/第09講勾股定理（3種題型）1.掌握勾股定理的內容及證明方法，能夠熟練地運用勾股定理由已知直角三角形中的兩條邊長求出第三條邊長．2.掌握勾股定理，能夠運用勾股定理解決簡單的實際問題，會運用方程思想解決問題．3.熟練應用勾股定理解決直角三角形中的問題，進一步運用方程思想解決問題．一．直角三角形的性質（1）有一個角為90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質外，具有一些特殊的性質：性質1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）．性質2：在直角三角形中，兩個銳角互余．性質3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）性質4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．性質5：在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°．二．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a，b及c．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．三．勾股定理的證明（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（2）證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理．一．直角三角形的性質（共6小題）1．（2023春?江陰市期中）具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C2．（2022秋?高新區(qū)校級月考）直角三角形中兩個銳角的差為60°，則較小的銳角度數是．3．（2022秋?新吳區(qū)期中）如圖，將一個直角三角形紙片ABC（∠ACB＝90°），沿線段CD折疊，使點B落在B′處，若∠ACB′＝72°，則∠ACD的度數為（）A．12° B．9° C．10° D．8°4．（2022秋?興化市校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在邊AB上，將△CBD沿CD折疊，使點B恰好落在邊AC上的點E處．若∠A＝24°，則∠CDE＝69°．5．（2022秋?崇川區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折疊△CBD，使點B恰好落在AC邊上的點E處，若∠A＝20°，則∠BDC等于．6．（2022秋?江陰市校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點D為AC邊上一動點，將△CBD沿著直線BD對折得到△EBD．若∠ABD＝15°，則∠ABE的度數為．二．勾股定理（共5小題）7．（2022秋?常州期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝n2﹣1，AB＝n2+1，則AC的長為（）A．2n B．2n2 C．4n D．4n28．（2022秋?新北區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，則點C到直線AB的距離是（）A． B．3 C． D．29．（2020秋?東臺市月考）在△ABC中，∠BAC＝90°，則下列結論成立的是（）A．BC＝AC+BC B．AC2＝AB2+BC2 C．AB2＝AC2+BC2 D．BC2＝AB2+AC210．（2021秋?常熟市校級月考）如圖所示的是由兩個直角三角形和三個正方形組成的圖形，其中陰影部分的面積是（）A．50 B．16 C．25 D．4111．（2022秋?南京期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D．若AC＝3，BC＝4，則CD的長為（）A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5三．勾股定理的證明（共9小題）12．（2022秋?江陰市期中）如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為81，小正方形面積為16，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），請觀察圖案，指出以下關系式中不正確的是（）A．x2+y2＝81 B．x+y＝13 C．2xy+16＝81 D．x﹣y＝413．（2022秋?沭陽縣期中）如圖1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．連接圖2中四條線段得到如圖3的新圖案，如果圖1中的直角三角形的長直角邊為5，短直角邊為2，圖3中陰影部分的面積為S，那么S的值為．14．（2022秋?錫山區(qū)期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若（a+b）2＝21，小正方形的面積為5，則大正方形的面積為（）A．12 B．13 C．14 D．1515．（2022秋?錫山區(qū)校級月考）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若ab＝8，大正方形的面積為25，則小正方形的邊長為（）A．9 B．6 C．4 D．316．（2022秋?興化市期中）如圖，在四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形圖案中，如果大正方形的面積為16，小正方形的面積為4，直角三角形的兩直角邊分別為a和b，那么（a+b）2的值為（）A．25 B．28 C．16 D．4817．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）到目前為止，勾股定理的證明已超過400種，其中一種簡潔易懂方法叫做“常春證法”，兩個直角三角形如圖擺放，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，點F落在AC上，點C與點E重合，斜邊AB與斜邊CD交于點M，連接AD，BD，若AC＝9，BC＝5，則四邊形ACBD的面積為．18．（2021秋?無錫期末）如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝18，則S2的值是（）A． B．6 C．5 D．19．（2023?揚州）我國漢代數學家趙爽證明勾股定理時創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形和一個小正方形組成．如圖，直角三角形的直角邊長為a、b，斜邊長為c，若b﹣a＝4，c＝20，則每個直角三角形的面積為．20．（2022秋?溧水區(qū)期末）如圖，在△ABD中，AC⊥BD于C，點E為AC上一點，連接BE、DE，DE的延長線交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．（1）求證：DF⊥AB；（2）利用圖中陰影部分面積完成勾股定理的證明，已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求證：a2+b2＝c2．一．選擇題1．（2022秋?溧水區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是角平分線，AD＝6，則BC的長度為（）A．6 B．8 C．12 D．162．（2022秋?海安市期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，將其折疊，使點A落在邊CB上A′處，折痕為CD，則∠A′DB＝（）A．40° B．30° C．20° D．10°3．（2022秋?南京期末）如圖，在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AB＝2，以邊AB、AC、BC為直徑畫半圓，其中所得兩個月形圖案AFCD和BGCE（圖中陰影部分）的面積之和等于（）A．8 B．4 C．2 D．44．（2022秋?泗陽縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD、AE是中線，CD＝，AC＝，則AE的長為（）A． B．5 C．6 D．4二．填空題5．（2022秋?泰興市期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，則斜邊AB長為cm．6．（2022秋?常州期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC平分∠BAD，且∠ACB＝90°．當點C在BD的垂直平分線上時，CD2的值為．7．（2022秋?南京期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點D、E，則AE的長為．8．（2022秋?如東縣期末）李老師和“幾何小分隊”的隊員們在學習數學史時，發(fā)現了一個著名的“希波克拉蒂月牙問題（Hippocrate'sTheorem）”：如右圖在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a＝6，b＝8，分別以Rt△ABC的各邊為直徑作半圓，則圖中兩個“月牙”即陰影部分面積為．9．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若ab＝8，大正方形的面積為25，則小正方形的邊長為．10．（2022秋?泰興市期末）已知，如圖，四邊形ABCD中，AD＝6，CD＝8，∠ADC＝90°，點M是AC的中點，連接BM，若BM＝AC，∠BAD+∠BDC＝180°，則BC2的值為．11．（2022秋?連云港期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為a，短直角邊長為b，若（a+b）2＝24，大正方形的面積為15，則小正方形的面積為．12．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級月考）把圖1中長和寬分別為6和3的兩個全等矩形沿對角線分成四個全等的直角三角形，將這四個全等的直角三角形拼成圖2所示的正方形，則圖2中小正方形ABCD的面積為．13．（2021秋?豐縣校級月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交AB、BC于E、D，∠1＝∠2，則∠B＝°．三．解答題（共5小題）14．（2022秋?蘇州期中）如圖1，將長為2a+3，寬為2a的矩形分割成四個全等的直角三角形，拼成如圖2所示的“趙爽弦圖”，得到大小兩個正方形．（1）用關于a的代數式表示圖2中小正方形的邊長；（2）已知圖2中小正方形面積為36，求大正方形的面積？15．（2022秋?徐州期中）操作與探究（1）圖1是由有20個邊長為1的正方形組成的，把它按圖1的分割方法分割成5部分后可拼接成一個大正方形（內部的粗實線表示分割線），請你在圖2的網格中畫出拼接成的大正方形；（2）如果（1）中分割成的直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c．請你利用圖拼成的大正方形證明勾股定理．16．（2022秋?揚州期中）著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c），大正方形的面積可以表示為c2），也可以表示為4×ab+（a﹣b）2，由此推導出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c，則a2+b2＝c2．（1）圖②為美國第二十任總統伽菲爾德的“總統證法”，請你利用圖②推導勾股定理．（2）如圖③，在一條東西走向河流的一側有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現在已經不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、H、B在同一條直線上），并新修一條路CH，且CH⊥AB．測得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？（3）在第（2）問中若AB≠AC時，CH⊥AB，AC＝4，BC＝5，AB＝6，設AH＝x，求x的值．17．（2022秋?灌南縣期中）中國古代數學家們對于勾股定理的發(fā)現和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位，體現了數學研究中的繼承和發(fā)展．現用4個全等的直角三角形拼成如圖所示“弦圖”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，請你利用這個圖形解決下列問題：（1）試說明a2+b2＝c2；（2）如果大正方形的面積是12，小正方形的面積是4，求（a+b）2的值．18．（2022秋?吳江區(qū)月考）【方法探究】我們知道，通過不同的方法表示同一圖形的面積可以探求相應的數量關系．如圖1，它是由四個形狀大小完全相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b（a＜b），斜邊長為c，大正方形的面積用兩種方法可分別表示為、，由此可發(fā)現a，b，c之間的數量關系為．【方法遷移】將圖1中的四個形狀大小完全相同的直角三角形拼成圖2，a，b，c之間仍然具有以上數量關系嗎？請在圖2中添加適當的輔助線，并加以說明．一．選擇題1．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為（）A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．無法計算2．兩個邊長分別為a，b，c的直角三角形和一個兩條直角邊都是c的直角三角形拼成如圖所示的圖形，用兩種不同的計算方法計算這個圖形的面積，則可得等式為（）A．（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a2+b2＝c2 D．a2﹣b2＝c23．如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為81，小正方形面積為16，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），請觀察圖案，指出以下關系式中不正確的是（）A．x2+y2＝81 B．x+y＝13 C．2xy+16＝81 D．x﹣y＝44．如圖，點C是線段AB上的一點，分別以AC、BC為邊向兩側作正方形．設AB＝6，兩個正方形的面積和S1+S2＝20，則圖中△BCD的面積為（）A．4 B．6 C．8 D．105．如圖，正方形ABCD的面積為15，Rt△BCE的斜邊CE的長為8，則BE的長為（）A．17 B．10 C．6 D．76．如圖是一正方體的平面展開圖，若AB＝6，則該正方體A、B兩點間的距離為（）A．2 B．3 C．4 D．67．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分別以四邊向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲、S乙、S丙、S丁來表示它們的面積，那么下列結論正確的是（）A．S甲＝S丁 B．S乙＝S丙 C．S甲+S乙＝S丙+S丁 D．S甲﹣S乙＝S丙﹣S丁二．填空題8．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10，AC＝6，則BD的長是．9．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，∠C＝30°，AD＝2，BC＝7，則AB＝．10．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝9，BC＝15，點D、E分別AB、BC的中點，點F在CA的延長線上，且∠FDA＝∠BAE，則四邊形AFDE的周長為．11．如圖△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5．若動點P從點C開始以每秒1個單位的速度，按C→A→B的路徑運動，設運動的時間為t秒，當t為時，△BCP為等腰三角形．三．解答題12．如圖，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面積為35．（1）求AB的長；（2）求△ACB的面積．13．已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．（1）若∠A＝42°，求∠DCB的度數；（2）若BD＝1，CD＝3，M為AC的中點，求DM的長．14．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，AD⊥BC，垂足為D．（1）△ABC的面積是．（2）求BC、AD的長．15．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，動點P從點B出發(fā)，以2cm/秒的速度沿BC移動至點C，設運動時間為t秒．（1）求BC的長；（2）在點P的運動過程中，是否存在某個時刻t，使得點P到邊AB的距離與點P到點C的距離相等？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

第09講勾股定理（3種題型）1.掌握勾股定理的內容及證明方法，能夠熟練地運用勾股定理由已知直角三角形中的兩條邊長求出第三條邊長．2.掌握勾股定理，能夠運用勾股定理解決簡單的實際問題，會運用方程思想解決問題．3.熟練應用勾股定理解決直角三角形中的問題，進一步運用方程思想解決問題．一．直角三角形的性質（1）有一個角為90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質外，具有一些特殊的性質：性質1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）．性質2：在直角三角形中，兩個銳角互余．性質3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）性質4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．性質5：在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°．二．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a，b及c．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．三．勾股定理的證明（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（2）證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理．一．直角三角形的性質（共6小題）1．（2023春?江陰市期中）具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C【分析】由三角形內角和為180°求得三角形的每一個角，再判斷形狀．【解答】解：A選項，∠A+∠B＝∠C，即2∠C＝180°，∠C＝90°，為直角三角形，不符合題意；B選項，∠A﹣∠B＝∠C，即2∠A＝180°，∠A＝90°，為直角三角形，不符合題意；C選項，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，即∠A+∠B＝∠C，同A選項，不符合題意；D選項，∠A＝∠B＝3∠C，即7∠C＝180°，三個角沒有90°角，故不是直角三角形，符合題意．故選：D．【點評】注意直角三角形中有一個內角為90°．2．（2022秋?高新區(qū)校級月考）直角三角形中兩個銳角的差為60°，則較小的銳角度數是15°．【分析】設較小銳角的度數為x，則較大銳角的度數為x+20°，根據直角三角形兩銳角互余列出方程求解即可．【解答】解：設較小銳角的度數為x，則較大銳角的度數為x+60°，根據題意得：x+x+60°＝90°，解得：x＝15°，∴較小銳角的度數為：15°，故答案為：15°．【點評】本題考查了直角三角形的性質，列出方程是解題的關鍵．3．（2022秋?新吳區(qū)期中）如圖，將一個直角三角形紙片ABC（∠ACB＝90°），沿線段CD折疊，使點B落在B′處，若∠ACB′＝72°，則∠ACD的度數為（）A．12° B．9° C．10° D．8°【分析】根據∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，求出∠DCB即可解答．【解答】解：∵∠ACB′＝72°，∠ACB＝90°，∴∠BCB′＝162°，由翻折的性質可知：∠DCB＝∠BCB′＝81°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝90°﹣81°＝9°，故選：B．【點評】本題考查翻折變換，三角形的內角和定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識．4．（2022秋?興化市校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在邊AB上，將△CBD沿CD折疊，使點B恰好落在邊AC上的點E處．若∠A＝24°，則∠CDE＝69°．【分析】根據翻折的性質可得∠ACD＝∠BCD＝45°，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠CDB，然后根據翻折的性質可得∠CDE＝∠CDB．【解答】解：∵∠ACB＝90°，將△CBD沿直線CD翻折180°，得到△CED，點E恰好落在邊AC上，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，由三角形的外角性質得，∠CDB＝∠A+∠ACD＝24°+45°＝69°，由據翻折的性質得，∠CDE＝∠CDB＝69°．故答案為：69．【點評】本題考查了翻折變換的性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，熟記各性質并準確識圖理清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵．5．（2022秋?崇川區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折疊△CBD，使點B恰好落在AC邊上的點E處，若∠A＝20°，則∠BDC等于65°．【分析】求出∠B，∠DCB即可解決問題．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝20°，∴∠B＝90°﹣∠A＝70°，由折疊可知，∠DCB＝∠DCE＝45°，∴∠BDC＝180°﹣70°﹣45°＝65°，故答案為：65°．【點評】本題考查三角形內角和定理，翻折變換等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．6．（2022秋?江陰市校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點D為AC邊上一動點，將△CBD沿著直線BD對折得到△EBD．若∠ABD＝15°，則∠ABE的度數為60°．【分析】依據角的和差關系即可得到∠DBC的度數，再根據折疊的性質即可得到∠ABE的度數．【解答】解：∵∠ABD＝15°，∠ABC＝90°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBC＝90°﹣15°＝75°，由折疊可得∠DBE＝∠DBC＝75°，∴∠ABE＝∠DBE﹣∠ABD＝75°﹣15°＝60°．故答案為：60°．【點評】本題主要考查了折疊問題，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．二．勾股定理（共5小題）7．（2022秋?常州期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝n2﹣1，AB＝n2+1，則AC的長為（）A．2n B．2n2 C．4n D．4n2【分析】由勾股定理得AC2＝AB2﹣BC2，把BC、AB代入化簡即可求得AC2，再根據二次根式的性質即可求解．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝n2﹣1，AB＝n2+1，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，∴AC2＝AB2﹣BC2＝（n2+1）2﹣（n2﹣1）2＝（n2+1+n2﹣1）（n2+1﹣n2+1）＝4n2，∴，故選：A．【點評】本題考查了勾股定理、二次根式的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．8．（2022秋?新北區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，則點C到直線AB的距離是（）A． B．3 C． D．2【分析】作CD⊥AB于點D，根據勾股定理可以求得AB的長，然后根據面積法，可以求得CD的長．【解答】解：作CD⊥AB于點D，如右圖所示，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵，∴，解得CD＝2.4，故選：C．【點評】本題考查勾股定理、三角形的面積，解答本題的關鍵是明確題意，畫出相應的圖形，利用勾股定理和面積法解答．9．（2020秋?東臺市月考）在△ABC中，∠BAC＝90°，則下列結論成立的是（）A．BC＝AC+BC B．AC2＝AB2+BC2 C．AB2＝AC2+BC2 D．BC2＝AB2+AC2【分析】根據勾股定理解決此題．【解答】解：如圖．∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴BC2＝AB2+AC2．故選：D．【點評】本題主要考查勾股定理，熟練掌握勾股定理是解決本題的關鍵．10．（2021秋?常熟市校級月考）如圖所示的是由兩個直角三角形和三個正方形組成的圖形，其中陰影部分的面積是（）A．50 B．16 C．25 D．41【分析】根據勾股定理求出AB2，再根據勾股定理計算即可．【解答】解：由勾股定理得，AB2＝132﹣122＝25，∴CD2+BD2＝BC2＝25，∴陰影部分的面積＝25+25＝50，故選：A．【點評】本題考查的是勾股定理的應用，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．11．（2022秋?南京期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D．若AC＝3，BC＝4，則CD的長為（）A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5【分析】由勾股定理得AB＝5，再由三角形面積公式得S△ABC＝AB?CD＝AC?BC，即可得出結論．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵CD⊥AB，∴S△ABC＝AB?CD＝AC?BC，∴CD＝＝＝2.4，故選：A．【點評】此題考查了勾股定理以及三角形面積公式，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．三．勾股定理的證明（共10小題）12．（2022秋?江陰市期中）如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為81，小正方形面積為16，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），請觀察圖案，指出以下關系式中不正確的是（）A．x2+y2＝81 B．x+y＝13 C．2xy+16＝81 D．x﹣y＝4【分析】由題意，①﹣②可得2xy＝65記為③，①+③得到（x+y）2＝146由此即可判斷．【解答】解：由題意，①﹣②可得2xy＝65③，∴2xy+16＝81，①+③得x2+2xy+y2＝146，∴x+y＝，∴①③④正確，②錯誤．故選：B．【點評】本題考查勾股定理，二元二次方程組等知識，解題的關鍵學會利用方程的思想解決問題，學會整體恒等變形的思想，屬于中考常考題型．13．（2022秋?沭陽縣期中）如圖1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．連接圖2中四條線段得到如圖3的新圖案，如果圖1中的直角三角形的長直角邊為5，短直角邊為2，圖3中陰影部分的面積為S，那么S的值為21．【分析】利用勾股定理，求出空白部分面積，通過間接作差得出陰影部分面積．【解答】解：如圖，由題意得AC＝＝，AB＝CD＝2，△ABD是直角三角形，則大正方形面積＝AC2＝29，∴△ADC面積＝CD?AB＝×2×2＝2，∴陰影部分的面積S＝29﹣4×2＝21，故答案為：21．【點評】本題主要考查了勾股定理中趙爽弦圖模型，關鍵在于正確找出勾股關系，利用轉換面積作差求解．14．（2022秋?錫山區(qū)期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若（a+b）2＝21，小正方形的面積為5，則大正方形的面積為（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】由題意可知：中間小正方形的邊長為：a﹣b，根據勾股定理以及題目給出的已知數據即可求出大正方形的邊長．【解答】解：由題意可知：中間小正方形的邊長為：a﹣b＝，∵（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝5+4ab＝21，∴ab＝4，∴大正方形的面積＝4×ab+5＝13，故選：B．【點評】本題考查勾股定理的證明，解題的關鍵是熟練運用勾股定理以及完全平方公式，本題屬于基礎題型．15．（2022秋?錫山區(qū)校級月考）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若ab＝8，大正方形的面積為25，則小正方形的邊長為（）A．9 B．6 C．4 D．3【分析】分析題意，首先根據已知條件易得，中間小正方形的邊長為：a﹣b；接下來根據勾股定理以及題目給出的已知數據即可求出小正方形的邊長．【解答】解：由題意可知：中間小正方形的邊長為：a﹣b，∵每一個直角三角形的面積為：ab＝×8＝4，從圖形中可得，大正方形的面積是4個直角三角形的面積與中間小正方形的面積之和，∴4×ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3．故選：D．【點評】本題考查勾股定理，解題的關鍵是熟練運用勾股定理以及完全平方公式．16．（2022秋?興化市期中）如圖，在四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的大正方形圖案中，如果大正方形的面積為16，小正方形的面積為4，直角三角形的兩直角邊分別為a和b，那么（a+b）2的值為（）A．25 B．28 C．16 D．48【分析】根據所求問題，利用勾股定理得到a2+b2的值，由已知條件得到ab的值，從而求得．【解答】解：∵大正方形的面積為16，∴它的邊長為4，即得a2+b2＝42＝16，由題意4××ab+4＝16，2ab＝12，所以（a+b）2＝a2+2ab+b2＝16+12＝28．故選：B．【點評】本題巧妙地利用直角三角形的勾股定理，來求得未知問題．17．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級期中）到目前為止，勾股定理的證明已超過400種，其中一種簡潔易懂方法叫做“常春證法”，兩個直角三角形如圖擺放，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，點F落在AC上，點C與點E重合，斜邊AB與斜邊CD交于點M，連接AD，BD，若AC＝9，BC＝5，則四邊形ACBD的面積為53．【分析】根據全等三角形的性質可得DF＝AC＝9，CF＝BC＝5，再根據四邊形ACBD的面積＝△DAC的面積+△DBC的面積，列出算式計算即可求解．【解答】解：∵Rt△ABC≌Rt△DEF，∴DF＝AC＝9，CF＝BC＝5，∴四邊形ACBD的面積＝△DAC的面積+△DBC的面積＝×9×9+×5×5＝53．故答案為：53．【點評】本題考查了勾股定理的證明，關鍵是求出DF＝AC＝9，CF＝BC＝5，以及由圖形得到四邊形ACBD的面積＝△DAC的面積+△DBC的面積．18．（2021秋?無錫期末）如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝18，則S2的值是（）A． B．6 C．5 D．【分析】先設每個直角三角形的長直角邊為a，短直角邊為b，然后根據圖形和S1+S2+S3＝18，可以寫出關于a、b的方程，然后整理化簡，即可求得S2的值．【解答】解：設每個直角三角形的長直角邊為a，短直角邊為b，∵S1+S2+S3＝18，∴（a+b）2+（a2+b2）+（a﹣b）2＝18，∴a2+2ab+b2+a2+b2+a2﹣2ab+b2＝18，∴3（a2+b2）＝18，∴a2+b2＝6，∴S2＝a2+b2＝6，故選：B．【點評】本題考查勾股定理的應用、正方形的面積，解答本題的關鍵是明確勾股定理的內容，可以寫出相應的等式．19．（2023?揚州）我國漢代數學家趙爽證明勾股定理時創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形和一個小正方形組成．如圖，直角三角形的直角邊長為a、b，斜邊長為c，若b﹣a＝4，c＝20，則每個直角三角形的面積為60．【分析】根據勾股定理可知a2+b2＝c2，再根據b﹣a＝4，c＝20，即可得到a、b的值，然后即可計算出每個直角三角形的面積．【解答】解：由圖可得，a2+b2＝c2，∴且a、b均大于0，解得，∴每個直角三角形的面積為ab＝×12×10＝60，故答案為：60．【點評】本題考查勾股定理的證明、解直角三角形，解答本題的關鍵是明確題意，求出a、b的值．20．（2022秋?溧水區(qū)期末）如圖，在△ABD中，AC⊥BD于C，點E為AC上一點，連接BE、DE，DE的延長線交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．（1）求證：DF⊥AB；（2）利用圖中陰影部分面積完成勾股定理的證明，已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求證：a2+b2＝c2．【分析】（1）利用“8字型”證明∠AFE＝∠ECD＝90°即可．（2）利用S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，即可得出結論．【解答】解：（1）∵AC⊥BD，∠CAD＝45°，∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°，在Rt△ABC與Rt△DEC中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），∴∠BAC＝∠EDC，∵∠EDC+∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，∴∠AEF+∠BAC＝90°，∴∠AFE＝90°，∴DF⊥AB．（2）∵S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，∴a2+b2＝?c?DF﹣?c?EF＝?c?（DF﹣EF）＝?c?DE＝c2，∴a2+b2＝c2．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質、勾股定理的證明等知識，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質，學會利用面積法證明勾股定理，屬于中考常考題型．一．選擇題1．（2022秋?溧水區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是角平分線，AD＝6，則BC的長度為（）A．6 B．8 C．12 D．16【分析】先根據等腰三角形的性質得出BC＝2BD，再由勾股定理求出BD的長，進而可得出結論．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是角平分線，AD＝6，∴BC＝2BD，AD⊥BC．在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，即BD2+62＝102，解得BD＝8，∴BC＝16．故選：D．【點評】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵．2．（2022秋?海安市期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，將其折疊，使點A落在邊CB上A′處，折痕為CD，則∠A′DB＝（）A．40° B．30° C．20° D．10°【分析】在直角三角形ABC中，由∠ACB與∠A的度數，利用三角形的內角和定理求出∠B的度數，再由折疊的性質得到∠CA′D＝∠A，而∠CA′D為三角形A′BD的外角，利用三角形的外角性質即可求出∠A′DB的度數．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，∴∠B＝180°﹣90°﹣55°＝35°，由折疊可得：∠CA′D＝∠A＝55°，又∵∠CA′D為△A′BD的外角，∴∠CA′D＝∠B+∠A′DB，則∠A′DB＝55°﹣35°＝20°．故選：C．【點評】此題考查了直角三角形的性質，三角形的外角性質，以及折疊的性質，熟練掌握性質是解本題的關鍵．3．（2022秋?南京期末）如圖，在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AB＝2，以邊AB、AC、BC為直徑畫半圓，其中所得兩個月形圖案AFCD和BGCE（圖中陰影部分）的面積之和等于（）A．8 B．4 C．2 D．4【分析】由等腰三角形的性質及勾股定理可求解AC＝CB＝2，進而可求得S△ACB＝2，再利用陰影部分的面積＝以AC為直徑的圓的面積+△ACB的面積﹣以AB為直徑的半圓的面積計算可求解．【解答】解：在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2，∴AC2+BC2＝AB2＝8，∴AC＝CB＝2，∴S△ACB＝AC?BC＝2，∴S陰影＝π（）2+S△ACB﹣π（）2＝π+2﹣π＝2，故選：C．【點評】本題主要考查等腰直角三角形，勾股定理，理清陰影部分的面積＝以AC為直徑的圓的面積+△ACB的面積﹣以AB為直徑的半圓的面積是解題的關鍵．4．（2022秋?泗陽縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD、AE是中線，CD＝，AC＝，則AE的長為（）A． B．5 C．6 D．4【分析】由CD、AE是Rt△ABC中線，得BE＝CE＝BC，AB＝2BD，由勾股定理得（）2﹣BD2＝（）2﹣（2BD）2＝BC2，即可求得BD＝2，則AB＝4，進而求得BC＝＝6，BE＝3，則AE＝＝5，于是得到問題的答案．【解答】解：∵CD、AE是Rt△ABC中線，∴BE＝CE＝BC，BD＝AD＝AB，∴AB＝2BD，∵∠B＝90°，∴CD2﹣BD2＝AC2﹣AB2＝BC2，∵CD＝，AC＝，∴（）2﹣BD2＝（）2﹣（2BD）2，∴BD＝2，AB＝4，∴BC＝＝＝6，BE＝3，∴AE＝＝＝5，∴AE的長為5，故選：B．【點評】此題重點考查三角形的中線的定義、勾股定理等知識，將AB的長用BD表示，再根據勾股定理列方程是解題的關鍵．二．填空題5．（2022秋?泰興市期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，則斜邊AB長為cm．【分析】根據勾股定理求得斜邊的長，再根據三角形的面積公式即可求得斜邊上的高的長．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，∴AB＝＝13cm．故答案為：13．【點評】本題考查了勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方以及三角形面積公式的綜合運用．6．（2022秋?常州期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC平分∠BAD，且∠ACB＝90°．當點C在BD的垂直平分線上時，CD2的值為．【分析】延長AD、BC交于點E，由題意可得AB＝AE，然后根據等腰三角形的性質和線段垂直平分線的性質得出BC＝CE＝CD，過點C作CF⊥DE于點F，分別在Rt△CDF中，Rt△ACF中和Rt△ABC中利用勾股定理求出AC2＝CD2+60和AC2＝100﹣CD2，進而可得答案．【解答】解：如圖，延長AD、BC交于點E，∵AC平分∠BAE，且∠ACB＝90°，∴AB＝AE＝10，∴BC＝CE，∵點C在BD的垂直平分線上，∴BC＝CD，∴CD＝CE，過點C作CF⊥DE于點F，∴DF＝EF，∵AD＝6，∴DE＝4，∴DF＝EF＝2，∴AF＝AD+DF＝8，在Rt△CDF中，CF2＝CD2﹣DF2＝CD2﹣4，在Rt△ACF中，AC2＝AF2+CF2＝64+CD2﹣4＝CD2+60，在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2＝100﹣CD2，∴CD2+60＝100﹣CD2，∴CD2＝20．故答案為：20．【點評】本題考查的是勾股定理，等腰三角形的判定和性質，線段垂直平分線的性質等知識，作出合適的輔助線構造出等腰三角形是解題的關鍵．7．（2022秋?南京期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點D、E，則AE的長為．【分析】根據勾股定理求出BC，根據線段垂直平分線的性質得到EA＝EB，根據勾股定理列式計算得到答案．【解答】解：連接BE，由勾股定理得，BC＝＝＝3，∵DE是AB的垂直平分線，∴EA＝EB，AD＝DB＝，則CE＝4﹣AE＝4﹣EB，在Rt△CBE中，BE2＝CE2+BC2，即BE2＝（4﹣BE）2+9，解得BE＝，∴AE＝BE＝，故答案為：．【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．8．（2022秋?如東縣期末）李老師和“幾何小分隊”的隊員們在學習數學史時，發(fā)現了一個著名的“希波克拉蒂月牙問題（Hippocrate'sTheorem）”：如右圖在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a＝6，b＝8，分別以Rt△ABC的各邊為直徑作半圓，則圖中兩個“月牙”即陰影部分面積為．【分析】直接根據勾股定理求出AB的長，再根據S陰影＝以AC為直徑的扇形的面積+以BC為直徑的扇形面積﹣以AB為直徑的扇形面積+△ABC的面積即可得出結論．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a＝6，b＝8，∴AB＝＝＝10．∴S陰影＝＝π+24＝24．故答案為：24．【點評】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵．9．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形．設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若ab＝8，大正方形的面積為25，則小正方形的邊長為．【分析】由題意可知：中間小正方形的邊長為：a﹣b，根據勾股定理以及題目給出的已知數據即可求出小正方形的邊長．【解答】解：由題意可知：中間小正方形的邊長為：a﹣b，∵每一個直角三角形的面積為：ab＝×8＝4，∴4×ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3或a﹣b＝﹣3（舍去），故答案是：3．【點評】本題考查勾股定理，解題的關鍵是熟練運用勾股定理以及完全平方公式，本題屬于基礎題型．10．（2022秋?泰興市期末）已知，如圖，四邊形ABCD中，AD＝6，CD＝8，∠ADC＝90°，點M是AC的中點，連接BM，若BM＝AC，∠BAD+∠BDC＝180°，則BC2的值為．【分析】延長BM交CD于N點，連接DM，如圖，先利用勾股定理計算出AC＝10，根據斜邊上的中線性質得到MD＝MC，再證明∠ABC＝90°，接著證明∠BDC＝∠BCD，則BD＝BC，于是可判斷BM垂直平分CD，所以DN＝CN＝4，∠BNC＝90°，然后證明MN為△ADC的中位線得到MN＝3，最后利用勾股定理計算BC2的值．【解答】解：延長BM交CD于N點，連接DM，如圖，∵∠ADC＝90°，AD＝6，CD＝8，∴AC＝＝10，∵點M是AC的中點，∴MD＝MC，∵BM＝AC＝5，∴AM＝BM＝CM，∴∠MAB＝∠MBA，∠MBC＝∠MCB，∵∠MAB+∠MBA+∠MBC+∠MCB＝180°，∴∠MBA+∠MBC＝90°，即∠ABC＝90°，∴∠DAB+∠BCD＝180°，∵∠BAD+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝∠BCD，∴BD＝BC，而MD＝MC，∴BM垂直平分CD，∴DN＝CN＝4，∠BNC＝90°，∵M點為AC的中點，N為CD的中點，∴MN為△ADC的中位線，∴MN＝AD＝3，∴BN＝BM+MN＝8，在Rt△BCN中，BC2＝CN2+BN2＝42+82＝80．故答案為：80．【點評】本題考查了勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．構建Rt△BCN是解決問題的關鍵．11．（2022秋?連云港期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為a，短直角邊長為b，若（a+b）2＝24，大正方形的面積為15，則小正方形的面積為6．【分析】根據題意和勾股定理，可以求得ab的值，再根據圖形可知：小正方形的面積＝大正方形的面積﹣4個直角三角形的面積，然后代入數據計算即可．【解答】解：設大正方形的邊長為c，則c2＝15＝a2+b2，∵（a+b）2＝24，∴a2+2ab+b2＝24，解得ab＝4.5，∴小正方形的面積是：15﹣ab×4＝15﹣4.5×4＝15﹣9＝6，故答案為：6．【點評】本題考查勾股定理的證明、完全平方公式，解答本題的關鍵是明確題意，求出ab的值．12．（2022秋?工業(yè)園區(qū)校級月考）把圖1中長和寬分別為6和3的兩個全等矩形沿對角線分成四個全等的直角三角形，將這四個全等的直角三角形拼成圖2所示的正方形，則圖2中小正方形ABCD的面積為．【分析】根據題意得出小正方形的邊長，然后根據面積公式計算即可．【解答】解：由題意知，小正方形ABCD的面積為（6﹣3）2＝9，故答案為：9．【點評】本題主要考查勾股定理的證明，熟練根據圖形列出代數式是解題的關鍵．13．（2021秋?豐縣校級月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，交AB、BC于E、D，∠1＝∠2，則∠B＝°．【分析】由DE垂直平分AB，根據線段垂直平分線的性質，可求得AD＝BD，繼而可得∠2＝∠B，然后由在△ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠2，即可得∠BAC+∠B＝∠B＝90°，繼而求得答案．【解答】解：DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴∠2＝∠B，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠B，∴∠BAC＝∠1+∠2＝∠B，∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠BAC+∠B＝∠B＝90°，∴∠B＝36°．故答案為：36．【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質以及等腰三角形的性質．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．三．解答題（共5小題）14．（2022秋?蘇州期中）如圖1，將長為2a+3，寬為2a的矩形分割成四個全等的直角三角形，拼成如圖2所示的“趙爽弦圖”，得到大小兩個正方形．（1）用關于a的代數式表示圖2中小正方形的邊長；（2）已知圖2中小正方形面積為36，求大正方形的面積？【分析】（1）觀察圖形，用直角三角形較長的直角邊減去較短的直角邊即可；（2）根據正方形的面積＝邊長的平方列出代數式，把a＝3代入求值即可．【解答】解：（1）∵直角三角形較短的直角邊＝×2a＝a，較長的直角邊＝2a+3，∴小正方形的邊長＝2a+3﹣a＝a+3；（2）小正方形的面積＝（a+3）2＝36，∴a＝3（負值舍去），∴大正方形的面積＝92+32＝90．【點評】本題考查了勾股定理的證明，列代數式，代數式求值，觀察圖形，用直角三角形較長的直角邊減去較短的直角邊求出小正方形的邊長是解題的關鍵．15．（2022秋?徐州期中）操作與探究（1）圖1是由有20個邊長為1的正方形組成的，把它按圖1的分割方法分割成5部分后可拼接成一個大正方形（內部的粗實線表示分割線），請你在圖2的網格中畫出拼接成的大正方形；（2）如果（1）中分割成的直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c．請你利用圖拼成的大正方形證明勾股定理．【分析】（1）根據網格用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，即可完成拼圖；（2）利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理；【解答】解：（1）如圖所示即為拼接成的大正方形；（2）S大正方形＝4×ab+（b﹣a）2＝2ab+b2﹣2ab+a2＝a2+b2，而S大正方形＝c2，∴a2+b2＝c2．【點評】本題考查了勾股定理的證明及其應用，掌握勾股定理是解本題的關鍵．16．（2022秋?揚州期中）著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c），大正方形的面積可以表示為c2），也可以表示為4×ab+（a﹣b）2，由此推導出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c，則a2+b2＝c2．（1）圖②為美國第二十任總統伽菲爾德的“總統證法”，請你利用圖②推導勾股定理．（2）如圖③，在一條東西走向河流的一側有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現在已經不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、H、B在同一條直線上），并新修一條路CH，且CH⊥AB．測得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？（3）在第（2）問中若AB≠AC時，CH⊥AB，AC＝4，BC＝5，AB＝6，設AH＝x，求x的值．【分析】（1）梯形的面積可以由梯形的面積公式求出，也可利用三個直角三角形面積求出，兩次求出的面積相等列出關系式，化簡即可得證；（2）設CA＝x，則AH＝x﹣0.9，根據勾股定理列方程，解得即可得到結果；（3）在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得求出CH2＝CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，列出方程求解即可得到結果；【解答】解：（1）梯形ABCD的面積為（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2，也可以表示為ab+ab+c2，∴ab+ab+c2＝a2+ab+b2，即a2+b2＝c2；（2）∵CA＝x，∴AH＝x﹣0.9，在Rt△ACH中，CA2＝CH2+AH2，即x2＝1.22+（x﹣0.9）2，解得x＝1.25，即CA＝1.25，CA﹣CH＝1.25﹣1.2＝0.05（千米），答：新路CH比原路CA少0.05千米；（3）設AH＝x，則BH＝6﹣x，在Rt△ACH中，CH2＝CA2﹣AH2，在Rt△BCH中，CH2＝CB2﹣BH2，∴CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，即42﹣x2＝52﹣（6﹣x）2，解得：x＝．【點評】此題主要考查了勾股定理的證明與應用，一元一次方程，熟練掌握相關定理是解答此題的關鍵．17．（2022秋?灌南縣期中）中國古代數學家們對于勾股定理的發(fā)現和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位，體現了數學研究中的繼承和發(fā)展．現用4個全等的直角三角形拼成如圖所示“弦圖”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，請你利用這個圖形解決下列問題：（1）試說明a2+b2＝c2；（2）如果大正方形的面積是12，小正方形的面積是4，求（a+b）2的值．【分析】（1）根據大正方形的面積＝直角三角形的面積+小正方形的面積可得結論；（2）利用完全平方公式結合正方形及直角三角形的面積計算可求解．【解答】解：（1）∵大正方形面積為c2，直角三角形面積為ab，小正方形面積為（b﹣a）2，∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2；（2）由圖可知，（b﹣a）2＝4，4×ab＝12﹣4＝8，∴2ab＝8，∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝4+2×8＝20．【點評】本題主要考查勾股定理的證明，利用面積法證明勾股定理是解題的關鍵．18．（2022秋?吳江區(qū)月考）【方法探究】我們知道，通過不同的方法表示同一圖形的面積可以探求相應的數量關系．如圖1，它是由四個形狀大小完全相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b（a＜b），斜邊長為c，大正方形的面積用兩種方法可分別表示為、，由此可發(fā)現a，b，c之間的數量關系為．【方法遷移】將圖1中的四個形狀大小完全相同的直角三角形拼成圖2，a，b，c之間仍然具有以上數量關系嗎？請在圖2中添加適當的輔助線，并加以說明．【分析】（1）根據大正方形的面積的兩種求法，可得結論；（2）根據幾何圖形的面積的兩種求法，可得結論．【解答】解：（1）大正方形的面積＝（a+b）2；或大正方形的面積＝c2+2ab；∴（a+b）2＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2，故答案為：（a+b）2，c2+2ab，a2+b2＝c2；（2）結論仍然成立．理由：如圖2中，過點F作FH⊥CD于點H．這個幾何圖形的面積＝正方形BCHF的面積+正方形ETHD的面積+2個直角三角形的面積＝正方形ABJE的面積+2個正方形的面積，∴a2+b2+ab＝c2+ab，∴a2+b2＝c2．【點評】本題考查勾股定理的證明，正方形的性質等知識，解題的關鍵是學會利用面積法解決問題，屬于中考?？碱}型，一．選擇題1．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為（）A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．無法計算【分析】小正方形的面積為AC的平方，大正方形的面積為BC的平方．兩正方形面積的和為AC2+BC2，對于Rt△ABC，由勾股定理得AB2＝AC2+BC2．AB長度已知，故可以求出兩正方形面積的和．【解答】解：正方形ADEC的面積為：AC2，正方形BCFG的面積為：BC2；在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝15，則AC2+BC2＝225cm2．故選：C．【點評】本題考查了勾股定理．勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．2．兩個邊長分別為a，b，c的直角三角形和一個兩條直角邊都是c的直角三角形拼成如圖所示的圖形，用兩種不同的計算方法計算這個圖形的面積，則可得等式為（）A．（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a2+b2＝c2 D．a2﹣b2＝c2【分析】用兩種方法求圖形面積，一是直接利用梯形面積公式來求；一是利用三個三角形面積之和來求．【解答】解：根據題意得：S（a+b）（a+b），Sababc2，∴（a+b）（a+b）ababc2，即（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，整理得：a2+b2＝c2．故選：C．【點評】此題考查了勾股定理的證明，整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．3．如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為81，小正方形面積為16，若用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），請觀察圖案，指出以下關系式中不正確的是（）A．x2+y2＝81 B．x+y＝13 C．2xy+16＝81 D．x﹣y＝4【分析】由題意，①﹣②可得2xy＝65記為③，①+③得到（x+y）2＝146由此即可判斷．【解答】解：由題意，①﹣②可得2xy＝65③，∴2xy+16＝81，①+③得x2+2xy+y2＝146，∴x+y，∴①③④正確，②錯誤．故選：B．【點評】本題考查勾股定理，二元二次方程組等知識，解題的關鍵學會利用方程的思想解決問題，學會整體恒等變形的思想，屬于中考常考題型．4．如圖，點C是線段AB上的一點，分別以AC、BC為邊向兩側作正方形．設AB＝6，兩個正方形的面積和S1+S2＝20，則圖中△BCD的面積為（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】設AC＝a，BC＝b，由題意得：a+b＝6，a2+b2＝20，再根據完全平方公式的變式a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，即可求出ab的值，根據直角三角形的面積計算方法即可得出答案．【解答】解：設AC＝a，BC＝b，由題意得：a+b＝6，a2+b2＝20，∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，∴20＝62﹣2ab，∴ab＝8，∴△BCD的面積ab8＝4．圖中△BCD的面積為4．故選：A．【點評】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．5．如圖，正方形ABCD的面積為15，Rt△BCE的斜邊CE的長為8，則BE的長為（）A．17 B．10 C．6 D．7【分析】由正方形的性質得BC2＝15，∠ABC＝90°，則∠EBC＝90°，再由勾股定理求出BE的長即可．【解答】解：∵正方形ABCD的面積為15，∴BC2＝15，∠ABC＝90°，∴∠EBC＝90°，在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE7，故選：D．【點評】本題考查了勾股定理、正方形面積的計算等知識，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．6．如圖是一正方體的平面展開圖，若AB＝6，則該正方體A、B兩點間的距離為（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】首先求出正方體的棱長，進而得出正方體A、B兩點間的距離即可．【解答】解：∵AB＝6，∴該正方體的棱長為3，∴把正方形組合起來之后會發(fā)現A、B在同一平面的對角線上，所以該正方體A、B兩點間的距離為3，故選：B．【點評】此題主要考查了幾何體的展開圖，得出正方體的棱長是解題關鍵．7．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分別以四邊向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲、S乙、S丙、S丁來表示它們的面積，那么下列結論正確的是（）A．S甲＝S丁 B．S乙＝S丙 C．S甲+S乙＝S丙+S丁 D．S甲﹣S乙＝S丙﹣S丁【分析】連接AC，根據勾股定理可得甲的面積+乙的面積＝丙的面積+丁的面積，依此即可求解．【解答】解：連接AC，由勾股定理得AB2+BC2＝AC2，AD2+CD2＝AC2，∴甲的面積+乙的面積＝丙的面積+丁的面積，故選：C．【點評】本題考查了勾股定理的知識，要求能夠運用勾股定理證明4個正方形的面積之間的關系．二．填空題8．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10，AC＝6，則BD的長是．【分析】作DE⊥AB于E，利用角平分線的性質得CD＝DE，再利用面積法求出CD的長，從而解決問題．【解答】解：作DE⊥AB于E，在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC，∵AD平分∠BAC，AC⊥DC，DE⊥AB，∴CD＝DE，∴S△ABC，∴6CD+10CD＝48，∴CD＝3，∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5，故答案為：5．【點評】本題主要考查了勾股定理，角平分線的性質，三角形的面積等知識，運用面積法求出CD的長是解題的關鍵．9．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，∠C＝30°，AD＝2，BC＝7，則AB＝．【分析】平移一腰，得到平行四邊形和30°的直角三角形，根據它們的性質進行計算．【解答】解：作DE∥AB交BC于點E，則四邊形ABED是平行四邊形．∴AD＝BE＝2，∠DEC＝∠B＝60°，∴EC＝BC﹣BE＝7﹣2＝5，∵∠C＝30°，∴∠EDC＝180°﹣60°﹣30°＝90°．∴EC＝2DE＝5．∴AB＝DE＝2.5．故答案是：2.5．【點評】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質，根據題意作出輔助線，構造平行四邊形ABED是解題的關鍵．10．如圖，在△ABC中，∠BAC＝