周角定理的推論．連接常用的輔助線是解題關(guān)鍵．14．（2023?南京一模）如圖，在⊙O中，C為上的點，．若∠ACB＝120°，則∠OBC＝50°．【分析】在優(yōu)弧AB上取一點D，連接AD，BD，OC，根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論．【解答】解：在優(yōu)弧AB上取一點D，連接AD，BD，OC，∵∠ACB＝120°，∴∠D＝180°﹣∠ACB＝60°，∴∠AOB＝2∠D＝120°，∵，∴∠BOC＝2∠AOC，∴∠BOC＝80°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝50°，故答案為：50°．【點評】本題考查了圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．15．（2023?工業(yè)園區(qū)校級二模）如圖，在矩形ABCD中，AD＝4，，以AD為直徑作⊙O，E為BC的中點，AE交⊙O于F，連CF，則CF的長為2．【分析】連接DF，如圖，先根據(jù)圓周角定理得到∠AFD＝90°，再利用正切的定義求出∠BAE＝30°，則∠DAF＝60°，所以∠ADF＝30°，∠FDC＝60°，接著計算出DF＝AF＝2，然后證明△CDF為等邊三角形，所以CF＝DF＝2．【解答】解：連接DF，如圖，∵AD為直徑，∴∠AFD＝90°，∵四邊形ABCD為矩形，∴CD＝AB＝2，BC＝AD＝4，∠BAD＝90°，∵E為BC的中點，∴BE＝2，在Rt△ABE中，∵tan∠BAE＝＝＝，∴∠BAE＝30°，∴∠DAF＝60°，∴∠ADF＝30°，在Rt△ADF中，∵AF＝AD＝2，∴DF＝AF＝2，∵∠FDC＝60°，DC＝DF＝2，∴△CDF為等邊三角形，∴CF＝DF＝2．故答案為：2．【點評】本題考查了圓周角定理：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了矩形的性質(zhì)和解直角三角形．16．（2023?姑蘇區(qū)校級一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，且OC⊥AB，過點C的弦CD與線段OB相交于點E，滿足∠OCD＝25°，連接AD，則∠BAD＝20°．【分析】由直角三角形的性質(zhì)得出∠ADC＝45°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ODC＝∠OCD＝25°，求出∠ADO＝20°，得出∴∠BAD＝∠ADO即可得出答案．【解答】解：連接OD，如圖：∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠ADC＝∠AOC＝45°，∵∠OCD＝25°，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD＝25°，∵∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝45°﹣25°＝20°，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO＝20°，故答案為：20．【點評】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理；熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．17．（2023?溧陽市一模）如圖，正方形ABCD中，點E是BC的中點，連接DE，與以CD為直徑的半圓交于點F，連接AF并延長交BC于點P，則的值．【分析】連接CF，設(shè)正方形的邊長是2a，可以證明△DCF∽△DEC，得到CD：DE＝FD：DC，因此2a：a＝FD：2a，即可求出DF＝a，得到EF的長，由△PEF∽△ADF，得到PE：AD＝EF：DF＝1：4，因此PE＝AD＝a，得到PB＝BE+PE＝a，即可求出＝．【解答】解：連接CF，設(shè)正方形的邊長是2a，∵CD是半圓的直徑，∴∠DFC＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DCE＝90°，AD＝CD＝BC＝2a，∵E是BC中點，∴BE＝CE＝BC＝a，∴DE＝＝a，∵∠CDF＝∠CDE，∠DFC＝∠DCE，∴△DCF∽△DEC，∴CD：DE＝FD：DC，∴2a：a＝FD：2a，∴DF＝a，∴EF＝DE﹣DF＝a，∵EP∥AD，∴△PEF∽△ADF，∴PE：AD＝EF：DF＝1：4，∴PE＝AD＝a，∴PB＝BE+PE＝a，∴＝．故答案為：．【點評】本題考查圓周角定理，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是由以上知識點證明PE＝AD．18．（2023?武進區(qū)一模）如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E是BC邊上一點，以AB為直徑在正方形內(nèi)作半圓O，將△DCE沿DE翻折，點C剛好落在半圓O的點F處，則CF的長為．【分析】連接DO，OF，首先根據(jù)SSS定理，可以判定△DAO≌△DFO，從而可以得到∠DFO的度數(shù)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠DFE＝90°，從而可以得到點O、F、E三點共線，然后根據(jù)勾股定理，即可求得CE的長，再根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得DC⊥CF，利用解直角三角形，即可求解．【解答】解：如圖：連接DO，OF，DE與CF相交于點G，∵四邊形ABCD是正方形，將△DCE沿DE翻折得到△DEF，∴DC＝DA，DC＝DF，DE垂直平分CF，∴DA＝DF，在△DAO與△DFO中，．∴△DAO≌△DFO（SSS），∴∠A＝∠DFO，∵∠A＝90°，∴∠DFO＝90°，又∵∠DFE＝∠C＝90°，∴∠DFO＝∠DFE＝90°，∴點O、F、E三點共線，設(shè)CE＝EF＝x，則OE＝OF+EF＝1+x，BE＝2﹣x，OB＝1，∵∠OBE＝90°，∴OB2+BE2＝OE2，∴12+（2﹣x）2＝（1+x）2，解得，即，∵DE垂直平分CF，∴CF＝2CG，∠DGC＝90°，∵∠DCB＝90°，∴，∵，∴，解得，∴，故答案為：．【點評】本題考查圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理，求一個角的正弦值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．三．解答題（共7小題）19．（2022秋?淮安區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD的頂點都在同一個圓上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4．（1）求∠A、∠B的度數(shù)；（2）若D為的中點，AB＝4，BC＝3，求四邊形ABCD的面積．【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠A、∠B的度數(shù)；（2）連接AC，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理得到AD＝CD，根據(jù)勾股定理、三角形的面積公式計算，得到答案．【解答】解：（1）設(shè)∠A、∠B、∠C分別為2x、3x、4x，∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，∴∠A+∠C＝180°，∴2x+4x＝180°，∴x＝30°，∴∠A、∠B的度數(shù)分別為60°、90°；（2）連接AC，∵∠B＝90°，∴AC為圓的直徑，AC＝＝5，△ABC的面積＝×3×4＝6，∠D＝90°，∵點D為的中點，∴AD＝CD＝AC＝，∴△ADC的面積＝××＝，∴四邊形ABCD的面積＝6+＝．【點評】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋?蘇州期末）如圖，以AB為直徑的⊙O經(jīng)過△ABC的頂點C，AE，BE分別平分∠BAC和∠ABC，AE的延長線交BC于點F，交⊙O于點D，連接BD．（1）求證：∠CBD＝∠BAD；（2）求證：BD＝DE；（3）若，，求BC的長．【分析】（1）根據(jù)AE平分∠BAC，可得∠BAD＝∠CAD，再由圓周角定理可得∠CBD＝∠CAD，即可；（2）由直徑所對圓周角為直角可知∠ADB＝90°．根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE．根據(jù)同弧所對圓周角相等得出∠CAE＝∠CBD，最后由三角形外角性質(zhì)結(jié)合題意即可證明∠BED＝∠EBD，得出BD＝ED，即說明△BDE為等腰直角三角形；（3）連接OD，交BC于點F．由∠BAD＝∠CAD，說明，即可由垂徑定理得出OD⊥BC．由（2）得△BDE為等腰直角三角形，，得出BD＝DE＝2，再由兩次勾股定理建立方程得出，繼續(xù)利用勾股定理即可求解．【解答】（1）證明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠CBD＝∠CAD，∴∠CBD＝∠BAD；（2）證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°．∵AE，BE分別平分∠BAC和∠ABC，∴∠BAE＝∠CAE，∠ABE＝∠CBE．∵，∴∠CAE＝∠CBD．∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠EBD＝∠CBD+∠CBE，∴∠BED＝∠EBD，∴BD＝ED；（3）解：如圖，連接OD，交BC于點F．∵∠BAD＝∠CAD，∴，∴OD⊥BC，BF＝CF．∵，∴，由（2）得△BDE為等腰直角三角形，，∴BD2+DE2＝BE2，解得：BD＝DE＝2，在Rt△OBF中，BF2＝OB2﹣OF2，在Rt△BDF中，，∴解得：，∴，∴．【點評】本題考查圓周角定理，等腰直角三角形的判定，勾股定理，垂徑定理等知識．熟練掌握圓的相關(guān)知識，并會連接常用的輔助線是解題關(guān)鍵．21．（2022秋?高新區(qū)校級月考）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB為直徑作半圓O，分別交BC，AC于點D，E．（1）求證：BD＝DC．（2）若∠BAC＝40°，求所對的圓心角的度數(shù)．【分析】（1）連接AD，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，即可解答；（2）連接OD，OE，利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得∠DAC＝20°，然后利用圓周角定理可得∠DOE＝2∠DAE＝40°，即可解答．【解答】（1）證明：連接AD，∵AB是半⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴BD＝CD；（2）解：連接OD，OE，∵AB＝AC，BD＝DC，∴∠DAC＝∠BAC＝20°，∴∠DOE＝2∠DAE＝40°，∴所對的圓心角的度數(shù)為40°．【點評】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．22．（2022秋?海陵區(qū)校級期末）如圖，點A在y軸正半軸上，點B是第一象限內(nèi)的一點，以AB為直徑的圓交x軸于D，C兩點．（1）OA與OD滿足什么條件時，AC＝BC，寫出滿足的條件，并證明AC＝BC；（2）在（1）的條件下，若OA＝1，，求CD長．【分析】（1）連接AD，當OA＝OD時，由圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可以證明AC＝BC；（2）由勾股定理求出AD的長，由圓周角定理，可以推出△AOC∽△ADB得到OC：DB＝AO：AD，即可求出DC的長．【解答】解：（1）連接AD，當OA＝OD時，AC＝BC，證明：∵∠AOD＝90°，∴△AOD是等腰直角三角形，∴∠ODA＝45°，∴∠ODA＝∠ABC＝45°，∵AB是圓的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝45°，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC；（2）∵AB是圓的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠AOC＝∠ADB＝90°，∵∠ACO＝∠ABD，∴△AOC∽△ADB，∴OC：DB＝OA：AD，∵AD＝OA＝，∴OC：3＝1：，∴OC＝3，∴DC＝OC﹣OD＝3﹣1＝2．【點評】本題考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．23．（2023?沭陽縣模擬）如圖，已知AC是⊙O的直徑，AB，CD是⊙O中的兩條弦，且AB∥CD，連結(jié)AD，BC．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）若∠BAC＝30°，⊙O的直徑為10，求矩形ABCD的面積．【分析】（