6/63.5三元一次方程組及其解法教學(xué)目標(biāo)1．會解簡單的三元一次方程組．2．進一步熟悉解方程組時“消元”的基本思想和靈活運用代入法、加減法等重要方法．教學(xué)重難點1．掌握三元一次方程組的解法．2．針對方程組的特點，選擇最好的解法．教學(xué)過程導(dǎo)入新課(1)解二元一次方程組的基本方法有哪幾種？(2)解二元一次方程組的基本思想是什么？(3)甲、乙、丙三數(shù)的和是26，甲數(shù)比乙數(shù)大1，甲數(shù)的兩倍與丙數(shù)的和比乙數(shù)大18，求這三個數(shù)．教師：題目中有幾個未知數(shù)？含有幾個相等關(guān)系？你能根據(jù)題意列出幾個方程？學(xué)生活動：回答問題、設(shè)未知數(shù)、列方程．這個問題必須三個條件都滿足，因此，我們把三個方程合在一起，寫成下面的形式：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝26，①,x－y＝1，②,2x＋z－y＝18.③))這個方程組有三個未知數(shù)，每個方程的未知數(shù)的次數(shù)都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組，就是我們要學(xué)習(xí)的三元一次方程組(板書課題)．推進新課問題1：教師：怎樣解這個三元一次方程組呢？你能不能設(shè)法消去一個或兩個未知數(shù)，把它化成二元一次方程組或一元一次方程？學(xué)生活動：思考、討論后說出消元方案．教師對學(xué)生的回答給予肯定或否定，糾正后說出消元方案：依照代入法，由較簡單的方程②，可得x＝y(tǒng)＋1④，進一步將④分別代入①和③中，就可消去x，得到只含y，z的二元一次方程組．解：由②，得x＝y(tǒng)＋1.④把④代入①，得2y＋z＝25.⑤把④代入③，得y＋z＝16.⑥⑤與⑥組成方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y＋z＝25，,y＋z＝16.))解這個方程組，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝9，,z＝7.))把y＝9代入④，得x＝9＋1，x＝10.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝9，,z＝7.))注意：a.得二元一次方程組后，解二元一次方程組的過程在練習(xí)本上完成．b．求得y＝9，z＝7后，求x，要代入前面最簡單的方程④.c．檢驗．這道題也可以用加減法解，②中不含z，那么可以考慮將①與③結(jié)合消去z，與②組成二元一次方程組．學(xué)生活動：在練習(xí)本上用加減法解方程組．問題2：例題分析【例題】解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4z＝7，①,2x＋3y＋z＝9，②,5x－9y＋7z＝8.③))學(xué)生活動：獨立分析、思考，嘗試解題，有的學(xué)生可能用代入法解，有的學(xué)生可能用加減法解，選一個用加減法解的學(xué)生板演，然后，讓用代入法的學(xué)生比較哪種方法簡單．解：②×3＋③，得11x＋10z＝35.④①與④組成方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4z＝7，,11x＋10z＝35.))解這個方程組，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,z＝－2.))把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2＝9，y＝eq\f(1,3).所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝\f(1,3)，,z＝－2.))即時歸納：這個方程組的特點是方程①不含y，而②，③中y的系數(shù)的絕對值成整數(shù)倍關(guān)系，顯然用加減法從②，③中消去y后，再與①組成只含x，z的二元一次方程組的解法最為合理．而用代入法由①得到的式子含有分母，代入②，③較繁瑣．問題3：鞏固訓(xùn)練1．解方程組：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－z＝4，①,z－2y＝－1，②,x＋y－z＝－1.③))2．課本練習(xí)．本課小結(jié)通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們學(xué)會了什么？還有什么困惑？1．解三元一次方程組的基本思想是什么？方法有哪些？2．解題前要認真觀察各方程的系數(shù)特點，選擇最好的解法，當(dāng)方程組中某個方程只含二元時，一般地，這個方程中缺哪個元，就利用另兩個方程用加減法消哪個元；如果這個二元方程系數(shù)較簡單，也可以用代入法求解．3．注意檢驗．一次方程組的古今表示及解法我國古代很早就開始對一次方程組進行研究，其中不少成果被收入古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中．《九章算術(shù)》的“方程”章，有許多關(guān)于一次方程組的內(nèi)容．這一章的第一個問題譯成現(xiàn)代漢語是這樣的：上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，共有39斗；上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，共有34斗；上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，共有26斗；求上、中、下三等谷每束各是幾斗？注：斗是過去的容積計量單位．下面的算籌圖代表了古代解決這個問題的方法，它是什么意思呢？《九章算術(shù)》中的算籌圖是豎排的．為看圖方便，上圖改為橫排，使三個橫行表示三句話的含義．不妨先用我們熟悉的數(shù)學(xué)符號來表述怎樣解這個有3個未知數(shù)的問題．設(shè)上等谷每束x斗，中等谷每束y斗，下等谷每束z斗．根據(jù)題意，得三元一次方程組通過消元，可以求出各未知數(shù)．上圖實際上就是用算籌列出的方程組(*)，它省略了各未知數(shù)，只用算籌表示出未知數(shù)的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項．我國古代解方程組時，也用算籌做計算工具，具體解法是：從一個方程累減(或累加)另一個方程．例如，解方程組(*)，將①－②可以消去z，將③累減②三次也可以消去z，從而得到二元一次方程組這里將③連續(xù)三次減去②，與③－②×3的結(jié)果一樣．用現(xiàn)代高等代數(shù)的符號可以將方程組(*)的系數(shù)排成一個表這