第3章集合、邏輯用語及應用第3章集合、邏輯用語及應用引言日常生活中，我們經(jīng)常遇到很多具有共同特征的總體，如某校會計專業(yè)部的會計老師或全校的數(shù)學老師等，為了清楚陳述這些概念或共同特征對象，需引入集合的相關(guān)概念及運算關(guān)系。邏輯用語也是我們?nèi)粘＝浑H與交流、相互學習和工作中不可缺少的工具，尤其是財經(jīng)類學生學習財經(jīng)與會計知識，也要以數(shù)學邏輯為基礎(chǔ)。我們來看生活中的一個例子：08級財會專業(yè)的學生有750人，其中會騎自行車的有370人，會游泳的有420人，兩樣中至少會一樣的有600人，問：①兩樣都會的有多少人？②兩樣都不會的有多少人？學完本章后你將會覺得這個問題很簡單！引言第3章集合、邏輯用語及應用§3.1集合學習目標1.理解集合與元素的概念,掌握集合的表示方法,

會準確表達元素與集合的關(guān)系.2.理解集合的子集、真子集、集合相等的概念；并能正確用符號判斷表示兩個集合之間的關(guān)系

3.理解集合的交集、并集、補集的概念；并掌握交集、并集、補集的運算。內(nèi)容提要

集合的運算集合與集合的關(guān)系集合的概念與表示集合3.1.1集合的概念與表示1．集合的概念通常我們把具有某種屬性的一些事物的全體叫做集合

,簡稱集.把構(gòu)成集合的那些事物叫做集合的元素，簡稱元．例如：某中等職業(yè)學校財經(jīng)專業(yè)部全體學生構(gòu)成一個集合，其中財經(jīng)專業(yè)部的每個學生都是這個集合的元素；你能再舉出幾個集合的例子嗎?3.1.1集合的概念與表示2．集合的表示法◆集合與元素的簡單表示通常用大寫的英文字母A、B、C…表示集合，用小寫的英文字母a、b、c…表示集合的元素．3.1.1集合的概念與表示2．集合的表示法習慣使用下列幾個字母表示特定的數(shù)集:代表自然數(shù)集（包括0）；

代表正整數(shù)集；代表整數(shù)集；代表有理數(shù)集；代表實數(shù)集．3.1.1集合的概念與表示2．集合的表示法◆集合的常用表示方法————列舉法與描述法(1)列舉法:把集合里的元素一一列舉出來，元素之間用逗號隔開，并寫在一個大括號內(nèi)，這種表示集合的方法叫做列舉法

3.1.1集合的概念與表示2．集合的表示法(1)列舉法:例如：①由數(shù)1，2，3，4，5組成的集合，可以表示為{1,2,3,4,5}；②由2008年1月1日執(zhí)行的人民幣各年限貸款利率組成的集合為{6.57%,7.47%,7.56%,7.74%,7.83%}．3.1.1集合的概念與表示2．集合的表示法◆集合的常用表示方法————列舉法與描述法(2)描述法:把描述集合中元素的公共屬性或表示集合中元素的規(guī)律，寫在大括號內(nèi)來表示集合的方法叫做描述法．元素的一般形式元素的公共屬性{x|p(x)}3.1.1集合的概念與表示2．集合的表示法◆集合的常用表示方法————列舉法與描述法(2)描述法:例如：①由所有大于0而小于1的實數(shù)組成的集合可以表示為{x|0＜x＜1}②不等式x＋3＞0的解集可以表示為.{x|x＋3＞0}3.1.1集合的概念與表示(2)描述法:有時為了方便，還可以把滿足某種條件的元素的名稱直接寫在大括號內(nèi)來表示集合．例如，由所有正方形構(gòu)成的集合可以表示為{正方形}．3.1.1集合的概念與表示舉例例1

用列舉法表示下列集合（1）所有小于5的自然數(shù)所構(gòu)成的集合；（2）由會計的基本要素構(gòu)成的集合；（3）所有小于100的正奇數(shù)所構(gòu)成的集合．3.1.1集合的概念與表示舉例例1

用列舉法表示下列集合（答案）

解：（1）設(shè)所有小于5的自然數(shù)構(gòu)成的集合是A，則A＝{0，1，2，3，4}；（2）設(shè)由會計的基本要素構(gòu)成的集合是B，則B＝{資產(chǎn)，負債，所有者權(quán)益，收入費用，利潤}；（3）設(shè)所有小于100的正奇數(shù)所構(gòu)成的集合是C，則C＝{1，3，5，7，…，99}．3.1.1集合的概念與表示舉例例2*

用列舉法表示下列集合(1)方程x2-5x-36=0的解的集合；(2)滿足方程：x+y=6，x∈N+，y∈N+的點的集合。（3）由小于100的自然數(shù)所組成的集合3.1.1集合的概念與表示舉例例2*

用列舉法表示下列集合（答案）

解：(1)方程x2－5x－36=0解的集合為{-4，9}；(2)滿足方程：x+y=6，x∈N+，y∈N+的點的集合為{（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）}（3）小于100的自然數(shù)所組成的集合為{0，1,2,3,…,99}.3.1.1集合的概念與表示舉例例3

用描述法表示下列集合（1）由所有的統(tǒng)計報表組成的集合；（2）由所有正奇數(shù)組成的集合；（3）由滿足不等式2＜x＜3所有實數(shù)解組成的集合.3.1.1集合的概念與表示舉例例3

用描述法表示下列集合（答案）

解：

（1）設(shè)由所有的統(tǒng)計報表組成的集合為A，則A={統(tǒng)計報表}.

（2）設(shè)所有正奇數(shù)組成的集合為B，則B={x∣x=2n－1，n∈N+}.

（3）設(shè)由滿足不等式2＜x＜3所有實數(shù)解組成的集合為C，則C={x∣2＜x＜3}.3.1.1集合的概念與表示舉例例4

*

用描述法表示下列集合（1）由第一象限所有的點組成的集合（2）滿足方程2x+3y=0所有解組成的集合

（3）由所有大于10的有理數(shù)構(gòu)成的集合3.1.1集合的概念與表示舉例例4

*

用描述法表示下列集合（答案）解：（1）由第一象限所有的點組成的集合表示為

{(x,y)︱x＞0,且y＞0}.（2）滿足方程2x+3y=0所有解組成的集合表示為：

{(x,y)︱2x+3y=0}.

（3）由所有大于10的有理數(shù)構(gòu)成的集合表示為：

{x︱x＞10且x∈Q}3.1.1集合的概念與表示3．元素與集合關(guān)系如果a是集合A的元素就說a屬于集合A，記作“a∈A”；如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作3.1.1集合的概念與表示3．元素與集合關(guān)系怎樣去才知道某個元素是否屬于集合？要看在這個集合里是否能找到這個元素！3.1.1集合的概念與表示3．元素與集合關(guān)系對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的；是互異的；是無序的．3.1.1集合的概念與表示3．元素與集合關(guān)系

（1)集合中的元素是確定的．例如，由所有小于5的自然數(shù)構(gòu)成的集合．集合中的元素是：0，1，2，3，4；（2）集合中的元素是互異的即同一集合中的元素是沒有重復現(xiàn)象的．例如集合{1，1，2，2，3，3}應記作{1，2，3}；3.1.1集合的概念與表示3．元素與集合關(guān)系用列舉法表示集合時，不必考慮元素之間的順序．例如，由三個元素1，2，3組成的集合可以表示為：{1，2，3}，{2，3，1}或{3，1，2}．（3）集合中的元素是無序的．3.1.1集合的概念與表示3．元素與集合關(guān)系觀察元素3、5、8與集合{1，3，4，5，7}的關(guān)系如何？{1,3,4,5}．3∈{1，3，4，5，7}；5∈{1，3，4，5，7}；83.1.1集合的概念與表示舉例例5：用符號∈和來填空：（1）1____N(2)0_____Q(3)-3_____Z(4)3.14_____Q(5)0_____N

3.1.1集合的概念與表示舉例例5：用符號∈和來填空（答案）解：（1）1∈N（2）0∈Q

（3）-3∈Z（4）3.14∈QQ（5）0∈N（6）∈R（7）Z（8）3.1.1集合的概念與表示想一想練一練１．用列舉法表示下列集合：（1）大于3小于15的偶數(shù)構(gòu)成的集合；（2）方程（x-2）(x-3)＝0的實數(shù)根所構(gòu)成的集合；（3）中國四大銀行所構(gòu)成的集合；（4）﹡方程x2-2x-3=0的解的集合.3.1.1集合的概念與表示想一想練一練2．用描述法表示下列集合：（1）由所有大于2而小于7的實數(shù)構(gòu)成的集合；（2）所有大于–1而小于8的整數(shù)構(gòu)成的集合；（3）所有家具企業(yè)構(gòu)成的集合；（4）所有正偶數(shù)構(gòu)成的集合；（5）能被5整除的所有實數(shù)構(gòu)成的集合；3.1.1集合的概念與表示想一想練一練3．用適當?shù)姆柼羁眨海?）0__{0},0__(2）－2___{x||x|＝2}，3___{x︱x3=27}；（3）4____{1,2,3}（4）c____{a，b}

（5）π____R(6)0_____Φ3.1.2集合與集合的關(guān)系1.子集設(shè)A、B為集合，如果A中的每一個元素都是B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集.

記作AB或BA，

讀作“A包含于B”或“B包含A”．

例如，整數(shù)集Z是有理數(shù)集Q的子集，即ZQ有理數(shù)集Q是實數(shù)集R的子集，即QR3.1.2集合與集合的關(guān)系1.子集某超市全部商品A該超市全部食品類商品B

其中，集合A表示超市的全部商品，集合B表示該超市中全部食品類的商品，這樣，集合B是集合A的子集，記作ＢＡ．3.1.2集合與集合的關(guān)系1.子集任何一個集合都是它本身的子集，即AA同時，我們規(guī)定，空集是任何集合A的子集，即A3.1.2集合與集合的關(guān)系2.真子集如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一個元素不屬于集合A，那么集合A叫做集合B的真子集

記作AB或BA讀作“A真包含于B”或“B真包含A”．例如，N+NZQR3.1.2集合與集合的關(guān)系2.真子集當集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A時，B或BA

記作A例如，集合A＝{a，b，c}，集合B＝{e，d，f}，B或BA

則A3.1.2集合與集合的關(guān)系2.真子集注意:空集是任何非空集合的真子集．即對任何非空集合A，必有ΦA(chǔ)3.1.2集合與集合的關(guān)系舉例例１寫出集合A={a，b，c}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集．解：由子集的定義知，A={a，b，c}的所有子集包括有：空集由A中取一個元素組成的集合：{a}、、{c}；由A中取兩個元素組成的集合：{a，b}、{a，c}、{b，c}和由A中取三個元素組成的集合{a，b，c}.除了{a，b，c}以外，其余7個集合都是它的真子集．3.1.2集合與集合的關(guān)系找規(guī)律一個含有n個元素的集合共有2n

個子集．共有2n

－1個真子集．一個含有n個元素的非空集合3.1.2集合與集合的關(guān)系舉例例1*

寫出滿足的所有集合A.解：滿足條件的集合A有四個，分別是：{0,2},{0,1,2},{0,2,3},{0,1,2,3}.3.1.2集合與集合的關(guān)系舉例例2*已知集合,a=3,判斷下列哪個是正確的關(guān)系?（A)aA(B){a}∈A(C)aA(D){a}A3.1.2集合與集合的關(guān)系舉例例2*（答案）解:由3<∴故A不正確.{a}是集合,集合與集合之間不能用屬于關(guān)系表示,故B也不正確.a是元素,a與A不能用包含關(guān)系表示,故C也不正確.因此,D是正確.3.1.2集合與集合的關(guān)系3.集合相等對于兩個集合A、B，如果集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素，同時集合B中的任何一個元素都是集合A中的元素，這時，我們就說集合A與集合B相等．記作A＝B

．3.1.2集合與集合的關(guān)系3.集合相等兩個集合相等就表示這兩個集合的元素完全相同．例如，{－1，0，3，2}＝{3，2，－1，0}；{a，b，c，d}＝{b，c，a，d}．3.1.2集合與集合的關(guān)系舉例例２設(shè)集合集合B＝{3，－3}，說出集合A與集合B的關(guān)系．解：方程的所有解是x1＝－3，x2＝3，因此，A＝{－3，3}；B＝{3，－3}，

由于兩個集合的元素完全相同，所以A＝B．

3.1.2集合與集合的關(guān)系舉例例3*

已知集合其中m≠0，且A=B，求q的值．3.1.2集合與集合的關(guān)系舉例例3*（答案）．當解：根據(jù)題意得，或化簡得，或∴時，Ｂ＝｛ｍ｝與原意不相符合，舍去．所以3.1.2集合與集合的關(guān)系．想一想練一練1．寫出下列集合的所有子集，并指出其中哪些是它們的真子集．（1）{a，b}；（2）{1，2，3}．2.設(shè)集合A={x︱x2-3x+2=0}，集合B＝{1，2}，集合C={2},說出集合A與集合B及集合C的關(guān)系．3﹡寫出滿足的所有集合A。3.1.3集合的運算．1.交集集合的運算有三種：交集、并集和補集.由同時屬于集合A且屬于集合B的一切元素所組成的集合，叫做A與B的交集，記作A∩B，讀作“A交B”，即A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．求交集的運算叫做交運算．3.1.3集合的運算（交集、并集、補集）．1.交集集合A與B的交運算A∩B用“文氏圖”表述有下述四種情況，如下圖陰影所示：3.1.3集合的運算（交集、并集、補集）．1.交集A∩BB由交集的定義可知，對于任意集合A、B，有A∩B＝B∩A，A∩BA特別地，A∩A＝A；

A∩Φ＝Φ；（A∩B)∩C＝A∩(B∩C）．3.1.3集合的運算（交集、并集、補集）．舉例例１設(shè)集合A＝{1，2，3，4}，B＝{5，6，3，4}，求A∩B．解：A∩B＝{1，2，3，4}∩{5，6，3，4}＝{3，4}．例２設(shè)集合A＝{1，3，5，7，9}，

B＝{2，4，6，8}，求A∩B．解：因為集合A與集合B沒有相同的元素，所以A∩B＝Φ．3.1.3集合的運算（交集、并集、補集）．舉例例3設(shè)集合A＝{x|x＞0}；B＝{x|x≤3}，求A∩B，并在數(shù)軸上表示解：A∩B＝{x|x＞0}∩{x|x≤3}

＝{x|x＞0且x≤3}

＝{x|0＜x≤3}．

圖中的陰影部分表示A∩B的運算結(jié)果．利用數(shù)軸求交集3.1.3集合的運算（交集、并集、補集）舉例利用數(shù)軸求交集例2*已知集合求A∩B解：A∩B＝∩＝－234－13.1.3集合的運算（交集、并集、補集）．2.并集由屬于集合A或?qū)儆诩螧的所有元素所組成的集合，叫做集合A與B的并集，記作A∪B，讀作“A并B”即：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．求并集的運算叫做并運算．3.1.3集合的運算（交集、并集、補集）．2.并集集合A與B的并運算A∪B用“文氏圖”表述有下述四種情況，如下圖陰影所示：3.1.3集合的運算（交集、并集、補集）．2.并集由并集的定義可知，對于任意集合A，B，有：A∪B＝B∪A；AA∪B；BA∪B特別地：A∪A＝A；A∪Φ＝A；（A∪B)∪C＝A∪(B∪C）；

3.1.3集合的運算（交集、并集、補集）．舉例例４設(shè)集合A＝{－2，1，2，3}，

B＝{－1，0，2，3}，求A∪B．解：A∪B＝{－2，0，1，2，3}∪{－1，0，2，3}

＝{-2，-1，0，1，2，3}3.1.3集合的運算（交集、并集、補集）．舉例例5設(shè)集合A＝{1，2，3}，

B＝{3，4，5，6},C＝{1，4，7}，求：（1）（A∪B）∪C；

（2）A∪（B∪C）；

（3）A∪（B∩C）．3.1.3集合的運算（交集、并集、補集）．舉例（1）（A∪B）∪C

＝{1，2，3，4，5，6，7}．（2）A∪（B∪C)

＝{1，2，3，4，5，6，7}．（3）A∪（B∩C)＝{1，2，3，4}．例5(答案）3.1.3集合的運算（交集、并集、補集）舉例例6*

已知集合求A∪B解：＝A∪B＝∪－234－1利用數(shù)軸求并集3.1.3集合的運算（交集、并集、補集）舉例例7*

已知集合A＝{x|x≥－2},B＝{x|x＜3}，求A∪B，并在數(shù)軸上表示。解：利用數(shù)軸求并集A∪B＝{x|x≥－2}∪{x|x＜3}

＝{x|x≥－2或x＜3}

＝R．如下圖所示：－23AB3.1.3集合的運算（交集、并集、補集）3.全集與補集在研究集合與集合之間的關(guān)系時，常常取定一個集合，使得所討論的集合都是這個集合的子集，這個取定的集合叫做全集，常用符號U表示例如：我們在實數(shù)范圍內(nèi)討論問題時，常常把實數(shù)集看作全集，那么有理數(shù)、無理數(shù)集都是全集的子集3.1.3集合的運算（交集、并集、補集）3.全集與補集設(shè)U是全集，A是U的一個子集（即AU），則由U中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做A在U中的補集，記作CUA，讀作“A補”，即CUA＝{x|x∈U，且xA}

UA集合Ａ的補集如圖陰影部分所示3.1.3集合的運算（交集、并集、補集）3.全集與補集由補集的定義可知，A∪CUA＝U；A∩CUA＝Φ；CU(CUA)＝A．3.1.3集合的運算（交集、并集、補集）3.全集與補集求一個集合的補集時，必須先確定所取的全集．因為對于同一集合A，由于所取的全集不同，它的補集是不同的．如：設(shè)A＝{1,2,3}，取U＝{1,2,3,4,5}時，則CUA＝{4,5}；若取U＝{1,2,3,6,8,9}時，則CUA＝{6,8,9}．3.1.3集合的運算（交集、并集、補集）舉例例６設(shè)全集U＝{a,b,c,d,e,f}，A＝{a,c,e}，B＝{a,d}，求CUA;CUB;CUA∪CUB;CUA∩CUB;CU（A∩B）;CU（A∪B）．3.1.3集合的運算（交集、并集、補集）舉例解：CUA＝{b,d,f}；CUB＝{b,c,e,f}；

CUA∪CUB＝{b,d,f}∪{b,c,e,f}＝{b,c,d,e,f}；

CUA∩CUB＝{b，d，f}∩{b，c，e，f}＝{b，f}；因為A∩B＝{a，c，e}∩{a，d}＝{a}，所以，