/第01講一元二次方程和一元二次方程的解法（直接開平方）模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．通過觀察，歸納一元二次方程的概念；2．會用直接開平方法解形如（x+h）2=k（h、k為常數(shù)，k≥0）1.用方程的關系表示正方形的面積是4，設正方形的邊長為x，表示它們之間的關系。2.認識一元二次方程回顧一下一元一次方程的概念一元一次方程：。因此，只含有一個，且未知數(shù)的最高次數(shù)是的方程叫做一元二次方程.一元二次方程三要素：（1）；（2）；（3）.3.一元二次方程的一般形。一般形式項及項的系數(shù)二次項為；二次項系數(shù)為.一次項為；一次項系數(shù)為.常數(shù)項為.特點方程左邊是關于未知數(shù)的二次整式，右邊為0.4.一元二次方程的特殊形式特殊形式二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項ax2+bx=0（a≠0，b≠0）ax2+c=0（a≠0，c≠0）ax2=05.一元一次方程的解概念使一元二次方程左右兩邊的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.判斷一個數(shù)是不是一元二次方程的根將這個數(shù)代入一元二次方程的左右兩邊，看是否相等，若相等，則該數(shù)是這個方程的根；若不相等，則該數(shù)不是這個返程的根。6.一元二次方程的解法（一）解x2=4（用平方根的方法）于是我們知道一元二次方程x2=4有兩個根，它們分別記為像這種直接通過求平方根來解一元二次方程的方法叫做直接開方法.形如（h、k為常數(shù)，k≥0）的一元二次方程，可以用直接開方法求解.考點一：一元二次方程的定義例1．下列方程是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．【變式1-1】若關于的方程是一元二次方程，則的值是（

）A．0 B． C．1 D．【變式1-2】若關于x的一元二次方程有一個根為0，則．【變式1-3】已知關于x的方程．(1)當m為何值時，此方程為一元一次方程？(2)當m為何值時，此方程為一元二次方程？考點二：一元二次方程的一般形式例2．一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（）A．3，， B．3，4，1 C．3，4， D．3，，【變式2-1】若將一元二次方程化成一般式為，則的值為（

）A．2 B． C．1 D．【變式2-2】把方程化為一元二次方程的一般形式是．【變式2-3】將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項．(1)；(2)；(3)關于的方程．考點三：一元二次方程的解例3.若是關于的方程的一個根，則的值是（

）A．2026 B．2025 C．2023 D．2022【變式3-1】如果是一元二次方程的一個根，則b的值是（

）A．2 B．－2 C．3 D．【變式3-2】已知m是方程的一個根，則的值為．【變式3-3】如圖所示，四邊形是證明勾股定理時用到的一個圖形，a、b、c是和的邊長，易知，這時我們把關于x的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．請解決下列問題：

(1)試判斷方程是否為“勾系一元二次方程”．(2)若是“勾系一元二次方程”的一個根，且四邊形的周長是12，求的面積．考點四：直接開平方法例4．關于的一元二次方程的一個根是，則的值為（）A． B． C．或 D．【變式4-1】方程的解為（

）A． B．2 C． D．【變式4-2】方程的根是【變式4-3】用直接開平方法解下列方程：(1)(2)．考點五：一元二次方程解的估算例5．根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)：估計一元二次方程（，，為常數(shù)，）一個解的范圍為（

）A． B． C． D．【變式5-1】已知，依據(jù)下表，它的一個解的范圍是（

）A． B． C． D．不確定【變式5-2】如果是方程的一個根，根據(jù)下面表格中的取值，可以判斷．1.21.31.41.50.360.75【變式5-3】無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此無理數(shù)的小數(shù)部分不可能全部寫出來．材料一：估算法確定無理數(shù)的小數(shù)部分．∵，即，∴的整數(shù)部分為，∴的小數(shù)部分為；材料二：面積法求一個無理數(shù)的近似值，已知面積為的正方形的邊長是，∵，∴設（為的小數(shù)部分，），畫出示意圖：由圖可知，正方形的面積由四個部分組成，，∵，∴，略去，得方程，解得，即，解決問題：(1)結合你所學的知識，探究的近似值（結果精確到）；(2)請總結估算（為開方開不盡的數(shù)）的一般方法．1．下列方程中，一定是關于的一元二次方程的是（

）A． B．C． D．2．一元二次方程的根為（

）A． B． C．， D．3．關于x的一元二次方程有一個根是1，則m的值是（

）A． B．2 C．0 D．4．已知是一元二次方程的一個根，則的值為（

）A． B． C． D．5．已知關于x的一元二次方程的兩個根分別為，3，則方程的兩個根分別為（

）A．，3 B．，3 C．，2 D．，26．根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第個圖中的，則的值為（

）A． B． C． D．7．關于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均為常數(shù)，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，則方程m（x+h-3）2+k=0的解是（

）A．x1=-6，x2=-1 B．x1=0，x2=5 C．x1=-3，x2=5 D．x1=-6，x2=28．兩個關于的一元二次方程和，其中，，是常數(shù)，且，如果是方程的一個根，那么下列各數(shù)中，一定是方程的根的是（

）A．2020 B． C．-2020 D．9．一元二次方程的一次項系數(shù)是．10．一元二次方程的根是．11．方程的解是．12．已知是方程的一個根，求．13．若一元二次方程的兩根也是方程的根，則的值為．14．定義：若、是方程的兩個整數(shù)根，且滿足，則稱此類方程為“自然方程”，例如：是“自然方程”．（1）下列方程是“自然方程”的是；（填序號）①；②；③．（2）若方程是“自然方程”，m的值為．15．解方程：(1)(2)16．若a是方程的一個根，求的值．17．【閱讀材料】【問題】已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解：設所求方程的根為，則，所以，把，代入已知方程，得．化簡，得，故所求方程為．這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：【類比探究】（1）已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為_______；【拓展運用】（2）已知關于的一元二次方程有兩個不等于零的實數(shù)根，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)．18．閱讀小明用下面的方法求出方程．解：移項，得，方程兩邊同時平方，得，解得或經(jīng)檢驗，或都是原方程的解．所以，原方程的解為或．請仿照他的方法，求出方程的解．

第01講一元二次方程和一元二次方程的解法（直接開平方）模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．通過觀察，歸納一元二次方程的概念；2．會用直接開平方法解形如（x+h）2=k（h、k為常數(shù)，k≥0）1.用方程的關系表示正方形的面積是4，設正方形的邊長為x，表示它們之間的關系。x2=42.認識一元二次方程回顧一下一元一次方程的概念一元一次方程：一個未知數(shù)，最高次數(shù)的為1的方程。因此，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程叫做一元二次方程.一元二次方程三要素：（1）是整式方程；（2）只含有一個未知數(shù)；（3）未知數(shù)的最高次數(shù)為2.3.一元二次方程的一般形。一般形式ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)，a≠0）項及項的系數(shù)二次項為ax2；二次項系數(shù)為a.一次項為bx；一次項系數(shù)為b.常數(shù)項為c.特點方程左邊是關于未知數(shù)的二次整式，右邊為0.4.一元二次方程的特殊形式特殊形式二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項ax2+bx=0（a≠0，b≠0）ab0ax2+c=0（a≠0，c≠0）a0cax2=0a005.一元一次方程的解概念使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.判斷一個數(shù)是不是一元二次方程的根將這個數(shù)代入一元二次方程的左右兩邊，看是否相等，若相等，則該數(shù)是這個方程的根；若不相等，則該數(shù)不是這個返程的根。6.一元二次方程的解法（一）解x2=4（用平方根的方法）x=±2于是我們知道一元二次方程x2=4有兩個根，它們分別記為x1=2，x2=-2.像這種直接通過求平方根來解一元二次方程的方法叫做直接開方法.形如（h、k為常數(shù)，k≥0）的一元二次方程，可以用直接開方法求解.考點一：一元二次方程的定義例1．下列方程是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關鍵，只有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，叫一元二次方程．根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可．【詳解】解：A、是二元二次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；B、是一元二次方程，故本選項符合題意；C、化簡后為是一元一次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；D、是分式方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；故選：B．【變式1-1】若關于的方程是一元二次方程，則的值是（

）A．0 B． C．1 D．【答案】C【分析】本題考查一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義是解題的關鍵．理解一元二次方程的定義，需要抓住兩個條件：①二次項系數(shù)不為0；②未知數(shù)的最高次數(shù)為2；結合一元二次方程的定義，可以得到關于的方程和不等式，求解即可得到的值．【詳解】解：關于的方程是一元二次方程，，解得．故選：C．【變式1-2】若關于x的一元二次方程有一個根為0，則．【答案】0【分析】本題考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程解的意義是解本題的關鍵．把代入一元二次方程中求出a的值，再根據(jù)一元二次方程的定義判斷即可．【詳解】解：把代入方程得：，解得或，∵方程是關于x的一元二次方程，∴，∴．∴a的值為0．故答案為：0．【變式1-3】已知關于x的方程．(1)當m為何值時，此方程為一元一次方程？(2)當m為何值時，此方程為一元二次方程？【答案】(1)(2)【詳解】解：（1）由題意，得解得．（2）由題意，得，∴．考點二：一元二次方程的一般形式例2．一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（）A．3，， B．3，4，1 C．3，4， D．3，，【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常數(shù)且），特別要注意的條件．在一般形式中，a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項，根據(jù)概念作答即可．【詳解】解：一元二次方程的二次項系數(shù)是3，一次項系數(shù)，常數(shù)項．故選A．【變式2-1】若將一元二次方程化成一般式為，則的值為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，根據(jù)一元二次方程的一般形式得出一次項系數(shù)和常數(shù)項即可．熟知一元二次方程的一般形式各項的系數(shù)是關鍵．【詳解】解：∵一元二次方程化成一般式為，故選：A．【變式2-2】把方程化為一元二次方程的一般形式是．【答案】【分析】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，去括號的過程中要注意符號的變化，不要漏乘，移項時要注意符號的變化．首先根據(jù)完全平方公式進行計算，把方程變形為一元二次方程的一般形式是：是常數(shù)且特別要注意的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．【詳解】解：方程去括號得：，即，移項合并同類項得：，即可化成，故答案為：．【變式2-3】將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項．(1)；(2)；(3)關于的方程．【答案】(1)，二次項系數(shù)為3，一次項系數(shù)為，常數(shù)項為(2)，二次項系數(shù)為3，一次項系數(shù)為，常數(shù)項為0(3)，二次項系數(shù)為，一次項系數(shù)為，常數(shù)項為【分析】本題考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本題的關鍵；（1）先移項，把方程的右邊化為0，從而可得答案；（2）先去括號，再移項，把方程的右邊化為0，從而可得答案；（3）先移項，把方程的右邊化為0，從而可得答案；【詳解】（1）解：移項，得．二次項系數(shù)為3，一次項系數(shù)為，常數(shù)項為．（2），去括號，得；移項、合并同類項，得，整理，得．二次項系數(shù)為3，一次項系數(shù)為，常數(shù)項為0．（3）移項、合并同類項，得．二次項系數(shù)為，一次項系數(shù)為，常數(shù)項為．考點三：一元二次方程的解例3.若是關于的方程的一個根，則的值是（

）A．2026 B．2025 C．2023 D．2022【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代數(shù)式的值，正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵．把代入，得，然后把所求式子化為代入計算即可作答．【詳解】解：∵是關于的方程的一個根，∴，∴，故選：D．【變式3-1】如果是一元二次方程的一個根，則b的值是（

）A．2 B．－2 C．3 D．【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的解，解此題的關鍵是能否得出一個關于b的方程，把代入方程的出新方程，解方程即可．【詳解】解：把是一元二次方程得：，解得：，故選：D．【變式3-2】已知m是方程的一個根，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代數(shù)式的值，根據(jù)m是方程的一個根，可得出，再化簡代數(shù)式，整體代入即可求解．【詳解】解：∵m是方程的一個根，∴，故答案為：．【變式3-3】如圖所示，四邊形是證明勾股定理時用到的一個圖形，a、b、c是和的邊長，易知，這時我們把關于x的形如的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．請解決下列問題：

(1)試判斷方程是否為“勾系一元二次方程”．(2)若是“勾系一元二次方程”的一個根，且四邊形的周長是12，求的面積．【答案】(1)是勾系一元二次方程；(2)2．【分析】（1）根據(jù)定義，把方程變形為，得到，滿足，判斷即可．（2）根據(jù)方程根的定義，新定義，完全平方公式，變形計算即可．本題考查了勾股定理及其逆定理，方程根，完全平方公式，熟練掌握定義，定理，公式是解題的關鍵．【詳解】（1）根據(jù)定義，方程變形為，得到，且，故方程是否為“勾系一元二次方程”．（2）∵是“勾系一元二次方程”的一個根，∴，∴，∵四邊形的周長是12，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴∴故的面積為2．考點四：直接開平方法例4．關于的一元二次方程的一個根是，則的值為（）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】此題考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，把代入方程得，然后解方程即可，解題的關鍵是熟記方程的解和熟練掌握解一元二次方程．【詳解】解：把代入方程，得，解得，故選：．【變式4-1】方程的解為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】本題考查了直接開方法解一元二次方程的，解答此題的關鍵是熟練掌握解一元二次方程的方法．利用直接開平方法求解即可．【詳解】解：∴，．故選D．【變式4-2】方程的根是【答案】【分析】本題考查了解高次方程，能把高次方程轉(zhuǎn)化成低次方程是解此題的關鍵．移項，系數(shù)化成1，再兩次開方即可．【詳解】解：，，，開方得：，或（舍去），開方得：，故答案為：．【變式4-3】用直接開平方法解下列方程：(1)(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握利用直接開平方法求解方程是解題的關鍵；（1）根據(jù)直接開平方法可進行求解方程；（2）根據(jù)直接開平方法可進行求解方程【詳解】（1）解：移項，得，根據(jù)平方根的意義，得，即．（2）解：移項，得，兩邊同除以3，得，根據(jù)平方根的意義，得，即．考點五：一元二次方程解的估算例5．根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)：估計一元二次方程（，，為常數(shù)，）一個解的范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了利用二次函數(shù)估算一元二次方程的近似解，掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關系是解決本類題型的關鍵根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，在到之間時，隨著的增大而減小，而當時，，當時，，在和之間，所以一元二次方程其中一個解的范圍是【詳解】由表格可知：在和之間，對應的在和之間，所以一個解的取值范圍為故選【變式5-1】已知，依據(jù)下表，它的一個解的范圍是（

）A． B． C． D．不確定【答案】B【分析】本題主要考查了一元二次方程根的估算，由表格可知，的值隨著的增大而增大，那么在與之間必然有一個數(shù)使得代數(shù)式的值為0，據(jù)此可得答案．【詳解】解：由表格可知，的值隨著的增大而增大，當時，，當時，，那么在與之間必然有一個數(shù)使得代數(shù)式的值為0，∴方程的一個解的范圍為．故選：B．【變式5-2】如果是方程的一個根，根據(jù)下面表格中的取值，可以判斷．1.21.31.41.50.360.75【答案】1.31.4【分析】觀察表格可知，隨的值逐漸增大，的值在之間由負到正，故可判斷時，對應的的值在之間．【詳解】解：根據(jù)表格可知，時，對應的的值在之間，即：．故答案為：1.3，1.4．【點睛】本題考查了估算一元二次方程的近似解：用列舉法估算一元二次方程的近似解，具體方法是：給出一些未知數(shù)的值，計算方程兩邊結果，當兩邊結果愈接近時，說明未知數(shù)的值愈接近方程的根．【變式5-3】無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此無理數(shù)的小數(shù)部分不可能全部寫出來．材料一：估算法確定無理數(shù)的小數(shù)部分．∵，即，∴的整數(shù)部分為，∴的小數(shù)部分為；材料二：面積法求一個無理數(shù)的近似值，已知面積為的正方形的邊長是，∵，∴設（為的小數(shù)部分，），畫出示意圖：由圖可知，正方形的面積由四個部分組成，，∵，∴，略去，得方程，解得，即，解決問題：(1)結合你所學的知識，探究的近似值（結果精確到）；(2)請總結估算（為開方開不盡的數(shù)）的一般方法．【答案】(1)；(2)求得的整數(shù)部分，即可得到．【分析】（）利用材料二中的方法畫出圖形，寫出過程即可；（）根據(jù)材料二即可總結得出；本題考查了解一元二次方程，無理數(shù)的估算，解題的關鍵是理解題目給出的方法，熟練進行計算．【詳解】（1）解：（）我們知道面積是的正方形的邊長是，∵，∴設，可畫出如圖示意圖：由圖中面積計算，，∵，∴，∵是的小數(shù)部分，小數(shù)部分的平方很小，直接省略，∴得方程，解得，∴；（2）解：估算（為開方開不盡的數(shù)）的一般方法：求得的整數(shù)部分，即可得到．1．下列方程中，一定是關于的一元二次方程的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2．【詳解】解：A、該方程含有分式，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；B、該方程含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；C、該方程中，當時，沒有二次項，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；D、該方程符合一元二次方程的定義，故本選項符合題意．故選：D．2．一元二次方程的根為（

）A． B． C．， D．【答案】A【分析】本題考查解一元二次方程，運用直接開方法求解即可．【詳解】解：，直接開方得：，∴，故選：A．3．關于x的一元二次方程有一個根是1，則m的值是（

）A． B．2 C．0 D．【答案】A【分析】本題考查一元二次方程解的定義以及一元二次方程的定義及其解法，熟練掌握定義，根據(jù)定義要求得出方程及不等式求解是解決問題的關鍵．根據(jù)方程解的定義，將代入求解，再結合一元二次方程定義確定即可得出結論．【詳解】解：是關于x的一元二次方程，，解得，關于x的一元二次方程有一個根是1，，化簡得，解得，綜上所述：，故選：A．4．已知是一元二次方程的一個根，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的根，代數(shù)式求值，由一元二次方程根的定義可得，進而得，再把代入代數(shù)式計算即可求解，掌握一元二次方程根的定義是解題的關鍵．【詳解】解：∵是一元二次方程的一個根，∴，∴，∴，故選：．5．已知關于x的一元二次方程的兩個根分別為，3，則方程的兩個根分別為（

）A．，3 B．，3 C．，2 D．，2【答案】C【分析】根據(jù)方程的兩個根分別為，3，得到，或，即可求解，本題考查了，一元二次方程的解，解題的關鍵是：理解方程的解．【詳解】解：∵的兩個根分別為，3，∴中，，或，解得：或，故選：C．6．根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第個圖中的，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了圖形中有關數(shù)字的變化規(guī)律，每個圖形中，左邊三角形上的數(shù)字即為圖形的序數(shù)，右邊三角形上的數(shù)字為，下面三角形上的數(shù)字，先把代入求出的值，能準確觀察到相關規(guī)律是解題的關鍵．【詳解】解：通過觀察可得規(guī)律：，，∵，∴，解得：或（舍去），故選：．7．關于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均為常數(shù)，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，則方程m（x+h-3）2+k=0的解是（

）A．x1=-6，x2=-1 B．x1=0，x2=5 C．x1=-3，x2=5 D．x1=-6，x2=2【答案】B【詳解】解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均為常數(shù)，m≠0）得x=-h±，而關于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均為常數(shù)，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，所以-h-=-3，-h+=2，方程m（x+h-3）2+k=0的解為x=3-h±，所以x1=3-3=0，x2=3+2=5．故選：B．【點睛】本題考查解一元二次方程-直接開平方法．8．兩個關于的一元二次方程和，其中，，是常數(shù)，且，如果是方程的一個根，那么下列各數(shù)中，一定是方程的根的是（

）A．2020 B． C．-2020 D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義以及一元二次方程的解法即可求出答案．【詳解】∵，，a+c=0∴，∵ax2+bx+c=0和cx2+bx+a=0，∴，，∴，，∵是方程的一個根，∴是方程的一個根，∴是方程的一個根，即是方程的一個根故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的定義以及方程的解的概念．9．一元二次方程的一次項系數(shù)是．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項的含義”是解題的關鍵．根據(jù)一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為a，b，c，據(jù)此即可解答．【詳解】解：一元二次方程的一次項系數(shù)為．故答案為：．10．一元二次方程的根是．【答案】，．【分析】本題考查一元二次方程．利用直接開平方法即可求出答案．【詳解】解：，，或0．故答案為：，．11．方程的解是．【答案】【分析】本題考查了直接開平方法解一元二次方程，先移項，然后直接開平方法解一元二次方程即可求解．【詳解】解：∴解得：，故答案為：．12．已知是方程的一個根，求．【答案】3【分析】本題考查了一元二次方程的解以及代數(shù)式求值，注意解題中的整體代入思想．因為是方程的一個根，所以，然后把代入即可．【詳解】解：是方程的一個根，，．故答案為：3．13．若一元二次方程的兩根也是方程的根，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程的解．設是方程的一個根．根據(jù)方程解的意義知，既滿足方程，也滿足方程，將代入這兩個方程，并整理，得．從而可知：方程的兩根也是方程的根，這兩個方程實質(zhì)上應該是同一個一元二次方程，然后根據(jù)同一個一元二次方程的定義找出相對應的系數(shù)間的關系即可．【詳解】解：設是方程的一個根，則，所以．由題意，也是方程的根，所以，把代入此式，得，整理得．從而可知：方程的兩根也是方程的根，這兩個方程實質(zhì)上應該是同一個一元二次方程，從而有（其中為常數(shù)），所以，．因此，，故答案為：．14．定義：若、是方程的兩個整數(shù)根，且滿足，則稱此類方程為“自然方程”，例如：是“自然方程”．（1）下列方程是“自然方程”的是；（填序號）①；②；③．（2）若方程是“自然方程”，m的值為．【答案】②2或0/0或2【分析】本題考查解一元二次方程，含絕對值的方程，有理數(shù)的