德陽中學(xué)高級高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試卷命題人：田錕審題人：劉勁顯第I卷（選擇題共分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分．1.復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的虛部是（）A.2B.C.1D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得，進而可求得，可得結(jié)論.【詳解】因為，則，故復(fù)數(shù)z的虛部是1．故選：C．2.已知函數(shù)，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的解析式由內(nèi)到外逐層計算可得的值.【詳解】因為，則，則.第1頁/共18頁故選：C.3.已知向量，與的夾角為銳角的一個充分不必要條件是（）A.B.且C.D.【答案】D【解析】【分析】求出與的夾角為銳角的充要條件，其對應(yīng)集合的真子集即滿足題意.【詳解】因為，所以，解得，當(dāng)與共線時，，解得，所以與的夾角為銳角的充要條件為且，故四個選項中只有為與的夾角為銳角的一個充分不必要條件，故選：D4.“大美中國古建筑名塔”.與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量點和，，處測得塔頂?shù)难鼋菫?0°，則塔高為（）A.B.C.D.【答案】A第2頁/共18頁【分析】先在中利用正弦定理求，再在中求即可.【詳解】依題意，中，，，即，解得.在中，，即.故選：A.5.函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的最大值為（）A.B.C.D.1【答案】B【解析】【分析】求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，利用為前者的子集可求的取值范圍.【詳解】令，故，所以函數(shù)的減區(qū)間為，因為在上為減函數(shù)，故存在，使得，因為，所以，所以，故，.則的最大值為.故選：B.6.分別是邊，，與交于，連接并延長交于點．若，則實數(shù)的值為（）第3頁/共18頁【答案】A【解析】【分析】由共線、共線分別可得、，進而得、求參數(shù)，得，最后由且共線求參數(shù).【詳解】由共線，則，，所以①，由共線，則，，所以②，由①②知：，則，故，由，則，由共線，則，可得.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：令、，利用不同參數(shù)及表示出為關(guān)鍵.7.已知向量滿足，且向量在方向上的投影向量為．若動點C滿足第4頁/共18頁，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合及極化恒等式，化，求解即可．【詳解】解：如圖，根據(jù)投影向量定義知，，則，且，因為，所以點C在以O(shè)為圓心，半徑圓上運動．設(shè)M是AB的中點，由極化恒等式得：，因為，此時，即的最小值為，故選：D．8.已知非零平面向量，夾角為，且，則的最大值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】第5頁/共18頁【詳解】由向量，的夾角為及，得，即，則，令，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，由，解得，所以當(dāng)且時，取得最大值.故選：B二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列函數(shù)在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)解析式直接判斷奇偶性與單調(diào)性即可求解.【詳解】選項A：的定義域為，為奇函數(shù)不是增函數(shù)，故A不符合題意；選項B：函數(shù)的定義域為，設(shè)，則，所以為奇函數(shù)，又為增函數(shù)，所以為增函數(shù)，故B符合題意；第6頁/共18頁選項C：函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)和增函數(shù)，故C符合題意；選項D：函數(shù)的定義域為，不是奇函數(shù)，故D不符合題意.故選：BC.10.在中，分別是角的對邊，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則三角形有一解B.C.若，則為等腰三角形D.若，則面積的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】由正弦定理，求得，結(jié)合，得到有兩解，可判定A錯誤；根據(jù)三角形的射影定理，可判斷B正確；利用正弦定理和三角恒等變換的公式，得到，可判定C正確；利用余弦定理和基本不等式，可判定D正確.【詳解】對于A中，由正弦定理，可得，因為，且，所以有兩解，所以A錯誤；對于B中，如圖所示，過點作，則，所以B正確；對于C中，因為，由正弦定理得，又因，可得，所以，即，可得，所以為等腰三角形，所以C正確；第7頁/共18頁可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，所以面積的最大值為，所以D正確.故選：BCD.十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費馬提出了一個著名的幾何問題：“的三個頂點的距離之和最小”，它的答案是：當(dāng)三角形的三個角均小于時，則該點與三角形的三個頂點的連線兩兩成角；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于時，所求點為三角形最大內(nèi)角的頂點，在費馬問題中，CM是于，為的費馬點，則下列說法正確的是（）A.B.C.外接圓半徑為D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)，結(jié)合面積公式，求得的長，可判定A正確；在中，利B可判定C錯誤；由，利用三角形的面積公式，求得，結(jié)合向量的數(shù)量積的計算公式，可得判定D正確.【詳解】對于A中，因為，且是的角平分線，可得，且，所以，解得，所以A正確；對于B中，在中，由且，第8頁/共18頁對于C中，在中，因為，由余弦定理，可得，所以，又由是的角平分線，可得，可得，在中，由正弦定理，可得，所以的外接圓的半徑為，所以C錯誤；對于D中，由，在中，，即，在中，，則點與的三個頂點的連線兩兩成角為，即，又由，可得，所以，所以D正確.故選：ABD.第9頁/共18頁第Ⅱ卷（非選擇題共分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分．12.已知復(fù)數(shù)滿足，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)除法求出，再利用復(fù)數(shù)乘方運算求得答案.【詳解】依題意，，所以.故答案為：13.設(shè)P為內(nèi)一點，且，則________．【答案】##【解析】【分析】設(shè)的中點是，連接，根據(jù)平面向量線性運算法則，得到，即可求得.【詳解】設(shè)的中點是，連接，由，可得，因為，所以，所以，所以為的三等分點（靠近，所以．故答案為：.14.在中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，已知，，且，第10頁/共18頁則的周長為________．【答案】【解析】【分析】利用余弦定理可得，化簡可得，進而可求得，結(jié)合面積可求得，可求周長.【詳解】因為，所以，由余弦定理可得，整理得，由余弦定理可得，又，，因為，又，所以，所以，又，可得，所以，所以，所以，所以的周長為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的頂點分別為，D在直線BC上．（1）若，求點D的坐標(biāo)；（2）若，求點D的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）【解析】1）設(shè)點D的坐標(biāo)為，利用向量相等得到的方程組，求解即可；第11頁/共18頁（2）設(shè)點D的坐標(biāo)為，利用向量的數(shù)量積與共線向量的坐標(biāo)表示可得的方程組，求解即可.【小問1詳解】設(shè)點D的坐標(biāo)為，則，，，解得，點D坐標(biāo)為．【小問2詳解】設(shè)點D的坐標(biāo)為，，又C，B，D三點共線，而，，解方程組，得．點D的坐標(biāo)為．16.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求B；（2）若，點D為AC中點，求BD長．【答案】（1）（2）【解析】1）利用正弦定理進行邊化角，再利用兩角和的正弦公式進行化簡可求出，即可求得角B；（2）利用平面向量的線性運算可得，等式左右同時平方根據(jù)數(shù)量積的定義代入相應(yīng)值即可求得BD.【小問1詳解】由正弦定理得，第12頁/共18頁中，，所以，所以，于是，因為，所以，又，所以．【小問2詳解】因為為的中點，所以，所以，所以．17.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2的圖象可以由的圖象向左平移在上有兩個零點，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】1）利用輔助角公式化簡，從而求得的最小正周期；（2與的圖象有兩個交點，由此得解.第13頁/共18頁，所以的最小正周期為.【小問2詳解】將的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，令，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，若在上有兩個零點，則關(guān)于的方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，即與的圖象有兩個交點，所以的取值范圍為.18.如圖，經(jīng)過村莊A有夾角為的兩條公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫M（異于村莊AP在以MN為直徑的半圓弧上．第14頁/共18頁（1）如何設(shè)計，使得村莊A到兩個倉庫M，N的距離之和最大，并求出最大值？（2【答案】（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】1，由余弦定理和基本不等式，求得，即可求得得到最大值；（2）設(shè)的中點為，建立直角坐標(biāo)系以為坐標(biāo)原點，為軸，求得的中點D的坐標(biāo)為，得到，由（1）求得，進而得到，確定點的位置.【小問1詳解】解：設(shè)，在中，由余弦定理得，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，因為，所以，可得，即當(dāng)時，取等號；所以取最大值為4．【小問2詳解】解：由于使得工廠生產(chǎn)的噪聲對居民的影響最小，即取最大值，設(shè)的中點為，建立直角坐標(biāo)系以為坐標(biāo)原點，為軸，第15頁/共18頁所以的中點D的坐標(biāo)為，因為，，由（1）可知：，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；所以，即當(dāng)時，連接并延長與以為直徑的圓的交點，即為點.19.如圖所示，在平面四邊形ABCD中，為正三角形．（1）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，求角B的大??；（2）克羅狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)對角互補時取等號，根據(jù)以上材料，則當(dāng)線段BD的長取最大值時，求．（3）求面積的最大值．【答案】（1）第16頁/共18頁（2）（3）【解析】1）根據(jù)題意，化簡得到，求得，進而得到，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到，不妨設(shè)，列出方程，求得，結(jié)合余弦定理，即可求解；（3，求得，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【