/專題01相交線與平行線（12大題型）題型一幾何圖形中的角度計算題型二根據平行線的性質探究角的關系題型三根據平行線的性質求角的度數題型四平行線的性質在生活中的應用題型五根據平行線的性質與判定求角的度數題型六根據平行線的性質與判定證明題型七平行線與三角板綜合題型八平行線與旋轉綜合題型九與平行線有關的定值問題題型十與平行線有關的熱考模型題型十一利用平移的性質求解題型十二利用平移解決實際問題題型一幾何圖形中的角度計算1．（22-23七年級下·浙江臺州·期末）如圖，直線，垂足為點O，射線在內，滿足．(1)求的度數；(2)在射線上取一點P，過點P作，求的度數．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根據求出，然后結合求解即可；（2）首先根據平行線的性質得到，進而求解即可．【詳解】（1）∵，，∴，∵，∴，∴；（2）∵，，∴，∴．【點睛】此題考查了平行線的性質，幾何圖形中角度的計算，垂線的定義，數形結合是解題的關鍵．2．（21-22七年級上·浙江·期末）如圖，已知是內三條射線，平分平分．(1)若，求的度數．(2)若，求的度數．(3)若，求的度數．【答案】(1)30°(2)45°(3)60°【分析】（1）由角平分線的定義，表示出，即可求解；（2）由角平分線的定義，表示出，即可求解；（3）由角平分線的定義，列出關于的方程組，即可求解．【詳解】（1）解：平分平分，，，，．（2）解：平分平分，，，，，，．（3）解：平分，，，，，，，，．【點睛】本題考查了角的計算，解題關鍵是由角平分線定義得出有關等式．3．（20-21七年級上·浙江杭州·周測）已知直線與相交于點O．（Ⅰ）如圖1，若，平分，則_________．（Ⅱ）如圖2，若，，平分，求的大??；（Ⅲ）如圖3，若，，平分，求的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆敬鸢浮浚á瘢?35°；（Ⅱ）54°；（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）根據角平分線的定義求出∠AOC=45°，然后根據鄰補角的定義求解即可；（Ⅱ）設∠NOB=x°，∠BOC=4x°，根據角平分線的定義表示出∠COM=∠MON=∠CON，再根據∠BOM列出方程求解x，然后求解即可；（Ⅲ）與（2）的解法相同．【詳解】解（Ⅰ），平分，，，，即的度數為；（Ⅱ）設，，，平分，，，，，即的度數為；（Ⅲ）設，，，平分，，，，．【點睛】本題考查了對頂角、鄰補角，角平分線的定義，此類題目熟記概念并準確識圖是解題的關鍵，（2）（3）難點在于根據∠BOM列出方程．題型二根據平行線的性質探究角的關系4．（21-22七年級下·浙江寧波·期末）已知直線，和，分別交于C，D點，點A，分別在直線，上，且位于的左側，點P在直線上，且不和點C，D重合．(1)如圖1，點P在線段上，，求的度數．(2)如圖2，當點P在直線上運動時，試判斷，，的數量關系，直接寫出結果，不需要說明理由．【答案】(1)的度數為；(2)或或．【分析】本題考查平行線的性質的靈活運用，兩直線平行內錯角相等，有關平行線中相關角的等量關系．解題的關鍵是逢拐點作平行線．（1）作輔助線使，平行線的性質的靈活運用，兩直線平行內錯角相等，進而得到，，即可求出的度數；（2）作輔助線使，分情況討論得到，，的數量關系，①當點P在直線，上方，利用平行線的性質得到；②當點P在直線，中間時，利用平行線的性質得到，③當點P在直線，下方，利用平行線的性質得到．【詳解】（1）解：過點P作如圖1，又直線，，，，，，．故的度數為．（2）過點P作，①當點P在直線，上方時如圖2，又直線，，，，，，，即：；②當點P在直線，中間時如圖3，又直線，，，，，，，即；③當點P在直線，下方時如圖4，又直線，，，，，，．5．（22-23七年級下·浙江杭州·期末）已知，點在上，點在上，點為射線上一點．

(1)如圖1，若，，則．(2)如圖2，當點在線段的延長線上時，請寫出、和三者之間的數量關系，并說明理由．(3)如圖3，平分，交于點．①若平分，求和的數量關系．②若，，，直接寫出的度數為．【答案】(1)(2)數量關系：，理由見解析(3)①，②【分析】（1）過點作，進而利用兩直線平行，內錯角相等解答即可；（2）過點作，進而利用兩直線平行，內錯角相等解答即可；（3）①過點作，根據平行線的性質和角平分線的定義解答即可；②根據①的結論，利用角的關系解答即可．【詳解】（1）解：過點作，

，，，，，故答案為：；（2）數量關系：，證明：過點作，

，，，，．（3）①過點作，

，，，，．又平分，平分，，由（2）可得②，理由如下：：，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查平行線的判定和性質，關鍵是添加輔助線，根據兩直線平行，內錯角相等解答．6．（22-23七年級下·浙江杭州·期末）如圖，直線分別交直線于點G，H，射線分別在和的內部，且．

(1)若和互補．①求的度數；②當，且時，求的度數；(2)設，．若，求m，n滿足的等量關系．【答案】(1)①；②(2)【分析】（1）①根據和互補，，即可求解；②先求出，由平行線的性質可得，再結合①中結論可得的度數；（2）設，可得，，再結合即可求解．【詳解】（1）解：①和互補，．，，；②由①得，，，又，，．，，；（2）解：，．設，，，，，又，，，，即m，n滿足的等量關系為．【點睛】本題考查平行線的性質，角的和差關系，互補角的關系等，解題的關鍵是掌握平行線的性質．題型三根據平行線的性質求角的度數7．（23-24七年級下·浙江溫州·期末）如圖，點F在線段上，，．(1)求證：；(2)若于點H，平分，求的度數．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】本題考查了平行線的判定與性質、直角三角形的兩個銳角互余，熟練掌握平行線的判定與性質是解題的關鍵．（1）利用平行線的性質可得，再結合已知可得，然后利用平行線的判定，即可解答；（2）根據垂直定義可得，再利用平行線的性質可得從而利用直角三角形的兩個銳角互余，進行計算即可解答．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴∵平分∴∵，∴，∴，∴．8．（23-24七年級下·浙江臺州·期末）如圖，，連接是內部的任意一條射線．(1)當為的角平分線時，①如圖1，作的角平分線交與點E，求證：；②如圖2，過點B作平分交于點P，求的度數；(2)如圖3，，是內的任意一條射線，與交于點P，若，，則直接寫出__________．（請用含k的式子表示）【答案】(1)①見詳解；②(2)【分析】（1）根據角平分線的意義結合，即可得到，故可證明；（2）①可設，設，由可得，即，由，則；②由題意設，，則，，則，，同上知，因此，故，同上可知．【詳解】（1）解：如圖，∵，∴，∵，平分，∴，，∴，∴，∴，∴；（2）解：如圖，∵，∴，，∵，∴設，∴∵平分，∴設，∵，∴，∴，化簡得，，∵，∴；②如圖，由題意設，，則，∵，∴，，同上知，∴，∴，同上可知，故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質，三角形的內角和，外角定理，熟練掌握知識點是解題的關鍵．9．（22-23七年級下·浙江杭州·期末）如圖，已知，．

(1)如圖①，求證：；(2)如圖②，連接，若點E，F在線段上，且滿足，并且平分，求的度數；（用含m的代數式表示）(3)如圖③，在（2）的條件下，將線段沿著射線的方向向右平移，當時，求的度數．（用含的代數式表示）【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）根據平行線的性質得到，進而推出，即可證明；（2）先由平行線的性質得到，再根據已知條件可證明；（3）證明，再由，可得．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，，∴，∴；（3）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的性質與判定，熟知平行線的性質與判定定理是解題的關鍵．題型四與平行線有關的折疊問題10．（22-23七年級下·浙江臺州·期末）如圖，有一張長方形紙條，，在線段，上分別取點G，H，將四邊形沿直線折疊，點C，D的對應點為，，將四邊形沿直線折疊，點A，B的對應點為，，設．(1)若、在直線的上方，當且滿足時，求的度數．(2)在（1）的條件下，猜想直線和的位置關系，并證明(3)在點G，H運動的過程中，若，請直接用含有的式子表示的度數【答案】(1)(2)，理由見解析過程(3)或【分析】（1）由折疊的性質可得：，，由平行線的性質可得，即可求解；（2）由平行線的性質可求，可求，即可得結論；（3）分兩種情況討論，由平行線的性質和折疊的性質可求解．【詳解】（1）解：由折疊得：，，∴，∵，∴，∴；（2）解：猜想：，理由如下：如圖，過點F作交于點P，

∴，∵，∴，即．又∵，∴；（3）解：如圖，當、在直線的上方時，

由折疊得：，，∴．∵，∴，∴；如圖，當、在直線的下方時，

由折疊得：，∵，∴，，∵，，∴，∴．∴，∴，綜上所述：或．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，折疊的性質，熟練掌握平行線的性質，利用分類討論思想解決問題是解題的關鍵．11．（22-23七年級下·浙江衢州·期末）數學課上，老師要求同學們利用一塊三角板判斷紙帶兩邊是否平行．(1)如圖，小明按如下步驟操作：步驟一：三角板按圖①擺放，直角邊與紙帶一邊重合，畫出線段．步驟二：三角板按圖②擺放，直角邊與紙帶另一邊重合，若斜邊與重合，則．那么小明得到的直接依據是______．(2)將紙帶按圖③所示折疊，如果這條紙帶的兩邊互相平行，令為，求的度數（用的代數式來表示）．

【答案】(1)內錯角相等，兩直線平行(2)【分析】（1）根據平行線的判定方法進行解答即可；（2）根據，得出，求出，根據折疊得出，求出，根據平行線的性質得出．【詳解】（1）解：根據操作可知，得到的直接依據是內錯角相等，兩直線平行；故答案為：內錯角相等，兩直線平行；（2）解：∵，∴，∴，根據折疊可知，，∴，∵，∴．

【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質，折疊性質，解題的關鍵是熟練掌握兩直線平行，內錯角相等和內錯角相等，兩直線平行．12．（23-24七年級下·浙江金華·期末）如圖，將一張寬度相等的紙條按如圖所示方式折疊，記點的對應點分別為，，折痕為，且交于點．(1)若，則______度．(2)如圖，在（1）的條件下，將四邊形沿向下翻折，記，的對應點分別為，．再將長方形沿著翻折，記的對應點分別為，，折痕為（點在上，點在上）．若，求的度數．(3)如圖，分別作，的平分線交于點，連結作的平分線交于點，延長交于點．若，比多27°，求的度數【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根據對頂角和平行線的性質可得，再由折疊的性質可得，即可求出的度數．（2）根據題意可分成兩種情況，當向下翻折時，當向上翻折時，根據平行線的性質和折疊的性質，即可求出的度數．（3）補全圖形后，設，則，根據折疊的性質和平行線的性質，可得，即，代入數值解得，根據對頂角，角平分線的性質，平行線的性質，外角的性質，三角形內角和的性質，即可求出的度數．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，根據折疊的性質可得，∴，故答案為．（2）當向下翻折時，根據題意補充全圖，如下圖所示：∵，，∴，根據折疊的性質可得，∵，再根據折疊的性質可得，∴，∴，根據折疊的性質可得，∵，∴．當向上翻折時，交與點，如圖所示：由上可得∵∴根據折疊的性質可得，綜上可得的度數為或．（3）補全圖形，如下圖所示：設，則，根據折疊的性質可得，∵，∴，根據折疊的性質可得，∴，解得，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了平行線的性質、折疊的性質、對頂角性質、角平分線的性質、外角的性質、三角形內角和的性質的知識，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．題型五根據平行線的性質與判定求角的度數13．（23-24七年級下·浙江湖州·期末）已知，直線，A，B，C分別是直線，m，n上的點，連結，，若為銳角，點B在的內部．(1)如下圖，若，，求的度數；(2)如下圖，以為邊向左側作，與直線n交于點D（點D在點C的左側），作的平分線，交于點E，連結并延長，交直線于點F，記與直線m的夾角為，．若．①求與的數量關系；②求的值．【答案】(1)(2)①，【分析】本題考查平行線的判定及性質，角的和差，對頂角相等．（1）根據平行線的性質即可解答；（2）①根據平行線的性質得到，，兩式消去，即可解答；②過作，則，因此，，結合對頂角相等與角的和差即可解答．【詳解】（1）解：∵，，∴∵，∴，∵，∴；（2）解：①∵，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，∴；②如圖2，過作，∴，∵，，∴∴，∵，∴．14．（22-23七年級下·浙江臺州·期末）已知直線，，垂足為點O，點A，B分別在直線，上．點P是平面上任一點，連接，．

(1)當點P在如圖1所示位置時，，，則___________；(2)當點P移動到如圖2所示位置時，求，，之間的數量關系，并說明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下分別作，的角平分線交于點Q，①若，求的度數；②請直接寫出和的數量關系．【答案】(1)(2)，理由見解析；(3)①；②．【分析】（1）過點P作，根據平行線的性質，得到，再利用垂直的定義，得到，進而得到，即可求出的度數；（2）過點P作，根據平行線的性質，得到，再利用垂直的定義，得到，進而得到，然后根據，即可得出結論；（3）①過點Q作，由（2）可得，再根據角平分線的定義和平行線的性質，分別得到，，然后利用，即可求出的度數；②由（2）可得，，再根據角平分線的定義和平行線的性質，分別得到，，然后利用，即可得到和的數量關系．【詳解】（1）解：如圖，過點P作，則，

，，，，，，，，，，故答案為：；（2）解：如圖，過點P作，則，

，，，，，，，，；（3）解：①如圖，過點Q作，則，由（2）可知，，，平分，，，，平分，，，，，，，；

②由（2）可知，，，平分，平分，，，，．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質，垂直的定義，角平分線的定義，解題關鍵是掌握平行線的性質：兩直線平行，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補．15．（21-22七年級下·江蘇淮安·階段練習）課題學習：平行線的“等角轉化”功能．

(1)閱讀理解：如圖1，已知點A是BC外一點，連接AB，AC，求的度數．閱讀并補充下面推理過程解：過點A作，_________________．__________________解題反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現平行線具有“等角轉化”的功能，將，，“湊”在一起，得出角之間的關系，使問題得以解決．(2)方法運用：如圖2，已知，求證：提示：過點C作．(3)深化拓展：已知，點C在點D的右側，平分，DE平分，BE，DE所在的直線交于點E，點E在AB與CD兩條平行線之間．①如圖3，點B在點A的左側，若，求的度數。②如圖4，點B在點A的右側，且，若，則的度數為___________．【答案】(1)∠DAC，∠EAB+∠BAC+∠DAC(2)見詳解(3)①55°；②160【分析】（1）根據平行線的性質即可得到結論；（2）過C作CFAB，根據平行線的性質得到∠D+∠FCD＝180°，∠B＝∠BCF，然后根據已知條件即可得到結論；（3）①過點E作EF∥AB，然后根據兩直線平行內錯角相等，即可求∠BED的度數；②∠BED的度數改變．過點E作EF∥AB，先由角平分線的定義可得：∠ABE∠ABC＝50°，∠CDE∠ADC＝30°，然后根據兩直線平行內錯角相等及同旁內角互補可得：∠BEF＝180°﹣∠ABE＝130°，∠CDE＝∠DEF＝30°，進而可求∠BED＝∠BEF+∠DEF＝130°+30°＝160°．【詳解】（1）如圖1，過點A作EDBC，

∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC，∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°，∴∠B+∠BAC+∠C＝180°，故答案為：∠DAC，∠EAB+∠BAC+∠DAC；（2）如圖2，過C作CFAB，

，∵ABDE，∴CFDE，∴∠D+∠FCD＝180°，∵CFAB，∴∠B＝∠BCF，∵∠D+∠BCD＝180°+∠BCF，∴∠D+∠BCD＝180°+∠B，即∠D+∠BCD﹣∠B＝180°；（3）①如圖3，過點E作EFAB，

∵ABCD，∴ABCDEF，∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，∴∠ABE∠ABC＝25°，∠CDE∠ADC＝30°，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝25°+30°＝55°；②如圖4，過點E作EFAB，

∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝100°，∠ADC＝60°，∴∠ABE∠ABC＝50°，∠CDE∠ADC＝30°，∵ABCD，∴ABCDEF，∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝130°，∠CDE＝∠DEF＝30°，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝130°+30°＝160°，故答案為：160．【點睛】此題考查了平行線的判定與性質，解題的關鍵是正確添加輔助線．題型六根據平行線的性質與判定證明16．（23-24七年級下·浙江杭州·期末）一個臺球桌的桌面如圖所示，一個球從桌面上的點O滾向桌邊，碰到上的點P后反彈而滾向桌邊，碰到上的點Q后反彈而滾向點R．如果，，，都是直線，且的平分線垂直于，的平分線垂直于．(1)判斷并直接寫出和的位置關系．(2)猜想是否平行于？說明理由．(3)若，求的度數（用含α的代數式表示）．【答案】(1)；(2)，見解析；(3)【分析】本題考查平行線的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．（1）先證明，進而可證；（2）先證明，結合角平分線的定義可得，從而；（3）先求出，從而，然后根據平行線的性質求解即可．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴；（2），理由：∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∴；（3）∵，∴，∴，∵，∴．17．（23-24七年級下·浙江寧波·期末）如圖，在四邊形中，已知，．(1)求證：；(2)如圖2，以邊上一點P為頂點作直角，兩直角邊分別交于E、F兩點，則求的度數．(3)如圖3，在（2）的條件下，邊上存在一點N，使得，連接．延長交延長線于點M，若恰好平分、，且，求的大?。敬鸢浮?1)見解析(2)(3)【分析】本題主要考查平行的判定和性質，角平分線的定義，熟練掌握平行的判定和性質是解題的關鍵．（1）根據同旁內角互補，兩直線平行即可證明結論；（2）過點P作，證明，得到即可解答；（3）過點N、F作，，設，，，根據平行的性質得到，即可解答．【詳解】（1）證明：，，，，；（2）解：過點P作，如圖1所示：，由（1）得，，，，，（3）解：過點N、F作，，如圖所示：，．平分、，，，不妨設，，，，①，，，，，②，，，，，又，，③由①②③式可得，，即18．（23-24七年級下·浙江金華·期末）兩張直角三角形紙片如圖1擺放，點D在上，已知，．(1)判斷與的位置關系，并說明理由．(2)如圖2，分別作與的平分線交于點F，求的度數．(3)如圖3，點P，G分別在，上，連，作的平分線交于點Q，點H是射線上一點，連，且，設，，，請畫出圖形，并直接寫出，，之間的數量關系．【答案】(1)，證明見解析(2)(3)或；【分析】（1）先證明，從而可得結論；（2）證明，，如圖，過作，，再進一步利用平行線的性質可得答案；（3）如圖，當在線段上，設，則，由（2）的結論可得：，如圖，當在線段的延長線上時，設，則，同理可得：，證明，，，從而可得答案；【詳解】（1）解：，理由如下：∵，，∴，∴；（2）解：∵，．∴，∵與的平分線交于點F，∴，如圖，過作，∵，∴，∴，，∴；（3）解：如圖，當在線段上，設，則，由（2）的結論可得：，，∵，，，的平分線交于點Q，∴，∴，整理可得：；如圖，當在線段的延長線上時，設，則，∵，，，的平分線交于點Q，∴，同理可得：，∵，∴，而，∴，∴，整理可得：；綜上：或；【點睛】本題考查的是平行線的判定與性質，三角形的內角和定理的應用，角平分線的定義，二元一次方程組的應用，作出合適的輔助線是解本題的關鍵.題型七平行線與三角板綜合19．（22-23七年級下·浙江湖州·期末）三角板和直尺是我們重要的學習工具，可以利用這些工具進行很多數學探究．如圖1，把一塊含的直角三角板的邊放置于長方形直尺的邊上．，分別交于M，N點．(1)求和的度數；(2)現把三角板繞B點逆時針旋轉，如圖2，當，且點C恰好落在DG邊上時：①請用含n的代數式表示的度數；②若此時，求n的值；(3)選用工具中的兩把直角三角板，直角頂點重合疊放如圖3所示，現將含的三角板固定不動，將含的三角板繞頂點C順時針轉動，使兩塊三角板至少有一組邊互相平行．如當時，．當在至之間變化時，直接寫出其它所有符合條件的的度數．【答案】(1)(2)①；②(3)【分析】本題主要考查了鄰補角、直角的性質，平行線的性質、旋轉的性質等知識點，靈活運用相關性質成為解答本題的關鍵．（1）根據鄰補角的定義和平行線的性質解答即可；（2）①根據兩直線平行，同旁內角互補求出，然后根據周角等于計算即可得到；②根據鄰補角的定義求出，再根據兩直線平行，同位角相等可得，結合題意求解即可；（3）結合圖形，分，，，，，五種情況進行分析，結合圖形求解即可．【詳解】（1）解：根據題意得：，∴；（2）解：①如圖2，∵，∴，∵，∴；②∵，∴，∵，∴，∵，∴，解得；（3）當時，，如圖所示位置，∵，，∴，∴；如圖所示轉到位置，∵，，∴共線，∴，∵，∴共線，∴；當時，如圖所示位置，∵，∴，∴；如圖所示轉到位置，∵，∴；當時，如圖所示位置，根據題意得；如圖所示位置，延長交于點H，∵，∴，∵，∴，∴；當時，如圖所示：同理得；；當時，如圖所示：同理得；；綜合可得：符合條件的的度數．20．（22-23七年級下·浙江·期末）將一塊三角板（，）按如圖①所示放置在銳角內，使直角邊落在邊上．現將三角板繞點逆時針以每秒的速度旋轉秒（直角邊旋轉到如圖②所示的位置），過點作交射線于點，平分，且在旋轉過程中，當秒時，．(1)求的值；(2)當秒時，求的度數；(3)在某一時刻，當時，試求出與之間的數量關系．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查平行線的性質，角平分線的定義，解題關鍵是熟練掌握相關知識點．（1）根據當秒時，，即可求出的值；（2）根據旋轉的速度及時間，即可求出的度數，進一步求出的度數；根據平行線的性質，即可求出的度數，進一步求出的度數；（3）先根據平行線的性質，表示出的度數，進一步表示出的度數；再根據平行線的性質，表示出的度數，根據角平分線的定義，表示出的度數；再根據平行線的性質，得出，從而可求出答案．【詳解】（1）當秒時，，此時三角板繞點逆時針旋轉了，∴的值為（2）當時，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴的度數為；（3）與之間的數量關系是：，理由：∵，∴，∵，∴，∵，∴，平分，∴，∵，∴，∴與之間的數量關系是：．21．（23-24七年級下·浙江紹興·期末）小嵊與小州兩位七年級同學在復習“平行線”后進行了課后探究：素材提供：“一副三角板，兩條平行線”．三角板與三角板如圖1所示擺放，其中，，、點A，B在直線上，點D，F在直線上．動手實踐：將三角板沿著直線平移或旋轉能形成豐富的圖形，也能得到許多有趣的結論．問題解決：小嵊將三角板向右平移．①如圖2，當點E落在線段上時，求的度數．②如圖1，在三角板平移過程中，連接，記為，為，當點E在左側時，的值是否為定值，若是定值，請求出這個值；若不是定值，請說明理由．思維拓展：小州和小嵊一起將兩塊三角板旋轉，如圖3，小州將三角板繞點A以每秒的速度順時針旋轉，同時小嵊將三角板繞點D以每秒的速度順時針旋轉，設時間為t秒，，，且，若邊與另一三角板的一條直角邊（邊，）平行時，請直接寫出所有滿足條件的t的值．【答案】問題解決：①②是定值，；思維拓展：s或s【分析】本題考查了動角問題，平行線的判定及性質，角的和差等；問題解決：①過點E作，由平行線的判定方法得，由平行線的性質得，，由角的和差即可求解；②過作交于，由平行線的判定方法得，由平行線的性質得，，由角的和差得，，由直角三角形的特征得，即可求解；思維拓展：（ⅰ）當時，延長交于點P，①在上方時，由平行線的判定方法及等量代換得，即可求解；②當在下方時，同理可求；（ⅱ）當時，延長交于點I，①在上方時，同理可求；②在下方時，同理可求；掌握平行線的判定方法及性質，能根據、的不同位置進行分類討論是解題的關鍵【詳解】解：問題解決：①如圖，過點E作，，，，，；②是定值，理由如下：如圖，過作交于，，，，，，，，，在中，，，解得：，故為定值；思維拓展：由題意得，，，（?。┤鐖D，當時，延長交于點P，①在上方時，，，，，，，，，即，解得：；②當在下方時，，，，，，，，，，即，解得：，，（不符合題意，舍去）；（ⅱ）當時，延長交于點I，①如圖，在上方時，，，，，，，，，即，解得：；②如圖，在下方時，，，，，，，，，即，解得：，，（不符合題意，舍去）；綜上所述，所有滿足條件的t的值為s或s．題型八平行線與旋轉綜合22．（22-23七年級下·浙江寧波·期末）如圖1，已知直線，，射線從出發(fā)，繞點以每秒4度的速度按逆時針方向旋轉，到達后立即以相同的速度順時針返回，到達后繼續(xù)改變方向，繼續(xù)按上述方式旋轉；射線從出發(fā)，繞點以每秒1度的速度按逆時針方向旋轉，到達后停止運動，此時也同時停止運動．(1)當射線運動的時間為10秒時，求的度數．(2)若射線先運動30秒，然后射線一起運動．設運動的時間為，當運動過程中時，求的值．(3)如圖2，若與同時開始轉動，在第一次到達之前，與交于點，過點作于點，交直線于點，則在運動過程中，若設的度數為，請求出的度數（結果用含的代數式表示）．【答案】(1)(2)的值為10或66或130或138；(3)【分析】（1）用平角分別減去，即可作答．；（2）由題意分三種情況討論：當時，在的左側，在的右側，由，可得，解得；當時，在的左側，在的右側，可得，解得；當時，在的右側，在的左側，則，解得；（3）延長交于點，由，，則，可得，再由，即，可求．本題是平行線的綜合題，熟練掌握平行線的性質，直角三角形的性質，動點運動過程中的分類討論求解是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵射線從出發(fā)，繞點以每秒4度的速度按逆時針方向旋轉10秒，∴∵∴（2）解：，，，，，當時，在的左側，，在的右側，，，；當時，在的左側，，在的右側，，；當時，在的右側，，在的左側，，；當時，，，綜上所述：的值為10或66或130或138；（3）延長交于點，的度數為，，，，，，，，，，，，即，．23．（23-24七年級下·浙江嘉興·期末）交通部門為了安全起見在某道路兩旁設置了，兩座可旋轉探照燈．假定主道路是平行的，即，，為上兩點，平分交于點，為上一點，連接，平分交于點．(1)若，則______；(2)若點為線段上一點，且滿足，當時，試說明：；(3)在（1）問的條件下，探照燈，射出的光線在道路所在平面旋轉．探照燈射出的光線從處開始以每秒的速度繞點逆時針轉動，探照燈射出的光線從處開始以每秒的速度繞點逆時針轉動，當轉至射線后立即以相同速度回轉．若它們同時開始轉動，當回到出發(fā)時的位置時同時停止轉動．設轉動時間為秒，則在轉動過程中，當時，請直接寫出此時的值．【答案】(1)(2)見解析(3)或【分析】本題考查了角平分線的意義，平行線的判定和性質，直角三角形兩銳角互余，一元一次方程的應用，熟練掌握知識點是解題的關鍵．（1）先由平角的定義及角平分線的定義得出，繼而得出，再根據兩直線平行，內錯角相等求解即可；（2）設，則，根據平行線的性質可得，由角平分線的意義得出，，根據已知條件可得，由內錯角相等，即可判斷兩直線平行；（3）分兩種情況討論，分別表示出兩種情況下相關角的度數，根據直角三角形兩銳角互余列方程，求解即可．【詳解】（1）∵，，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，故答案為：；（2）設，則，∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3），由題意得，當時，如圖，，此時，，∴，∴，∵，∴，∴，解得；當當時，如圖，，此時，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，解得；綜上，或．24．（23-24七年級上·浙江金華·期末）如圖，三角尺的直角頂點P在直線上，其中，．

(1)如圖①，若，求的度數．(2)如圖②，若，平分，求的度數．(3)在（1）的條件下，將三角尺繞點P以每秒的速度順時針旋轉，旋轉t秒后得到三角尺，如圖③，當時，求t的值．【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】此題考查了平行線的性質、角平分線的定義、一元一次方程的應用等知識，分類討論是解題的關鍵．（1）根據平角的定義和已知角求解即可；（2）根據平行線的性質得到,由平分得到，即可得到答案；（3）根據t的取值范圍分別進行求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴；（2），,平分，∴，∴；（3）由得當時，，解得，（舍）；當時，，解得，；當時，，解得（舍）；當時，，解得，，綜上所述，或．題型九與平行線有關的定值問題25．（22-23七年級下·浙江湖州·期末）已知：點在直線上，點都在直線上（點在點的左側），連接，，平分，且．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，點為線段上一動點，連接，且始終滿足．①當時，在直線上取點，連接，使得，求此時的度數；②在點的運動過程中，與的度數之比是否為定值，若是，求出這個值；若不是，說明理由．【答案】(1)見解析(2)①或；②是定值，【分析】（1）由角平分線的定義可得，再根據“內錯角相等，兩直線平行”可得結論；（2）①由垂直的定義可知，即可得，設，則可表示和的度數，然后利用三角形的內角和解題即可解題；②設，則可求出的值，然后表示的度數解題即可．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，又∵，∴，∴；（2）解：①如下圖，當點可以在點的右側，∵，∴，又∵，∴，設，∵，∴，又∵，∴，在中，，即，解得，∴；當點可以在點的左側，同理，可得，綜上，的度數為或；②，理由如下：如圖，設，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了角平分線、平行線的判定與性質、三角形外角的定義和性質、三角形內角和定理等知識，熟練掌握相關知識并靈活運用是解題關鍵．26．（23-24七年級下·浙江舟山·期末）如圖，已知，連結和交于點．(1)求證：；(2)如圖，，點分別在線段上，，．①請直接寫出和（用含的代數式表示）．②請判斷是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)證明見詳解(2)①，②是定值，定值為【分析】本題考查了平行線的性質，三角形的外角的應用，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．（1）根據平行線的性質，三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和，即可證明．（2）①根據三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和，結合題意，即可得出，．②根據平行線的性質可得，即，因為，∴，結合，，可得，代入中，得是定值．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴．（2）①解：∵，，，∴，即．∵，∴，又∵，，∴，即．故，．②解：是定值．∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，化簡得，∵，，∴，∵，∴，∴是定值．27．（20-21七年級下·浙江湖州·期末）如圖，直線，將一副三角板中的兩塊直角三角板如圖1放置，，，，，此時點與點重合．（1）對于圖1，固定的位置不變，將繞點按順時針方向進行旋轉，旋轉至與首次平行，如圖2所示，求此時的度數．（2）對于圖1，固定的位置不變，將沿方向平移至點正好落在直線上，再將繞點按順時針方向進行旋轉，如圖3所示．①若邊與邊交于點，試判斷的值是否為定值，若是定值，則求出該定值，若不是定值，請說明理由；②對于圖3，固定的位置不變，將繞點順時針方向以每秒10°的速度進行旋轉，當與直線首次重合時停止運動當經過秒時，線段與的一條邊平行，求滿足條件的的值．【答案】（1）30°；（2）①是定值為45°；②或7.5或12【分析】（1）根據平行線的性質和三角板的角的度數解答即可；（2）①過點作直線則，利用平行線的性質可求解；②分三種情況，根據題意列方程求解即可．【詳解】解：（1）∵，∴∵∴（2）①是定值，45°理由如下：過點作直線則．∴，∴∴②共分三種情況當時，，當時，，當時，，∴，，．【點睛】此題主要考查了平行線的判定與性質，一元一次方程與幾何問題，解題時注意分類討論思想的運用，分類時不能重復，也不能遺漏．題型十與平行線有關的熱考模型28．（22-23七年級下·河南駐馬店·期中）【問題背景】同學們，我們一起觀察小豬的豬蹄，你會發(fā)現一個我們熟悉的幾何圖形，我們就把這個圖形形象的稱為“豬蹄模型”，豬蹄模型中蘊含著角的數量關系．

(1)如圖①，，E為之間一點，連接，得到．試探究與之間的數量關系，并說明理由．(2)請你利用上述“豬蹄模型”得到的結論或解題方法，完成下面的問題：【類比探究】如圖②，，線段與線段相交于點E，，，平分交直線于點F，則°．【答案】(1)，理由見解析(2)58【分析】（1）過E作，根據平行線的性質求解即可；（2）根據平行線的性質和角平分線的概念求解即可．【詳解】（1），理由如下：過E作，如圖，

∵，∴，∴，∴，即；（2）同（1）方法可知：，∵，，∴，∴，∵平分，∴．【點睛】題目主要考查平行線的判定和性質，角平分線的計算，理解題意，熟練掌握運用平行線的判定和性質是解題關鍵．29．（21-22七年級下·山東德州·期中）請閱讀小明同學在學習平行線這章知識點時的一段筆記，然后解決問題．小明：老師說在解決有關平行線的問題時，如果無法直接得到角的關系，就需要借助輔助線來幫助解答，今天老師介紹了一個“美味”的模型一“豬蹄模型”．即已知：如圖1，，為、之間一點，連接，得到．求證：，小明筆記上寫出的證明過程如下：證明：過點作，∴，∵，，∴∴，∵，∴，請你利用“豬蹄模型”得到的結論或解題方法，完成下面的兩個問題．(1)如圖2，若，，求的度數；(2)靈活應用：如圖3，一條河流的兩岸當小船行駛到河中點時，與兩岸碼頭B、D所形成的夾角為（即），當小船行駛到河中點時，恰好滿足，，請你直接寫出此時點與碼頭B、D所形成的夾角＝_________．【答案】(1)240°(2)32°【分析】（1）過E點作，過F點作，易得，，，則有∠B=∠BEN，∠NEF=∠EFM，∠C+∠CFM=180°，根據∠BEN+∠NEF=∠BEF，∠EFM+∠CFM=∠EFC，∠BEF=60°，即有∠B+∠EFC+∠C=(∠B+∠EFM)+(∠CFM+∠C)=∠BEF+180°=240°；（2）根據題目的證明方法可得∠F=∠ABF+∠CDF，∠E=∠ABE+∠CDE，由∠ABF=∠EBF，∠EDF=∠CDF，可得∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，即有∠F=∠ABF+∠CDF=(∠ABE+∠CDE)=，問題得解．【詳解】（1）過E點作，過F點作，如圖，∵，，，∴，，，∴∠B=∠BEN，∠NEF=∠EFM，∠C+∠CFM=180°，∵∠BEN+∠NEF=∠BEF，∠EFM+∠CFM=∠EFC，∠BEF=60°，∴∠B+∠EFC+∠C=(∠B+∠EFM)+(∠CFM+∠C)=∠BEF+180°=240°，故答案為：240°；（2）根據題目中“豬蹄模型”的證明方法，同理可以證明：∠F=∠ABF+∠CDF，∠E=∠ABE+∠CDE，∵∠E=64°，∴∠ABE+∠CDE=64°，∵∠ABF=∠EBF，∠EDF=∠CDF，∴∠ABF=∠ABE，∠CDF=∠CDE，∵∠F=∠ABF+∠CDF，∴∠F=∠ABF+∠CDF=(∠ABE+∠CDE)=，故答案為：32°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，掌握兩直線平行，內錯角相等，同旁內角互補是解答本題的關鍵．30．（21-22七年級下·山東青島·期中）【閱讀理解】：兩條平行線間的拐點問題經?？梢酝ㄟ^作一條直線的平行線進行轉化．例如：如圖1，，點C、B分別在直線MN、PQ上，點A在直線MN、PQ之間．（1）求證：∠CAB＝∠MCA＋∠PBA；證明：如圖1，過點A作，∵，，∴，∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，∴∠CAB＝∠DAC＋∠DAB＝∠MCA＋∠PBA，即：∠CAB＝∠MCA＋∠PBA；【類比應用】已知直線，P為平面內一點，連接PA、PD．（1）如圖2，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數；說明理由．（2）如圖3，設、、直接寫出、、∠P之間的數量關系為______．【聯系拓展】如圖4，直線，P為平面內一點，連接PA、PD．AP⊥PD，DN平分∠PDC，若，運用（2）中的結論，求∠N的度數．說明理由．【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠a+∠β-∠P=180°；（3）∠N的度數為45°【分析】(1)過點P作PE//AB，根據平行線的性質可得∠APE=∠A=50°，∠EPD=180°-150°=30°，即可求出∠APD的度數；(2)過點P作PE//AB，則AB//PE//CD，根據平行線的性質可得∠DPE=∠CDP=β，∠APE+∠PAB=180°，即可得出∠CDP+∠PAB-∠APD=180°；(3)PD交AN于點O，由AP⊥PD，得出∠APO=90°，由∠PAN+∠PAB=∠APD得出∠PAN+∠PAB=90°，由∠POA+∠PAN=90°，得出∠POA=∠PAB，由對頂角相等得出∠NOD=∠PAB，由角平分線的性質得出∠ODN=∠PDC，即∠AND=180°-(PAB+∠PDC)，由(2)得：∠CDP+∠PAB-∠APD=180°，代入計算即可求出∠AND的度數．【詳解】(1)如圖2，過點P作PE//AB，∵AB//CD，PE//AB，∴AB//PE//CD，∴∠APE=∠A=50°，∠DPE+∠D=180°，∴∠DPE=180°-150°=30°∴∠APD=∠APE+∠DPE=50°+30°=80°(2)如圖3，過點P作PE//AB，∵AB//CD，PE//AB，∴AB//PE//CD，∴∠DPE=∠CDP=β，又∠APE+∠PAB=180°∴∠APE=180°-a，∠DPE=∠DPA+∠APE=∠DPA+180°-a∴β=∠DPA+180°-a，∴a+β-∠P=180°，故答案為：∠a+∠β-∠P=180°；【聯系拓展】如圖4，PD交AN于點O，∵AP⊥PD，∴∠APO=90°∵∠PAN+∠PAB=∠APD，∴∠PAN+∠PAB=90°，∵∠POA+∠PAN=90°，∴∠POA=∠PAB，∵∠POA=∠NOD，∴∠NOD=∠PAB，∵DN平分∠PDC，∴∠ODN=∠PDC，∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-(∠PAB+∠PDC)，由(2)得：∠CDP+∠PAB-∠APD=180°∴∠CDP+∠PAB=180°+∠APD，∴∠AND=180°-(∠PAB+∠PDC)=180°-(180°+∠APD)=180°-(180°+90°)=45°【點睛】本題考查了平行線的性質及垂線，對頂角，平行公理的應用，角平分線的性質，掌握平行線的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．題型十一利用平移的性質求解31．（23-24七年級下·浙江臺州·期末）【綜合與實踐】如圖1是“小心有電”警示牌，班級數學興趣小組想要制作圖中的閃電標識，如圖2，他們先在紙上畫一條線段，利用三角尺和直尺將平移，得到線段，連接，，裁出四邊形，連接，在上取點E，F，將三角形，三角形分別沿折疊，得到三角形，點G，H均在上，則有，，，．(1)以下是組員小新證明與平行的過程，根據他的思路，請你幫他補全．由畫法可得，，（同位角相等，兩直線平行）所以，（________）因為折疊，所以，__________，所以________=_________，（等量代換）所以（________）(2)組員小潘的說法（）正確嗎？如果正確，請你幫她證明這一結論；如果不正確，請說明理由．(3)在制作過程中，小組發(fā)現，當的長不少于，且不大于時，閃電形態(tài)較美觀，若的長均為整數，當最短時，求的長．【答案】(1)見解析(2)正確，證明見解析(3)4【分析】本題主要考查了平移的性質，平行線的性質與判定，折疊的性質等等：（1）根據平行線的性質與判定條件結合已給推理過程證明即可；（2）由平行線的性質先證明，再由折疊的性質證明，即可證明；（3）由平移的性質得到，由折疊的性質可得，再由得到，進而得到，再結合的長均為整數進行求解即可．【詳解】（1）證明：由畫法可得，，（同位角相等，兩直線平行）所以，（兩直線平行，內錯角相等）因為折疊，所以，，所以，（等量代換）所以（內錯角相等，兩直線平行）（2）解：正確，證明如下：∵，，∴，∴，由折疊的性質可得，∴，∴；（3）解：由平移的性質可得，由折疊的性質可得，∴，∵，∴，∵的長不少于，且不大于，∴，∴，∴，∴∵都是整數，∴符合題意的的最小值為7，此時的值為4．32．（23-24七年級下·浙江寧波·期末）圖1表示一條兩岸彼此平行的河，直線表示河的兩岸，且，現要在這條河上建一座橋(橋與河岸垂直)，“橋”用線段表示．(1)如圖1，在河岸、兩點建兩座橋、，則和的大小為；(2)如圖2，現要在這條河上建一座橋，橋建在何處才能使從游樂場經過橋到河對岸的路程最短?亮亮的方法是：作交于，兩點，在處建橋能使從游樂場經過橋到河對岸的路程最短；木木的方法是：作交于，兩點，把線段平移至，在處建橋能使從游樂場經過橋到河對岸的路程最短．你認為誰的方法正確？并說明理由．(3)如圖3，現要在這條河上建一座橋，橋建在何處才能使從村莊經橋過河到村莊的路程最短?畫出示意圖，并用平移的原理說明理由．【答案】(1)(2)木木的方法正確，見解析(3)見解析【分析】本題考查了平行線的性質，兩點之間線段最短，平移的性質；（1）根據平行線間的線段相等，進而得出答案；（2）分別用兩種方法求處于從到的路程，進行比較即可；（3）作圖，，可以看作平移的結果，則，若設另在處架橋，同理可得，則＞，所以在處建橋，使從村莊經橋到村莊的路程最短．【詳解】（1）解：∵橋與河岸垂直，根據平行線間的線段相等，則（2）木木的方法正確，理由如下：

由平移性質知，亮亮的方法，從到的路程為木木的方法，從到的路程為

，，木木的方法正確．（3）如圖b．①作交于，．②把平移至，連結，交于．③作于在處建橋，使從村莊經橋到村莊的路程最短．