第16章軸對稱和中心對稱（單元測試·培優(yōu)卷）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2021上·八年級課時練習）如圖是某公司的商品標志圖案，則下列說法：①整個圖案是按照中心對稱設計的；②外部圖案部分是按照軸對稱設計的；③圖案的外層“S”是按旋轉設計的；④圖案的內層“A”是按軸對稱設計的．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023上·河北邯鄲·八年級?？计谥校┤鐖D，，點M在內，點M關于射線OA，OB的對稱點分別是，，連接，，則（）

A．80° B．70° C．60° D．無法確定3．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）如圖，有八個點將圓周八等分，其中連接相鄰的兩個等分點，得到四條相等的弦（實線表示），若再連接以等分點為端點的一條弦，使所得的整個圖形是軸對稱圖形，則這條弦是（

）A．①或③ B．①或② C．②或④ D．③或④4．（2021下·江西景德鎮(zhèn)·八年級統(tǒng)考期中）如圖，將四邊形沿所在直線折疊，得，點位于上；再將，分別沿，折疊，得與，則的大?。?/p>

）A．40° B．50° C．60° D．70°5．（2023上·全國·八年級課堂例題）在證明：“線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等”時，小明給出了如下過程：已知：如圖，直線于點，點在直線上．

求證：．證明：，（①）．又，（②）．．則下列說法正確的是（

）A．①表示互余的定義 B．②表示 C．②表示 D．①表示垂直的定義6．（2023上·黑龍江齊齊哈爾·八年級統(tǒng)考期末）如圖，我們都知道長方形的對邊相等并且每個角都是直角，小微做折紙游戲，她將長方形紙片折疊，使點B落在邊上，壓平后得到折痕，下列結論正確的有（

）個．①連接，則線段被所在直線垂直平分；②E點一定是中點；③；④；⑤．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個7．（2023上·江蘇·八年級校考周測）如圖，和是的兩個外角，點P是和兩角的平分線的交點，分別是P點到三邊的垂線段，的數量關系為（）

A． B． C． D．8．（2023上·江蘇·八年級專題練習）如所示圖形中，若，能判斷點在的平分線上的是（）A．

B．

C．

D．

9．（2022·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）如圖，已知點A與點C關于點O對稱，點B與點D也關于點O對稱，若，．則AB的長可能是（

）A．3 B．4 C．7 D．1110．（2023上·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）中，，點M在的內部，BM、MC的垂直平分線分別交AB、AC于點P、Q，若連接PQ恰好經過點M，則（

）（用含的代數式表示）．A． B． C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2021上·八年級課時練習）如圖，撐傘時，把傘“兩側的傘骨”和支架分別看作、和、，始終有，請大家考慮一下傘桿與B、C的連線的位置關系為．12．（2021·北京西城·統(tǒng)考二模）如圖，直線l為線段的垂直平分線，垂足為C，直線l上的兩點E，F位于異側（E，F兩點不與點C重合）．只需添加一個條件即可證明，這個條件可以是．13．（2023下·上海虹口·七年級上外附中?？计谀┤鐖D，，于F，將沿翻折至，聯結并延長，在射線上取點D使得，若，，，則．

14．（2023下·貴州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，射線平分，過點E作于點H，作于點F，并延長交于點G，連接．若，則的長為．

15．（2022上·北京懷柔·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是的平分線，動點M，N分別在射線上，連接交于點P，若的長度為的長度為當與的面積比為2∶1時，則的值是．16．（2021下·四川成都·七年級成都七中校考階段練習）如圖，點C是直線上一點，點P是直線外一點，小睿同學先作了射線，又分別作了和的角平分線，接著小源同學又給添加了一條過點P的直線，并且，最后子瑞同學拿著圓規(guī)完成了以下作圖：①以E為圓心，任意長為半徑畫弧分別交，于點M，N；②在分別以M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧交于點O，得射線，交于點F，若，則°．17．（2022上·云南昭通·八年級校聯考階段練習）如圖，點是內部的一點，，，，分別是，上的兩個動點，則周長的最小值．

18．（2022下·浙江舟山·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形紙片ABCD中，ABCD，將紙片沿EF折疊，點A、D分別落在A′、D′處，且A′D′經過點B，FD′交BC于點G，連結EG，EG平分∠BEF．（1）若∠CFG=76°，則∠BEG的度數是；（2）若EGA′D′，∠A+∠DFE=125°，則∠CFE的度數是．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023上·江蘇泰州·八年級校考階段練習）已知三角形紙片（如圖），將紙片折疊，使點A與點重合，折痕分別與邊、交于點、，點關于直線的對稱點為點．

（1）尺規(guī)作圖：請畫出直線和點F；（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）連接、，如果，求的度數．20．（8分）（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·八年級校聯考階段練習）如圖，在中，，的角平分線相交于點O，．

（1）求的度數．（2）點P是線段上一個動點，作點P關于對稱點Q，當點P從點B運動到點E的過程中，求：①點Q運動的路徑長為______②的最小值．21．（10分）（2023上·陜西商洛·八年級?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，，為的中點，連接，，延長交的延長線于點．

（1）求證：點是的中點；（2）若，，求的長．22．（10分）（2023上·云南曲靖·八年級校考期中）如圖，中，點D在邊上，，的平分線交于點E，過點E作，垂足為，且，連接．

（1）求證：平分；（2）若，求的面積．23．（10分）（2023上·廣東廣州·八年級校聯考期中）如圖，在和中，，，，．連接，交于點，連接．

（1）求證：；（2）求的大小；（3）求證：．24．（12分）（2022上·重慶江津·八年級統(tǒng)考期末）（1）【感知】：如圖1，點P是角平分線上一點，過點作于點，于點，證明（不需要證明）（2）【探究】如圖2，在中，，是的平分線，點在邊上，①證明：；②請判斷，，三條線段之間的數量關系，并說明理由．（3）【拓展】如圖3，的外角的平分線與內角的平分線交于點，若，請直接寫出的度數．參考答案1．B【分析】利用軸對稱圖形的性質以及旋轉的性質分別分析得出答案即可．解：①整個圖案內外兩部分是按照不同的變換設計的，故錯誤；②外部圖案部分是按照旋轉設計的，故錯誤；③圖案的外層“S”是按旋轉設計的，正確；④圖案的內層“A”是按軸對稱設計的，正確，故選：B．【點撥】此題主要考查了軸對稱圖形的性質以及旋轉圖形的性質，熟練掌握相關的性質是解題關鍵．2．A【分析】本題主要考查了軸對稱的性質，解題的關鍵是熟練掌握軸對稱的性質，得出，．解：連接，如圖所示：

∵點M關于射線的對稱點分別是，，∴，，∴，∴，故選：A．3．A【分析】首先分別畫出圖形，再根據軸對稱圖形的定義，即可判定．解：如圖：畫弦①，此圖形是軸對稱圖形；如圖：畫弦②，此圖形不是軸對稱圖形；如圖：畫弦③，此圖形是軸對稱圖形；如圖：畫弦④，此圖形不是軸對稱圖形；故畫弦①或③，可以使所得的整個圖形是軸對稱圖形，故選：A．【點撥】本題考查了軸對稱圖形，畫出圖形，熟練掌握和運用軸對稱圖形的定義是解決本題的關鍵．4．C【分析】根據折疊的性質得∠BPA=∠QPA=∠QPC，又因為∠BPA+∠QPA+∠QPC=180°，所以3∠QPA=180°，即可求解．解：由折疊可得∠BPA=∠QPA=∠QPC，∵∠BPA+∠QPA+∠QPC=180°，∴3∠QPA=180°，∴∠QPA=60°，故選：C．【點撥】本題考查折疊問題，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．5．D【分析】根據證明三角形全等即可．解：證明：，（垂直的定義）．又，，．．故選：D．【點撥】本題考查全等三角形的判定，線段的垂直平分線等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．6．C【分析】如圖所示，連接，證明M、N都在線段的垂直平分線上，即可判斷①；根據折疊的性質得到，再根據長方形的性質得到，由此即可判斷③④⑤；根據現有條件無法證明②．解：如圖所示，連接，由折疊的性質可知，∴M、N都在線段的垂直平分線上，∴直線垂直平分線，故①正確；由折疊的性質可知，由長方形的性質可知，∴，故③，④正確；∴，故⑤正確；根據現有條件無法證明E點是中點，故②錯誤；∴正確的一共有4個，故選C．【點撥】本題主要考查了折疊的性質，線段垂直平分線的判定，三角形內角和定理，靈活運用所學知識是解題的關鍵．7．C【分析】由已知條件，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質得到線段相等，利用等量代換結論可得．解：∵平分，，∴，∵平分，，∴，∴，故選：C．【點撥】本題主要考查角平分線的性質；利用線段的等量代換是正確解答本題的關鍵．8．D【分析】根據到角兩邊的距離相等的點在角平分線上進行判斷即可．解：∵到角兩邊的距離相等的點在角平分線上，∴符合題意的是D，故選：D．【點撥】本題考查了角平分線的性質，熟練掌握到角兩邊的距離相等的點在角平分線上是解題的關鍵．9．C【分析】根據三角形三邊關系定理，可知即可求解．解：∵點與點關于點對稱，點與點也關于點對稱，∴，又∵∠AOD=∠BOC∴△AOD≌△BOC（SAS）∴AD=BC=3∵∴．故選：C．【點撥】本題考查了三角形三邊關系定理：任意兩邊之和大于第三邊，及對稱的性質，全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是將求AB的值轉化為求三角形第三邊的取值范圍．10．D【分析】此題主要考查垂直平分線的性質和三角形的內角和，根據垂直平分線的性質，可得,,即得,,即可求解.解：∵BM、MC的垂直平分線分別交AB、AC于點P、Q.∴,..∵.∴..故選：D.11．垂直解：如圖，連接、，∵，∴點A在線段的垂直平分線上，點D在線段的垂直平分線上，∴根據兩點確定一條直線得出直線是線段的垂直平分線，故答案為：垂直．【點撥】題考查了線段的垂直平分線定理和兩點確定一條直線等知識點，注意：①到線段兩端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上，②兩點確定一條直線．12．【分析】根據全等三角形的判定直接寫出條件即可解：證明：添加：，理由如下：∵直線l為線段的垂直平分線∴AC=CB,∠ACE=∠BCF又∴（SAS）故答案為：【點撥】本題考查全等三角形的判定，線段的垂直平分線的定義，熟練掌握全等三角形的判定是關鍵13．【分析】由翻折的性質可知，，，先利用“”證明，得到，，再利用“”證明，得到，進而得到，即可求出．解：由翻折的性質可知，，，，，在和中，，，，，，，,在和中，，，，，，，，，故答案為：．【點撥】本題考查了翻折的性質，全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題關鍵．14．2【分析】先根據平行線的性質可得，再根據角平分線的定義和“等角的余角相等”可得，再由，可得，由角平分線的性質可得，即可求出的長．解：，，即．，

，．∵平分，，，∴平分．，．，，∴．故答案為：2【點撥】本題主要考查了平行線的性質，角平分線的性質，“等角對等邊”．熟練掌握以上知識，且證明平分是解題的關鍵．15．9【分析】過P點作，.根據角平分線的性質可得，，由與的面積比為2∶1，列比例式求解即可.解：過P點作，∵點P在的平分線上，∴，∶=2∶1，2∶1∴∶=2∶1，∶=2∶1，，故答案為：9【點撥】本題主要考查了角平分線的性質：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.掌握以上知識是解題的關鍵.16．75【分析】角平分線的性質得出求出，平行線的性質內錯角相等得出，因為平分，平分，得出，再根據內角和得出．解：由題可得，平分，∴，∴，又∵，∴，又∵平分，平分，∴，，∴，∴，∴，∴．故答案為：75．【點撥】此題考查了角平分線和平行線的性質，三角形內角和定理，解題的關鍵是通過角的相等關系求出角的度數．17．9【分析】設點P關于的對稱點為C，關于的對稱點為D，當點M、N在上時，的周長最小．解：分別作點P關于的對稱點C、D，連接，分別交于點M、N，連接．

∵點P關于的對稱點為C，∴；∵點P關于的對稱點為D，∴，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴．∴的周長的最小值=．故答案為：9．【點撥】此題考查軸對稱--最短路線問題，熟知兩點之間線段最短是解題的關鍵．18．26°/26度130°/130度【分析】（1）根據折疊的性質求得∠DFE=∠GFE=52°，再根據平行線的性質求得∠BEF=∠DFE=52°，最后根據角平分線的定義即可求解；（2）設∠BEG=∠FEG=α，由折疊的性質得∠1=∠2+2α，∠A′+2α=125°①，再根據平行線的性質得到∠A′+∠2+α=180°②，通過計算即可求解．解：（1）根據折疊的性質得∠DFE=∠GFE，∵∠CFG=76°，∴∠DFE=∠GFE==52°，∵ABCD，∴∠BEF=∠DFE=52°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=∠BEF=26°，故答案為：26°；（2）如圖：設∠BEG=∠FEG=α，∵ABCD，∴∠DFE=2α，根據折疊的性質得∠1=∠2+2α，∠A=∠A′，∵∠A+∠DFE=125°，∴∠A′+2α=125°①，∵EG∥A′D′，∴∠A′+∠2+α=180°②，②-①得∠2-α=55°，即∠2=55°+α，由平角的性質得∠1+2α=180°，∴∠2+2α+2α=180°，即55°+α+2α+2α=180°，解得α=25°，∴∠DFE=50°，∴∠CFE=180°-50°=130°，故答案為：130°．【點撥】本題考查了折疊的性質，角平分線的定義，平行線的性質，解第（2）問的關鍵是利用參數構建方程解決問題．19．（1）見分析；（2）【分析】（1）根據題意作線段的垂直平分線確定直線，再由軸對稱圖形的作法確定點F即可；（2）根據折疊的性質可得，再由，可得到的度數，再由對頂角相等，即可得出結果．（1）解：如圖，直線和點即為所求；

（2）解：∵點關于直線的對稱點為點，∴，∵，∴，∴，∴．【點撥】本題考查的是翻折變換的性質，線段垂直平分線的作法及軸對稱圖形的作法，掌握基本圖形的作法是解題的關鍵．20．（1）；（2）①6；②的最小值為4【分析】（1）由，平分，即可得；（2）①當P與B重合時，，連接，根據平分，點P與關于對稱，可知在直線上，且，同理當P與E重合時，在直線上，且，當點P從點B運動到點E的過程中，Q的軌跡是線段，即可得點Q運動的路徑長為6；②由，可得，，故當Q運動到O時，最小，的最小值為4．（1）解：∵，，∵平分，∴，∴；（2）解：①當P與B重合時，，連接，如圖：

∵平分，點P與關于對稱，∴在直線上，且，同理當P與E重合時，在直線上，且，當點P從點B運動到點E的過程中，Q的軌跡是線段，如圖：

，∴點Q運動的路徑長為6；故答案為：6；②由（1）知，，，由對稱性可得，，，，∴當Q運動到O時，最小，最小值即為的長，∴的最小值為4．【點撥】本題考查幾何變換綜合應用，涉及動點問題，直角三角形性質等知識，解題的關鍵是根據已知求出Q的軌跡．21．（1）證明見分析；（2）【分析】（1）根據平行線的性質及中點性質，再結合已知條件，利用全等三角形的判定定理得到，再由全等性質即可得證；（2）由（1）中，結合中垂線的判定與性質即可得到，代值求解即可得到答案．解：（1）證明：，，是的中點，，在與中，，，即點是的中點；（2）解：，，又，，是線段的垂直平分線，，，．【點撥】本題考查三角形全等的判定與性質，涉及平行線性質、中點定義與判定、三角形全等的判定與性質、中垂線的判定與性質等知識，熟練掌握三角形全等判定與性質、中垂線的判定與性質是解決問題的關鍵．22．（1）見分析；（2）【分析】（1）過點E作于G，于H，先通過計算得出，根據角平分線的判定與性質得，則，由到角兩邊距離相等的點在角的平分線上結論得證；（2）設，則，根據，即：，求得，，根據，計算求解即可．解：（1）明：如圖，過點E作于G，于H，

∵，∴，